傅里葉級(jí)數(shù)課程習(xí)題講解

1、第15章傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)一基本內(nèi)容一、傅里葉級(jí)數(shù)f(x)anxnf(x)經(jīng)函數(shù)系在冪級(jí)數(shù)談?wù)撝衝1，可視為線性表出而得不如稱1,x,x2,L,xn,L為基，則不同樣的基就有不同樣的級(jí)數(shù)今用三角函數(shù)系作為基，就獲得傅里葉級(jí)數(shù)三角函數(shù)系函數(shù)列1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,L,cosnx,sinnx,L稱為三角函數(shù)系其有下面兩個(gè)重要性質(zhì)周期性每一個(gè)函數(shù)都是以2為周期的周期函數(shù)；(2)正交性任意兩個(gè)不同樣函數(shù)的積在,上的積分等于零，任意一個(gè)函數(shù)的平方在上的積分不等于零對(duì)于一個(gè)在,可積的函數(shù)系un(x):xa,b,n1,2,L，定義兩個(gè)函數(shù)的內(nèi)積為bun(x),um(x)un(x)

2、um(x)dxa，un(x),um(x)l0mn0mn，則稱函數(shù)系un(x):xa,b,n1,2,L為正交系若是1,sinnx1sinnxdx1cosnxdx0；由于sinmx,sinnxsinmxmnsinnxdxn；0mcosmx,cosnxmncosmxcosnxdxn；0msinmx,cosnxsinmxcosnxdx0；1,112dx2，所以三角函數(shù)系在,上擁有正交性，故稱為正交系利用三角函數(shù)系組成的級(jí)數(shù)稱為三角級(jí)數(shù)，其中a0,a1,b1,L,an,bn,L為常數(shù)以2為周期的傅里葉級(jí)數(shù)定義1設(shè)函數(shù)f(x)在,上可積，ak1f(x),coskx1f(x)coskxdxk0,1,2,L；

3、bk11f(x),sinkxf(x)sinkxdxk1,2,L，稱為函數(shù)f(x)的傅里葉系數(shù)，而三角級(jí)數(shù)稱為f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)，記作a0ancosnxbnsinnxf(x)2n1這里之所以不用等號(hào)，是由于函數(shù)f(x)按定義1所得系數(shù)而獲得的傅里葉級(jí)數(shù)其實(shí)不知其可否收斂于f(x)二、傅里葉級(jí)數(shù)收斂定理定理1若以2為周期的函數(shù)f(x)在,上按段圓滑，則a0ancosnxf(x0)f(x0)2bnsinnx2，n1其中an,bn為f(x)的傅里葉系數(shù)定義2若是f(x)Ca,b，則稱f(x)在a,b上圓滑若xa,b),f(x0),f(x0)存在；x(a,b,f(x0)，f(x0)存在，且至多存在有限

4、個(gè)點(diǎn)的左、右極限不相等，則稱f(x)在a,b上按段圓滑幾何講解如圖y按段圓滑函數(shù)圖象是由有限條角點(diǎn)圓滑曲線段組成，它至多有有限個(gè)第一類中止點(diǎn)與角點(diǎn)推論若是f(x)是以2為周期的連續(xù)函數(shù)，且在,上按xR，Ox段圓滑，則f(x)a0ancosnxbnsinnx有2n1定義3設(shè)f(x)在(,上有定義，函數(shù)稱f(x)為的周期延拓二習(xí)題解答在指定區(qū)間內(nèi)把以下函數(shù)張開為傅里葉級(jí)數(shù)(1)f(x)x,(i)x,(ii)0 x2；解：(i)、f(x)=x，x(,)作周期延拓的圖象以下其按段圓滑，故可張開為傅里葉級(jí)數(shù)由系數(shù)公式得a0110f(x)dxxdx1xcosnxdx1xd(sinnx)當(dāng)nann1時(shí)，1x

5、sinnx|1sinnxdx0nn，1xcosnx|1cosnxdx(1)n12nnn，f(x)2(1)n1sinnx)為所求所以n1n，x(,(ii)、f(x)=x，x(0,2)作周期延拓的圖象以下其按段圓滑，故可張開為傅里葉級(jí)數(shù)由系數(shù)公式得1122a00f(x)dxxdx20當(dāng)n1時(shí)，1212xsinnx|00sinnxdx0nn，221xcosnx|010cosnxdx2nnn，f(x)2sinnx所以n，x(0,2)為所求n1(2)f(x)=x2,(i)-x,(ii)0 x2；解：(i)、f(x)=x2，x(,)作周期延拓的圖象以下其按段圓滑，故可張開為傅里葉級(jí)數(shù)由系數(shù)公式得a01f(

6、x)dx12dx22x3當(dāng)n1時(shí)，2xcosnx|2n4n2n2cosnxdx(1)n2，2xsinnx|2sinnxdx0n2n2，21)nsinnxf(x)4(，x)為所求所以3n1n2(,解：(ii)、f(x)=x2，x(0,2)作周期延拓的圖象以下y其按段圓滑，故可張開為傅里葉級(jí)數(shù)由系數(shù)公式得a012f(x)dx1x2dx8220034O4x當(dāng)n122時(shí)，24222xcosnx|0cosnxdxn2n20n2422，422nn2xsinnx|0n20sinnxdxn，f(x)42cosnxsinnx34n2n2，x(0,2)為所求所以n1f(x)axx0(ab,a0,b0)bx0 x(

7、3)解：函數(shù)f(x)，x(,)作周期延拓的圖象以下其按段圓滑，故可張開為傅里葉級(jí)數(shù)由系數(shù)公式得11(ba)10a0f(x)dxaxdxbxdx20當(dāng)n1時(shí)，f(x)(ba)2(ba)11)x41(2n2cos(2n所以n1)(ab)(1)n1sinnx，x(,)為所求n1n2設(shè)f是以2為周期的可積函數(shù)，證明對(duì)任何實(shí)數(shù)c，有an1c21f(x)cosnxdx,n0,1,2,Lcf(x)cosnxdx，11c2bncf(x)sinnxdxf(x)sinnxdx,n1,2,L證：由于f(x)，sinnx，cosnx都是以2為周期的可積函數(shù)，所以令tx2有1c+2f(t)cosntdt1c+2f(x)

8、cosnxdxan1c2cf(x)cosnxdx從而1f(x)cosnxdx同理可得bn1c21f(x)sinnxdxcf(x)sinnxdx4x0f(x)1110 x34張開成傅里葉級(jí)數(shù)，并由它推出(1)415L把函數(shù)37；11111L(2)3171113175；3111111L657111317(3)解：函數(shù)f(x)，x(,)作周期延拓的圖象以下其按段圓滑，故可張開為傅里葉級(jí)數(shù)由系數(shù)公式得1101a0f(x)dxdxdx0440當(dāng)n1時(shí)，101ancosnxdxcosnxdx04041(1)n111n2k1n2n0n2k，f(x)1sin(2n1)x,x(,0)U(0,)故n12n1為所求

9、x1111L(1)2，則4357?。?111L357(2)由4得1111123915L21，111111L于是341257111317；x3111111L3，則4257111317(3)取，3111111L所以6571113174設(shè)函數(shù)f(x)滿足條件f(x)f(x)，問(wèn)此函數(shù)在,內(nèi)的傅里葉級(jí)數(shù)擁有什么特點(diǎn)解：由于f(x)滿足條件f(x)f(x)，所以f(x2)f(x)f(x)，即f(x)是以2為周期的函數(shù)于是由系數(shù)公式得1f(t)dt1f(x)dx000當(dāng)n1時(shí)，2f(x)cosnxdxn2k100n2k2f(x)sinnxdxn2k100n2k，故當(dāng)f(x)f(x)時(shí)，函數(shù)f(x)在,內(nèi)的

10、傅里葉級(jí)數(shù)的特點(diǎn)是a2k0，b2k05設(shè)函數(shù)f(x)滿足條件：f(x)f(x)，問(wèn)此函數(shù)在,內(nèi)的傅里葉級(jí)數(shù)擁有什么特點(diǎn)解：由于f(x)滿足條件f(x)f(x)，所以f(x2)f(x)f(x)，即f(x)是以2為周期的函數(shù)于是由系數(shù)公式得112f(t)dtf(x)dxf(x)dx000當(dāng)n1時(shí)，200200f(x)cosnxdxn2kn2k1f(x)sinnxdxn2kn2k1，故當(dāng)f(x)f(x)時(shí)，函數(shù)f(x)在,內(nèi)的傅里葉級(jí)數(shù)的特點(diǎn)是a2k10，b2k106試證函數(shù)系cosnx,n0,1,2,L和sinnx,n1,2,L都是0,上的正交函數(shù)系，但他們合起來(lái)的卻不是0,上的正交函數(shù)系證：就函

11、數(shù)系1,cosx,cos2x,L,cosnx,L，1,1dx，由于n，0cosnx,cosnxcos2nxdx1(cos2nx1)dx0202，又1,cosnxcosnxdx00；m,n，mn時(shí)，1cos(mn)xdx1cos(mn)xdx2200所以1,cosx,cos2x,L,cosnx,L在0,就函數(shù)系sinx,sin2x,L,sinnx,L，0上是正交系由于n，sinnx,sinnxsin2nxdx1(1cos2nx)dx0202，又m,n，mn時(shí)，11cos(mn)xdx0cos(mn)xdx2020所以sinx,sin2x,L,sinnx,L在0,上是正交系但1,sinx,cosx

12、,sin2x,cos2x,L,sinnx,cosnx,L不是0,上的正交系1,sinxsinxdx10實(shí)因：0求以下函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)張開式f(x)xx22,0(1)；f(x)x,0 x2解：2y作周期延拓的圖象以下其按段圓滑，故可張開為傅里葉級(jí)數(shù)2由系數(shù)公式得2O24x4321212a0f(x)dx00當(dāng)n1時(shí)，xdx02x212nsinnx|02n2sinnxdx00，22xcosnx|010cosnxdx12n2nn，f(x)sinnx所以n1n，x(0,2)為所求(2)f(x)1cosx,x；解：f(x)1cosx,x作周期延拓的圖象以下其按段圓滑，故可張開為傅里葉級(jí)數(shù)2x2sinxx0

13、f(x)1cosx2sin222sinx0 x由于2，所以由系數(shù)公式得20當(dāng)n1時(shí)，220 x2x42sindxsindx202sinxcosnxdx422(4n21)20sinx2x0bnsinnxdxsinsinnxdx20222421cosnxf(x)n14n2,)所以1，x(f(0)f(0)2f()而x2時(shí)，故f(x)22421cosnx，xn14n21,為所求(3)f(x)ax2bxc,(i)0 x2,(ii)x；解：(i)由系數(shù)公式得1282abxc)dx2b2c(ax230當(dāng)n1時(shí)，4an2，4a2nn，f(x)ax2bxc42acb故34a4a2bn1n2cosnxnsinnx

14、,x(0,2)為所求由系數(shù)公式得a01f(x)dx1(ax2bxc)dx22a2c3當(dāng)n1時(shí)，(1)n4a2n，(1)n12b，f(x)ax2bxc22ac故3(1)n4a2cosnx(1)n2bsinnx,x(,)n1nn為所求(4)f(x)chx,x；解：由系數(shù)公式得a01f(x)dx1chxdx2sh當(dāng)n1時(shí)，n2sh1(1)n2n2an，an(1)n2sh所以(n21)1shxsinnx|1chxsinnxdx1n2n2n2bn，所以bn0，f(x)chx2sh1(1)n1cosnx故2n1n21，x(,)為所求(5)f(x)shx,x解：由系數(shù)公式得1f(x)dx1shxdx0a01

15、shxcosnxdx0當(dāng)n1時(shí)，ann121(1)nshn2bn，bn(1)n12nshx所以(n21)，f(x)shx(1)n12nshsinnx故n1(n21)，x(,)為所求11226x28f(x)(3x2)n1n26求函數(shù)12的傅里葉級(jí)數(shù)張開式并應(yīng)用它推出f(x)ax2bxc42abc解：由34a4a2b)得n1n2cosnxnsinnx,x(0,21cosnx，x(0,2)n1n22f(00)f(20)6而，故由收斂定理得2f(00)f(20)1162n1n2cos0n1n29設(shè)f(x)為,上圓滑函數(shù)，f()f()且an,bn為f(x)的傅里葉系數(shù)，an,bn為f(x)的導(dǎo)函數(shù)f(x

16、)的傅里葉系數(shù)證明a00,annbn,bnnan(n1,2,L)證：由于f(x)為,上圓滑函數(shù)，所以f(x)為,上的連續(xù)函數(shù)，故可積由系數(shù)公式得a01f(x)dx1f()f()01f(x)cosnxdx當(dāng)n1an時(shí)，1f(x)cosnx|nf(x)sinnxdxnbn故結(jié)論成立a0(ancosnxbnsinnx)102中的系數(shù)an,bn滿足關(guān)系證明：若三角級(jí)數(shù)n1supn3an,n3bnMn，M為常數(shù)，則上述三角級(jí)數(shù)收斂，且其和函數(shù)擁有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)u0(x)a0證：設(shè)2，un(x)ancosnxbnsinnx，n1,2,L則n0，un(x)在R上連續(xù)，且u0(x)0，un(x)nansinnx

17、nbncosnx亦在R上連續(xù)又xR，un(x)nansinnxnbncosnx2M2n2M而n2收斂，所以u(píng)n(x)nbncosnxnansinnx在R上一致收斂a0(ancosnxbnsinnx)s(x)故設(shè)2n1，則s(x)(nancosnxnbnsinnx)且n1在R上連續(xù)15.2以2l為周期的函數(shù)的張開一基本內(nèi)容一、以2l為周期的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)xlt設(shè)f(x)是以2l為周期的函數(shù)，作代替，則F(t)ltf是以2為周期的函數(shù)，且f(x)在(l,l)上可積F(t)在(,)上可積a0ancosntbnsinntF(t):于是2n1，an11F(t)sinntdt其中F(t)cosntdt,

18、bntxl得令F(t)fltf(x)sinntsinnx,cosntcosnx，ll，a0nxnx從而f(x):2ancoslbnsinln1an1lf(x)cosnxdx,ll其中l(wèi)bn1lf(x)sinnxdxlll上式就是以2l為周期的函數(shù)f(x)的傅里葉系數(shù)在按段圓滑的條件下，亦有f(x0)f(x0)a0nxnx22ancosbnsinn1ll其只含余弦項(xiàng)，故稱為余弦級(jí)數(shù)同理，設(shè)f(x)是以2l為周期的奇函數(shù)，則f(x)cosnx奇，f(x)sinnx偶1lf(x)cosnxdx0anl于是ll，1lnx2bnf(x)sindxllllf(x):a0nx2n1ansin從而l其只含正弦

19、項(xiàng)，故稱為正弦級(jí)數(shù)由此可知，函數(shù)l0nxf(x)sindxly要張開為余弦級(jí)數(shù)必定作偶延拓%f(x)x(0,l)f(x)f(x)x(l,0)，偶延拓函數(shù)f(x),x(0,l)要展開為正弦級(jí)數(shù)必定作奇延拓奇延拓lOlxylOlx%f(x)x(0,l)f(x)f(x)x(l,0)二習(xí)題解答求以下周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)張開式(1)f(x)cosx(周期)；解：函數(shù)f(x)cosx，x,22延拓后的函數(shù)以以下列圖yf(x)是偶函數(shù)，故其張開式為余弦級(jí)數(shù)由于f(x)按段圓滑，所以可張開為傅里葉級(jí)數(shù)，又l3O3x因2，所以由系數(shù)公式得222242a042cosxdx2cosxdx20當(dāng)n1時(shí)，(1)n2(1

20、)n12(1)n141)(2n1)(2n1)(4n222cosxsinnxdx0bn2f(x)cosx24(1)n11cos2nx故n14n21，x(,)為所求(2)f(x)xx(周期1)；解：函數(shù)f(x)xx，x1,122延拓后的函數(shù)以以下列圖由于f(x)按段圓滑，所以可張開為傅里葉級(jí)數(shù)l1因2，所以由系數(shù)公式得111a0221xxdx2xxdx2xdx1200當(dāng)n1時(shí)，1111xsin2nx|0n0sin2nxdx0n1xcos2n1111x|00cos2nxdxnnnf(x)xx111sin2nx,)為所求故2n1n，x(3)f(x)sin4x(周期)；解：函數(shù)f(x)sin4x，x2,

21、2延拓后的函數(shù)以以下列圖由于f(x)按段圓滑，所以可張開為傅里葉級(jí)數(shù)，又f(x)是偶函數(shù)，故其張開式為余弦級(jí)數(shù)l因2，所以由系數(shù)公式得420311cos4xdx3cos2x8284當(dāng)n1時(shí)，12n10n1,n21n2822cosxsinnxdx0bn2f(x)sin4x31cos2x1cos4x)為所求故828，x(,f(x)sgn(cosx)(周期2)解：函數(shù)f(x)sgn(cosx)，x(,)延拓后的函數(shù)以以下列圖由于f(x)按段圓滑，所以可張開為傅里葉級(jí)數(shù)，又f(x)是偶函數(shù)，故其張開式為余弦級(jí)數(shù)因l，所以由系數(shù)公式得a012sgn(cosx)dx0sgn(cosx)dx0an2sgn(

22、cosx)cosnxdx當(dāng)n1時(shí)，00n2k4n(1)k4n2k1sin(2kn21)bn2sgn(cosx)sinnxdx0f(x)sgn(cosx)4(1)ncos(2n1)x故n12n1，x(,)x0 x1f(x)11x22求函數(shù)3x2x3的傅里葉級(jí)數(shù)并談?wù)撈涫諗啃越猓汉瘮?shù)f(x)，x(0,3)延拓后的函數(shù)以以下列圖由于f(x)按段圓滑，所以可張開為傅里葉級(jí)數(shù)，又f(x)是偶函數(shù)，故其張開式為余弦級(jí)數(shù)3l因2，所以由系數(shù)公式得232122234a0f(x)dxxdx3dx(3x)dx30301323當(dāng)n1時(shí)，32cos2n3n23n22bn2f(x)sinnxdx0故f(x)2311co

23、s2ncos2nx32n1n2n233，x(,)為所求3f(x)2x上張開成余弦級(jí)數(shù)將函數(shù)在0,f(x)2x0,作偶延拓后的函數(shù)以以下列圖解：函數(shù)，x由于f(x)按段圓滑，所以可張開為傅里葉級(jí)數(shù)，又f(x)是偶函數(shù)，故其張開式為余弦級(jí)數(shù)由系數(shù)公式得a2xdxx1x20002220當(dāng)n1時(shí)，4n2k1n20n2kbn0f(x)x412cos(2n1)x,x0,(2n故2n11)f(x)cosx在0,上張開成正弦級(jí)數(shù)4將函數(shù)2f(x)cosx0,作偶延拓后的函數(shù)以以下列圖解：函數(shù)2，x由于f(x)按段圓滑，所以可張開為傅里葉級(jí)數(shù)，又f(x)是奇函數(shù)，故其張開式為正弦級(jí)數(shù)由系數(shù)公式得an0,n0,1

24、,2,L8n(4n21)故在0,f(x)cosx8nsinnx上2n14n21為所求f(x)1x0 x2x32x45把函數(shù)在(0,4)上張開成余弦級(jí)數(shù)解：函數(shù)f(x)，x(0,4)延拓后的函數(shù)以以下列圖由于f(x)按段圓滑，所以可張開為傅里葉級(jí)數(shù)，又f(x)是偶函數(shù)，故其張開式為余弦級(jí)數(shù)因l4，所以由系數(shù)公式得a02412x)dx143)dx04f(x)dx2(12(x002an24f(x)cosnxdx當(dāng)n1時(shí)，404f(x)1x0 x281cos(2n1)x所以x32x42n1(2n1)22為所求6把函數(shù)f(x)2x1在(0,1)上張開成余弦級(jí)數(shù)，并推出26111L2232解：函數(shù)f(x)

25、，x(0,1)延拓為以2為周期的函數(shù)以以下列圖由于f(x)按段圓滑，所以可張開為傅里葉級(jí)數(shù)，又f(x)是偶函數(shù)，故其張開式為余弦級(jí)數(shù)因l4，所以由系數(shù)公式得1)2dx2a02f(x)dx2(x11003an211)2cosnxdx當(dāng)n1(x時(shí)，04n22bn0(x2141cosnx,x0,1所以1)32n1n2141120得1令x32n1n2，即n1n26求以下函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)張開式(1)f(x)arcsin(sinx)；解：函數(shù)f(x)arcsin(sinx)是以2為周期的函數(shù)以以下列圖由于f(x)按段圓滑，所以可張開為傅里葉級(jí)數(shù)，又f(x)是奇函數(shù)，故其張開式為正弦級(jí)數(shù)由系數(shù)公式得an0,

26、n0,1,2,L所以f(x)4(1)narcsin(sinx)n1(2n1)2sin(2n1)x，xR(2)f(x)arcsin(cosx)解：函數(shù)f(x)arcsin(cosx)是以2為周期的函數(shù)以以下列圖y由于f(x)按段圓滑，所以可張開為傅里葉級(jí)數(shù)，又f(x)是偶函數(shù)，故其張開式為余弦級(jí)數(shù)2由系數(shù)公式得a0230O32x0arcsin(cosx)dx2222，當(dāng)n1時(shí)，0n2k42n2k1nbn0,n1,2,Lf(x)arcsin(cosx)41cos(2n1)x2所以n1(2n1)，xR0,2f(x)延拓到區(qū)間,內(nèi)，使他們的傅里葉級(jí)數(shù)為如8試問(wèn)如何把定義在上的可積函數(shù)下的形式a2n1c

27、os(2n1)x(2)b2n1sin(2n1)x(1)n1；n1解：(1)先把f(x)延拓到0,上，方法以下：f(x)0 xf(x)2f(x)2x；再把f(x)延拓到0,2上，方法以下：f?(x)f(x)0 xf(2x)x2其圖象以下由于f(x)按段圓滑，所以可張開為傅里葉級(jí)數(shù)，又f(x)是偶函數(shù)，故其張開式為余弦級(jí)數(shù)由系數(shù)公式得a02f(x)dx00，12bnf(x)sinnxdx0當(dāng)n1時(shí)，042f(x)cosnxdxn2k100n2kf(x)a2n1cos(2n1)xx0,所以n12(2)先把f(x)延拓到0,上，方法以下f(x)0 x2f(x)f(x)2x；再把f(x)延拓到0,2上，

28、方法以下f?(x)f(x)0 xf(2x)x2其圖象以下yyf(x)3f(x)是偶函數(shù)，故其張開式為余弦級(jí)數(shù)由于f(x)按段圓滑，所以可張開為傅里葉級(jí)數(shù)，又22由系數(shù)公式得O2x2f(x)dx02a00，12anf(x)cosnxdx0當(dāng)n1時(shí)，042f(x)sinnxdxn2k100n2kf(x)b2n1sin(2n1)xx0,所以n1215.3收斂定理的證明一基本內(nèi)容一、貝塞爾(Bessel)不等式定理1設(shè)f(x)在,上可積，則a02an2bn21f2(x)dx2n1,其中an,bn為f(x)的傅里葉系數(shù)推論1設(shè)f(x)在,上可積，則limf(x)cosnxdx0limf(x)sinnxd

29、x0n,n推論2設(shè)f(x)在,上可積，則lim0f(x)sinn1xdx0n2，lim0f(x)sinn1xdx02n定理2設(shè)以2為周期的函數(shù)f(x)在,上可積，則1sinn1tf(xt)2dt2sint，此稱為f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)的部分和的積分表達(dá)式二、收斂性定理的證明定理3(收斂性定理)設(shè)以2為周期的函數(shù)f(x)在,上按段圓滑，則limf(x0)f(x0)Sn(x)022n，定理4若是f(x)在,上有有限導(dǎo)數(shù)，或有有限的兩個(gè)單側(cè)導(dǎo)數(shù)，則f(x0)f(x0)a0ancosnxbnsinnx22n1定理5若是f(x)在,按段單調(diào)，則f(x0)f(x0)a0ancosnxbnsinnx22n1二

30、習(xí)題解答1設(shè)f(x)以2為周期且擁有二階連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)，證明f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)在(,)上一致收斂于f(x)證：由題目設(shè)知f(x)與f(x)是以2為周期的函數(shù)，且圓滑，a0(ancosnxbnsinnx)f(x)故2n1，a0(ancosnxbnsinnx)f(x)2n1，a01f(x)dx1f()f()0且an1f(x)cosnxdx當(dāng)n1時(shí)，1f(x)cosnx|nf(x)sinnxdxnbnanbnanbn1211bn21nn2ann22n2于是122)1(anbn22n(an2bn2)1由貝塞爾不等式得n1收斂，又n1n2收斂，a0anbn從而2n1收斂，a0(ancosnxbnsinn

31、x)故2n1)在(,2設(shè)f為,上可積函數(shù)，證明：若f上一致收斂的傅里葉級(jí)數(shù)在,上一致收斂于f，則成立貝塞爾(Parseval)等式1f2(x)dxa02an2bn22n1，這里an,bn為f的傅里葉系數(shù)a0mancosnxbnsinnxSm證：設(shè)2n1，由于f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)在,上一致收斂于f(x)，所以0,N0，“mN,x,f(x)Sm”于是f(x)Sm,f(x)Sm2而2mf2(x)dxa0a2b22n1nn所以mN時(shí)，2mf2(x)dxa0an2bn222n1，a02221f2(x)dx2anbn故n13由于貝塞爾等式對(duì)于在,上滿足收斂定理?xiàng)l件的函數(shù)也成立請(qǐng)應(yīng)用這個(gè)結(jié)果證明以下各式21

32、2141(1)8n1(2n1)2；(2)6n1n2；(3)90n44x0f(x)解：(1)取40 x，由1習(xí)題3得f(x)sin(2n1)x,x(,0)U(0,)n12n1121dx1)2由貝塞爾等式得16n1(2n，211)2即8n1(2n(2)取f(x)x,x(,)，由1習(xí)題1(1)得f(x)2(1)n1sinnx,x(,)n1n1(1)n122x2dx由貝塞爾等式得n1n，21故6n1n2(3)取f(x)x2,x,，由1習(xí)題1(2)得22ncosx,)x34n1(1)n2,x(22(1)n21x4dx14由貝塞爾等式得23n1n2，41故90n44證明：若f,g均為,上可積函數(shù)，且他們的

33、傅里葉級(jí)數(shù)在g，則1f(x)g(x)dxa00(ann2n1,上分別一致收斂于f和bnn)其中an,bn為f的傅里葉系數(shù)，f(x)a02證：由題設(shè)知g(x)021f(x)g(x)dx于是n,n為g的傅里葉系數(shù)(ancosnxbnsinnx)n1，(ncosnxnsinnx)n1f(x),g(x)f(x),0a0ancosnxbnsinnx,0而22n12ancosnx,ncosnxann，bncosnx,ncosnxbnn，1a00(anbnn)f(x)g(x)dxn所以2n15證明若f及其導(dǎo)函數(shù)f均在f(x)dx0,上可積,f()f()，且成立貝塞爾等式，則f2dx2(x)f(x)dx證：由

34、于f(x)、f(x)在,上可積，f(x)dx0，f()f()，a0(ancosnxbnsinnx)f(x)設(shè)2n1，a0(ancosnxbnsinnx)f(x)2n1，由系數(shù)公式得a011f()f()0f(x)dxan1f(x)cosnxdx當(dāng)n1時(shí)，1f(x)cosnx|nf(x)sinnxdxnbn于是由貝塞爾等式得2f(x)dx總練習(xí)題15試求三角多項(xiàng)式的傅里葉級(jí)數(shù)張開式nA0(AkcoskxBksinkx)Tn(x)解：由于2k1是以2為周期的圓滑函數(shù)，所以可展為傅里葉級(jí)數(shù)，由系數(shù)公式得a0Tn(x),1A0n(AkcoskxBksinkx),1A02k1，當(dāng)k1時(shí)，A0n(AkcoskxBksinkx),coskxAkkn2k10kn，A0nBkkn(AkcoskxBksinkx),sinkx2k10kn，nTn(x)A0(AkcoskxBksinkx)故在(,2)，k1的傅里葉級(jí)數(shù)就是其自己2設(shè)f為,上可積函數(shù)，a0,ak,bk(k1,2,L,n