空間向量與立體幾何知識點歸納總結(jié)

1、22 AABC的五心:ABAC內(nèi)心P：內(nèi)切圓的圓心，角平分線的交點。AP=,(+)(單位向量)IABI門外心P：外接圓的圓心，中垂線的交點。PA=PB外心P：外接圓的圓心，中垂線的交點。垂心P：高的交點：PA-PB=PA-PC=PB-PC(移項，內(nèi)積為0,則垂直)1重心P：中線的交點，三等分點(中位線比)AP=3(ABAC)中心：正三角形的所有心的合一。(4)模長公式：右a=(a,a,a)，b=(b,b,b)，123123a2+a2+a2a2+a2+a2,|bbb=,b2+b2+b2123123abab+ab+ab(5)夾角公式：coib二“g亠_IaI費aa2+a:b2+b2+b212312

2、3AABC中ABAC0A為銳角ABAC(1)空間向量的夾角及其表示：已知兩非零向量a,b，在空間任取一點O，作OA=a，OB=b，則ZAOB叫做向量a與b的夾角，記作a，b;且規(guī)定a，b兀，顯然有a,b=b,a;右叫做a,b的數(shù)量積，j己,作ab，即ab=IaIIbIcos空間向量數(shù)量積的性質(zhì)：_(5)空間向量數(shù)量積運算律：(,a)-b=九(；b)=a-(Xb)。a、b=ba(交換律(5)空間向量數(shù)量積運算律：(,a)-b=九(；b)=a-(Xb)。a、b=ba(交換律)。a(b+c)=ab+ac(分配律)。不滿足乘法結(jié)合率：(ab)c豐a(b斗尸二.空間向量與立體幾何1.線線平行o兩線的方向

3、向量平行1線面平行線的方向向量與面的法向量垂直2面面平行兩面的法向量平行2線線垂直（共面與異面）兩線的方向向量垂直1線面垂直線與面的法向量平行2面面垂直兩面的法向量垂直3線線夾角0（共面與異面）0。,90o兩線的方向向量n,n的夾角或夾角的補角，12cos0cosn1,n2,1線面夾角00o,90。:求線面夾角的步驟：先求線的方向向量AP與面的法向量n的夾角，若為銳角角即可，若為鈍角，則取其補角；再求其余角，即是線面的夾角.sin0cosAP,n2面面夾角（二面角）00o,180o:若兩面的法向量一進一出，則二面角等于兩法向量n1,n的夾角；法向量同進同出，則二面角等于法向量的夾角的補角.12

4、cos0士cosn,n,12點面距離h:求點p（x,y）到平面a的距離：在平面a上去一點Q（x,y），得向量PQ；00計算平面a的法向量n；.hI礦/懇一n1線面距離（線面平行）：轉(zhuǎn)化為點面距離2面面距離（面面平行）：轉(zhuǎn)化為點面距離【典型例題】1基本運算與基本知識（）例1.已知平行六面體ABCDAbcd，化簡下列向量表達式標出化簡結(jié)果的向量。ABBC；ABADAAf；ABAD1CC；1（ABADAA）。23例2.對空間任一點O和不共線的三點A,B,C，問滿足向量式：OPxOA+yOB+zOC（其中x+y+z=1）的四點P,A,B,C是否共面？例3已知空間三點A（0，2，3）,B（-2,1,6）

5、,C（1,-1,5求以向量AB,AC為一組鄰邊的平行四邊形的面積S;若向量a分別與向量AB,AC垂直，且la1=3，求向量a的坐標?；追ǎㄈ绾握遥D(zhuǎn)化為基底運算）坐標法（如何建立空間直角坐標系，找坐標）幾何法例4.如圖，在空間四邊形OABC中,OA8，AB=6，AC=4，BC=5，,OAC=45，,OAB60，求OA與BC的夾角的余弦值。一說明：由圖形知向量的夾角易出錯，如135易錯寫成45，切記!例5.長方體ABCD-ABCD中,AB=BC=4,交點，又AF丄BE，求長方體的高BB?！灸M試題】已知空間四邊形ABCD，連結(jié)AC,BD，設(shè)M,G分別I是BC,CD的中點，化簡下列各表達式，并標

6、出化簡結(jié)果向量：（1）ABBCCD；（2）AB1（BDBC）；AG-1（ABAC）。22已知平行四邊形ABCD,從平面ac外一點o引向量。OE，kOAOF，kOBOG，kOCOH，kOD。（1）求證：四點E,F,G,H共面；（2）平面AC/平面EG。如圖正方體ABCD-ABCD中，BE，DF，1AB，求BE與DF所成角的余弦。1111111141111已知平行六面體ABCD-ABCD沖，AB，4,AD，3,AA，5,BAD，90，BAA，DAAr，60，求AC的長。o參考答案(1)1.解：如圖,(1)(2)AB+BC+CD=AC+CD=AD；(2)X/：,:XAB+1(BD+BC)=AB+1B

7、C+1BD。222=AB+BM+MG=AG；2.AG_2(AB+AC)=AG-AM=MG。2.解：(1)證明：四邊形ABCD是平行四邊形，：AC=AB+AD，EG二OGOE，二k-OC，k-OA=k(OC，OA)二kAC二k(ABAD)=k(OBOAODOA)=OFOEOHOE=EF+EH:E,F,G,H共面；(2)解：TEF=OF-OE=k(OB-OA)=kAB，又:EGk，AC丿EF/AB,EG/MC。所以，平面AC/平面EG。3.解：不妨設(shè)正方體棱長為1，建立空間直角坐標系O-xyz，則B(1,1,0)，E(1,3,1)，D(0,0,0)，F(xiàn)(0，1,1)，141411-be=(0,-,1)，DF=(0,1)，1414BEBE=DF=1117415-BE1-DF1=00+(，44)+11=164.cosBE,DF=11161617分析：AB=4.cosBE,DF=11161617分析：AB=(，令-1,3),AC=(1,3,2),co/BACAB-ACIABIIACI.ZBAC=60，S=IABIIACIsin60=73TOC o 1-5 h z(2)設(shè)a=(X，y,，Z)，貝Ha丄ABn-2x+3z=0,a丄ACnx-32z=0,IaI=3nx2+y2+z2=3-解得x=y