高中數(shù)學(xué)《等差數(shù)列的概念及通項(xiàng)公式》知識點(diǎn)講解及重點(diǎn)練習(xí)

1、4.2等差數(shù)列4.2.1等差數(shù)列的概念第1課時等差數(shù)列的概念及通項(xiàng)公式學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解等差數(shù)列、等差中項(xiàng)的概念.2.掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，并能運(yùn)用通項(xiàng)公式解決一些簡單的問題.3.掌握等差數(shù)列的判斷與證明方法知識點(diǎn)一等差數(shù)列的概念一般地，如果一個數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示，公差可正可負(fù)可為零思考你能根據(jù)等差數(shù)列的概念寫出它的數(shù)學(xué)表達(dá)式嗎？答案an1and(d為常數(shù)，nN*)知識點(diǎn)二等差中項(xiàng)的概念由三個數(shù)a，A，b組成的等差數(shù)列可以看成是最簡單的等差數(shù)列這時，A叫做a與b的等差中項(xiàng)且2Aab

2、.思考下列所給的兩個數(shù)之間，插入一個什么數(shù)后三個數(shù)就會成為一個等差數(shù)列：(1)2,4；(2)1,5；(3)0,0；(4)a，b.答案插入的數(shù)分別為(1)3，(2)2，(3)0，(4)eq f(ab,2).知識點(diǎn)三等差數(shù)列的通項(xiàng)公式首項(xiàng)為a1，公差為d的等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式ana1(n1)d.思考由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可以看出，要求an，需要哪幾個條件？答案只要求出等差數(shù)列的首項(xiàng)a1和公差d，代入公式ana1(n1)d即可知識點(diǎn)四從函數(shù)角度認(rèn)識等差數(shù)列an若數(shù)列an是等差數(shù)列，首項(xiàng)為a1，公差為d，則anf(n)a1(n1)dnd(a1d)(1)點(diǎn)(n，an)落在直線ydx(a1d)上，這條直線

3、的斜率為d，在y軸上的截距為a1d；(2)這些點(diǎn)的橫坐標(biāo)每增加1，函數(shù)值增加d.1數(shù)列4,4,4，是等差數(shù)列()2數(shù)列an的通項(xiàng)公式為aneq blcrc (avs4alco1(1，n1，,n1，n2，)則an是等差數(shù)列()3若一個數(shù)列從第2項(xiàng)起每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差都是常數(shù)，則這個數(shù)列是等差數(shù)列()4若三個數(shù)a，b，c滿足ac2b，則a，b，c一定是等差數(shù)列()一、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其應(yīng)用例1在等差數(shù)列an中，(1)已知a51，a82，求a1與d；(2)已知a1a612，a47，求an.解(1)由題意知eq blcrc (avs4alco1(a151d1，,a181d2，)解得eq blcr

4、c (avs4alco1(a15，,d1.)(2)由題意知eq blcrc (avs4alco1(a1a161d12，,a141d7，)解得eq blcrc (avs4alco1(a11，,d2.)所以ana1(n1)d1(n1)22n1，nN*. 反思感悟等差數(shù)列通項(xiàng)公式的求法與應(yīng)用技巧(1)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可由首項(xiàng)與公差確定，所以要求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，只需求出首項(xiàng)與公差即可(2)等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式ana1(n1)d中共含有四個參數(shù)，即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三個數(shù)，那么就可以由通項(xiàng)公式求出第四個數(shù)，這一求未知量的過程，我們通常稱之為“知三求一”(3)通項(xiàng)公式可變形為

5、andn(a1d)，可把a(bǔ)n看作自變量為n的一次函數(shù)跟蹤訓(xùn)練1在等差數(shù)列an中，求解下列各題：(1)已知公差deq f(1,3)，a78，則a1.(2)已知a30，a72a41，則公差d.(3)已知an的前3項(xiàng)依次為2,6,10，則a15.答案(1)10(2)eq f(1,2)(3)58解析(1)由a7a16d，得8a16eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)，故a110.(2)設(shè)首項(xiàng)為a1，公差為d，則eq blcrc (avs4alco1(a12d0，,a16d2a13d1，)解得eq blcrc (avs4alco1(a11，,df(1,2).)(3)由題意得，d624，

6、把a(bǔ)12，d4代入ana1(n1)d，得an2(n1)44n2，a15415258.二、等差數(shù)列的判定與證明例2已知數(shù)列an滿足a12，an1eq f(2an,an2).(1)數(shù)列eq blcrc(avs4alco1(f(1,an)是否為等差數(shù)列？說明理由；(2)求an.解(1)數(shù)列eq blcrc(avs4alco1(f(1,an)是等差數(shù)列，理由如下：a12，an1eq f(2an,an2)，eq f(1,an1)eq f(an2,2an)eq f(1,2)eq f(1,an)，eq f(1,an1)eq f(1,an)eq f(1,2)，即eq blcrc(avs4alco1(f(1,a

7、n)是首項(xiàng)為eq f(1,a1)eq f(1,2)，公差為deq f(1,2)的等差數(shù)列(2)由上述可知eq f(1,an)eq f(1,a1)(n1)deq f(n,2)，aneq f(2,n)，nN*.延伸探究將本例中的條件“a12，an1eq f(2an,an2)”換為“a14，an4eq f(4,an1)(n1)，記bneq f(1,an2)”(1)試證明數(shù)列bn為等差數(shù)列；(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式(1)證明bn1bneq f(1,an12)eq f(1,an2)eq f(1,blc(rc)(avs4alco1(4f(4,an)2)eq f(1,an2)eq f(an,2an2)eq

8、 f(1,an2)eq f(an2,2an2)eq f(1,2).又b1eq f(1,a12)eq f(1,2)，數(shù)列bn是首項(xiàng)為eq f(1,2)，公差為eq f(1,2)的等差數(shù)列(2)解由(1)知bneq f(1,2)(n1)eq f(1,2)eq f(1,2)n.bneq f(1,an2)，aneq f(1,bn)2eq f(2,n)2.數(shù)列an的通項(xiàng)公式為aneq f(2,n)2，nN*.反思感悟判斷等差數(shù)列的方法(1)定義法an1and(nN*)或anan1d(n2，nN*)數(shù)列an是等差數(shù)列. (2)等差中項(xiàng)法2an1anan2(nN*)數(shù)列an為等差數(shù)列(3)通項(xiàng)公式法數(shù)列an

9、的通項(xiàng)公式形如anpnq(p，q為常數(shù))數(shù)列an為等差數(shù)列跟蹤訓(xùn)練2已知數(shù)列an滿足(an11)(an1)3(anan1)，a12，令bneq f(1,an1).(1)證明：數(shù)列bn是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式(1)證明eq f(1,an11)eq f(1,an1)eq f(anan1,an11an1)eq f(1,3)，bn1bneq f(1,3)，又b1eq f(1,a11)1，bn是首項(xiàng)為1，公差為eq f(1,3)的等差數(shù)列(2)解由(1)知bneq f(1,3)neq f(2,3)，an1eq f(3,n2)，aneq f(n5,n2).三、等差中項(xiàng)及應(yīng)用例3(1)在1與7

10、之間順次插入三個數(shù)a，b，c，使這五個數(shù)成等差數(shù)列，求此數(shù)列解因?yàn)?，a，b，c，7成等差數(shù)列，所以b是1與7的等差中項(xiàng)，則beq f(17,2)3，又a是1與3的等差中項(xiàng)，所以aeq f(13,2)1.又c是3與7的等差中項(xiàng)，所以ceq f(37,2)5.所以該數(shù)列為1,1,3,5,7. (2)已知eq f(1,a)，eq f(1,b)，eq f(1,c)成等差數(shù)列求證：eq f(bc,a)，eq f(ac,b)，eq f(ab,c)也成等差數(shù)列證明因?yàn)閑q f(1,a)，eq f(1,b)，eq f(1,c)成等差數(shù)列，所以eq f(2,b)eq f(1,a)eq f(1,c)，即2acb

11、(ac)因?yàn)閑q f(bc,a)eq f(ab,c)eq f(cbcaab,ac)eq f(c2a2bac,ac)eq f(a2c22ac,ac)eq f(2ac2,bac)eq f(2ac,b)，所以eq f(bc,a)，eq f(ac,b)，eq f(ab,c)成等差數(shù)列反思感悟若a，A，b成等差數(shù)列，則Aeq f(ab,2)；反之，由Aeq f(ab,2)也可得到a，A，b成等差數(shù)列，所以A是a，b的等差中項(xiàng)Aeq f(ab,2).跟蹤訓(xùn)練3(1)若m和2n的等差中項(xiàng)為4,2m和n的等差中項(xiàng)為5，求m和n的等差中項(xiàng)解由m和2n的等差中項(xiàng)為4，得m2n8.又由2m和n的等差中項(xiàng)為5，得2m

12、n10.兩式相加，得mn6.所以m和n的等差中項(xiàng)為eq f(mn,2)3.(2)已知a，b，c成等差數(shù)列，證明：a2(bc)，b2(ca)，c2(ab)也成等差數(shù)列證明因?yàn)閍，b，c成等差數(shù)列，所以ac2b.又a2(bc)c2(ab)2b2(ca)a2cc2aab(a2b)bc(c2b)a2cc2a2abcac(ac2b)0，所以a2(bc)c2(ab)2b2(ca)故a2(bc)，b2(ca)，c2(ab)成等差數(shù)列等差數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用典例某公司經(jīng)銷一種數(shù)碼產(chǎn)品，第一年可獲利200萬元，從第二年起由于市場競爭方面的原因，其利潤每年比上一年減少20萬元，按照這一規(guī)律，如果公司不開發(fā)新產(chǎn)品，也不調(diào)

13、整經(jīng)營策略，從哪一年起，該公司經(jīng)銷這一產(chǎn)品將虧損？解設(shè)從第一年起，第n年的利潤為an萬元，則a1200，an1an20(nN*)，每年的利潤構(gòu)成一個等差數(shù)列an，從而ana1(n1)d200(n1)(20)22020n.若an0，則該公司經(jīng)銷這一產(chǎn)品將虧損由an22020n11，即從第12年起，該公司經(jīng)銷此產(chǎn)品將虧損素養(yǎng)提升(1)解決實(shí)際應(yīng)用問題，首先要認(rèn)真領(lǐng)會題意，根據(jù)題目條件，尋找有用的信息若一組數(shù)按次序“定量”增加或減少時，則這組數(shù)成等差數(shù)列合理地構(gòu)建等差數(shù)列模型是解決這類問題的關(guān)鍵，在解題過程中，一定要分清首項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)等關(guān)鍵的問題(2)能在具體的問題情境中，識別數(shù)列的等差關(guān)系，抽象出數(shù)列

14、的模型，并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題，是數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)的體現(xiàn)1已知等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式an32n(nN*)，則它的公差d為()A2 B3 C2 D3答案C解析由等差數(shù)列的定義，得d2.2若5，x，y，z，21成等差數(shù)列，則xyz的值為()A26 B29 C39 D52答案C解析5，x，y，z，21成等差數(shù)列，y既是5和21的等差中項(xiàng)也是x和z的等差中項(xiàng)5212y，y13，xz2y26，xyz39.3在等差數(shù)列an中，若a184，a280，則使an0，且an10的n為()A21 B22 C23 D24答案B解析公差da2a14，ana1(n1)d84(n1)(4)884n，令eq blcr

15、c (avs4alco1(an0，,an10，)即eq blcrc (avs4alco1(884n0，,884n10)21n22.又nN*，n22.4已知eq r(3)1與eq r(3)1的等差中項(xiàng)為a，等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式為ana2n1(nN*)，公差為d，則ad.答案3eq r(3)解析由題意，知aeq f(r(3)1r(3)1,2)eq r(3)，d3，所以ad3eq r(3).5九章算術(shù)是我國古代數(shù)學(xué)名著，其中有道“竹九問題”：“今有竹九節(jié)，下三節(jié)容量四升，上四節(jié)容量三升問中間二節(jié)欲均容各多少？”意思為：今有竹九節(jié)，下三節(jié)容量之和為4升，上四節(jié)容量之和為3升，且每一節(jié)容量變化均勻(即

16、每節(jié)容量成等差數(shù)列)，則中間兩節(jié)各多少容量？在這個問題中，中間一節(jié)的容量為升答案eq f(67,66)解析設(shè)從最上至最下每節(jié)的容量構(gòu)成等差數(shù)列an，公差為d，由題意知eq blcrc (avs4alco1(a1a2a3a43，,a7a8a94，)則eq blcrc (avs4alco1(4a16d3，,3a121d4，)解得eq blcrc (avs4alco1(a1f(13,22)，,df(7,66)，)故a5a14deq f(67,66).1知識清單：(1)等差數(shù)列的有關(guān)概念(2)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式(3)等差數(shù)列的判定與證明2方法歸納：列方程組法、迭代法、構(gòu)造法3常見誤區(qū)：在具體應(yīng)用問題中

17、項(xiàng)數(shù)不清1設(shè)數(shù)列an是等差數(shù)列，若a24，a46，則an等于()An B2n C2n1 Dn2答案D解析a4a22d642.d1.a1a2d3.an3(n1)1n2.2在等差數(shù)列an中，已知a3a810，則3a5a7等于()A10 B18 C20 D28答案C解析設(shè)公差為d，則a3a8a12da17d2a19d10.3a5a73(a14d)(a16d)4a118d20.3(多選)已知在等差數(shù)列an中，a12，且a4a8aeq oal(2,3)，則公差d等于()A0 B.eq f(1,2) C1 D2答案AB解析根據(jù)題意知，a4a8aeq oal(2,3)a13da17d(a12d)2.又a12

18、，則410d(22d)2，解得deq f(1,2)或d0.4一個等差數(shù)列的前4項(xiàng)是a，x，b，2x(b0，x0)，則eq f(a,b)等于()A.eq f(1,4) B.eq f(1,2) C.eq f(1,3) D.eq f(2,3)答案C解析b是x，2x的等差中項(xiàng)，beq f(x2x,2)eq f(3x,2)，又x是a，b的等差中項(xiàng)，2xab，aeq f(x,2)，eq f(a,b)eq f(1,3).5在數(shù)列an中，an1eq f(an,13an)，a12，則a20為()A.eq f(115,2) B.eq f(8,115) C.eq f(16,115) D.eq f(2,115)答案D

19、解析對an1eq f(an,13an)取倒數(shù)得eq f(1,an1)eq f(1,an)3，eq f(1,an1)eq f(1,an)3，eq blcrc(avs4alco1(f(1,an)是以eq f(1,2)為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列eq f(1,an)eq f(1,2)(n1)33neq f(5,2)eq f(6n5,2)，aneq f(2,6n5)，a20eq f(2,115).6在等差數(shù)列an中，a12,2an12an1(nN*)，則該數(shù)列的公差為答案eq f(1,2)解析an1aneq f(1,2)，an1aneq f(1,2)(nN*)，數(shù)列an是以2為首項(xiàng)，eq f(1,2)為

20、公差的等差數(shù)列7設(shè)x是a與b的等差中項(xiàng)，x2是a2與b2的等差中項(xiàng)，則a，b的關(guān)系是答案ab或a3b解析由等差中項(xiàng)的定義知，xeq f(ab,2)，x2eq f(a2b2,2)，eq f(a2b2,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(ab,2)2，即a22ab3b20，(a3b)(ab)0，a3b或ab.8某市出租車的計(jì)價標(biāo)準(zhǔn)為1.2元/km，起步價為10元，即最初的4 km(不含4 km)計(jì)費(fèi)10元如果某人乘坐該市的出租車去往14 km處的目的地，且一路暢通，等候時間為0，需要支付車費(fèi)元答案23.2解析根據(jù)題意，當(dāng)該市出租車的行程大于或等于4 km時，每增加1 km，乘客需要支

21、付1.2元所以可以建立一個等差數(shù)列an來計(jì)算車費(fèi)令a111.2，表示4 km處的車費(fèi)，公差d1.2，那么當(dāng)出租車行至14 km處時，n11，此時需要支付車費(fèi)a1111.2(111)1.223.2(元)9在等差數(shù)列an中，a1a58，a47.(1)求數(shù)列的第10項(xiàng)；(2)問112是數(shù)列an的第幾項(xiàng)？(3)在80到110之間有多少項(xiàng)？解設(shè)數(shù)列an的公差為d，則eq blcrc (avs4alco1(a1a14d8，,a13d7，)解得eq blcrc (avs4alco1(a12，,d3，)(1)a10a19d22725.(2)an2(n1)33n5，由1123n5，解得n39.所以112是數(shù)列an的第39項(xiàng)(3)由803n5110，解得28eq f(1,3)n0，)解得eq f(8,3)a4a5 Ba3a6a4a5 Da3a6a4a5答案B解