概率1-4全概公式

1、四 貝努里概型與二項(xiàng)概率求 的概率. 假設(shè)罰球命中率為0.9, 各次罰球是相互獨(dú)立的.引例: 三分球犯規(guī), 罰球3次. 隨機(jī)事件 表示 得k分.Bernoulli試驗(yàn):只關(guān)心某個(gè)事件 是否發(fā)生.n重Bernoulli試驗(yàn): 把Bernoulli試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)做n次. 在 重Bernoulli試驗(yàn)中, 我們感興趣的是, 在試驗(yàn)中事件 正好發(fā)生 次的概率, 即問(wèn)題描述為: 設(shè) 為 重Bernoulli試驗(yàn), 事件 是一次試驗(yàn)的一個(gè)結(jié)果, 記事件 在n重Bernoulli試驗(yàn)中出現(xiàn) 次 則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求概率 分析 設(shè) 若在前 次試驗(yàn)中出現(xiàn)的是 后 次試驗(yàn)中出現(xiàn)的是 則相應(yīng)的概率為 注意到在 次試驗(yàn)中出

2、現(xiàn) 個(gè) 其余為 的組合共有 個(gè), 所以原問(wèn)題的概率為： 由于上述問(wèn)題與事件 的具體內(nèi)容無(wú)關(guān), 僅與試驗(yàn)次數(shù)及 相關(guān), 故一般我們簡(jiǎn)記成:其中 表示事件在 重試驗(yàn)中出現(xiàn)的次數(shù). 而這恰好是二項(xiàng)展開式中的一項(xiàng), 故稱為二項(xiàng)概率.例1: 圍棋番棋比賽. 見(jiàn)22頁(yè), 例1.23結(jié)論: 多局賽制對(duì)高手有利.注: 三局兩勝制實(shí)際比賽中, 連贏兩局不再比三局, 在貝努里概型計(jì)算中是拆成勝勝負(fù)與勝勝勝.例2 設(shè)某種杯子, 摔破的概率為0.4, 連續(xù)摔7個(gè)杯子,解 此問(wèn)題是 的Bernoulli試驗(yàn), 由條件求恰好摔破3個(gè)杯子的概率.由二項(xiàng)概率公式得相應(yīng)的概率為:例3 某小區(qū)有10部電梯, 每部電梯發(fā)生故障的概

3、率為解 此問(wèn)題是 的二項(xiàng)概率, 則問(wèn)題為0.2, 求在同一時(shí)刻有三部電梯發(fā)生故障的概率.求概率 由二項(xiàng)概率公式得 該問(wèn)題可以進(jìn)一步延伸為: 某小區(qū)有200部電梯, 每部電梯發(fā)生故障的概率為0.02, 電梯發(fā)生故障時(shí), 物業(yè)管理部門需要派出一名維修工人進(jìn)行修理. 要保證電梯發(fā)生故障時(shí), 物業(yè)管理部門一定有維修工人可以派遣, 則一個(gè)最可靠的方法是, 為每一部電梯都安排一個(gè)維修人員.但實(shí)際上, 沒(méi)有一個(gè)物業(yè)管理部門會(huì)這樣做. 現(xiàn)在的問(wèn)題是, 如果我們要求以95%的把握保證當(dāng)電梯發(fā)生故障時(shí),物業(yè)部門有維修人員可以派遣, 則應(yīng)該聘用多少名維修人員？ 若數(shù) 表示聘用的維修人員數(shù), 則發(fā)生故障的電梯臺(tái)數(shù)不超

4、過(guò) 問(wèn)題為即要找到適當(dāng)?shù)?使上式成立. 若用公式進(jìn)行計(jì)算, 則問(wèn)題是比較復(fù)雜的. 在下一章中, 我們尋找更好的方法來(lái)解決該問(wèn)題. 1.6 全概率公式與貝葉斯公式引例: 求進(jìn)校園銷售的自行車的不合格率.直接按古典概率定義, 很難得到數(shù)據(jù).如果投放學(xué)校的自行車有三種型號(hào)分別記為 則 表示市場(chǎng)占有率 .以B表示不合格的自行車則表示各型號(hào)自行車的不合格率.這兩組數(shù)據(jù)容易得到.能否由這兩組數(shù)據(jù)算出自行車的不合格率？由可加性得 再由乘法定理 由條件概率公式得如果, 已知買到了不合格的自行車, 要看是哪種型號(hào)的自行車可能性大, 也就是要比較可見(jiàn)與兩個(gè)因素, 市場(chǎng)占有率和自身的不合格率有關(guān).這種思路, 就是本

5、節(jié)要學(xué)的全概率公式與貝葉斯公式.將自行車設(shè)定為n種, 很容易推到一般情況.完備事件組1設(shè) 是 的一組事件 若滿足下列兩條件2則稱 是樣本空間的一個(gè)劃分或一個(gè)完備事件組. 這是一個(gè)完備事件組.例 設(shè) 而注: 完備事件組是樣本空間的一個(gè)劃分. 圖示如下.全概公式貝葉斯公式定理 1.3 設(shè) 是一完備事件組, 且則對(duì)任一事件 有證明同引例, 略.解: 先普及歷法. 400年一周期. 任取一年, 求該年有53個(gè)周日的概率. 若已知該年有53個(gè)周日, 求該年是閏年的概率.例1 歷法問(wèn)題方法一 古典概型 每逢4的倍數(shù)閏, 一共有100個(gè)每逢100的倍數(shù)不閏, 一共有4個(gè)每逢400的倍數(shù)閏, 一共有1個(gè)400

6、年中共有100-4+1=97個(gè)閏年.方法二 利用全概公式 表示平年, 則 構(gòu)成一劃分 表示有53個(gè)星期天 如果已知該年有53個(gè)星期天, 求該年是閏年的概率.則由已知條件 得例2 已知肝炎發(fā)病率為萬(wàn)分之四. 用某法檢查肝炎. 患者陽(yáng)性率為95%, 正常人陰性率為90%. 求反應(yīng)為陽(yáng)性者確實(shí)得了肝炎的概率.解 設(shè)A為反應(yīng)為陽(yáng)性, 為反應(yīng)為陰性, B為被診斷者患肝炎.先求陽(yáng)性率 反應(yīng)陽(yáng)性實(shí)際得病這一概率非常小. 是否可以不管？事實(shí)上高危人群. 倍,例3 設(shè)有三箱產(chǎn)品, 其中甲箱有產(chǎn)品120件, 次品率隨機(jī)取一箱, 再取一件, 取到的是次品; 開箱后混放, 從中取一件, 取到的是次品. 解 設(shè) 表示從

7、甲、乙、丙三箱中取產(chǎn)品, 表乙箱有100件, 次品率 丙箱有200件, 次品率 求以下概率:示取到的是次品, 則由全概率公式由于第二個(gè)問(wèn)題是開箱后混放產(chǎn)品, 故取到各箱產(chǎn)品的概率就不同了, 此時(shí)產(chǎn)品總數(shù)為420件, 所以再由全概率公式得例4 某工廠有三個(gè)車間生產(chǎn)同一產(chǎn)品, 第一車間的次品率為0.05, 第二車間的次品率為0.03, 第三車間的次品率為0.01, 各車間的產(chǎn)品數(shù)量分別為2500, 2000, 1500件. 出廠時(shí), 三車間的產(chǎn)品完全混合, 現(xiàn)從中任取一產(chǎn)品, 求該產(chǎn)品是次品的概率. 若已知抽到的產(chǎn)品是次品, 求該產(chǎn)品是一車間的概率.解: 設(shè) 為取到第i個(gè)車間的產(chǎn)品, B為取到次品

8、由全概率公式得:由貝葉斯公式得:注: 一定要寫清事件, 公式, 不得只寫算式.全概率公式和貝葉斯公式是概率論中的兩個(gè)重要公式,有著廣泛的應(yīng)用.若把事件 理解為原因, 而把B理解為結(jié)果, 則 是原因 引起結(jié)果B出現(xiàn)的可能性, 是各種原因出現(xiàn)的可能性. 全概率公式表明綜合引起結(jié)果的各種原因, 反映了結(jié)果出現(xiàn)的可能性的大?。欢惾~斯公式則反映了當(dāng)結(jié)果出現(xiàn)時(shí), 它是由原因 引起的可能性的大小, 故常用于可靠性問(wèn)題. 如: 可靠性壽命檢驗(yàn), 可靠性維護(hù), 可靠性設(shè)計(jì)等.例5 某機(jī)器由A, B, C三類元件構(gòu)成, 其所占比例分別為0.1, 0.4, 0.5, 且其發(fā)生故障的概率分別為0.7, 0.1, 0.2. 現(xiàn)機(jī)器發(fā)生了故障, 問(wèn)應(yīng)從哪個(gè)元件開始檢查？ 類；C為元件是C類, 則解: 設(shè)D