第8章 有限脈沖響應(yīng)濾波器的設(shè)計(jì)

1、第7章 有限脈沖響應(yīng)濾波器的設(shè)計(jì) 2022/10/112本章將介紹數(shù)字濾波器的一種主要類型：有限脈沖響應(yīng)濾波器，或稱FIR濾波器。本章內(nèi)容包括：在回顧非遞歸濾波器的差分方程、脈沖響應(yīng)、傳輸函數(shù)及頻率響應(yīng)的基礎(chǔ)上，說明FIR濾波器的特點(diǎn)、設(shè)計(jì)方法和線性相位條件。定義FIR窗，并給出選擇窗類型和濾波器階數(shù)的方法。列出窗函數(shù)法低通濾波器設(shè)計(jì)步驟，以及如何設(shè)計(jì)帶通、帶阻和高通FIR濾波器。給出頻率采樣法設(shè)計(jì)濾波器的基本原理，選擇過渡點(diǎn)數(shù)和濾波器階數(shù)的方法。最后討論等波紋FIR濾波器的設(shè)計(jì)，并對(duì)FIR和IIR濾波器作全面比較。2022/10/113目 錄7.1 有限脈沖響應(yīng)濾波器基礎(chǔ)7.2 線性相位FI

2、R數(shù)字濾波器的條件和特點(diǎn)7.3 利用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器7.4 用頻率采樣法設(shè)計(jì)FIR濾波器7.5 用等波紋逼近法設(shè)計(jì)FIR濾波器設(shè)計(jì)7.6 IIR和FIR數(shù)字濾波器的比較2022/10/1147.1 有限脈沖響應(yīng)濾波器基礎(chǔ)無限脈沖響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器的優(yōu)點(diǎn)是可以利用模擬濾波器的設(shè)計(jì)結(jié)果，而模擬濾波器的設(shè)計(jì)有大量圖表可查，方便簡單。但是它也有明顯的缺點(diǎn)，就是相位的非線性；若需線性相位，則要采用全通網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行相位校正。因?yàn)閳D像處理以及數(shù)據(jù)傳輸都要求信道具有線性相位特性。而有限脈沖響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器就可以做成具有嚴(yán)格的線性相位，同時(shí)又可以具有任意的幅度特性。2022/10/115FIR

3、濾波器的特點(diǎn)FIR濾波器的脈沖響應(yīng)h(n)是有限長的(0nN-1)，其z變換為 是z-1的(N-1)階多項(xiàng)式，在有限z平面(0n1) 7-417-42結(jié)果可將99.963%的能量集中在窗譜的主瓣內(nèi)，與漢寧窗相比，主瓣寬度相同為8/N，但旁瓣幅度更小，旁瓣峰值比主瓣峰值小41dB，用哈明窗設(shè)計(jì)的低通濾波器，阻帶中最大旁瓣比通帶增益低55dB。如圖7-19所示。2022/10/11465.布萊克曼窗(Blackman Window)(二階升余弦窗)為了更進(jìn)一步抑制旁瓣，可再加上余弦的二次諧波分量，得到布萊克曼窗其頻譜的幅度函數(shù)為7-437-44其幅度函數(shù)由五部分組成，它們都是移位不同，且幅度也不同

4、的WR()函數(shù)，使旁瓣再進(jìn)一步抵消。 2022/10/1147圖7-18給出了當(dāng)N=51時(shí)五種窗函數(shù)的幅度譜?？梢钥闯觯S著旁瓣的減小，主瓣寬度相應(yīng)增加了。圖7-19則是利用這五種窗函數(shù)對(duì)同一技術(shù)指標(biāo)(N=51，截止頻率c=0.5)設(shè)計(jì)的FIR濾波器的幅度響應(yīng)。 (a)矩形窗 (a)矩形窗圖7-18各種窗函數(shù)的幅度頻譜 圖7-19理想低通加窗后的幅度響應(yīng)2022/10/1148圖7-18各種窗函數(shù)的幅度頻譜 圖7-19理想低通加窗后的幅度響應(yīng)(b)巴特列特窗 (b) 巴特列特窗(c)漢寧窗 (c)漢寧窗 2022/10/1149圖7-18各種窗函數(shù)的幅度頻譜 圖7-19理想低通加窗后的幅度響應(yīng)

5、(d)哈明窗 (d)哈明窗(e)布萊克曼窗 (e)布萊克曼窗 2022/10/1150用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)低通FIR濾波器現(xiàn)在把用窗函數(shù)設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器的步驟歸納如下給出希望設(shè)計(jì)的濾波器的頻率響應(yīng)函數(shù)Hd(ej)；若所給指標(biāo)為邊界頻率和通帶、阻帶衰減，可選理想濾波器作逼近函數(shù)。計(jì)算以下積分，求出hd(n) 7-47為保證線性相位，取=(N-1)/2根據(jù)阻帶衰減指標(biāo)，選擇窗函數(shù)的形狀，可查表7-42022/10/1151根據(jù)允許的過渡帶寬度，選定N值。由=A/N可得7-48式中，A取決于所選定的窗函數(shù)，也可查表7-4得到。將hd(n)與窗函數(shù)相乘得FIR數(shù)字濾波器的脈沖響應(yīng)h(n) h(n)= h

6、d(n)w(n) 7-49計(jì)算FIR數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)，并驗(yàn)證是否達(dá)到所要求的指標(biāo)由H(ej)計(jì)算幅度響應(yīng)H()和相位響應(yīng)()。7-502022/10/1152在實(shí)際設(shè)計(jì)中，有許多具體問題要處理。盡管窗函數(shù)法由于有明顯的優(yōu)點(diǎn)而受到重視，但是，以下兩個(gè)原因使它的應(yīng)用受到限制。其一，很難準(zhǔn)確控制濾波器的通帶邊緣；其二，若Hd(ej)不能用簡單函數(shù)表示，則計(jì)算式(7-47)的積分非常困難。第一個(gè)問題只有通過多次設(shè)計(jì)來解決。理想低通濾波器的截止頻率c，由于窗函數(shù)主瓣的作用而產(chǎn)生過濾帶。出現(xiàn)了通帶截止頻率1和阻帶截止頻率2。在1和2處的衰減是否滿足通帶和阻帶的要求，也就是1和2是否就是所需要的通帶和阻

7、帶的截止頻率，這是不一定的。為了得到滿意的結(jié)果，不得不假設(shè)不同的c進(jìn)行多次設(shè)計(jì)。 2022/10/1153第二個(gè)問題的解決辦法是用求和來代替積分。由式(7-47)知若以Hd(ej)ejn在 的M個(gè)點(diǎn)上的值之和代替上式中的積分，則有 上式表明 實(shí)際上等效于 序列的M點(diǎn)IDFT。根據(jù)頻率取樣的討論可知，與hd(n)有如下的關(guān)系 7-517-52因此，當(dāng)MN時(shí)， 在窗口范圍內(nèi)能很好地逼近hd(n)。 2022/10/1154例7-3 設(shè)計(jì)一個(gè)線性相位FIR低通濾波器，給定抽樣頻率為s=21.5104(rad/sec)，模擬低通通帶截止頻率為p=21.5103(rad/sec)，阻帶起始頻率為st=2

8、3103(rad/sec)，阻帶衰減不小于-50dB。幅度特性如圖7-20所示。 圖7-20 要求的模擬低通濾波器的特性2022/10/1155解：本題要求設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字的FIR低通濾波器, 來模仿模擬濾波器，達(dá)到模擬濾波器的指標(biāo)。所以在設(shè)計(jì)前要先將模擬的邊界頻率轉(zhuǎn)為數(shù)字邊界頻率，轉(zhuǎn)換公式為 計(jì)算對(duì)應(yīng)的數(shù)字頻率 通帶截止頻率為 阻帶起始頻率為 阻帶衰減相當(dāng)于2=50dB設(shè)Hd(ej)為理想線性相位低通濾波器 2022/10/1156首先由所需低通濾波器的過渡帶求理想低通濾波器的截止頻率c 其對(duì)應(yīng)的數(shù)字頻率為由此可得其中，為線性相位所必須的移位，根據(jù)7-1節(jié)的討論知道應(yīng)滿足=(N-1)/2。202

9、2/10/1157由阻帶衰減2來確定窗形狀，由過渡帶寬確定N 由于2=50dB，查表7-3可選哈明窗，其阻帶最小衰減-50dB滿足要求。所要求的過渡帶寬(數(shù)字頻域)=st-p=0.2,因哈明窗過渡帶寬滿足=6.6/N，所以取N=41，則由哈明窗表達(dá)式w(n)確定FIR濾波器的h(n)。哈明窗為2022/10/1158所以由h(n)求H(ej)檢驗(yàn)各項(xiàng)指標(biāo)是否滿足要求，如不滿足要求要改變N，或改變窗形狀(或兩者都改變)來重新計(jì)算 H(ej)的圖形已畫在圖7-21上，滿足設(shè)計(jì)要求。 2022/10/1159圖7-21 例7-3設(shè)計(jì)出的線性相位FIR低通濾波器幅頻特性2022/10/1160線性相位

10、FIR高通、帶通和帶阻濾波器的設(shè)計(jì) 數(shù)字高通、帶通和帶阻濾波器的定義參看第六章圖6-2。利用奇對(duì)稱單位脈沖響應(yīng)的特點(diǎn)(見表7-2)還可以設(shè)計(jì)90移相位(或稱離散希爾伯特變換器)以及幅度響應(yīng)與成線性關(guān)系的線性差分器。1.線性相位FIR高通濾波器的設(shè)計(jì)按指標(biāo)要求的理想線性相位高通濾波器的頻率響應(yīng)為7-53其中=(N-1)/2，它的單位脈沖響應(yīng)為2022/10/11617-54選定窗w(n)即可得所需線性相位FIR高通濾波器的單位脈沖響應(yīng)選用哪一種窗函數(shù)和阻帶衰減有關(guān)，而時(shí)域窗的點(diǎn)數(shù)N則和過渡帶寬有關(guān) h(n)= hd(n) w(n)2022/10/1162但是由表7-2看出，無固定相移時(shí)只能采用偶

11、對(duì)稱單位脈沖響應(yīng)，另外，對(duì)高通濾波器來說N只能取奇數(shù)，因?yàn)镹為偶數(shù)H()在=處為0，不能做為高通濾波器。求出h(n)后，可求H(ej)，以此檢驗(yàn)是否滿足指標(biāo)要求，否則要重新設(shè)計(jì)，這和低通濾波器的討論一樣。 2線性相位FIR帶通濾波器的設(shè)計(jì)理想線性相位帶通濾波器的頻率響應(yīng)為7-55其中=(N-1)/2。此濾波器的單位脈沖響應(yīng)hd(n)為2022/10/11637-56這里，當(dāng)1=0，2=c時(shí)，即為理想線性相位低通濾波器。當(dāng)2=，1=c時(shí)，即為理想線性相位高通濾波器。后續(xù)設(shè)計(jì)步驟與FIR低通濾波器相同。3.線性相位FIR數(shù)字帶阻濾波器的設(shè)計(jì)2022/10/1164帶阻濾波器的設(shè)計(jì)與帶通濾波器的設(shè)計(jì)

12、步驟完全相同，只是理想頻率特性有所不同。7-57其中=(N-1)/2。同樣可得7-582022/10/1165線性相位FIR帶阻濾波器只能采用偶對(duì)稱單位脈沖響應(yīng)，N等于奇數(shù)來設(shè)計(jì)，道理與討論高通濾波器是一樣的。由理想濾波器的低通公式、高通公式、帶通公式以及帶阻公式可以看出 一個(gè)高通濾波器相當(dāng)于一個(gè)全通濾波器減去一個(gè)低通濾波器 一個(gè)帶通濾波器相當(dāng)于兩個(gè)低通濾波器相減，其中一個(gè)截止頻率為2，另一個(gè)截止頻率為1，即 7-592022/10/1166一個(gè)帶阻濾波器相當(dāng)于一個(gè)低通濾波器(截止頻率為1)加上一個(gè)高通濾波器(截止頻率為2)，即7-60上述關(guān)系也可作為高通、帶通和阻帶濾波器的設(shè)計(jì)方法窗函數(shù)法的

13、特點(diǎn) 采用窗函數(shù)法，設(shè)計(jì)簡單，方便，也實(shí)用，但要求用計(jì)算機(jī)；且邊界頻率不易控制。窗函數(shù)設(shè)計(jì)法是從時(shí)域出發(fā)的一種設(shè)計(jì)法。但一般技術(shù)指標(biāo)是在頻域給出的。因此，下面介紹的頻率采樣法更為直接，尤其對(duì)于Hd(ej)公式比較復(fù)雜，或Hd(ej)不能用封閉公式表示而用一些離散值表示時(shí)，頻率采樣設(shè)計(jì)法更為方便、有效。2022/10/11677.4 利用頻率采樣法設(shè)計(jì)FIR濾波器用頻率采樣法設(shè)計(jì)濾波器的基本原理 待設(shè)計(jì)的濾波器的傳輸函數(shù)用Hd(ej)表示，可按下列思路進(jìn)行設(shè)計(jì)：對(duì)它在=0到2之間等間隔采樣N點(diǎn)，得到Hd(k) 對(duì)N點(diǎn)Hd(k)進(jìn)行IDFT，得到h(n) 式中，h(n)作為所設(shè)計(jì)的濾波器的單位取樣

14、響應(yīng)。7-627-612022/10/1168由h(n)求系統(tǒng)函數(shù)H(z)7-63以上是用頻率采樣法設(shè)計(jì)濾波器的基本原理。 另外在第三章3.4節(jié)學(xué)習(xí)了頻率域采樣定理，曾得到利用頻率域采樣值恢復(fù)原信號(hào)的z變換公式(3-6061)式,式中X(k)和X(z)在這里應(yīng)改為Hd(k)和H(z)，將插值公式重寫如下 7-64此式就是直接利用頻率采樣值Hd(k)形成濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，式(7-63) 和(7-64)都屬于用頻率采樣法設(shè)計(jì)的濾波器， (7-63)式適合FIR直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，(7-64)式適合頻率采樣結(jié)構(gòu)。 2022/10/1169實(shí)際濾波器的傳輸函數(shù) ，與理想的傳輸函數(shù)Hd(ej)間存在誤差，如

15、圖7-28，需要討論逼近誤差問題及其改進(jìn)措施。 圖7-28 頻率采樣的響應(yīng)2022/10/1170用頻率采樣法設(shè)計(jì)線性相位濾波器的條件 這里只討論第一類線性相位問題，第二類線性相位問題可按類似方法處理。FIR濾波器具有線性相位的條件是h(n)是實(shí)序列，且滿足h(n)= h(N1n)，參看表7-2中情況1和情況2，已推導(dǎo)出其傳輸函數(shù)應(yīng)滿足的條件是 且Hg()=0 7-657-667-677-68對(duì)Hd(ej)進(jìn)行N點(diǎn)等間隔采樣得到Hd(k)，則Hd(k)也必須具有(7-67)或(7-68)式特性，才能使由Hd(k)經(jīng)過IDFT得到的h(n)具有偶對(duì)稱性，達(dá)到線性相位的要求 2022/10/117

16、1在=02之間等間隔采樣N點(diǎn)將=k代入(7-65)(7-68)式中，并寫成k的函數(shù) N=奇數(shù) N=奇數(shù)，且 (7-69)(7-72)就是頻率采樣值滿足線性相位的條件,說明N等于奇數(shù)時(shí)Hg(k)對(duì)(N1)/2偶對(duì)稱，N等于偶數(shù)時(shí), Hg(k)對(duì)N/2奇對(duì)稱，且Hg(N/2)=0。 7-697-707-717-722022/10/1172設(shè)用理想低通作為希望設(shè)計(jì)的濾波器，截止頻率為c，采樣點(diǎn)數(shù)N，Hg(k)和(k)用下面公式計(jì)算 N=奇數(shù)時(shí) N=偶數(shù)時(shí) 7-737-742022/10/1173上面公式中的kc是小于等于cN/(2)的最大整數(shù)。另外，對(duì)于高通和帶阻濾波器，這里N只能取奇數(shù)。 逼近誤差

17、及其改進(jìn)措施1.產(chǎn)生誤差的原因從圖7-28可看出，實(shí)際的H(ej)與理想的Hd(ej)相比，誤差主要體現(xiàn)在一是通帶和阻帶出現(xiàn)波動(dòng)，二是過渡帶加寬，與窗函數(shù)設(shè)計(jì)法情況類似，產(chǎn)生誤差的原因可從時(shí)域和頻域兩方面進(jìn)行分析。 從時(shí)域分析：如果Hd(ej)有間斷點(diǎn)，那么相應(yīng)單位取樣響應(yīng)hd(n)應(yīng)是無限長的。這樣，由于時(shí)域混疊，引起所設(shè)計(jì)的h(n)和hd(n)有偏差。為此，希望在頻域的采樣點(diǎn)數(shù)N加大。N愈大，設(shè)計(jì)出的濾波器愈逼近待設(shè)計(jì)的濾波器Hd(ej)。 2022/10/1174從頻域分析 在采樣點(diǎn)=2k，k=0,1,2,N-1,(-2k/N)=1，因此，采樣點(diǎn)處H (ejk) (k=2k/N)與H(k

18、)相等，逼近誤差為0。在采樣點(diǎn)之間，H(ej)由有限項(xiàng)的H(k)(-2k/N)之和形成。其誤差和Hd(ej)特性的平滑程度有關(guān)，特性愈平滑的區(qū)域，誤差愈??；特性曲線間斷點(diǎn)處，誤差最大。表現(xiàn)形式為間斷點(diǎn)用傾斜線取代，且間斷點(diǎn)附近形成振蕩特性，使阻衰減減小，往往不能滿足技術(shù)要求。 2022/10/11752.減小誤差的方法 最直觀的想法是增加采樣點(diǎn)數(shù)，即加大N值，由于過渡帶就等于采樣間隔(參看圖7-28)，即 7-76所以加大N，可使過渡帶變窄，但增加要適當(dāng)，否則會(huì)增加濾波器體積與成本。但是，增加N并不會(huì)改善濾波器的阻帶衰減特性，因?yàn)镠d(ej)是理想矩形, 無論怎樣增多頻率采樣的點(diǎn)數(shù)，在通、阻帶

19、交界處，幅值總是從1突變到0，會(huì)引起較大的起伏振蕩。 為使逼近誤差更小，和窗口法的平滑截?cái)嘁粯樱ㄟ^在理想頻率響應(yīng)的不連續(xù)點(diǎn)的邊緣上加一些過渡的抽樣點(diǎn)，減小頻帶邊緣的突變，也就減小了起伏振蕩，增大了阻帶最小衰減。 2022/10/1176一般過渡帶取一、二、三點(diǎn)抽樣值即可得到滿意結(jié)果。如在低通設(shè)計(jì)中，不加過渡點(diǎn)時(shí)，阻帶最小衰減為-20dB，加三個(gè)過渡點(diǎn)(最優(yōu)設(shè)計(jì))則可達(dá)-80dB到-95dB左右。加過渡點(diǎn)的示意如圖7-29所示。 (a) (b) (c)增加過度點(diǎn)，可使阻帶衰減明顯提高，但付出的代價(jià)是過渡帶加寬，可通過下式加大N來調(diào)整。 圖7-29 理想低通濾波器增加過渡點(diǎn)m=0，1，2，3 7

20、-772022/10/1177頻率采樣法設(shè)計(jì)線性相位FIR低通濾波器 低通濾波器的設(shè)計(jì)步驟可參閱7.4.1的基本原理，此外，設(shè)計(jì)關(guān)鍵是 (1)根據(jù)阻帶衰減要求，確定過渡點(diǎn)數(shù)，并優(yōu)化過渡點(diǎn)值; (2)根據(jù)過渡帶要求，確定采樣點(diǎn)數(shù)N，由式(7-77) 7-78頻率采樣法的特點(diǎn) 頻率采樣法設(shè)計(jì)濾波器最大的優(yōu)點(diǎn)是直接從頻率域進(jìn)行設(shè)計(jì)，比較直觀，也適合于設(shè)計(jì)具有任意幅度特性的濾波器。但邊界頻率不易控制。如果增加采樣點(diǎn)數(shù)N，對(duì)確定邊界頻率有好處，但會(huì)增加濾波器的成本。因此，它適合于窄帶濾波器的設(shè)計(jì)。2022/10/1178例7-6利用頻率采樣法設(shè)計(jì)線性相位低通濾波器， 要求截止頻率 c=/2rad， 采樣

21、點(diǎn)數(shù)N=33，選用 h(n)= h(N1n)情況。 解 用理想低通作為逼近濾波器。因N為奇數(shù)，按照(7-73)式 Hg(k)= Hg(33-k)=1， k=0，1，2，8 Hg(k)=0， k=9，10，23，24 (k)= - 32k/33， k=0，1，2，32 其中 ，取kc=8。 理想低通幅度特性采樣情況如圖7-31所示 2022/10/1179圖7-31 例7-6對(duì)理想低通進(jìn)行采樣將采樣得到的H(k)=Hg(k)ej(k)進(jìn)行IDFT，得到h(n)，計(jì)算其頻響，其幅度特性如圖7-32(a)所示。 為加大阻帶衰減，可增加一個(gè)過渡點(diǎn)，在k=9處，令Hg(9) = 0.5，結(jié)果得到的濾波器

22、幅度特性如圖7-32(b)所示 如果改變Hg(9)=0.3904,其幅度特性如圖7-32(c)所示，阻帶最小衰減可達(dá)40dB。因此，這種用加寬過渡帶換取阻帶衰減的方法是很有效的。 2022/10/1180圖7-32 例7-6的幅度特性 (c) (b)(a)2022/10/11817.5 用等波紋逼近法設(shè)計(jì)FIR濾波器設(shè)計(jì) 加權(quán)切比雪夫等波紋逼近 1.切比雪夫最佳一致逼近準(zhǔn)則 設(shè)所要求的濾波器的幅度函數(shù)為Hd()，用線性相位四種FIR濾波器之一的幅度函數(shù)Hg()做逼近函數(shù)，設(shè)逼近誤差的加權(quán)函數(shù)為W()，則加權(quán)逼近誤差函數(shù)定義為 E()= W() Hd()- Hg() 7-79由于不同頻帶中誤差函

23、數(shù)Hd()-Hg()的最大值不一樣，故不同頻帶中W()值可以不同，使得在各頻帶上的加權(quán)誤差E()要求一致(即最大值一樣)。設(shè)計(jì)過程中W()為已知函數(shù)。 2022/10/1182為設(shè)計(jì)具有線性相位的FIR濾波器，其單位脈沖響應(yīng)h(n)或幅度特性必須滿足一定條件。假設(shè)設(shè)計(jì)的是h(n)= h(N1n)，N=奇數(shù)情況，由表7-2情況1可知 將Hg()代入(7-79)式，則 7-80式中M=(N-1)/2。最佳一致逼近的問題是選擇M+1個(gè)系數(shù)a(n)，使加權(quán)誤差E()的最大值為最小，即 式中A表示所研究的頻帶，這里指通帶或阻帶。 2022/10/1183式(7-80)，是一個(gè)由M次多項(xiàng)式，根據(jù)上面提出的

24、準(zhǔn)則逼近一連續(xù)函數(shù)的問題。切比雪夫理論指出這個(gè)多項(xiàng)式存在且唯一，并指出構(gòu)造該多項(xiàng)式的方法是“交錯(cuò)點(diǎn)組定理”。該定理提出最佳一致逼近的充要條件是E()在A上至少呈現(xiàn)M+2個(gè)“交錯(cuò)”，使得 按照該準(zhǔn)則設(shè)計(jì)的濾波器通帶或組帶具有等波動(dòng)性質(zhì) 2.利用最佳一致逼近準(zhǔn)則設(shè)計(jì)線性相位FIR濾波器 2022/10/1184設(shè)希望設(shè)計(jì)的濾波器是線性相位低通濾波器，其幅度特性為 圖7-36低通濾波器的最佳逼近 式中p為通帶截止頻率，s為阻帶截止頻率，如圖7-36所示，1為通帶波紋峰值，2為阻帶波紋峰值。設(shè)單位脈沖響應(yīng)長度為N。如果知道了A上的M+2個(gè)交錯(cuò)點(diǎn)頻率：0，1，,M+1，按照(7-80)式，并根據(jù)交錯(cuò)點(diǎn)組

25、準(zhǔn)則，可寫出 2022/10/1185將式(7-81)寫成矩陣形式 7-817-822022/10/1186解上式，可以惟一地求出a(n)，n=0，1，2，M，以及加權(quán)誤差最大絕對(duì)值。由a(n)可以求出濾波器的h(n)。但實(shí)際上這些交錯(cuò)點(diǎn)組的頻率0,1,M是不知道的，且直接求解(7-82)式也是比較困難的。數(shù)值分析中的雷米茲(Remez)算法靠一次次迭代求得一組交錯(cuò)點(diǎn)組頻率，而且每一次迭代的過程中避免直接求解(7-82)式。 (1)在頻域等間隔取M+2個(gè)頻率0，1，M+1作為交錯(cuò)點(diǎn)組的初始值。按下式計(jì)算值 7-832022/10/1187式中 7-84一般初始值i并不是最佳的極值頻率，也不是最優(yōu)估計(jì)誤差，它是相對(duì)于初始值產(chǎn)生的偏差。然后利用拉格朗日(Lagrange)插值公式，求出Hg()，即 7-85式中 k=