遼寧省沈陽市第三十一中學(xué)2023學(xué)年高考考前模擬數(shù)學(xué)試題（含解析）

1、2023學(xué)年高考數(shù)學(xué)模擬測試卷注意事項1考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回2答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準考證號用05毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置3請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符4作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效5如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求

2、的。1已知向量，若，則與夾角的余弦值為（ ）ABCD2甲乙兩人有三個不同的學(xué)習(xí)小組， ， 可以參加，若每人必須參加并且僅能參加一個學(xué)習(xí)小組，則兩人參加同一個小組的概率為（ ）A B C D3已知復(fù)數(shù)，則（ ）ABCD4過橢圓的左焦點的直線過的上頂點，且與橢圓相交于另一點，點在軸上的射影為，若，是坐標原點，則橢圓的離心率為（ ）ABCD5已知向量，若，則（ ）ABC-8D86已知函數(shù)，且在上是單調(diào)函數(shù)，則下列說法正確的是（ ）ABC函數(shù)在上單調(diào)遞減D函數(shù)的圖像關(guān)于點對稱7已知直線與圓有公共點，則的最大值為（ ）A4BCD8若直線與曲線相切，則（ ）A3BC2D9已知三棱柱( )ABCD10若干年

3、前，某教師剛退休的月退休金為6000元，月退休金各種用途占比統(tǒng)計圖如下面的條形圖.該教師退休后加強了體育鍛煉，目前月退休金的各種用途占比統(tǒng)計圖如下面的折線圖.已知目前的月就醫(yī)費比剛退休時少100元，則目前該教師的月退休金為（ ）. A6500元B7000元C7500元D8000元11的二項展開式中，的系數(shù)是（ ）A70B-70C28D-2812設(shè)遞增的等比數(shù)列的前n項和為，已知，則（ ）A9B27C81D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13若的展開式中只有第六項的二項式系數(shù)最大，則展開式中各項的系數(shù)和是_14設(shè)函數(shù)，當時，記最大值為，則的最小值為_.15已知直線被圓截得的弦長為

4、2，則的值為_16已知函數(shù)，若對于任意正實數(shù)，均存在以為三邊邊長的三角形，則實數(shù)k的取值范圍是_.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）已知函數(shù)，其中.（1）函數(shù)在處的切線與直線垂直，求實數(shù)的值；（2）若函數(shù)在定義域上有兩個極值點，且.求實數(shù)的取值范圍；求證：.18（12分）如圖，直三棱柱中，分別是的中點，.（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值.19（12分）已知在等比數(shù)列中，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列前項的和.20（12分）在，這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，求的面積的值（或最大值）已知的內(nèi)角，所對的邊分別為，三邊，與面積滿足

5、關(guān)系式：，且 ，求的面積的值（或最大值）21（12分）某機構(gòu)組織的家庭教育活動上有一個游戲，每次由一個小孩與其一位家長參與，測試家長對小孩飲食習(xí)慣的了解程度在每一輪游戲中，主持人給出A，B，C，D四種食物，要求小孩根據(jù)自己的喜愛程度對其排序，然后由家長猜測小孩的排序結(jié)果設(shè)小孩對四種食物排除的序號依次為xAxBxCxD，家長猜測的序號依次為yAyByCyD，其中xAxBxCxD和yAyByCyD都是1，2，3，4四個數(shù)字的一種排列定義隨機變量X（xAyA）2+（xByB）2+（xCyC）2+（xDyD）2，用X來衡量家長對小孩飲食習(xí)慣的了解程度（1）若參與游戲的家長對小孩的飲食習(xí)慣完全不了解（）

6、求他們在一輪游戲中，對四種食物排出的序號完全不同的概率；（）求X的分布列（簡要說明方法，不用寫出詳細計算過程）；（2）若有一組小孩和家長進行來三輪游戲，三輪的結(jié)果都滿足X4，請判斷這位家長對小孩飲食習(xí)慣是否了解，說明理由22（10分）如圖，三棱錐中，.（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.2023學(xué)年模擬測試卷參考答案（含詳細解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【答案解析】直接利用向量的坐標運算得到向量的坐標，利用求得參數(shù)m，再用計算即可.【題目詳解】依題意， 而， 即， 解得， 則.故選：B.【答案點睛】

7、本題考查向量的坐標運算、向量數(shù)量積的應(yīng)用，考查運算求解能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想.2、A【答案解析】依題意，基本事件的總數(shù)有種，兩個人參加同一個小組，方法數(shù)有種，故概率為.3、B【答案解析】利用復(fù)數(shù)除法、加法運算，化簡求得，再求得【題目詳解】，故.故選：B【答案點睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)的除法運算、加法運算，考查復(fù)數(shù)的模，屬于基礎(chǔ)題.4、D【答案解析】求得點的坐標，由，得出，利用向量的坐標運算得出點的坐標，代入橢圓的方程，可得出關(guān)于、的齊次等式，進而可求得橢圓的離心率.【題目詳解】由題意可得、.由，得，則，即.而，所以，所以點.因為點在橢圓上，則，整理可得，所以，所以.即橢圓的離心率為故選：D.【答

8、案點睛】本題考查橢圓離心率的求解，解答的關(guān)鍵就是要得出、的齊次等式，充分利用點在橢圓上這一條件，圍繞求點的坐標來求解，考查計算能力，屬于中等題.5、B【答案解析】先求出向量,的坐標，然后由可求出參數(shù)的值.【題目詳解】由向量，則，又，則，解得.故選：B【答案點睛】本題考查向量的坐標運算和模長的運算，屬于基礎(chǔ)題.6、B【答案解析】根據(jù)函數(shù)，在上是單調(diào)函數(shù)，確定 ，然后一一驗證，A.若，則，由，得，但.B.由，確定，再求解驗證.C.利用整體法根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性判斷.D.計算是否為0.【題目詳解】因為函數(shù)，在上是單調(diào)函數(shù)，所以 ，即，所以 ，若，則，又因為，即，解得， 而，故A錯誤.由，不妨令 ，得

9、由，得 或當時，不合題意.當時，此時所以，故B正確.因為，函數(shù)，在上是單調(diào)遞增，故C錯誤.，故D錯誤.故選：B【答案點睛】本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用，還考查了運算求解的能力，屬于較難的題.7、C【答案解析】根據(jù)表示圓和直線與圓有公共點，得到，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解.【題目詳解】因為表示圓，所以，解得，因為直線與圓有公共點，所以圓心到直線的距離，即 ，解得，此時， 因為，在遞增，所以的最大值.故選：C【答案點睛】本題主要考查圓的方程，直線與圓的位置關(guān)系以及二次函數(shù)的性質(zhì)，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.8、A【答案解析】設(shè)切點為，對求導(dǎo)，得到，從而得到切線的斜率，結(jié)合直線方程的點斜

10、式化簡得切線方程，聯(lián)立方程組，求得結(jié)果.【題目詳解】設(shè)切點為，由得，代入得，則，故選A.【答案點睛】該題考查的是有關(guān)直線與曲線相切求參數(shù)的問題，涉及到的知識點有導(dǎo)數(shù)的幾何意義，直線方程的點斜式，屬于簡單題目.9、C【答案解析】因為直三棱柱中，AB3，AC4，AA112，ABAC，所以BC5，且BC為過底面ABC的截面圓的直徑取BC中點D，則OD底面ABC，則O在側(cè)面BCC1B1內(nèi)，矩形BCC1B1的對角線長即為球直徑，所以2R13，即R10、D【答案解析】設(shè)目前該教師的退休金為x元，利用條形圖和折線圖列出方程，求出結(jié)果即可【題目詳解】設(shè)目前該教師的退休金為x元，則由題意得：600015%x10

11、%1解得x2故選D【答案點睛】本題考查由條形圖和折線圖等基礎(chǔ)知識解決實際問題，屬于基礎(chǔ)題11、A【答案解析】試題分析：由題意得，二項展開式的通項為，令，所以的系數(shù)是，故選A考點：二項式定理的應(yīng)用12、A【答案解析】根據(jù)兩個已知條件求出數(shù)列的公比和首項，即得的值.【題目詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為q.由，得，解得或.因為.且數(shù)列遞增，所以.又，解得，故.故選：A【答案點睛】本題主要考查等比數(shù)列的通項和求和公式，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【答案解析】由題意得出展開式中共有11項，；再令求得展開式中各項的系數(shù)和【題目詳解】由的展開式中只有

12、第六項的二項式系數(shù)最大，所以展開式中共有11項，所以；令，可求得展開式中各項的系數(shù)和是：故答案為：1【答案點睛】本小題主要考查二項式展開式的通項公式的運用，考查二項式展開式各項系數(shù)和的求法，屬于基礎(chǔ)題.14、【答案解析】易知，設(shè)，利用絕對值不等式的性質(zhì)即可得解【題目詳解】，設(shè)，令，當時，所以單調(diào)遞減令，當時，所以單調(diào)遞增所以當時，則則，即故答案為：.【答案點睛】本題考查函數(shù)最值的求法，考查絕對值不等式的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想及邏輯推理能力，屬于難題15、1【答案解析】根據(jù)弦長為半徑的兩倍，得直線經(jīng)過圓心，將圓心坐標代入直線方程可解得【題目詳解】解：圓的圓心為（1，1），半徑，因為直線被圓截得的弦長

13、為2，所以直線經(jīng)過圓心（1，1），解得故答案為：1【答案點睛】本題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題16、【答案解析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系可知對任意的恒成立,將的解析式用分離常數(shù)法變形,由均值不等式可得分母的取值范圍,則整個式子的取值范圍由的符號決定,故分為三類討論,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)值域,再討論,轉(zhuǎn)化為的最小值與的最大值的不等式,進而求出的取值范圍.【題目詳解】因為對任意正實數(shù),都存在以為三邊長的三角形,故對任意的恒成立,令,則,當,即時,該函數(shù)在上單調(diào)遞減,則；當,即時,當,即時,該函數(shù)在上單調(diào)遞增,則,所以,當時,因為,所以,解得；當時,滿足條件；當時,且,所以,解得,綜上,故答案為

14、:【答案點睛】本題考查參數(shù)范圍,考查三角形的構(gòu)成條件,考查利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)值域,考查分類討論思想與轉(zhuǎn)化思想.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）；詳見解析.【答案解析】（1）由函數(shù)在處的切線與直線垂直，即可得，對其求導(dǎo)并表示，代入上述方程即可解得答案；（2）已知要求等價于在上有兩個根，且，即在上有兩個不相等的根，由二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)構(gòu)建不等式組，解得答案，最后分析此時單調(diào)性推及極值說明即可；由可知，是方程的兩個不等的實根，由韋達定理可表達根與系數(shù)的關(guān)系，進而用含的式子表示，令，對求導(dǎo)分析單調(diào)性，即可知道存在常數(shù)使在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，進

15、而求最值證明不等式成立.【題目詳解】解：（1）依題意，故，所以，據(jù)題意可知，解得.所以實數(shù)的值為.（2）因為函數(shù)在定義域上有兩個極值點，且，所以在上有兩個根，且，即在上有兩個不相等的根.所以解得.當時，若或，函數(shù)在和上單調(diào)遞增；若，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故函數(shù)在上有兩個極值點，且.所以，實數(shù)的取值范圍是.由可知，是方程的兩個不等的實根，所以其中.故，令，其中.故，令，在上單調(diào)遞增.由于，所以存在常數(shù)，使得，即，且當時，在上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞增，所以當時，又，所以，即，故得證.【答案點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、兩直線的位置關(guān)系、由極值點個數(shù)求參數(shù)范圍問題，還考查了利用導(dǎo)數(shù)證明不等式成立，屬

16、于難題.18、 (1)證明見解析 (2) 【答案解析】（1）連接交于點，由三角形中位線定理得，由此能證明平面（2）以為坐標原點，的方向為軸正方向，的方向為軸正方向，的方向為軸正方向，建立空間直角坐標系分別求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值【題目詳解】證明：證明：連接交于點，則為的中點又是的中點，連接，則因為平面，平面，所以平面（2）由，可得：，即所以又因為直棱柱，所以以點為坐標原點，分別以直線為軸、軸、軸，建立空間直角坐標系， 則，設(shè)平面的法向量為，則且，可解得，令，得平面的一個法向量為， 同理可得平面的一個法向量為， 則 所以二面角的余弦值為.【答案點睛】本題主要

17、考查直線與平面平行、二面角的概念、求法等知識，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題19、（1）（2）【答案解析】（1）由基本量法，求出公比后可得通項公式；（2）求出，用裂項相消法求和【題目詳解】解：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為又因為，所以解得（舍）或所以，即（2）據(jù)（1）求解知，所以所以【答案點睛】本題考查求等比數(shù)列的通項公式，考查裂項相消法求和解題方法是基本量法基本量法是解決等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本方法，務(wù)必掌握20、見解析【答案解析】若選擇，結(jié)合三角形的面積公式，得，化簡得到，則，又，從而得到， 將代入，得又，當且僅當時等號成立，故的面積的最大值為，此時 若選擇，結(jié)合三角形的面積公式，得

18、，化簡得到，則，又，從而得到，則，此時為等腰直角三角形，.若選擇，則結(jié)合三角形的面積公式，得，化簡得到，則，又，從而得到，則21、（1）（）（）分布表見解析；（2）理由見解析【答案解析】（1）（i）若家長對小孩子的飲食習(xí)慣完全不了解，則家長對小孩的排序是隨意猜測的，家長的排序有種等可能結(jié)果，利用列舉法求出其中滿足“家長的排序與對應(yīng)位置的數(shù)字完全不同”的情況有9種，由此能求出他們在一輪游戲中，對四種食物排出的序號完全不同的概率（ii）根據(jù)（i）的分析，同樣只考慮小孩排序為1234的情況，家長的排序一共有24種情況，由此能求出X的分布列（2）假設(shè)家長對小孩的飲食習(xí)慣完全不了解，在一輪游戲中，P（X

19、4）=P（X=0）+ P（X=2）=，三輪游戲結(jié)果都滿足“X4”的概率為，這個結(jié)果發(fā)生的可能性很小，從而這位家長對小孩飲食習(xí)慣比較了解【題目詳解】（1）（i）若家長對小孩子的飲食習(xí)慣完全不了解，則家長對小孩的排序是隨意猜測的，先考慮小孩的排序為xA，xB，xC，xD為1234的情況，家長的排序有24種等可能結(jié)果，其中滿足“家長的排序與對應(yīng)位置的數(shù)字完全不同”的情況有9種，分別為：2143，2341，2413，3142，3412，3421，4123，4312，4321，家長的排序與對應(yīng)位置的數(shù)字完全不同的概率P基小孩對四種食物的排序是其他情況，只需將角標A，B，C，D按照小孩的順序調(diào)整即可，假設(shè)小孩的排序xA，xB，xC，xD為1423的情況，四種食