兩條直線(xiàn)的交點(diǎn)

1、第一章坐標(biāo)、點(diǎn)和直線(xiàn)本章在兩維空間里使用坐標(biāo)來(lái)描述點(diǎn)和直線(xiàn)。學(xué)完本章后，你應(yīng)該能夠：求兩點(diǎn)間的距離求給定了端點(diǎn)坐標(biāo)的線(xiàn)段的中點(diǎn)求給定了端點(diǎn)坐標(biāo)的線(xiàn)段的斜率在給定直線(xiàn)斜率和直線(xiàn)上一個(gè)點(diǎn)的情況下，求直線(xiàn)方程求通過(guò)兩點(diǎn)的直線(xiàn)的方程根據(jù)其方程的不同形式來(lái)區(qū)分直線(xiàn)求兩直線(xiàn)的交點(diǎn)根據(jù)直線(xiàn)斜率判斷它們是否平行或垂直1.1兩點(diǎn)間的距離選定原點(diǎn)，畫(huà)一條水平向右的x 軸和豎直向上的 y 軸，并確定 x 軸和 y 軸上的刻度，這樣就建立了一個(gè)坐標(biāo)系。我們把這樣的坐標(biāo)系稱(chēng)為 笛卡兒坐標(biāo)系 ，按法國(guó)數(shù)學(xué)家 ReneDescartes來(lái)命名，他生活在 17 世紀(jì)。在圖 1.1 中，點(diǎn) A 的坐標(biāo)為4,3 ， B 的坐標(biāo)為

2、 10,7 。直線(xiàn) AB 在 A 點(diǎn)和 B點(diǎn)間的部分叫做 線(xiàn)段，該線(xiàn)段的長(zhǎng)度就是這兩點(diǎn)間的距離。1在圖 1.1 中添加第三個(gè)點(diǎn) C ，構(gòu)成一個(gè)直角三角形。可以看到， C 點(diǎn)的 x - 坐標(biāo)與 B 點(diǎn)相同、 y -坐標(biāo)與 A 點(diǎn)相同，即 C 點(diǎn)的坐標(biāo)為 10,3 ?？梢院苋菀卓吹剑?AC 的長(zhǎng)度為 1046 ， CB 的長(zhǎng)度為 734 。在三角形 ABC 中使用畢達(dá)哥拉斯定理，可得線(xiàn)段AB 的長(zhǎng)度為：10272624236165243如果需要的話(huà)，可以使用計(jì)算器得到7.21 ，但通常將結(jié)果記為 52 會(huì)比較好。坐標(biāo)幾何學(xué)的概念是使用代數(shù)的方法，這樣你可以進(jìn)行類(lèi)似的計(jì)算，A 和B 可以是任意點(diǎn)，而

3、不僅僅是圖1.1 中的特定點(diǎn)。通常使用符號(hào)是很有幫助的，一看就能知道這些符號(hào)表示的坐標(biāo)代表的是哪個(gè)點(diǎn)。其中一個(gè)方法是使用下標(biāo)，把第一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)表示為x1 , y1 ，第二個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)表示為x2 , y2 。所以，比如x1 就代表了第一個(gè)點(diǎn)的x -坐標(biāo)。圖 1.2 給出了這個(gè)一般三角形，可以看出，此時(shí)C 點(diǎn)的坐標(biāo)為x2 , y1 ，所以 ACx2 x1 ， CB y2y1 ，根據(jù)畢達(dá)哥拉斯定理可得AB22x2 x1y2 y1使用代數(shù)方法的一個(gè)優(yōu)點(diǎn)是無(wú)論三角形的形狀和位置如何，該公式都有效。在圖 1.3 中， A 點(diǎn)的坐標(biāo)是負(fù)的， 在圖 1.4 中，沿圖形從左邊往右邊移動(dòng)時(shí)，2直線(xiàn)向下傾斜而不是向上

4、。你可以使用圖1.3 和 1.4 來(lái)得到每種情況下AB 的長(zhǎng)度，然后使用公式來(lái)驗(yàn)證結(jié)果。在圖 1.3 中，x2x132325且y2y151516所以AB3221262253661552在圖 1.4 中，x2x1615且y2y12533所以AB62222 522 593 4153同樣，你標(biāo)注點(diǎn) A 和 B 的順序是沒(méi)有關(guān)系的，如果你認(rèn)為點(diǎn)B 是“第一個(gè)點(diǎn)”x1, y1 ，點(diǎn) A 是“第二個(gè)點(diǎn)”x2 , y2，則公式是不變的。對(duì)于圖1.1，則為BA4232223 61 65 21 0764和前面一樣。點(diǎn) x1, y1和點(diǎn) x2 , y2之間的距離（或連接兩點(diǎn)的線(xiàn)段的長(zhǎng)度）是x22y2 y12x11

5、.2線(xiàn)段的中點(diǎn)你也可以根據(jù)坐標(biāo)來(lái)找出一條線(xiàn)段的中點(diǎn)。圖 1.5 給出了和圖 1.1 相同的線(xiàn)段，但是添加了中點(diǎn) M 。通過(guò) M 點(diǎn)平行于 y 軸的直線(xiàn)和 AC 相交于點(diǎn) D 。則三角形 ADM 的邊長(zhǎng)是三角形 ABC 邊長(zhǎng)的一半，所以A D1AC 110 4163222D M1CB17 3142222點(diǎn) M 的 x -坐標(biāo)和點(diǎn) D 的 x -坐標(biāo)相同，為4AD 411044372點(diǎn) M 的 y -坐標(biāo)為13DM3733252所以中點(diǎn) M 的坐標(biāo)為7,5 。4在圖 1.6 中，點(diǎn) M 和 D 以同樣的方式添加到圖1.2 中，和前面完全一樣。AD1 AC1x2x122DM11y2y1CB22所以

6、M 點(diǎn)的 x -坐標(biāo)為111x1 AD x1 2x 2 x1 x1 2x2 2x11112x12 x 22x 2x 1M 點(diǎn)的 y -坐標(biāo)為y1 DM y 11y21 y11y22112 y 1y1 2y2 2y121 y2y 125連接點(diǎn)x1 , y1 和點(diǎn) x2 , y2 的線(xiàn)段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為1x1x2, 1y1 y222既然已經(jīng)得到了中點(diǎn)M 的坐標(biāo)的代數(shù)形式，則可以把它運(yùn)用于任意的兩個(gè)點(diǎn)。例如，對(duì)于圖1.3， AB 的中點(diǎn)為12311511412,21 , 2222對(duì)于圖 1.4，為 11 6 ,15 217, 173 1, 31。222222同樣，你認(rèn)為哪個(gè)點(diǎn)是第一個(gè)，哪個(gè)點(diǎn)是第二個(gè)是

7、沒(méi)有關(guān)系的。在圖1.5中，如果取x1, y1為 10,7 ， x2 , y2為4,3 ，你會(huì)發(fā)現(xiàn)中點(diǎn)是1 104 , 1737, 5 ，和前面一樣。221.3線(xiàn)段的斜率斜率是對(duì)直線(xiàn)陡峭度的測(cè)量，直線(xiàn)越陡，斜率越大。與距離和中點(diǎn)不同， 斜率是整條直線(xiàn)的性質(zhì)， 而不僅僅是一條特定的線(xiàn)段。取直線(xiàn)上的任意兩點(diǎn)，求出從一個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)點(diǎn)的 x -坐標(biāo)和 y -坐標(biāo)的增量，如圖 1.7，則無(wú)論你選擇哪個(gè)點(diǎn)，下面分?jǐn)?shù)的值是相同的，step x step這就是直線(xiàn)的 斜率。6在圖 1.2 中， x step和 ystep分別為 x2x1 和 y2y1，所以：通過(guò)點(diǎn) x1, y1和 x2 , y2 的直線(xiàn)的斜率為

8、 y2y1x2x1無(wú)論坐標(biāo)是正，還是負(fù)，該公式都使用。例如，在圖1.3 中， AB 的斜率為5151632325但是請(qǐng)注意在圖 1.4 中，斜率為 2533 ；負(fù)的斜率說(shuō)明當(dāng)你沿圖像6155從左邊移到右邊時(shí)，直線(xiàn)是向下傾斜的。和其它的公式一樣，哪個(gè)點(diǎn)下標(biāo)為1，哪個(gè)點(diǎn)下標(biāo)為2 是沒(méi)有關(guān)系的。在圖 1.1 中，可計(jì)算斜率為7342，或 3742 。1046341063如果兩條直線(xiàn)的斜率相等，則它們是平行的。例一條線(xiàn)段的兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)為pq, pq 和pq, pq ，求線(xiàn)段的長(zhǎng)度，斜率和中點(diǎn)的坐標(biāo)。對(duì)于長(zhǎng)度和斜率，需要計(jì)算x2x1p qp q p q p q 2q和 y2y1p qp q p q p

9、 q2q7則長(zhǎng)度為：22224 2 q 4 2 q82 qx2 x1y2 y12 q2 q斜率為：y2y12qx2x112q對(duì)于中點(diǎn)，需要計(jì)算x1x2p qp q p q p q 2 p和y1y2p qp q p q p q 2 p則中點(diǎn)為：1x1x2, 1y1 y212 p , 1 2 pp, p2222嘗試自己畫(huà)出圖形來(lái)說(shuō)明該例子中的結(jié)論。例證明點(diǎn) A 1,1 ， B 5,3 ， C 3,0 和 D1, 2 構(gòu)成一個(gè)平行四邊形。你可以使用多種方法來(lái)解答這個(gè)問(wèn)題，但是無(wú)論你使用哪種方法，畫(huà)圖都是值得的，如圖1.8 所示。8方法 1（使用距離）在這種方法中，求對(duì)邊的長(zhǎng)度，如果兩對(duì)對(duì)邊的長(zhǎng)度都是

10、相等的，則ABCD 是一個(gè)平行四邊形。AB52312120DC31202202CB52302313DA11212132所以 ABDC ， CBDA ，所以 ABCD 是一個(gè)平行四邊形。方法 2（使用中點(diǎn)）在該方法中，首先找出對(duì)角線(xiàn)AC和BD的中點(diǎn)。如果兩個(gè)點(diǎn)相同，則兩條對(duì)角線(xiàn)互相平分，四邊形為平行四邊形。AC 的中點(diǎn)為：113 ,11 0，即2,1222BD 的中點(diǎn)為：151,132 ，也是 2,1222所以 ABCD 是一個(gè)平行四邊形。方法 3（使用斜率） 在這種方法中，找出對(duì)邊的斜率，如果兩對(duì)對(duì)邊是平行的，則 ABCD 是一個(gè)平行四邊形。 AB 和 DC 的斜率分別為：3121022151

11、42和142393所以 AB 平行于 DC 。 DA 和 CB 的斜率都是，所以 DA 平行于 CB 。因?yàn)閷?duì)邊平行，所以ABCD 是一個(gè)平行四邊形。1.4直線(xiàn)或曲線(xiàn)的方程的含義怎樣判斷點(diǎn)3,7 和 1,5 是否在曲線(xiàn) y3x22 上呢？答案是把點(diǎn)的坐標(biāo)代入曲線(xiàn)方程，看是否符合方程。也就是，方程能否滿(mǎn)足點(diǎn)的坐標(biāo)。對(duì)于 3,7：右邊為332229，左邊為，方程不滿(mǎn)足，所以點(diǎn)3,7不7在曲線(xiàn) y3x22 上。對(duì)于 1,5：右邊為3225，左邊為，所以方程滿(mǎn)足。點(diǎn)1,5在曲15線(xiàn) y 3x22 上。直線(xiàn)或曲線(xiàn)的方程是判斷坐標(biāo)為x, y 的點(diǎn)是否在該直線(xiàn)或該曲線(xiàn)上的標(biāo)準(zhǔn)。這是運(yùn)用直線(xiàn)或曲線(xiàn)方程的一個(gè)重

12、要方式。1.5直線(xiàn)方程例求斜率為 2 且通過(guò)點(diǎn)2,1 的直線(xiàn)的方程。圖 1.9 給出了斜率為 2，且通過(guò)點(diǎn) A 2,1 的直線(xiàn)。直線(xiàn)上的另10外一個(gè)點(diǎn)是 P x, y 。當(dāng)（當(dāng)且僅當(dāng)）AP 的斜率為 2 時(shí)， P 點(diǎn)位于直線(xiàn)上。AP 的斜率為 y1 ，令其等于 2 可得：x2y1x22即y12x4或y 2x 3一般情況下，需要求斜率為m ，且通過(guò)坐標(biāo)為 x1 , y1的點(diǎn) A 的直線(xiàn)的方程。圖 1.10 給出了該直線(xiàn)，以及直線(xiàn)上的另外一點(diǎn)P ，坐標(biāo)為 x, y 。 AP 的斜率為 yy1 ，令其等于 m 可得 yy1m ，或 y y1m x x1。xx1xx1通過(guò)點(diǎn)x1, y1 ，斜率為 m

13、的直線(xiàn)的方程為yy1m xx1 。11可以看到 A x1 , y1 的坐標(biāo)滿(mǎn)足該方程。例求通過(guò)點(diǎn)2,3 ，且斜率為1的直線(xiàn)的方程。使用方程 y y1m xx1 ，可得：y 31 x2即 y3x 2 或 yx1。驗(yàn)證該結(jié)果，把坐標(biāo)2,3 代入方程的兩邊，證明給定的點(diǎn)確實(shí)位于直線(xiàn)上。例求通過(guò)點(diǎn)3,4 和1,2 的直線(xiàn)的方程。要求得方程，首先找出通過(guò)點(diǎn)3,4 和1,2 的直線(xiàn)的斜率，然后使用方程 yy1m xx1 。通過(guò)點(diǎn) 3,4和1,2的直線(xiàn)的斜率為：24211342通過(guò)點(diǎn)3,4 且斜率為 1 的直線(xiàn)的方程為：2121y4x32乘開(kāi)并化簡(jiǎn)可以得到：2y8x3 ，或2 yx5把另外一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入可

14、以驗(yàn)證該方程。1.6識(shí)別直線(xiàn)方程例題的答案都可以寫(xiě)成ymxc 的形式，其中 m 和 c 是數(shù)字?？梢院苋菀卓闯鋈魏尉哂羞@種形式的方程都是一條直線(xiàn)的方程。如果ymxc ，則 y cm x0 ，或yc0 時(shí)例外）xm （當(dāng) x0該方程說(shuō)明，對(duì)于所有的坐標(biāo)滿(mǎn)足方程的點(diǎn)x, y ，連接 0,c 和 x, y 的直線(xiàn)的斜率為 m ，即 x, y位于一條通過(guò)點(diǎn) 0,c，斜率為 m 的直線(xiàn)上。點(diǎn) 0,c 位于 y -軸上，數(shù)字 c 叫做直線(xiàn)的 y -截距 。要找出 x -截距，令方程中 y 0 ，可得 xc ，但是需要注意，如果 m 0m則不能做該除法，在這種情況下，直線(xiàn)與x -軸平行，所以 x -截距不存

15、在。當(dāng) m0 時(shí)，直線(xiàn)上所有的點(diǎn)的坐標(biāo)都是something, c 的形式。所以點(diǎn)1,2，1,2， 5,2， 都位于直線(xiàn) y2 上，如圖 1.11 所示。作為一個(gè)特殊情況，x -軸的方程為y 0。13類(lèi)似地，平行于 y -軸的直線(xiàn)的方程的形式為x k ，直線(xiàn)上的所有的點(diǎn)都有坐標(biāo) k, something 。所以點(diǎn) 3,0， 3,2 ， 3,4，都位于直線(xiàn) x 3 上，如圖 1.12 所示。 y -軸自身的方程為 x0 。直線(xiàn) xk 的斜率不存在；它的斜率沒(méi)有定義。它的方程不能寫(xiě)成mx c 的形式。1.7方程 axbyc0假如你得到了方程y2 x 4 ，很自然要乘以 3 得到 3 y 2x 4

16、，可以重新33排列為 2x3y40 ，則方程的形式為axbyc0 ，其中 a ， b 和 c 為常數(shù)。注意到直線(xiàn)ymxc和 axbyc0 都包含字母c ，但是它們的含義不14同。對(duì)于 ymxc ， c 是 y -截距，但是 axbyc0 中的 c 沒(méi)有這種含義。找出 axbyc0 的斜率的一個(gè)簡(jiǎn)單方法是重新排列方程，寫(xiě)成 y.的形式，下面是一些例子。例求直線(xiàn) 2x3y40的斜率。把該方程寫(xiě)成y.的形式，然后根據(jù)ymxc 的斜率是 m這一事實(shí)求解。由 2x 3y 4 0 可得：3 y2x4即y2 x433所以，對(duì)比該方程和 ymxc ，斜率為2 。3例平行四邊形的一條邊位于方程為3x4 y70

17、的直線(xiàn)上，點(diǎn) 2,3 是平行四邊形的一個(gè)頂點(diǎn)，求另外的一條邊的方程。直線(xiàn) 3x 4 y 70 和 y3 x7 相同，所以斜率為 3。44415通過(guò)點(diǎn)2,3 且斜率為 3的直線(xiàn)為43y32x4或 3x4y601.8兩條直線(xiàn)的交點(diǎn)假設(shè)已知兩條直線(xiàn)的方程分別為2 xy4 和 3x2 y1 ，如何求出它們的交點(diǎn)的坐標(biāo)呢？要求的是同時(shí)位于兩條直線(xiàn)上的點(diǎn)x, y ，則坐標(biāo)x, y 滿(mǎn)足兩個(gè)方程，所以需要聯(lián)立求解方程。對(duì)于這兩個(gè)方程，可得x1 ， y2 ，所以交點(diǎn)的坐標(biāo)為1, 2 。該方法適用于任意方程的直線(xiàn)，只要它們不是平行的。要找出交點(diǎn)，聯(lián)立方程求解即可。該方法也可用來(lái)求解兩條曲線(xiàn)的交點(diǎn)。1.9互相垂直

18、的直線(xiàn)的斜率1.3 節(jié)已經(jīng)說(shuō)明如果兩條直線(xiàn)的斜率相等， 則它們是平行的。 那么兩條相互垂直的直線(xiàn)，它們的斜率有什么關(guān)系呢？首先，如果一條直線(xiàn)的斜率為正， 則與它垂直的直線(xiàn)斜率為負(fù)，反之亦然。但是，它們的斜率有更精確的關(guān)系。在圖 1.13 中，假設(shè) PB 的斜率是 m ，可畫(huà)出“斜率三角形” PAB ，其中 PA 為一個(gè)單位， AB 為 m 個(gè)單位。16在圖 1.14 中，將三角形 PAB 旋轉(zhuǎn) 90 度得到三角形 PA B，所以 PB垂直于PB 。 PA B 的 y step為 1， xstep為 m ，所以PB 的斜率ystep11xstepmm所以垂直于 PB 的直線(xiàn)的斜率是1 。m所以如果兩條互相垂直的直線(xiàn)的斜率是m1 和 m2 ，則 m1m21 。同樣下面的結(jié)論也是正確的，如果兩條直線(xiàn)的斜率是m1 和 m2 ，且 m1 m21 ，則直線(xiàn)互相垂直。要證明該結(jié)論，參考綜合練習(xí)1 的題 22。兩直線(xiàn)的斜率為 m1 和 m2，如果 m1m21，或者 m11，或者 m21 ，m2m1則這兩條直線(xiàn)互相垂直。注意如果直線(xiàn)平行于坐標(biāo)軸，則該條件是無(wú)效的。但是，可以看出直線(xiàn)常數(shù) 和形式為 y 常數(shù) 的直線(xiàn)互相垂直。例證明點(diǎn) 0, 5 ，1,2 ， 4,7 和 5,0 構(gòu)成一個(gè)菱形。17你可以使用多種方法來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題。下面的解答說(shuō)明，這些點(diǎn)構(gòu)成了一個(gè)平行四邊形，并且它的對(duì)角線(xiàn)是互相垂