包含與排除教師版

1、工工B總數(shù)=/ +0一,4、注重疊包含與排除（容斥原理）一、知識(shí)要點(diǎn)集合是指具有某種屬性的事物的全體，它是數(shù)學(xué)中的最基本的概念之一。如某班全體學(xué) 生可以看作是一個(gè)集合，0、1、2、3、4、5、6、7、8、9便組成一個(gè)數(shù)字集合。組成集合 的每個(gè)事物稱為這個(gè)集合的元素。如某班全體學(xué)生組成一個(gè)集合，每一個(gè)學(xué)生都是這個(gè)集合 的元素，數(shù)字集合中有10個(gè)元素。兩個(gè)集合中可以做加法運(yùn)算，把兩個(gè)集合A、B合并在一起，就組成了一個(gè)新的集合C。計(jì) 算集合C的元素的個(gè)數(shù)的思考方法主要是包含與排除：先把A、B的一切元素都“包含”進(jìn) 來加在一起，再“排除” A、B兩集合的公共元素的個(gè)數(shù)，減去加了兩次的元素，即：C=A+

2、 B-ABo在解包含與排除問題時(shí)，要善于使用形象的圖示幫助理解題意，搞清數(shù)量關(guān)系的邏輯關(guān)系。 有些語言不易表達(dá)清楚的關(guān)系，用了適當(dāng)?shù)膱D形就顯得很直觀、很清楚，因而容易進(jìn)行計(jì)算。 這就是我們今天要來研究的問題一一有重疊的計(jì)數(shù)問題，即包含與排除問題.研究這種問題通常需要畫出示意圖（如喝茶與喝咖啡的圖），這樣的示意圖又叫做文氏圖，下面我們就用文氏圖推導(dǎo)兩個(gè)對(duì)象的容斥原理公式.J /8如右圖所示，如果要計(jì)算三個(gè)部分的總數(shù)，直接計(jì)算A+B | 廳:|就會(huì)算多了，而多算的正好是部分，只要把多算的減掉就可以了.上述分析總結(jié)成公式就是：1=肅1y這個(gè)公式就是兩個(gè)對(duì)象的容斥原理一、兩個(gè)對(duì)象的容斥原理：4 B總數(shù)

3、=2+ 3-力、金重疊二、三個(gè)對(duì)象的容斥原理：4 B . C的總數(shù)3 一月童疊-8、C重疊一 C .2重疊+兄、C重疊三、文氏圖是解決容斥問題時(shí)最重要的方法，同學(xué)們一定要掌握好、精講精練【例題1】五年級(jí)96名學(xué)生都訂了報(bào)紙，有64人訂了少年報(bào)，有48人訂了小學(xué)生報(bào)。兩 種報(bào)紙都訂的有多少人？【思路導(dǎo)航】用左邊的圓表示訂少年報(bào)的64人，右邊的圓表示訂小學(xué)報(bào)的48人，中間重疊部分表示 兩種報(bào)刊都訂的人數(shù)。顯然，兩種報(bào)刊都訂的人數(shù)被統(tǒng)計(jì)了兩次：64+48=112人，比總?cè)?數(shù)多112-96=16人，這16人就是兩種報(bào)刊都訂的人數(shù)。加人96人加人【練習(xí)1】1, 1. 一個(gè)班有學(xué)生52人,參加體育代表隊(duì)

4、的有40人,參加文藝代表隊(duì)的有33人,并且每個(gè) 人都至少參加一個(gè)隊(duì)。這個(gè)班兩隊(duì)都參加的有多少人？1.40+33-52=21 （人）2,五年級(jí)班有64名同學(xué)，訂閱少年報(bào)的有32名同學(xué)，訂閱小學(xué)生數(shù)學(xué)報(bào)的有51名同學(xué)。已知兩種報(bào)刊每人至少訂種,有多少名同學(xué)兩種報(bào)刊都訂了？2.32+51-64=19（人）3, 一個(gè)少兒俱樂部有92人,其中會(huì)下中國(guó)象棋的有70人,會(huì)下國(guó)際象棋的有42人,并且每 個(gè)人至少會(huì)下一種棋。兩種棋都會(huì)下的有多少人?.70+42-92=20（人）【例題2】某校教師至少懂得英語和日語中的一種語言。已知有35人懂英語，34人懂日語, 兩種語言都懂的有21人。這個(gè)學(xué)校共有多少名教師？【

5、思路導(dǎo)航】把懂英語和懂日語的人數(shù)加起來得35 + 34=69人，但是，兩種語言都懂的21人被統(tǒng)計(jì)過兩 次，應(yīng)該從69里去掉一個(gè)21才能得出這個(gè)地區(qū)外語教師的總?cè)藬?shù)：69-21=48人?！揪毩?xí)2】1，某校的每個(gè)學(xué)生至少愛體育和文娛中的一種活動(dòng)。已知有900人愛好體育活動(dòng)，有850 人愛好文娛活動(dòng)，其中260人兩種活動(dòng)都愛好。這個(gè)學(xué)校共有學(xué)生多少人？ 900+850-260=1490（人）2,某班在一次測(cè)驗(yàn)中有26人語文獲優(yōu)，有30人數(shù)學(xué)獲優(yōu)，其中語文、數(shù)學(xué)雙優(yōu)的有12人，另外還有8人語文、數(shù)學(xué)均未獲優(yōu)。這個(gè)班共有多少人？26+30-12+8=52（個(gè)）3,第一小組的同學(xué)們都在做兩道數(shù)學(xué)思考題，做

6、對(duì)第一題的有15人，做對(duì)第二題的有10 人，兩題都做對(duì)的有7人，兩題都做錯(cuò)的有2人。第一小組共有多少人？ 15+10-7+2=20（人）【例題3】學(xué)校開展課外活動(dòng)，共有250人參加。其中參加象棋組和乒乓球組的同學(xué)不同時(shí) 活動(dòng)，參加象棋組的有83人，參加乒乓球組的有86人，這兩個(gè)小組都參加的有25人。問 這250名同學(xué)中，象棋組、乒乓球組都不參加的有多少人？【思路導(dǎo)航】?jī)蓚€(gè)小組都參加的有25人，因此，至少參加這兩種小組的一個(gè)小組的人數(shù)是84+86-25=144 人，所以，這兩個(gè)小組都不參加的人數(shù)是250-144=106人。【練習(xí)3】1,五年級(jí)有250人，其中參加象棋組的有83人，參加乒乓球組的有

7、86人，這兩個(gè)小組都參加的有25人。兩個(gè)小組都不參加的有多少人？70+65-45=90（人）100-90=10（人）2,五（1）班有50人，在一次測(cè)試中，語文90分以上的有30人，數(shù)學(xué)90分以上的35人， 語文和數(shù)學(xué)都在90分以上的有20人。兩科都在90分以下的有多少人？30+35-20=45（人）50-45=5（人）3,老師在統(tǒng)計(jì)考試成績(jī)，數(shù)學(xué)得90分以上的有25人，語文得90分以上的有21人，兩科 中至少有一科在90分以上的有38人。兩科都在90分以上的有多少人？25+21-38=8（人）8： 2=4（人）【例題4】實(shí)驗(yàn)小學(xué)各年級(jí)都參加的一次書法比賽中，四年級(jí)與五年級(jí)共有20人獲獎(jiǎng)，在 獲

8、獎(jiǎng)?wù)咧杏?6人不是四年級(jí)的，有12人不是五年級(jí)的。該校書法比賽獲獎(jiǎng)的總?cè)藬?shù)是多 少人？【思路導(dǎo)航】由“16人不是四年級(jí)的”可知：16人是五年級(jí)和其他年級(jí)的；由“12人不是五年級(jí)的”可 知：12人是四年級(jí)和其它年級(jí)的。用16+12可算出四年級(jí)加五年級(jí)以及兩個(gè)其它年級(jí)的人 數(shù)和，再減去20就得兩個(gè)其他年級(jí)的人數(shù)，這樣其他年級(jí)的人數(shù)是：（16+12 20）：2=4 人，該校參加書法比賽獲獎(jiǎng)的總?cè)藬?shù)是4+20=24人?！揪毩?xí)4】1,五一小學(xué)舉行小學(xué)生田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)，其中24名運(yùn)動(dòng)員不是六年級(jí)的，28名運(yùn)動(dòng)員不是五 年級(jí)的，已知五、六年級(jí)運(yùn)動(dòng)員共有32名，求五、六年級(jí)和中低年級(jí)運(yùn)動(dòng)員各有多少名？ （24+2

9、8-32） ：2=10（人）中低年級(jí)24-10=14（人）五年級(jí)28-10=18（人）六年級(jí)2,少年樂團(tuán)學(xué)生中有170人不是五年級(jí)的，有135人不是六年級(jí)的，已知五、六年級(jí)的共 有205人，求少年樂團(tuán)中五、六年級(jí)以外的學(xué)生共有多少人？（170+135-205）：2=50（人）3,六一兒童狼子野心同學(xué)們做小花，有24朵不是紅色的，有20朵不是黃色的，已知紅花 和黃花一共有18朵，其他顏色的花一共做了多少朵？（24+20-18）：2=13（朵）【例題5】在100個(gè)外語教師中，懂英語的有75人，懂日語的有45人，其中必然有既懂 英語又懂日語的老師。問：只懂英語的老師有多少人？【思路導(dǎo)航】顯然，兩種語

10、言都懂的人在懂英語的75人中統(tǒng)計(jì)過一次，在懂日語的45人中又統(tǒng)計(jì)過一次。 因此，75+45=120人，比100多出的20人就是兩種語言都懂的人數(shù)。然后，從懂英語的75 人中減去兩種語言都懂的20人，就是只懂英語的人數(shù)了： 7520=55人?！揪毩?xí)5】1, 40人都在做加試的兩道題，并且至少做對(duì)了其中的一題。已知做對(duì)第一題的有30人，做對(duì)第二題的有21人。只做對(duì)第一題的有多少人？30+21-40=11（人）30-11=19（人）2,五年級(jí)122名同學(xué)參加語文、數(shù)學(xué)考試，每人至少有一門得優(yōu)。已知語文65人得優(yōu)， 數(shù)學(xué)78人得優(yōu)，求只有語文一門得優(yōu)的人數(shù)。65+78-122=21 （人）65-21=

11、44（人）3,全班46名同學(xué)，僅會(huì)打乒乓球的有28人，會(huì)打乒乓球又會(huì)打羽毛球的有10人，不會(huì)打乒乓球又不會(huì)打羽毛球的有6人。僅會(huì)打羽毛球的有多少人？46-6-（28+10）=2（人）容斥原理例1,五年級(jí)二班40名同學(xué)，其中有25人沒參加數(shù)學(xué)小組，有18人參加航模小組，有10人兩個(gè)小組都參加.那么只參加了一個(gè)小組的學(xué)生有多少人? 答案：13人.解答：如右圖所示，根據(jù)已知條件，參加航模小組的有18人，所以和共18人；而兩個(gè)小組都參加的有10人，所以有10人.由此可得（只參加航模小組的）有 18-10 = 8 （人）.不參加數(shù)學(xué)小組的有25人，所以和共25人.全班一共40人，所以、和共40人.從 而

12、（只參加數(shù)學(xué)小組的）有40-25-10 = 5 （人）.綜上可知，只參加一個(gè)小組的（即、兩塊）有8 + 5 = 13 （人） 例2,漁鄉(xiāng)小學(xué)舉行長(zhǎng)跑和游泳比賽，共305人參加.有150名男生和90名女生參加長(zhǎng) 跑比賽，有120名男生和70名女生參加游泳比賽，有110名男生兩項(xiàng)比賽都參加了.請(qǐng)問：只參加游泳而沒參加長(zhǎng)跑的女生有多少人？答案：55人.解答：我們可以在圖的中央劃一條直線，如右圖所示，直線上方表示男生，下方表示女生.由圖可知，求只 參加游泳而沒有參加長(zhǎng)跑的女生有多少人，也就是要求 有多少人.由條件可知，參加長(zhǎng)跑的男生有150名，參加游 泳的男生有120名，有110名男生兩項(xiàng)都參加了，所

13、以男生 共有150 + 120-110 = 160 （人），即、和共有160人.于是女生有305-160 = 145 （人），即、和有145人.因?yàn)橛?0名女生參加了長(zhǎng)跑比賽，即和共有90人， 所以有145-90 = 55 （人）.也就是只參加游泳而沒有參加長(zhǎng)跑的女生有55人.例3,三位基金經(jīng)理投資若干只股票.張經(jīng)理買過其中66只，王經(jīng)理買過其中40只，李 經(jīng)理買過23只.張經(jīng)理和王經(jīng)理都買過的有17只，王經(jīng)理和李經(jīng)理都買過的有13只， 李經(jīng)理和張經(jīng)理都買過的有9只，三個(gè)人都買過的有6只.請(qǐng)問：那么這三位經(jīng)理一共買 過多少只股票？ 例題3.答案：96只.解答：如圖1,三個(gè)人一共買過的股票由、這

14、七部分組成.其中， 三個(gè)人都買過的是，所以有6只.而張經(jīng)理和王經(jīng)理都買過的有17只，它對(duì)應(yīng)和，所以有17-6 = 11 （只）.同理可以求出有3只，有7只.如圖2,我們把求 出來的數(shù)填進(jìn)去.因?yàn)?、的?shù)目都已經(jīng)知道，所以由張經(jīng)理買過66只可知，有得到三個(gè)人一共同理可知有16只，有7+ 11 + 3 + 7 + 46 + 16 + 746只，買過6只.把7個(gè)部分的股票數(shù)目相加 =96 （只）股票.得到三個(gè)人一共同理可知有16只，有7+ 11 + 3 + 7 + 46 + 16 + 746只，買過6只.把7個(gè)部分的股票數(shù)目相加 =96 （只）股票.例4,培英學(xué)校有學(xué)生1000人，其中500人訂閱了中

15、國(guó)少年報(bào)，350人訂閱了少年 文藝，250人訂閱了數(shù)學(xué)報(bào)，至少訂閱兩種報(bào)刊的有400人，訂閱了三種報(bào)刊的有100人.請(qǐng)問：這個(gè)學(xué)校有多少人沒有訂報(bào)？例題4.答案：400人.解答：至少訂閱兩種報(bào)刊的是、和，共有400人.三種報(bào)刊都訂的是，有 100 人.在 500 + 350 + 250 = 1100 中，、被計(jì)算了兩次，被計(jì)算了三次，1100-400 = 700,也就是說減去、各一次，這時(shí)、恰好剩一次，還剩兩次.所以訂報(bào)的人數(shù)是 700-100 = 600 （人）.綜上，這個(gè)學(xué)校有 1000-600 = 400 （人）沒有訂報(bào).例5,圖書室有100本書，借閱圖書者需在圖書上簽名.已知這100本

16、書中有甲、乙、丙 簽名的分別有33本、44本和55本，其中同時(shí)有甲、乙簽名的圖書為29本，同時(shí)有甲、 丙簽名的圖書為25本，同時(shí)有乙、丙簽名的圖書為36本.問：這批圖書中最少有多少 本沒有被借閱過？ 答案：33本.解答：我們將題目中的條件代入容斥原理公式：借過的書=甲借的+乙借的+丙借的-甲、乙都借的-甲、丙都借的-乙、丙都借的 十三個(gè)人都借的=33 + 44 + 55-29-25-36十三個(gè)人都借的=42+三個(gè)人都借的 所以只需求最多有多少本“三個(gè)人都借過”.由題意可知，甲丙都借過的書有25本，乙丙都借過的書有36本，甲乙都借過的書有29 本，所以三個(gè)人都借過的書最多有25本.綜上可得，借過

17、的書最多有42 + 25 =67 （本）.沒 借過的書最少有100-67 = 33 （本）.下面我們用文氏圖驗(yàn)證一下這種情形是否存在.如圖所示，不難看出這種情形是成立的，因 此答案就是33.1.李老師出了兩道題，全班40人中，第一題有30人做對(duì)，第2題有12人未做對(duì), 兩題都做對(duì)的有20人.(1)第1題不對(duì)、第2題對(duì)的有幾個(gè)人？(2)兩題都不對(duì)的有幾個(gè)人？.答案：(1)8人；(2)2人.簡(jiǎn)答：做法同例題1,畫出文氏圖分析即可.某校參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的有120名男生、80名女生，參加語文競(jìng)賽的有120名女生、80名 男生.已知該校共有260名學(xué)生參加競(jìng)賽，其中75名男生兩科競(jìng)賽都參加了，那么只參 加數(shù)

18、學(xué)競(jìng)賽而沒有參加語文競(jìng)賽的女生有多少人？.答案：15人.簡(jiǎn)答：做法同例題2,畫出文氏圖，分開男生和女生即可.卡莉婭用三塊長(zhǎng)方形桌布相互重疊地鋪在一張長(zhǎng)方形桌子上，正好將桌子完全覆 蓋.已知三塊桌布的面積分別是40平方分米、36平方分米 和27平方分米，其中第一塊和第二塊桌布重疊的面積為5 平方分米，第二塊和第三塊重疊了 7平方分米，而第一塊和 第三塊則重疊了 4平方分米.如果三塊重疊的部分等于2平 方分米，那么這張桌子的面積是多少？ 3.答案：89平方分米.簡(jiǎn)答：利用容斥原理，桌子的面積是40 + 36 + 27-5-7-4 + 2 = 89 (平方分米).五年級(jí)一班共有41個(gè)同學(xué)，將參加繪畫

19、、航模、舞蹈三個(gè)興趣小組，要求每人都 選其中的兩項(xiàng).已知航模組有27人，那么同時(shí)選繪畫和舞蹈的同學(xué)有多少人？.答案：14人.簡(jiǎn)答：注意到每人都只選其中的兩項(xiàng)，即沒有同時(shí)參加三項(xiàng)的同學(xué)，畫出 文氏圖分析即可.五年級(jí)一班有46人，其中有40人會(huì)騎自行車，38人會(huì)打乒乓球，35人會(huì)打羽毛 球，則該班這三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)都會(huì)的至少有多少人？.答案：21人.簡(jiǎn)答：做法同例題5,只需讓兩項(xiàng)運(yùn)動(dòng)都會(huì)的同學(xué)盡可能地多即可.森林里住著100只小白兔，凡是不愛吃蘿卜的小白兔都愛吃白菜，其中愛吃蘿卜的小 白兔的數(shù)量是愛吃白菜的2倍，而不愛吃白菜的小白兔數(shù)量是不愛吃蘿卜的3倍.那么 它們當(dāng)中有多少只小白兔既愛吃蘿卜又愛吃白菜？

20、答案：20只.簡(jiǎn)答：共有小白兔100只，所以、中一共有100只小白兔.根據(jù) 已知條件，中的數(shù)量是中的3倍，因此我們可以設(shè)中的數(shù)量為“1”份，那么中有 “3”份.又因?yàn)閻鄢蕴}卜的小白兔是愛吃白菜的2倍，也就是、中的總數(shù)是、中的總數(shù)的2倍，而比多“2”份，所以、中的總數(shù)為2 : (2-1) = 2份，從而全部的小白兔一共有“5”份，而它對(duì)應(yīng)100只兔子，因此每份是20只.既愛吃蘿卜又愛吃白菜的小白兔也就是中的，恰好有“1”份，因此共有20只.白菜的小白兔也就是中的，恰好有“1”份，因此共有20只.1.有100名同學(xué)回答A、B兩個(gè)問題.都沒有回答對(duì)的有10人，答對(duì)A的有75人, 答對(duì)B的有83人，兩

21、題都答對(duì)的有多少人？.答案：68人.簡(jiǎn)答：利用容斥原理：（人）.在游藝會(huì)上，有100名同學(xué)抽到了標(biāo)簽分別為1至100的獎(jiǎng)券.按獎(jiǎng)券標(biāo)簽號(hào)發(fā) 放獎(jiǎng)品的規(guī)則如下：標(biāo)簽號(hào)為2的倍數(shù)，獎(jiǎng)2支鉛筆；標(biāo)簽號(hào)為3的倍數(shù)，獎(jiǎng)3只鉛 筆；標(biāo)簽號(hào)既是2的倍數(shù)，又是3的倍數(shù)可重復(fù)領(lǐng)獎(jiǎng)；其他標(biāo)簽號(hào)均獎(jiǎng)1支鉛筆.那么 游藝會(huì)應(yīng)該準(zhǔn)備多少支鉛筆作為獎(jiǎng)品？2.答案：232支.簡(jiǎn)答：如圖所示，因?yàn)?00 : 2 = 50,所以1至100中，能被2整 除的數(shù)有50個(gè)，對(duì)應(yīng)到圖中為和，所以是2的倍數(shù)的標(biāo)簽號(hào)有50個(gè)；因?yàn)?00 3 = 331 ,所以能被3整除的數(shù)有33個(gè)，對(duì)應(yīng)到圖中則是和，所以是3的倍數(shù) 的標(biāo)簽號(hào)有33個(gè)；因?yàn)?/p>

22、100 : 6 = 164,所以既能被2又能被3整除的數(shù)（也就 是能被6整除的數(shù)）一共有16個(gè)，即有16個(gè)數(shù).由此可知，有33-16 = 17 （個(gè)） 數(shù)，有50-16 = 34 （個(gè)）數(shù)，有100-17-34-16 = 33 （個(gè)）數(shù).所以既不能被2整除 也不能被3整除的數(shù)有33個(gè)，即其它標(biāo)簽號(hào)有33個(gè).要準(zhǔn)備的鉛筆數(shù)應(yīng)該為50 X 2 + 33 X 3 + 33 = 232 （支）.12等分.如果沿每條刻度線將木棍鋸斷，那么木棍總共被鋸成多少段?12等分.如果沿每條刻度線將木棍鋸斷，那么木棍總共被鋸成多少段?3.答案：20段.簡(jiǎn)答：可設(shè)木棍長(zhǎng)為120厘米，10等分會(huì)有9條刻度線，12等分會(huì)有 11條刻度線，兩種刻度線有1條是重合的，可知兩種刻度線總共有9 + 11-1 = 19 （條） 刻度線.從而木棍總共被鋸成19 + 1 = 20 （段）.男運(yùn)動(dòng)員女運(yùn)動(dòng)員男運(yùn)動(dòng)員女運(yùn)動(dòng)員4.中國(guó)田徑隊(duì)的40名運(yùn)動(dòng)員們?cè)谟?xùn)練基地進(jìn)行封閉訓(xùn)練.其中男運(yùn)動(dòng)員有20名，訓(xùn) 練長(zhǎng)跑的運(yùn)動(dòng)員有15名，訓(xùn)練競(jìng)走的女運(yùn)動(dòng)員有8名，那么訓(xùn)練長(zhǎng)跑的男運(yùn)動(dòng)員有多少 名？.答案：3名.簡(jiǎn)答：做法同例題2,如右 邊的