專題07 恒成立問(wèn)題（講義）（教師版）

1、專題7 恒成立問(wèn)題【重難點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)】：不等式恒成立問(wèn)題常見(jiàn)處理方法： 分離參數(shù)恒成立(可)或恒成立（即可）； 數(shù)形結(jié)合(圖象在 上方即可)； 討論最值或恒成立； 討論參數(shù).一、分離參數(shù)法1、參變分離：顧名思義，就是在不等式中含有兩個(gè)字母時(shí)（一個(gè)視為變量，另一個(gè)視為參數(shù)），可利用不等式的等價(jià)變形讓兩個(gè)字母分居不等號(hào)的兩側(cè)，即不等號(hào)的每一側(cè)都是只含有一個(gè)字母的表達(dá)式.然后可利用其中一個(gè)變量的范圍求出另一變量的范圍2、如何確定變量與參數(shù)：一般情況下，那個(gè)字母的范圍已知，就將其視為變量，構(gòu)造關(guān)于它的函數(shù)，另一個(gè)字母（一般為所求）視為參數(shù).3、參變分離法的適用范圍：判斷恒成立問(wèn)題是否可以采用參變分離法

2、，可遵循以下兩點(diǎn)原則：（1）已知不等式中兩個(gè)字母是否便于進(jìn)行分離，如果僅通過(guò)幾步簡(jiǎn)單變換即可達(dá)到分離目的，則參變分離法可行.但有些不等式中由于兩個(gè)字母的關(guān)系過(guò)于“緊密”，會(huì)出現(xiàn)無(wú)法分離的情形，此時(shí)要考慮其他方法.例如：，等（2）要看參變分離后，已知變量的函數(shù)解析式是否便于求出最值（或臨界值），若解析式過(guò)于復(fù)雜而無(wú)法求出最值（或臨界值），則也無(wú)法用參變分離法解決問(wèn)題.（可參見(jiàn)”恒成立問(wèn)題最值分析法“中的相關(guān)題目）4、參變分離后會(huì)出現(xiàn)的情況及處理方法：（假設(shè)為自變量，其范圍設(shè)為，為函數(shù)；為參數(shù)，為其表達(dá)式）（1）若的值域?yàn)?，則只需要 ，則只需要，則只需要 ，則只需要，則只需要 ，則只需要，則只需

3、要 ，則只需要（2）若的值域?yàn)?，則只需要 ，則只需要（注意與（1）中對(duì)應(yīng)情況進(jìn)行對(duì)比） ，則只需要 ，則只需要（注意與（1）中對(duì)應(yīng)情況進(jìn)行對(duì)比） ，則只需要（注意與（1）中對(duì)應(yīng)情況進(jìn)行對(duì)比） ，則只需要 ，則只需要（注意與（1）中對(duì)應(yīng)情況進(jìn)行對(duì)比） ，則只需要x/k-+w5、多變量恒成立問(wèn)題：對(duì)于含兩個(gè)以上字母（通常為3個(gè)）的恒成立不等式，先觀察好哪些字母的范圍已知（作為變量），那個(gè)是所求的參數(shù)，然后通常有兩種方式處理（1）選擇一個(gè)已知變量，與所求參數(shù)放在一起與另一變量進(jìn)行分離.則不含參數(shù)的一側(cè)可以解出最值（同時(shí)消去一元），進(jìn)而多變量恒成立問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為傳統(tǒng)的恒成立問(wèn)題了.（2）將參數(shù)與變量進(jìn)

4、行分離，即不等號(hào)一側(cè)只含有參數(shù)，另一側(cè)是雙變量的表達(dá)式，然后按所需求得雙變量表達(dá)式的最值即可.二、數(shù)形結(jié)合法1、函數(shù)的不等關(guān)系與圖象特征：（1）若，均有的圖象始終在的下方（2）若，均有的圖象始終在的上方2、在作圖前，可利用不等式的性質(zhì)對(duì)恒成立不等式進(jìn)行變形，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)可作圖的函數(shù)3、要了解所求參數(shù)在圖象中扮演的角色，如斜率，截距等4、作圖時(shí)可“先靜再動(dòng)”，先作常系數(shù)的函數(shù)的圖象，再做含參數(shù)函數(shù)的圖象（往往隨參數(shù)的不同取值而發(fā)生變化）5、在作圖時(shí)，要注意草圖的信息點(diǎn)盡量完備6、什么情況下會(huì)考慮到數(shù)形結(jié)合？利用數(shù)形結(jié)合解決恒成立問(wèn)題，往往具備以下幾個(gè)特點(diǎn)：（1）所給的不等式運(yùn)用代數(shù)手段變形比較復(fù)雜

5、，比如分段函數(shù)，或者定義域含參等，而涉及的函數(shù)便于直接作圖或是利用圖象變換作圖（2）所求的參數(shù)在圖象中具備一定的幾何含義（3）題目中所給的條件大都能翻譯成圖象上的特征不等式恒成立問(wèn)題常見(jiàn)處理方法： 分離參數(shù)恒成立(可)或恒成立（即可）； 數(shù)形結(jié)合(圖象在 上方即可)； 最值法：討論最值或恒成立； 討論參數(shù). 最值法求解恒成立問(wèn)題是三種方法中最為復(fù)雜的一種，但往往會(huì)用在解決導(dǎo)數(shù)綜合題目中的恒成立問(wèn)題.此方法考查學(xué)生對(duì)所給函數(shù)的性質(zhì)的了解，以及對(duì)含參問(wèn)題分類討論的基本功.是函數(shù)與導(dǎo)數(shù)中的難點(diǎn)問(wèn)題，下面通過(guò)典型例題總結(jié)此類問(wèn)題的解法-最值分析法.三、最值分析法1、最值法的特點(diǎn)：（1）構(gòu)造函數(shù)時(shí)往往將

6、參數(shù)與自變量放在不等號(hào)的一側(cè)，整體視為一個(gè)函數(shù)，其函數(shù)含參（2）參數(shù)往往會(huì)出現(xiàn)在導(dǎo)函數(shù)中，進(jìn)而參數(shù)不同的取值會(huì)對(duì)原函數(shù)的單調(diào)性產(chǎn)生影響可能經(jīng)歷分類討論2、理論基礎(chǔ)：設(shè)的定義域?yàn)椋?）若，均有（其中為常數(shù)），則（2）若，均有（其中為常數(shù)），則3、技巧與方法：（1）最值法解決恒成立問(wèn)題會(huì)導(dǎo)致所構(gòu)造的函數(shù)中有參數(shù)，進(jìn)而不易分析函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，所以在使用最值法之前可先做好以下準(zhǔn)備工作： 觀察函數(shù)的零點(diǎn)是否便于猜出（注意邊界點(diǎn)的值） 縮小參數(shù)與自變量的范圍： 通過(guò)代入一些特殊值能否縮小所求參數(shù)的討論范圍（便于單調(diào)性分析） 觀察在定義域中是否包含一個(gè)恒成立的區(qū)間（即無(wú)論參數(shù)取何值，不等式均成立），縮小自變

7、量的取值范圍（2）首先要明確導(dǎo)函數(shù)對(duì)原函數(shù)的作用：即導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)決定原函數(shù)的單調(diào)性.如果所構(gòu)造的函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜不易分析出單調(diào)性，則可把需要判斷符號(hào)的式子拿出來(lái)構(gòu)造一個(gè)新函數(shù)，再想辦法解決其符號(hào).（3）在考慮函數(shù)最值時(shí)，除了依靠單調(diào)性，也可根據(jù)最值點(diǎn)的出處，即“只有邊界點(diǎn)與極值點(diǎn)才是最值點(diǎn)的候選點(diǎn)”，所以有的討論點(diǎn)就集中在“極值點(diǎn)”是否落在定義域內(nèi).【重難點(diǎn)題型突破】：一、分離參數(shù)法例1.（2021全國(guó)高三其他模擬）已知函數(shù)，若對(duì)恒成立，則的取值范圍是（ ）ABCD【答案】A【分析】令，求導(dǎo)，分析導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，得所函數(shù)的單調(diào)性和最值，由不等式恒成立思想可得選項(xiàng)【詳解】令，則，令，則，令

8、，解得，令，解得，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故令，解得，令，解得，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，解得，故選：A【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：不等式恒成立問(wèn)題常見(jiàn)方法： 分離參數(shù)恒成立(即可)或恒成立（即可）； 數(shù)形結(jié)合( 圖象在 上方即可)； 討論最值或恒成立.【變式訓(xùn)練】若函數(shù)（且）在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由題意，不妨設(shè)，則，由時(shí)為減函數(shù)，即，又在上為單調(diào)遞增，所以，所以，而此時(shí)函數(shù)為增函數(shù)，一減一增為減，故不合題意；同理由時(shí)為增函數(shù)，即，又在上為單調(diào)遞增，所以，所以，而當(dāng)時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)，因此當(dāng)時(shí)，同增為增，滿足題意.故選D.二、數(shù)形結(jié)合

9、法例2.（2021全國(guó)高三其他模擬）已知函數(shù)若關(guān)于的不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）ABCD【答案】A【分析】不等式在上恒成立的兩個(gè)臨界狀態(tài)是與相切和與相切時(shí)，故求兩種狀態(tài)下的值，即可得的取值范圍【詳解】畫(huà)出函數(shù)的圖像如圖所示.在上恒成立即函數(shù)的圖像恒在直線的圖像的下方，且直線過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)直線與相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)，可得，解得，則直線斜率為，即；當(dāng)直線與相切時(shí)，此時(shí)由，得，令，得或（舍），所以由圖像可知故選：A【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知不等式能恒成立求參數(shù)值(取值范圍)問(wèn)題常用的方法：（1）函數(shù)法：討論參數(shù)范圍，借助函數(shù)單調(diào)性求解；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域或最值問(wèn)題加以

10、解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解【變式訓(xùn)練2-1】、已知函數(shù)在t,t+1上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是_【答案】【解析】已知函數(shù)f(x)定義域?yàn)?，鈭磘0，令gx函數(shù)在上不單調(diào)，區(qū)間在gx零點(diǎn)1或3的兩側(cè)，或t3t解得0t1或即實(shí)數(shù)t的取值范圍是.點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確判定導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，注意單調(diào)函數(shù)的充要條件，尤其對(duì)于已知單調(diào)性求參數(shù)值(范圍)時(shí)，隱含恒成立思想【變式訓(xùn)練2-2】、若不等式對(duì)于任意的都成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_【答案】【解析】本題選擇數(shù)形結(jié)合，可先作出在的圖象，扮演的角色為對(duì)數(shù)的底數(shù)，決定函數(shù)的增減，根據(jù)不等關(guān)系可得，觀察圖象進(jìn)一步可得只需時(shí)，即，所以三、最值分析法例3（2021遼寧高三二模）已知函數(shù)，若關(guān)于的不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍是_.【答案】【分析】先研究函數(shù)的單調(diào)性，再討論表示的直線與相切時(shí)參a的值，結(jié)合直線特征確定縱截距使得恒在直線上方，即求得參數(shù)的取值范圍.【詳解】令，則，令，得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.又，則當(dāng)時(shí)，若直線與相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，則，