復(fù)變函數(shù)（全套課件）

1、復(fù)變函數(shù)第一節(jié) 復(fù)數(shù)及其代數(shù)運(yùn)算一、復(fù)數(shù)的概念二、復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算三、小結(jié)與思考一、復(fù)數(shù)的概念1. 虛數(shù)單位:2.復(fù)數(shù): 兩復(fù)數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的實(shí)部和虛部分別相等. 復(fù)數(shù) z 等于0當(dāng)且僅當(dāng)它的實(shí)部和虛部同時(shí)等于0.說(shuō)明 兩個(gè)數(shù)如果都是實(shí)數(shù),可以比較它們的大小, 如果不全是實(shí)數(shù), 就不能比較大小, 也就是說(shuō), 復(fù)數(shù)不能比較大小.二、復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算1. 兩復(fù)數(shù)的和:2. 兩復(fù)數(shù)的積:3. 兩復(fù)數(shù)的商:4. 共軛復(fù)數(shù): 實(shí)部相同而虛部絕對(duì)值相等符號(hào)相反的兩個(gè)復(fù)數(shù)稱(chēng)為共軛復(fù)數(shù).例1解5. 共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì):以上各式證明略.例2解例3 解三、小結(jié)與思考 本課學(xué)習(xí)了復(fù)數(shù)的有關(guān)概念、性質(zhì)及其運(yùn)算. 重點(diǎn)掌握

2、復(fù)數(shù)的運(yùn)算, 它是本節(jié)課的重點(diǎn).思考題復(fù)數(shù)為什么不能比較大??？思考題答案由此可見(jiàn), 在復(fù)數(shù)中無(wú)法定義大小關(guān)系.放映結(jié)束，按Esc退出.第二節(jié) 復(fù)數(shù)的幾何表示一、復(fù)平面二、復(fù)球面三、小結(jié)與思考一、復(fù)平面1. 復(fù)平面的定義2. 復(fù)數(shù)的模(或絕對(duì)值)顯然下列各式成立3. 復(fù)數(shù)的輻角說(shuō)明輻角不確定.輻角主值的定義:4. 利用平行四邊形法求復(fù)數(shù)的和差 兩個(gè)復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算與相應(yīng)的向量的加減法運(yùn)算一致.5. 復(fù)數(shù)和差的模的性質(zhì)利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系復(fù)數(shù)可以表示成復(fù)數(shù)的三角表示式再利用歐拉公式復(fù)數(shù)可以表示成復(fù)數(shù)的指數(shù)表示式歐拉介紹6.復(fù)數(shù)的三角表示和指數(shù)表示例1 將下列復(fù)數(shù)化為三角表示式與指數(shù)表示式:解

3、故三角表示式為指數(shù)表示式為故三角表示式為指數(shù)表示式為例2解所以它的復(fù)數(shù)形式的參數(shù)方程為例3求下列方程所表示的曲線:解化簡(jiǎn)后得二、復(fù)球面1. 南極、北極的定義 球面上的點(diǎn), 除去北極 N 外, 與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)之間存在著一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系. 我們可以用球面上的點(diǎn)來(lái)表示復(fù)數(shù).我們規(guī)定: 復(fù)數(shù)中有一個(gè)唯一的“無(wú)窮大”與復(fù)平面上的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)相對(duì)應(yīng), 記作. 因而球面上的北極 N 就是復(fù)數(shù)無(wú)窮大的幾何表示. 球面上的每一個(gè)點(diǎn)都有唯一的復(fù)數(shù)與之對(duì)應(yīng), 這樣的球面稱(chēng)為復(fù)球面.2. 復(fù)球面的定義3. 擴(kuò)充復(fù)平面的定義包括無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)在內(nèi)的復(fù)平面稱(chēng)為擴(kuò)充復(fù)平面.不包括無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)在內(nèi)的復(fù)平面稱(chēng)為有限復(fù)平面, 或簡(jiǎn)稱(chēng)復(fù)平面.對(duì)于

4、復(fù)數(shù)來(lái)說(shuō), 實(shí)部,虛部,輻角等概念均無(wú)意義, 它的模規(guī)定為正無(wú)窮大.復(fù)球面的優(yōu)越處:能將擴(kuò)充復(fù)平面的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)明顯地表示出來(lái).三、小結(jié)與思考 學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容有復(fù)數(shù)的模、輻角;復(fù)數(shù)的各種表示法. 并且介紹了復(fù)平面、復(fù)球面和擴(kuò)充復(fù)平面. 注意：為了用球面上的點(diǎn)來(lái)表示復(fù)數(shù)，引入了無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)與無(wú)窮大這個(gè)復(fù)數(shù)相對(duì)應(yīng), 所謂無(wú)窮大是指模為正無(wú)窮大（輻角無(wú)意義）的唯一的一個(gè)復(fù)數(shù)，不要與實(shí)數(shù)中的無(wú)窮大或正、負(fù)無(wú)窮大混為一談思考題是否任意復(fù)數(shù)都有輻角?思考題答案否.它的模為零而輻角不確定.放映結(jié)束，按Esc退出.Leonhard EulerBorn: 15 April 1707 in Basel, Swit

5、zerlandDied: 18 Sept 1783 in St Petersburg, Russia歐拉資料第三節(jié) 復(fù)數(shù)的乘冪與方根一、乘積與商二、冪與根三、小結(jié)與思考一、乘積與商定理一 兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的模等于它們的模的乘積; 兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的輻角等于它們的輻角的和.證從幾何上看, 兩復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量分別為兩復(fù)數(shù)相乘就是把模數(shù)相乘, 輻角相加.例1解例2解如圖所示, 說(shuō)明由于輻角的多值性, 兩端都是無(wú)窮多個(gè)數(shù)構(gòu)成的兩個(gè)數(shù)集.對(duì)于左端的任一值, 右端必有值與它相對(duì)應(yīng).例如，由此可將結(jié)論推廣到 n 個(gè)復(fù)數(shù)相乘的情況:定理二 兩個(gè)復(fù)數(shù)的商的模等于它們的模的商; 兩個(gè)復(fù)數(shù)的商的輻角等于被除數(shù)與除數(shù)的輻角之差

6、.證按照商的定義, 證畢二、冪與根1. n次冪:推導(dǎo)過(guò)程如下:從幾何上看, 例3解即例4解即三、小結(jié)與思考 應(yīng)熟練掌握復(fù)數(shù)乘積與商的運(yùn)算. 在各種形式中以三角形式、指數(shù)形式最為方便:放映結(jié)束，按Esc退出.Abraham de Moivre棣莫佛資料Born: 26 May 1667 in Vitry (near Paris), FranceDied: 27 Nov 1754 in London, England第四節(jié) 區(qū) 域一、區(qū)域的概念二、單連通域與多連通域三、典型例題四、小結(jié)與思考一、區(qū)域的概念1. 鄰域:說(shuō)明2.去心鄰域:說(shuō)明3.內(nèi)點(diǎn):4.開(kāi)集: 如果 G 內(nèi)每一點(diǎn)都是它的內(nèi)點(diǎn),那末G

7、 稱(chēng)為開(kāi)集.5.區(qū)域: 如果平面點(diǎn)集D滿足以下兩個(gè)條件,則稱(chēng)它為一個(gè)區(qū)域.(1) D是一個(gè)開(kāi)集；(2) D是連通的,就是說(shuō)D中任何兩點(diǎn)都可以用完全屬于D的一條折線連結(jié)起來(lái).6.邊界點(diǎn)、邊界: 設(shè)D是復(fù)平面內(nèi)的一個(gè)區(qū)域,如果點(diǎn) P 不屬于D, 但在 P 的任意小的鄰域內(nèi)總有D中的點(diǎn),這樣的 P 點(diǎn)我們稱(chēng)為D的邊界點(diǎn).D的所有邊界點(diǎn)組成D的邊界.說(shuō)明 (1) 區(qū)域的邊界可能是由幾條曲線和一些孤立的點(diǎn)所組成的. (2) 區(qū)域D與它的邊界一起構(gòu)成閉區(qū)域 以上基本概念的圖示區(qū)域鄰域邊界點(diǎn)邊界7.有界區(qū)域和無(wú)界區(qū)域:(1) 圓環(huán)域:課堂練習(xí)判斷下列區(qū)域是否有界?(2) 上半平面:(3) 角形域:(4) 帶

8、形域:答案(1)有界; (2) (3) (4)無(wú)界.二、單連通域與多連通域1. 連續(xù)曲線:平面曲線的復(fù)數(shù)表示:2. 光滑曲線: 由幾段依次相接的光滑曲線所組成的曲線稱(chēng)為按段光滑曲線.3. 簡(jiǎn)單曲線: 沒(méi)有重點(diǎn)的曲線 C 稱(chēng)為簡(jiǎn)單曲線(或若爾當(dāng)曲線).換句話說(shuō), 簡(jiǎn)單曲線自身不相交. 簡(jiǎn)單閉曲線的性質(zhì): 任意一條簡(jiǎn)單閉曲線 C 將復(fù)平面唯一地分成三個(gè)互不相交的點(diǎn)集.內(nèi)部外部邊界課堂練習(xí)判斷下列曲線是否為簡(jiǎn)單曲線?答案簡(jiǎn)單閉簡(jiǎn)單不閉不簡(jiǎn)單閉不簡(jiǎn)單不閉4. 單連通域與多連通域的定義: 復(fù)平面上的一個(gè)區(qū)域B, 如果在其中任作一條簡(jiǎn)單閉曲線, 而曲線的內(nèi)部總屬于B, 就稱(chēng)為單連通域. 一個(gè)區(qū)域如果不是單

9、連通域, 就稱(chēng)為多連通域.單連通域多連通域三、典型例題例1 指明下列不等式所確定的區(qū)域, 是有界的還是無(wú)界的,單連通的還是多連通的.解無(wú)界的單連通域(如圖).是角形域,無(wú)界的單連通域(如圖).無(wú)界的多連通域. 表示到1, 1的距離之和為定值4的點(diǎn)的軌跡, 是橢圓,有界的單連通域.例2解 滿足下列條件的點(diǎn)集是什么, 如果是區(qū)域, 指出是單連通域還是多連通域?是一條平行于實(shí)軸的直線, 不是區(qū)域.單連通域.是多連通域.不是區(qū)域.四、小結(jié)與思考應(yīng)理解區(qū)域的有關(guān)概念:鄰域、去心鄰域、內(nèi)點(diǎn)、開(kāi)集、邊界點(diǎn)、邊界、區(qū)域、有界區(qū)域、無(wú)界區(qū)域理解單連通域與多連通域.放映結(jié)束，按Esc退出.第五節(jié) 復(fù)變函數(shù)一、復(fù)變

10、函數(shù)的定義二、映射的概念三、典型例題四、小結(jié)與思考一、復(fù)變函數(shù)的定義1.復(fù)變函數(shù)的定義:2.單(多)值函數(shù)的定義:3.定義集合和函數(shù)值集合:4. 復(fù)變函數(shù)與自變量之間的關(guān)系:例如,二、映射的概念1. 引入:2.映射的定義:3. 兩個(gè)特殊的映射:且是全同圖形.根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法公式可知,(如下頁(yè)圖) 將第一圖中兩塊陰影部分映射成第二圖中同一個(gè)長(zhǎng)方形.4. 反函數(shù)的定義:根據(jù)反函數(shù)的定義,當(dāng)反函數(shù)為單值函數(shù)時(shí), 今后不再區(qū)別函數(shù)與映射.解三、典型例題例1還是線段.例1解例1解仍是扇形域.例2解所以象的參數(shù)方程為四、小結(jié)與思考 復(fù)變函數(shù)以及映射的概念是本章的一個(gè)重點(diǎn).注意：復(fù)變函數(shù)與一元實(shí)變函數(shù)的定義完

11、全一樣,只要將后者定義中的“實(shí)數(shù)”換為“復(fù)數(shù)”就行了.思考題“函數(shù)”、“映射”、“變換”等名詞有無(wú)區(qū)別？思考題答案 在復(fù)變函數(shù)中, 對(duì)“函數(shù)”、“映射”、“變換”等名詞的使用, 沒(méi)有本質(zhì)上的區(qū)別. 只是函數(shù)一般是就數(shù)的對(duì)應(yīng)而言, 而映射與變換一般是就點(diǎn)的對(duì)應(yīng)而言的.放映結(jié)束，按Esc退出.第六節(jié) 復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)性一、函數(shù)的極限二、函數(shù)的連續(xù)性三、小結(jié)與思考一、函數(shù)的極限1.函數(shù)極限的定義:注意:2. 極限計(jì)算的定理定理一證根據(jù)極限的定義(1) 必要性.(2) 充分性.證畢說(shuō)明定理二與實(shí)變函數(shù)的極限運(yùn)算法則類(lèi)似.例1證 (一)根據(jù)定理一可知,證 (二)例2證根據(jù)定理一可知,二、函數(shù)的連續(xù)性

12、1. 連續(xù)的定義:定理三例如,定理四特殊的:(1) 有理整函數(shù)(多項(xiàng)式)(2) 有理分式函數(shù)在復(fù)平面內(nèi)使分母不為零的點(diǎn)也是連續(xù)的.例3證三、小結(jié)與思考 通過(guò)本課的學(xué)習(xí), 熟悉復(fù)變函數(shù)的極限、連續(xù)性的運(yùn)算法則與性質(zhì). 注意:復(fù)變函數(shù)極限的定義與一元實(shí)變函數(shù)極限的定義雖然在形式上相同, 但在實(shí)質(zhì)上有很大的差異, 它較之后者的要求苛刻得多.思考題思考題答案沒(méi)有關(guān)系.極限值都是相同的.放映結(jié)束，按Esc退出.第一節(jié) 解析函數(shù)的概念一、復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分二、解析函數(shù)的概念三、小結(jié)與思考一、復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分1.導(dǎo)數(shù)的定義:在定義中應(yīng)注意:例1 解例2 解例3 解2.可導(dǎo)與連續(xù): 函數(shù) f (z) 在

13、 z0 處可導(dǎo)則在 z0 處一定連續(xù), 但函數(shù) f(z) 在 z0 處連續(xù)不一定在 z0 處可導(dǎo).證證畢3.求導(dǎo)法則: 由于復(fù)變函數(shù)中導(dǎo)數(shù)的定義與一元實(shí)變函數(shù)中導(dǎo)數(shù)的定義在形式上完全一致, 并且復(fù)變函數(shù)中的極限運(yùn)算法則也和實(shí)變函數(shù)中一樣, 因而實(shí)變函數(shù)中的求導(dǎo)法則都可以不加更改地推廣到復(fù)變函數(shù)中來(lái), 且證明方法也是相同的.求導(dǎo)公式與法則:4.微分的概念: 復(fù)變函數(shù)微分的概念在形式上與一元實(shí)變函數(shù)的微分概念完全一致.定義特別地, 二、解析函數(shù)的概念1. 解析函數(shù)的定義2. 奇點(diǎn)的定義根據(jù)定義可知:函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析與在區(qū)域內(nèi)可導(dǎo)是等價(jià)的.但是,函數(shù)在一點(diǎn)處解析與在一點(diǎn)處可導(dǎo)是不等價(jià)的概念. 即函數(shù)

14、在一點(diǎn)處可導(dǎo), 不一定在該點(diǎn)處解析.函數(shù)在一點(diǎn)處解析比在該點(diǎn)處可導(dǎo)的要求要高得多.例4 解由本節(jié)例1和例3知:例5解例6解定理以上定理的證明, 可利用求導(dǎo)法則.根據(jù)定理可知:(1) 所有多項(xiàng)式在復(fù)平面內(nèi)是處處解析的.三、小結(jié)與思考 理解復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)與微分以及解析函數(shù)的概念; 掌握連續(xù)、可導(dǎo)、解析之間的關(guān)系以及求導(dǎo)方法. 注意: 復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義與一元實(shí)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義在形式上完全一樣, 它們的一些求導(dǎo)公式與求導(dǎo)法則也一樣, 然而復(fù)變函數(shù)極限存在要求與z 趨于零的方式無(wú)關(guān), 這表明它在一點(diǎn)可導(dǎo)的條件比實(shí)變函數(shù)嚴(yán)格得多.思考題思考題答案反之不對(duì).放映結(jié)束，按Esc退出.第二節(jié) 函數(shù)解析的充要條件

15、 一、主要定理二、典型例題三、小結(jié)與思考一、主要定理定理一柯西介紹黎曼介紹證(1) 必要性.(2) 充分性.由于證畢解析函數(shù)的判定方法:二、典型例題例1 判定下列函數(shù)在何處可導(dǎo), 在何處解析:解不滿足柯西黎曼方程,四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)均連續(xù)指數(shù)函數(shù)四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)均連續(xù)例2 證例3 解例4 證例5解課堂練習(xí)答案例6證例7證根據(jù)隱函數(shù)求導(dǎo)法則,根據(jù)柯西黎曼方程得例8證三、小結(jié)與思考 在本課中我們得到了一個(gè)重要結(jié)論函數(shù)解析的充要條件:掌握并能靈活應(yīng)用柯西黎曼方程.思考題思考題答案放映結(jié)束，按Esc退出.Augustin-Louis CauchyBorn: 21 Aug 1789 in Paris, FranceD

16、ied: 23 May 1857 in Sceaux (near Paris), France柯西資料 Riemann黎曼資料Born: 17 Sept 1826 in Breselenz, Hanover (now Germany)Died: 20 July 1866 in Selasca, Italy第三節(jié) 初等函數(shù)一、指數(shù)函數(shù)二、對(duì)數(shù)函數(shù)三、乘冪 ab 與冪函數(shù)四、三角函數(shù)和雙曲函數(shù)五、反三角函數(shù)和反雙曲函數(shù)六、小結(jié)與思考一、指數(shù)函數(shù)1.指數(shù)函數(shù)的定義:指數(shù)函數(shù)的定義等價(jià)于關(guān)系式:2. 加法定理證例1 解例2 解求出下列復(fù)數(shù)的輻角主值:例3 解二、對(duì)數(shù)函數(shù)1. 定義其余各值為特殊地, 例

17、4 解注意: 在實(shí)變函數(shù)中, 負(fù)數(shù)無(wú)對(duì)數(shù), 而復(fù)變數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)是實(shí)變數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)的拓廣.例5解例6解2. 性質(zhì)證 (3)證畢三、乘冪 與冪函數(shù)1. 乘冪的定義注意:特殊情況: 例7解答案課堂練習(xí)例8解2. 冪函數(shù)的解析性它的 各個(gè)分支在除去原點(diǎn)和負(fù)實(shí)軸的復(fù)平面內(nèi)是解析的,它的 各個(gè)分支在除去原點(diǎn)和負(fù)實(shí)軸的復(fù)平面內(nèi)是解析的,四、三角函數(shù)和雙曲函數(shù)1. 三角函數(shù)的定義將兩式相加與相減, 得現(xiàn)在把余弦函數(shù)和正弦函數(shù)的定義推廣到自變數(shù)取復(fù)值的情況.例9解有關(guān)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的幾組重要公式正弦函數(shù)和余弦函數(shù)在復(fù)平面內(nèi)都是解析函數(shù).(注意：這是與實(shí)變函數(shù)完全不同的)其他復(fù)變數(shù)三角函數(shù)的定義例12解2. 雙曲

18、函數(shù)的定義它們的導(dǎo)數(shù)分別為并有如下公式:它們都是以 為周期的周期函數(shù),五、反三角函數(shù)和反雙曲函數(shù)1. 反三角函數(shù)的定義兩端取對(duì)數(shù)得 同樣可以定義反正弦函數(shù)和反正切函數(shù), 重復(fù)以上步驟, 可以得到它們的表達(dá)式:2. 反雙曲函數(shù)的定義例14解六、小結(jié)與思考 復(fù)變初等函數(shù)是一元實(shí)變初等函數(shù)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的自然推廣, 它既保持了后者的某些基本性質(zhì), 又有一些與后者不同的特性. 如: 1. 指數(shù)函數(shù)具有周期性2. 負(fù)數(shù)無(wú)對(duì)數(shù)的結(jié)論不再成立3. 三角正弦與余弦不再具有有界性4. 雙曲正弦與余弦都是周期函數(shù)思考題 實(shí)變?nèi)呛瘮?shù)與復(fù)變?nèi)呛瘮?shù)在性質(zhì)上有哪些異同?思考題答案 兩者在函數(shù)的奇偶性、周期性、可導(dǎo)性上是

19、類(lèi)似的, 而且導(dǎo)數(shù)的形式、加法定理、正余弦函數(shù)的平方和等公式也有相同的形式. 最大的區(qū)別是, 實(shí)變?nèi)呛瘮?shù)中, 正余弦函數(shù)都是有界函數(shù), 但在復(fù)變?nèi)呛瘮?shù)中, 放映結(jié)束，按Esc退出.第一節(jié) 復(fù)變函數(shù)積分的概念一、積分的定義二、積分存在的條件及其計(jì)算法三、積分的性質(zhì)四、小結(jié)與思考一、積分的定義1.有向曲線: 設(shè)C為平面上給定的一條光滑(或按段光滑)曲線, 如果選定C的兩個(gè)可能方向中的一個(gè)作為正方向(或正向), 那么我們就把C理解為帶有方向的曲線, 稱(chēng)為有向曲線.如果A到B作為曲線C的正向,那么B到A就是曲線C的負(fù)向,簡(jiǎn)單閉曲線正向的定義: 簡(jiǎn)單閉曲線C的正向是指當(dāng)曲線上的點(diǎn)P順此方向前進(jìn)時(shí),

20、鄰近P點(diǎn)的曲線的內(nèi)部始終位于P點(diǎn)的左方. 與之相反的方向就是曲線的負(fù)方向.關(guān)于曲線方向的說(shuō)明: 在今后的討論中,常把兩個(gè)端點(diǎn)中的一個(gè)作為起點(diǎn), 另一個(gè)作為終點(diǎn), 除特殊聲明外, 正方向總是指從起點(diǎn)到終點(diǎn)的方向.2.積分的定義:(關(guān)于定義的說(shuō)明:二、積分存在的條件及其計(jì)算法1. 存在的條件證正方向?yàn)閰?shù)增加的方向,根據(jù)線積分的存在定理,當(dāng) n 無(wú)限增大而弧段長(zhǎng)度的最大值趨于零時(shí), 在形式上可以看成是公式2. 積分的計(jì)算法在今后討論的積分中, 總假定被積函數(shù)是連續(xù)的, 曲線 C 是按段光滑的.例1 解直線方程為這兩個(gè)積分都與路線C 無(wú)關(guān)例2 解(1) 積分路徑的參數(shù)方程為y=x(2) 積分路徑的參

21、數(shù)方程為y=xy=x(3) 積分路徑由兩段直線段構(gòu)成x軸上直線段的參數(shù)方程為1到1+i直線段的參數(shù)方程為例3 解積分路徑的參數(shù)方程為例4 解積分路徑的參數(shù)方程為重要結(jié)論：積分值與路徑圓周的中心和半徑無(wú)關(guān).三、積分的性質(zhì)復(fù)積分與實(shí)變函數(shù)的定積分有類(lèi)似的性質(zhì).估值不等式性質(zhì)(4)的證明兩端取極限得證畢例5解根據(jù)估值不等式知四、小結(jié)與思考 本課我們學(xué)習(xí)了積分的定義、存在條件以及計(jì)算和性質(zhì). 應(yīng)注意復(fù)變函數(shù)的積分有跟微積分學(xué)中的線積分完全相似的性質(zhì). 本課中重點(diǎn)掌握復(fù)積分的一般方法.思考題思考題答案即為一元實(shí)函數(shù)的定積分.放映結(jié)束，按Esc退出.第二節(jié) 柯西古薩基本定理一、問(wèn)題的提出二、基本定理三、典

22、型例題四、小結(jié)與思考一、問(wèn)題的提出觀察上節(jié)例1, 此時(shí)積分與路線無(wú)關(guān). 觀察上節(jié)例4, 觀察上節(jié)例5, 由于不滿足柯西黎曼方程, 故而在復(fù)平面內(nèi)處處不解析. 由以上討論可知, 積分是否與路線有關(guān), 可能決定于被積函數(shù)的解析性及區(qū)域的連通性.二、基本定理柯西古薩基本定理定理中的 C 可以不是簡(jiǎn)單曲線.此定理也稱(chēng)為柯西積分定理.柯西介紹古薩介紹關(guān)于定理的說(shuō)明:(1) 如果曲線 C 是區(qū)域 B 的邊界, (2) 如果曲線 C 是區(qū)域 B 的邊界, 定理仍成立.三、典型例題例1解根據(jù)柯西古薩定理, 有例2證由柯西古薩定理, 由柯西古薩定理, 由上節(jié)例4可知, 例3解根據(jù)柯西古薩定理得四、小結(jié)與思考 通

23、過(guò)本課學(xué)習(xí), 重點(diǎn)掌握柯西古薩基本定理:并注意定理成立的條件.思考題應(yīng)用柯西古薩定理應(yīng)注意什么?思考題答案(1) 注意定理的條件“單連通域”.(2) 注意定理的不能反過(guò)來(lái)用.放映結(jié)束，按Esc退出.Augustin-Louis CauchyBorn: 21 Aug 1789 in Paris, FranceDied: 23 May 1857 in Sceaux (near Paris), France柯西資料 GoursatBorn: 21 May 1858 in Lanzac, Lot, FranceDied: 25 Nov 1936 in Paris, France古薩資料第三節(jié) 基本定理

24、的推廣一、問(wèn)題的提出二、復(fù)合閉路定理三、典型例題復(fù)合閉路定理四、小結(jié)與思考一、問(wèn)題的提出根據(jù)本章第一節(jié)例4可知, 由此希望將基本定理推廣到多連域中.二、復(fù)合閉路定理1. 閉路變形原理得 解析函數(shù)沿閉曲線的積分, 不因閉曲線在區(qū)域內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值.閉路變形原理說(shuō)明: 在變形過(guò)程中曲線不經(jīng)過(guò)函數(shù) f(z) 的不解析的點(diǎn).2. 復(fù)合閉路定理那末三、典型例題例1解依題意知, 根據(jù)復(fù)合閉路定理,例2 解圓環(huán)域的邊界構(gòu)成一條復(fù)合閉路,根據(jù)閉路復(fù)合定理,例3解由復(fù)合閉路定理, 此結(jié)論非常重要, 用起來(lái)很方便, 因?yàn)椴槐厥菆A, a也不必是圓的圓心, 只要a在簡(jiǎn)單閉曲線內(nèi)即可.例4解由上例可知四、小結(jié)與

25、思考 本課所講述的復(fù)合閉路定理與閉路變形原理是復(fù)積分中的重要定理, 掌握并能靈活應(yīng)用它是本章的難點(diǎn).常用結(jié)論:思考題 復(fù)合閉路定理在積分計(jì)算中有什么用? 要注意什么問(wèn)題?思考題答案 利用復(fù)合閉路定理是計(jì)算沿閉曲線積分的最主要方法.使用復(fù)合閉路定理時(shí), 要注意曲線的方向.放映結(jié)束，按Esc退出.第四節(jié) 原函數(shù)與不定積分一、主要定理和定義二、典型例題三、小結(jié)與思考一、主要定理和定義定理一由定理一可知: 解析函數(shù)在單連通域內(nèi)的積分只與起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān), (如下頁(yè)圖)1. 兩個(gè)主要定理:定理二證利用導(dǎo)數(shù)的定義來(lái)證.由于積分與路線無(wú)關(guān),由積分的估值性質(zhì), 此定理與微積分學(xué)中的對(duì)變上限積分的求導(dǎo)定理完全類(lèi)似

26、.證畢2. 原函數(shù)的定義:原函數(shù)之間的關(guān)系:證那末它就有無(wú)窮多個(gè)原函數(shù), 根據(jù)以上討論可知:證畢3. 不定積分的定義:定理三(類(lèi)似于牛頓-萊布尼茲公式)證根據(jù)柯西-古薩基本定理,證畢說(shuō)明: 有了以上定理, 復(fù)變函數(shù)的積分就可以用跟微積分學(xué)中類(lèi)似的方法去計(jì)算.二、典型例題例1解由牛頓-萊布尼茲公式知,例2解(使用了微積分學(xué)中的“湊微分”法)例3解由牛頓-萊布尼茲公式知,例3另解此方法使用了微積分中“分部積分法”例4解利用分部積分法可得課堂練習(xí)答案例5解例6解所以積分與路線無(wú)關(guān),根據(jù)牛萊公式:三、小結(jié)與思考 本課介紹了原函數(shù)、不定積分的定義以及牛頓萊布尼茲公式. 在學(xué)習(xí)中應(yīng)注意與高等數(shù)學(xué)中相關(guān)內(nèi)容

27、相結(jié)合, 更好的理解本課內(nèi)容.思考題 解析函數(shù)在單連通域內(nèi)積分的牛頓萊布尼茲公式與實(shí)函數(shù)定積分的牛頓萊布尼茲公式有何異同?思考題答案兩者的提法和結(jié)果是類(lèi)似的.兩者對(duì)函數(shù)的要求差異很大.放映結(jié)束，按Esc退出.第五節(jié) 柯西積分公式 一、問(wèn)題的提出二、柯西積分公式三、典型例題四、小結(jié)與思考一、問(wèn)題的提出根據(jù)閉路變形原理知, 該積分值不隨閉曲線 C 的變化而改變, 求這個(gè)值.二、柯西積分公式定理證上不等式表明, 只要 R 足夠小, 左端積分的模就可以任意小,根據(jù)閉路變形原理知, 左端積分的值與 R 無(wú)關(guān), 所以只有在對(duì)所有的 R 積分值為零時(shí)才有可能.證畢柯西積分公式柯西介紹關(guān)于柯西積分公式的說(shuō)明:

28、(1) 把函數(shù)在C內(nèi)部任一點(diǎn)的值用它在邊界上的值表示. (這是解析函數(shù)的又一特征)(2) 公式不但提供了計(jì)算某些復(fù)變函數(shù)沿閉路積分的一種方法, 而且給出了解析函數(shù)的一個(gè)積分表達(dá)式.(這是研究解析函數(shù)的有力工具)(3) 一個(gè)解析函數(shù)在圓心處的值等于它在圓周上的平均值.三、典型例題例1解由柯西積分公式例2解由柯西積分公式例3解由柯西積分公式例解根據(jù)柯西積分公式知,例5解例5解由閉路復(fù)合定理, 得例5解例6解根據(jù)柯西積分公式知,比較兩式得課堂練習(xí)答案四、小結(jié)與思考 柯西積分公式是復(fù)積分計(jì)算中的重要公式, 它的證明基于柯西古薩基本定理, 它的重要性在于: 一個(gè)解析函數(shù)在區(qū)域內(nèi)部的值可以用它在邊界上的值

29、通過(guò)積分表示, 所以它是研究解析函數(shù)的重要工具.柯西積分公式:思考題 柯西積分公式是對(duì)有界區(qū)域而言的, 能否推廣到無(wú)界區(qū)域中?思考題答案可以.其中積分方向應(yīng)是順時(shí)針?lè)较?放映結(jié)束，按Esc退出.Augustin-Louis CauchyBorn: 21 Aug 1789 in Paris, FranceDied: 23 May 1857 in Sceaux (near Paris), France柯西資料第六節(jié) 高階導(dǎo)數(shù)一、問(wèn)題的提出二、主要定理三、典型例題四、小結(jié)與思考一、問(wèn)題的提出問(wèn)題:(1) 解析函數(shù)是否有高階導(dǎo)數(shù)? (2) 若有高階導(dǎo)數(shù), 其定義和求法是否與實(shí)變函數(shù)相同?回答:(1)

30、解析函數(shù)有各高階導(dǎo)數(shù). (2) 高階導(dǎo)數(shù)的值可以用函數(shù)在邊界上的值通過(guò)積分來(lái)表示, 這與實(shí)變函數(shù)完全不同.解析函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)的定義是什么?二、主要定理定理證根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義,從柯西積分公式得再利用以上方法求極限至此我們證明了一個(gè)解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然是解析函數(shù).依次類(lèi)推, 利用數(shù)學(xué)歸納法可證證畢高階導(dǎo)數(shù)公式的作用: 不在于通過(guò)積分來(lái)求導(dǎo), 而在于通過(guò)求導(dǎo)來(lái)求積分.三、典型例題例1解根據(jù)復(fù)合閉路定理例2解例3解由柯西古薩基本定理得由柯西積分公式得課堂練習(xí)答案例4解根據(jù)復(fù)合閉路定理和高階導(dǎo)數(shù)公式,例5(Morera定理)證依題意可知參照本章第四節(jié)定理二, 可證明因?yàn)榻馕龊瘮?shù)的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù),例6證不等式

31、即證.四、小結(jié)與思考 高階導(dǎo)數(shù)公式是復(fù)積分的重要公式. 它表明了解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然是解析函數(shù)這一異常重要的結(jié)論, 同時(shí)表明了解析函數(shù)與實(shí)變函數(shù)的本質(zhì)區(qū)別.高階導(dǎo)數(shù)公式思考題 解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)公式說(shuō)明解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與實(shí)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)有何不同?思考題答案這一點(diǎn)與實(shí)變量函數(shù)有本質(zhì)的區(qū)別.放映結(jié)束，按Esc退出.第七節(jié) 解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系 一、調(diào)和函數(shù)的定義二、解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系三、小結(jié)與思考一、調(diào)和函數(shù)的定義定義 調(diào)和函數(shù)在流體力學(xué)和電磁場(chǎng)理論等實(shí)際問(wèn)題中有很重要的應(yīng)用.拉普拉斯二、解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系1. 兩者的關(guān)系定理 任何在區(qū)域 D 內(nèi)解析的函數(shù),它的實(shí)部和虛部都是 D 內(nèi)的調(diào)和

32、函數(shù).證根據(jù)解析函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)定理, 證畢2. 共軛調(diào)和函數(shù)的定義 區(qū)域D內(nèi)的解析函數(shù)的虛部為實(shí)部的共軛調(diào)和函數(shù).3. 偏積分法 如果已知一個(gè)調(diào)和函數(shù) u, 那末就可以利用柯西黎曼方程求得它的共軛調(diào)和函數(shù) v, 從而構(gòu)成一個(gè)解析函數(shù)u+vi. 這種方法稱(chēng)為偏積分法.解例1 得一個(gè)解析函數(shù)這個(gè)函數(shù)可以化為答案課堂練習(xí)例2 解所求解析函數(shù)為4. 不定積分法不定積分法的實(shí)施過(guò)程:將上兩式積分, 得例3解根據(jù)調(diào)和函數(shù)的定義可得所求解析函數(shù)為用不定積分法求解例1中的解析函數(shù) 例4解例5 解用不定積分法求解例2中的解析函數(shù) 例6 解兩邊同時(shí)求導(dǎo)數(shù)所以上面兩式分別相加減可得三、小結(jié)與思考 本節(jié)我們學(xué)習(xí)了調(diào)和函

33、數(shù)的概念、解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系以及共軛調(diào)和函數(shù)的概念.應(yīng)注意的是: 1. 任意兩個(gè)調(diào)和函數(shù)u與v所構(gòu)成的函數(shù)u+iv不一定是解析函數(shù). 2. 滿足柯西黎曼方程ux= vy, vx= uy,的v稱(chēng)為u的共軛調(diào)和函數(shù), u與v注意的是地位不能顛倒.放映結(jié)束，按Esc退出.拉普拉斯資料Pierre-Simon LaplaceBorn: 23 March 1749 in Beaumont-en-Auge, Normandy, FranceDied: 5 March 1827 in Paris, France一、復(fù)數(shù)列的極限二、級(jí)數(shù)的概念第一節(jié) 復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)三、典型例題四、小結(jié)與思考一、復(fù)數(shù)列的極限1

34、.定義記作2.復(fù)數(shù)列收斂的條件那末對(duì)于任意給定的就能找到一個(gè)正數(shù)N,證從而有所以同理反之, 如果從而有定理一說(shuō)明: 可將復(fù)數(shù)列的斂散性轉(zhuǎn)化為判別兩個(gè)實(shí)數(shù)列的斂散性.證畢課堂練習(xí):下列數(shù)列是否收斂? 如果收斂, 求出其極限.二、級(jí)數(shù)的概念1.定義表達(dá)式稱(chēng)為復(fù)數(shù)項(xiàng)無(wú)窮級(jí)數(shù).其最前面 n 項(xiàng)的和稱(chēng)為級(jí)數(shù)的部分和.部分和收斂與發(fā)散說(shuō)明: 與實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)相同, 判別復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的基本方法是:2.復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的條件證因?yàn)槎ɡ矶f(shuō)明 復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂問(wèn)題實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂問(wèn)題(定理二)解所以原級(jí)數(shù)發(fā)散. 課堂練習(xí)必要條件重要結(jié)論:不滿足必要條件,所以原級(jí)數(shù)發(fā)散.啟示: 判別級(jí)數(shù)的斂散性時(shí), 可先考察?級(jí)數(shù)

35、發(fā)散;應(yīng)進(jìn)一步判斷.3. 絕對(duì)收斂與條件收斂注意 應(yīng)用正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法則判定.定理三證由于而根據(jù)實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較準(zhǔn)則, 知由定理二可得證畢非絕對(duì)收斂的收斂級(jí)數(shù)稱(chēng)為條件收斂級(jí)數(shù).說(shuō)明如果 收斂, 那末稱(chēng)級(jí)數(shù) 為絕對(duì)收斂.定義所以綜上:下列數(shù)列是否收斂, 如果收斂, 求出其極限.而解 三、典型例題例1解 所以數(shù)列發(fā)散.例2 解 級(jí)數(shù)滿足必要條件, 但例3故原級(jí)數(shù)收斂, 且為絕對(duì)收斂.因?yàn)樗杂烧?xiàng)級(jí)數(shù)的比值判別法知:解故原級(jí)數(shù)收斂.所以原級(jí)數(shù)非絕對(duì)收斂.例4解四、小結(jié)與思考 通過(guò)本課的學(xué)習(xí), 應(yīng)了解復(fù)數(shù)列的極限概念; 熟悉復(fù)數(shù)列收斂及復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂與絕對(duì)收斂的充要條件;理解復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂、發(fā)散、絕

36、對(duì)收斂與條件收斂的概念與性質(zhì). 思考題思考題答案否.放映結(jié)束，按Esc退出.第二節(jié) 冪級(jí)數(shù)一、冪級(jí)數(shù)的概念二、冪級(jí)數(shù)的斂散性三、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)四、典型例題五、小結(jié)與思考一、冪級(jí)數(shù)的概念1.復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)定義其中各項(xiàng)在區(qū)域 D內(nèi)有定義.表達(dá)式稱(chēng)為復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù), 記作 稱(chēng)為這級(jí)數(shù)的部分和. 級(jí)數(shù)最前面n項(xiàng)的和和函數(shù)稱(chēng)為該級(jí)數(shù)在區(qū)域D上的和函數(shù).如果級(jí)數(shù)在D內(nèi)處處收斂, 那末它的和一定2. 冪級(jí)數(shù)當(dāng)或函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的特殊情形或這種級(jí)數(shù)稱(chēng)為冪級(jí)數(shù).二、冪級(jí)數(shù)的斂散性1.收斂定理(阿貝爾Abel定理)如果級(jí)數(shù)在收斂,那末對(duì)的級(jí)數(shù)必絕對(duì)收斂,如果在級(jí)數(shù)發(fā)散, 那末對(duì)滿足的級(jí)數(shù)必發(fā)散.滿足阿貝爾介紹證由收

37、斂的必要條件, 有因而存在正數(shù)M, 使對(duì)所有的n, 而由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法知:收斂.另一部分的證明請(qǐng)課后完成.證畢2. 收斂圓與收斂半徑對(duì)于一個(gè)冪級(jí)數(shù), 其收斂半徑的情況有三種:(1) 對(duì)所有的正實(shí)數(shù)都收斂.由阿貝爾定理知:級(jí)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)處處絕對(duì)收斂.例如, 級(jí)數(shù)對(duì)任意固定的z, 從某個(gè)n開(kāi)始, 總有于是有故該級(jí)數(shù)對(duì)任意的z均收斂.(2) 對(duì)所有的正實(shí)數(shù)除 z=0 外都發(fā)散.此時(shí), 級(jí)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)除原點(diǎn)外處處發(fā)散.(3) 既存在使級(jí)數(shù)發(fā)散的正實(shí)數(shù), 也存在使級(jí)數(shù)收斂的正實(shí)數(shù).例如,級(jí)數(shù)通項(xiàng)不趨于零, 如圖:故級(jí)數(shù)發(fā)散.收斂圓收斂半徑冪級(jí)數(shù)的收斂范圍是以原點(diǎn)為中心的圓域.答案: 冪級(jí)數(shù)的收斂范

38、圍是何區(qū)域?問(wèn)題1: 在收斂圓周上是收斂還是發(fā)散, 不能作出一般的結(jié)論, 要對(duì)具體級(jí)數(shù)進(jìn)行具體分析.注意問(wèn)題2: 冪級(jí)數(shù)在收斂圓周上的斂散性如何?例如, 級(jí)數(shù):收斂圓周上無(wú)收斂點(diǎn);在收斂圓周上處處收斂.3. 收斂半徑的求法方法1: 比值法(定理二):那末收斂半徑證由于收斂.據(jù)阿貝爾定理,根據(jù)上節(jié)定理三,所以收斂半徑為證畢即假設(shè)不成立 .如果:即注意:存在且不為零 .定理中極限(極限不存在),即答案課堂練習(xí) 試求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑.方法2: 根值法(定理三)那末收斂半徑說(shuō)明:(與比值法相同)如果三、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)1.冪級(jí)數(shù)的有理運(yùn)算2. 冪級(jí)數(shù)的代換(復(fù)合)運(yùn)算如果當(dāng)時(shí),又設(shè)在內(nèi)解析且滿足那末

39、當(dāng)時(shí),說(shuō)明: 此代換運(yùn)算常應(yīng)用于將函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù).定理四設(shè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為那末(2)在收斂圓內(nèi)的導(dǎo)數(shù)可將其冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)得到, 是收斂圓內(nèi)的解析函數(shù) .(1)3. 復(fù)變冪級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)的性質(zhì)(3)在收斂圓內(nèi)可以逐項(xiàng)積分, 簡(jiǎn)言之: 在收斂圓內(nèi), 冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)解析; 冪級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)求導(dǎo), 逐項(xiàng)積分.(常用于求和函數(shù))即四、典型例題例1 求冪級(jí)數(shù)的收斂范圍與和函數(shù).解級(jí)數(shù)的部分和為級(jí)數(shù)收斂,級(jí)數(shù)發(fā)散.且有收斂范圍為一單位圓域由阿貝爾定理知:在此圓域內(nèi), 級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂, 收斂半徑為1,例2求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑:(1)(并討論在收斂圓周上的情形)(2)(并討論時(shí)的情形)或解(1)因?yàn)樗允諗堪霃?/p>

40、即原級(jí)數(shù)在圓內(nèi)收斂, 在圓外發(fā)散, 收斂的級(jí)數(shù) 所以原級(jí)數(shù)在收斂圓上是處處收斂的.在圓周上,級(jí)數(shù)說(shuō)明：在收斂圓周上既有級(jí)數(shù)的收斂點(diǎn), 也有 級(jí)數(shù)的發(fā)散點(diǎn).原級(jí)數(shù)成為交錯(cuò)級(jí)數(shù), 收斂.發(fā)散.原級(jí)數(shù)成為調(diào)和級(jí)數(shù)，(2)故收斂半徑例3求冪級(jí)數(shù) 的收斂半徑:解解所以例4求 的收斂半徑.例5把函數(shù)表成形如的冪級(jí)數(shù), 其中是不相等的復(fù)常數(shù) .解把函數(shù)寫(xiě)成如下的形式:代數(shù)變形 , 使其分母中出現(xiàn)湊出級(jí)數(shù)收斂,且其和為例6 求級(jí)數(shù)的收斂半徑與和函數(shù).解利用逐項(xiàng)積分,得:所以例7 求級(jí)數(shù)的收斂半徑與和函數(shù).解例8 計(jì)算解五、小結(jié)與思考 這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了冪級(jí)數(shù)的概念和阿貝爾定理等內(nèi)容，應(yīng)掌握冪級(jí)數(shù)收斂半徑的求法和

41、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).思考題冪級(jí)數(shù)在收斂圓周上的斂散性如何斷定?由于在收斂圓周上確定, 可以依復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性討論.思考題答案放映結(jié)束，按Esc退出.阿貝爾資料Born: 5 Aug 1802 in Frindoe (near Stavanger), NorwayDied: 6 April 1829 in Froland, NorwayNiels Abel第三節(jié) 泰勒級(jí)數(shù)二、泰勒定理三、將函數(shù)展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)一、問(wèn)題的引入四、典型例題五、小結(jié)與思考一、問(wèn)題的引入問(wèn)題: 任一個(gè)解析函數(shù)能否用冪級(jí)數(shù)來(lái)表達(dá)？.內(nèi)任意點(diǎn)如圖:.K.由柯西積分公式 , 有其中 K 取正方向.則由高階導(dǎo)數(shù)公式, 上式又可寫(xiě)成其

42、中可知在K內(nèi)令則在K上連續(xù), 即存在一個(gè)正常數(shù)M,在內(nèi)成立,從而在K內(nèi) 圓周的半徑可以任意增大,只要內(nèi)成立.在的泰勒展開(kāi)式,在泰勒級(jí)數(shù)如果到的邊界上各點(diǎn)的最短距離為那末在的泰勒展開(kāi)式在內(nèi)成立因?yàn)榉矟M足的必能使由上討論得重要定理泰勒展開(kāi)定理在的泰勒級(jí)數(shù)的收斂半徑至少等于，但二、泰勒定理其中泰勒級(jí)數(shù)泰勒展開(kāi)式定理設(shè)在區(qū)域內(nèi)解析,為 內(nèi)的一為到的邊界上各點(diǎn)的最短距離, 那末點(diǎn),時(shí),成立,當(dāng)泰勒介紹說(shuō)明:1.復(fù)變函數(shù)展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)的條件要比實(shí)函數(shù)時(shí)弱得多; (想一想, 為什么?)4.任何解析函數(shù)在一點(diǎn)的泰勒級(jí)數(shù)是唯一的. (為什么?)因?yàn)榻馕?，可以保證無(wú)限次可各階導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性; 所以復(fù)變函數(shù)展為泰勒級(jí)

43、數(shù)的實(shí)用范圍就要比實(shí)變函數(shù)廣闊的多.注意問(wèn)題：利用泰勒級(jí)數(shù)可以將函數(shù)展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)，展開(kāi)式是否唯一？三、將函數(shù)展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)常用方法: 直接法和間接法.1.直接法:由泰勒展開(kāi)定理計(jì)算系數(shù)例如，故有仿照上例 , 2. 間接展開(kāi)法 : 借助于一些已知函數(shù)的展開(kāi)式 , 結(jié)合解析函數(shù)的性質(zhì), 冪級(jí)數(shù)運(yùn)算性質(zhì) (逐項(xiàng)求導(dǎo), 積分等)和其它數(shù)學(xué)技巧 (代換等) , 求函數(shù)的泰勒展開(kāi)式.間接法的優(yōu)點(diǎn): 不需要求各階導(dǎo)數(shù)與收斂半徑 , 因而比直接展開(kāi)更為簡(jiǎn)潔 , 使用范圍也更為廣泛 .例如， 附: 常見(jiàn)函數(shù)的泰勒展開(kāi)式例1解四、典型例題上式兩邊逐項(xiàng)求導(dǎo),例2分析如圖,即 將展開(kāi)式兩端沿 C 逐項(xiàng)積分, 得解例3

44、 解例4 解例5解例6解即微分方程對(duì)微分方程逐次求導(dǎo)得:五、小結(jié)與思考 通過(guò)本課的學(xué)習(xí), 應(yīng)理解泰勒展開(kāi)定理,熟記五個(gè)基本函數(shù)的泰勒展開(kāi)式,掌握將函數(shù)展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)的方法, 能比較熟練的把一些解析函數(shù)展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù).奇、偶函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)有什么特點(diǎn)?思考題 奇函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)只含 z 的奇次冪項(xiàng), 偶函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)只含 z 的偶次冪項(xiàng).思考題答案放映結(jié)束，按Esc退出.泰勒資料Born: 18 Aug 1685 in Edmonton, Middlesex, EnglandDied: 29 Dec 1731 in Somerset House, London, EnglandBrook Taylo

45、r第四節(jié) 洛朗級(jí)數(shù)二、洛朗級(jí)數(shù)的概念三、函數(shù)的洛朗展開(kāi)式一、問(wèn)題的引入五、小結(jié)與思考四、典型例題一、問(wèn)題的引入問(wèn)題:負(fù)冪項(xiàng)部分正冪項(xiàng)部分主要部分解析部分同時(shí)收斂收斂收斂半徑收斂域收斂半徑收斂域兩收斂域無(wú)公共部分,兩收斂域有公共部分R結(jié)論:.常見(jiàn)的特殊圓環(huán)域:.例如，都不解析,但在圓環(huán)域及內(nèi)都是解析的.而2. 問(wèn)題:在圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)是否一定能展開(kāi)成級(jí)數(shù)?所以即內(nèi)可以展開(kāi)成級(jí)數(shù).也可以展開(kāi)成級(jí)數(shù)：二、洛朗級(jí)數(shù)的概念定理C為圓環(huán)域內(nèi)繞 的任一正向簡(jiǎn)單閉曲線. 為洛朗系數(shù).說(shuō)明:函數(shù)在圓環(huán)域內(nèi)的洛朗展開(kāi)式在圓環(huán)域內(nèi)的洛朗(Laurent)級(jí)數(shù). 1) 2) 某一圓環(huán)域內(nèi)的解析函數(shù)展開(kāi)為含有正、負(fù)冪

46、項(xiàng)的級(jí)數(shù)是唯一的， 這就是 f (z) 的洛朗級(jí)數(shù). 定理給出了將圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)展為洛朗級(jí)數(shù)的一般方法.三、函數(shù)的洛朗展開(kāi)式常用方法 : 1. 直接法 2. 間接法 1. 直接展開(kāi)法利用定理公式計(jì)算系數(shù)然后寫(xiě)出缺點(diǎn): 計(jì)算往往很麻煩.根據(jù)正、負(fù)冪項(xiàng)組成的的級(jí)數(shù)的唯一性, 可用代數(shù)運(yùn)算、代換、求導(dǎo)和積分等方法去展開(kāi) .優(yōu)點(diǎn) : 簡(jiǎn)捷 , 快速 .2. 間接展開(kāi)法四、典型例題例1解由定理知:其中故由柯西古薩基本定理知:由高階導(dǎo)數(shù)公式知:另解本例中圓環(huán)域的中心 z = 0 既是各負(fù)冪項(xiàng)的奇點(diǎn),例2 內(nèi)是處處解析的,試把 f (z) 在這些區(qū)域內(nèi)展開(kāi)成洛朗級(jí)數(shù).解oxy112oxy由且仍有2oxy

47、由此時(shí)仍有注意:奇點(diǎn)但卻不是函數(shù)的奇點(diǎn) .本例中圓環(huán)域的中心是各負(fù)冪項(xiàng)的說(shuō)明:1. 函數(shù)在以為中心的圓環(huán)域內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)中盡管含有的負(fù)冪項(xiàng), 而且又是這些項(xiàng)的奇點(diǎn), 但是可能是函數(shù)的奇點(diǎn),也可能的奇點(diǎn).不是2. 給定了函數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的一點(diǎn)以后,函數(shù)在各個(gè)不同的圓環(huán)域中有不同的洛朗展開(kāi)式 (包括泰勒展開(kāi)式作為它的特例).回答：不矛盾 .朗展開(kāi)式是唯一的)問(wèn)題：這與洛朗展開(kāi)式的唯一性是否相矛盾?(唯一性 : 指函數(shù)在某一個(gè)給定的圓環(huán)域內(nèi)的洛解 例3例4解 例5內(nèi)的洛朗展開(kāi)式. 解 五、小結(jié)與思考 在這節(jié)課中, 我們學(xué)習(xí)了洛朗展開(kāi)定理和函數(shù)展開(kāi)成洛朗級(jí)數(shù)的方法. 將函數(shù)展開(kāi)成洛朗級(jí)數(shù)是本節(jié)的重點(diǎn)和難點(diǎn)

48、.洛朗級(jí)數(shù)與泰勒級(jí)數(shù)有何關(guān)系?思考題 洛朗級(jí)數(shù)是一個(gè)雙邊冪級(jí)數(shù), 其解析部分是一個(gè)普通冪級(jí)數(shù); 思考題答案是一般與特殊的關(guān)系. 洛朗級(jí)數(shù)的收斂區(qū)域是圓環(huán)域放映結(jié)束，按Esc退出.第一節(jié) 孤立奇點(diǎn)一、孤立奇點(diǎn)的概念二、函數(shù)的零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系三、函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性態(tài)四、小結(jié)與思考一、孤立奇點(diǎn)的概念定義 如果函數(shù)在 不解析, 但在的某一去心鄰域內(nèi)處處解析, 則稱(chēng)為的孤立奇點(diǎn).例1是函數(shù)的孤立奇點(diǎn).是函數(shù)的孤立奇點(diǎn).注意: 孤立奇點(diǎn)一定是奇點(diǎn), 但奇點(diǎn)不一定是孤立奇點(diǎn).例2 指出函數(shù)在點(diǎn)的奇點(diǎn)特性.解即在的不論怎樣小的去心鄰域內(nèi), 的奇點(diǎn)存在, 函數(shù)的奇點(diǎn)為總有不是孤立奇點(diǎn).所以孤立奇點(diǎn)的分類(lèi)依據(jù)在其

49、孤立奇點(diǎn)的去心鄰域內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)的情況分為三類(lèi):1可去奇點(diǎn)1可去奇點(diǎn); 2極點(diǎn); 3本性奇點(diǎn).如果洛朗級(jí)數(shù)中不含 的負(fù)冪項(xiàng), 那末孤立奇點(diǎn) 稱(chēng)為 的可去奇點(diǎn).1) 定義其和函數(shù)為在解析的函數(shù).說(shuō)明: (1)(2) 無(wú)論在是否有定義, 補(bǔ)充定義則函數(shù)在解析. 2) 可去奇點(diǎn)的判定(1) 由定義判斷:的洛朗級(jí)數(shù)無(wú)負(fù)在如果冪項(xiàng)則為的可去奇點(diǎn).(2) 判斷極限若極限存在且為有限值,則為的可去奇點(diǎn).如果補(bǔ)充定義:時(shí),那末在解析.例3 中不含負(fù)冪項(xiàng),是的可去奇點(diǎn) . 例4 說(shuō)明為的可去奇點(diǎn).解 所以為的可去奇點(diǎn).無(wú)負(fù)冪項(xiàng)另解 的可去奇點(diǎn).為2. 極點(diǎn) 其中關(guān)于的最高冪為即級(jí)極點(diǎn).那末孤立奇點(diǎn)稱(chēng)為函數(shù)的或?qū)懗?/p>

50、1) 定義 如果洛朗級(jí)數(shù)中只有有限多個(gè)的負(fù)冪項(xiàng), 說(shuō)明:1.2.特點(diǎn):(1)(2)的極點(diǎn) , 則為函數(shù)如果例5 有理分式函數(shù)是二級(jí)極點(diǎn), 是一級(jí)極點(diǎn).2)極點(diǎn)的判定方法的負(fù)冪項(xiàng)為有的洛朗展開(kāi)式中含有限項(xiàng).在點(diǎn) 的某去心鄰域內(nèi)其中 在 的鄰域內(nèi)解析, 且 (1) 由定義判別(2) 由定義的等價(jià)形式判別(3) 利用極限判斷 .課堂練習(xí)求的奇點(diǎn), 如果是極點(diǎn), 指出它的級(jí)數(shù).答案本性奇點(diǎn)3.如果洛朗級(jí)數(shù)中含有無(wú)窮多個(gè)那末孤立奇點(diǎn)稱(chēng)為的本性奇點(diǎn).的負(fù)冪項(xiàng),例如，含有無(wú)窮多個(gè)z的負(fù)冪項(xiàng) 特點(diǎn): 在本性奇點(diǎn)的鄰域內(nèi)不存在且不為同時(shí)不存在.綜上所述:孤立奇點(diǎn)可去奇點(diǎn)m級(jí)極點(diǎn)本性奇點(diǎn)洛朗級(jí)數(shù)特點(diǎn)存在且為有限值

51、不存在且不為無(wú)負(fù)冪項(xiàng)含無(wú)窮多個(gè)負(fù)冪項(xiàng)含有限個(gè)負(fù)冪項(xiàng)關(guān)于的最高冪為二、函數(shù)的零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系1.零點(diǎn)的定義不恒等于零的解析函數(shù)如果能表示成其中在解析且m為某一正整數(shù),那末稱(chēng)為的 m 級(jí)零點(diǎn).例6注意: 不恒等于零的解析函數(shù)的零點(diǎn)是孤立的.2.零點(diǎn)的判定零點(diǎn)的充要條件是證 (必要性)由定義:設(shè)的泰勒展開(kāi)式為:如果在解析, 那末為的級(jí)如果為的級(jí)零點(diǎn)其中展開(kāi)式的前m項(xiàng)系數(shù)都為零 ,由泰勒級(jí)數(shù)的系數(shù)公式知:并且充分性證明略 .(1)由于知是的一級(jí)零點(diǎn) .課堂練習(xí)是五級(jí)零點(diǎn),是二級(jí)零點(diǎn).知是的一級(jí)零點(diǎn).解 (2)由于答案例7 求以下函數(shù)的零點(diǎn)及級(jí)數(shù):(1)(2)的零點(diǎn)及級(jí)數(shù) .求3.零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系定理如

52、果是的 m 級(jí)極點(diǎn), 那末就是的 m 級(jí)零點(diǎn). 反過(guò)來(lái)也成立.證如果是的 m 級(jí)極點(diǎn), 則有當(dāng) 時(shí) ,函數(shù)在解析且由于只要令 那末的 m 級(jí)零點(diǎn). 就是反之如果 的 m 級(jí)零點(diǎn), 是那末當(dāng) 時(shí),解析且所以是的 m 級(jí)極點(diǎn).說(shuō)明 此定理為判斷函數(shù)的極點(diǎn)提供了一個(gè)較為簡(jiǎn)便的方法.例8 函數(shù)有些什么奇點(diǎn), 如果是極點(diǎn), 指出它的級(jí).解 函數(shù)的奇點(diǎn)是使的點(diǎn),這些奇點(diǎn)是是孤立奇點(diǎn).的一級(jí)極點(diǎn).即解 解析且所以不是二級(jí)極點(diǎn), 而是一級(jí)極點(diǎn).是的幾級(jí)極點(diǎn)?思考例9 問(wèn)是的二級(jí)極點(diǎn)嗎?注意: 不能以函數(shù)的表面形式作出結(jié)論 .三、函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性態(tài)1. 定義如果函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的去心鄰域內(nèi)解析, 則稱(chēng)點(diǎn)為的孤立

53、奇點(diǎn).Rxyo令變換規(guī)定此變換將:映射為擴(kuò)充 z 平面擴(kuò)充 t 平面映射為映射為映射為結(jié)論: 在去心鄰域內(nèi)對(duì)函數(shù)的研究在去心鄰域內(nèi)對(duì)函數(shù)的研究因?yàn)?在去心鄰域內(nèi)是解析的,所以是的孤立奇點(diǎn).規(guī)定: m級(jí)奇點(diǎn)或本性奇點(diǎn) .的可去奇點(diǎn)、m級(jí)奇點(diǎn)或本性奇點(diǎn),如果 t=0 是是的可去奇點(diǎn)、 那末就稱(chēng)點(diǎn)1)不含正冪項(xiàng);2)含有有限多的正冪項(xiàng)且為最高正冪;3)含有無(wú)窮多的正冪項(xiàng);那末是的1)可去奇點(diǎn) ;2) m 級(jí)極點(diǎn);3)本性奇點(diǎn) .判別法1 (利用洛朗級(jí)數(shù)的特點(diǎn))2.判別方法:在內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)中:如果例10 (1)函數(shù)在圓環(huán)域內(nèi)的洛朗展開(kāi)式為:不含正冪項(xiàng)所以是的可去奇點(diǎn) .(2)函數(shù)含有正冪項(xiàng)且 z 為最

54、高正冪項(xiàng),所以是的 m級(jí)極點(diǎn).(3)函數(shù)的展開(kāi)式:含有無(wú)窮多的正冪項(xiàng)所以是的本性奇點(diǎn).課堂練習(xí)的奇點(diǎn)及其類(lèi)型.說(shuō)出函數(shù)答案判別法2 : (利用極限特點(diǎn))如果極限1)存在且為有限值 ; 2)無(wú)窮大; 3)不存在且不為無(wú)窮大 ;那末是的1)可去奇點(diǎn) ;2)m級(jí)極點(diǎn) ;3)本性奇點(diǎn) .例11 函數(shù)在擴(kuò)充復(fù)平面內(nèi)有些什么類(lèi)型的奇點(diǎn)? 如果是極點(diǎn), 指出它的級(jí).解 函數(shù)除點(diǎn)外, 所以這些點(diǎn)都是的一級(jí)零點(diǎn),故這些點(diǎn)中除1, -1, 2外, 都是的三級(jí)極點(diǎn).內(nèi)解析 .在所以那末是的可去奇點(diǎn). 因?yàn)椴皇堑墓铝⑵纥c(diǎn).所以四、小結(jié)與思考 理解孤立奇點(diǎn)的概念及其分類(lèi); 掌握可去奇點(diǎn)、極點(diǎn)與本性奇點(diǎn)的特征; 熟悉零點(diǎn)

55、與極點(diǎn)的關(guān)系.思考題思考題答案放映結(jié)束，按Esc退出.第二節(jié) 留 數(shù)一、留數(shù)的引入二、利用留數(shù)求積分三、在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)四、典型例題五、小結(jié)與思考一、留數(shù)的引入設(shè)為的一個(gè)孤立奇點(diǎn);內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù):在.的某去心鄰域鄰域內(nèi)包含的任一條正向簡(jiǎn)單閉曲線0(高階導(dǎo)數(shù)公式)0 (柯西-古薩基本定理)定義 記作的一個(gè)孤立奇點(diǎn), 則沿內(nèi)包含的任意一條簡(jiǎn)單閉曲線 C 的積分的值除后所得的數(shù)稱(chēng)為以如果二、利用留數(shù)求積分說(shuō)明:2. 留數(shù)定理將沿封閉曲線C積分轉(zhuǎn)化為求被積函數(shù)在C內(nèi)各孤立奇點(diǎn)處的留數(shù).1.留數(shù)定理在區(qū)域 D內(nèi)除有限個(gè)孤外處處解析, C 是 D內(nèi)包圍諸奇點(diǎn)的一條正向簡(jiǎn)單閉曲線, 那末立奇點(diǎn)函數(shù)證證畢兩邊同時(shí)除以 且.如圖2.留數(shù)的計(jì)算方法(1) 如果為的可去奇點(diǎn), 如果 為 的一級(jí)極點(diǎn), 那末規(guī)則1成洛朗級(jí)數(shù)求(2) 如果為的本性奇點(diǎn), (3) 如果為的極點(diǎn), 則有如下計(jì)算規(guī)則展開(kāi)則需將如果 為 的