(新高考)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)復(fù)習(xí)講義第10講《對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)》（解析版）

1、第10講 對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)思維導(dǎo)圖知識(shí)梳理1對(duì)數(shù)概念如果axN(a0，且a1)，那么數(shù)x叫做以a為底數(shù)N的對(duì)數(shù)，記作xlogaN，其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)，logaN叫做對(duì)數(shù)式性質(zhì)對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化：axNxlogaN(a0，且a1)loga10，logaa1，alogaNN(a0，且a1)運(yùn)算法則loga(MN)logaMlogaNa0，且a1，M0，N0logaeq f(M,N)logaMlogaNlogaMnnlogaM(nR)換底公式logabeq f(logcb,logca)(a0，且a1，c0，且c1，b0)2對(duì)數(shù)函數(shù)ylogax(a0，且a1)的圖象與性質(zhì)底數(shù)a10a1時(shí)

2、，恒有y0；當(dāng)0 x1時(shí)，恒有y1時(shí)，恒有y0；當(dāng)0 x0在(0，)上是增函數(shù)在(0，)上是減函數(shù)核心素養(yǎng)分析冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)是最基本的、應(yīng)用最廣泛的函數(shù)，是進(jìn)一步研究數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。本講的學(xué)習(xí)，可以幫助學(xué)生學(xué)會(huì)用函數(shù)圖象和代數(shù)運(yùn)算的方法研究這些函數(shù)的性質(zhì)；理解這些函數(shù)中所蘊(yùn)含的運(yùn)算規(guī)律；運(yùn)用這些函數(shù)建立模型，解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，體會(huì)這些函數(shù)在解決實(shí)際問(wèn)題中的作用。題型歸納題型1 對(duì)數(shù)式的化簡(jiǎn)與求值【例1-1】（2020棗莊模擬）已知 SKIPIF 1 0 ，若 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 B

3、2C SKIPIF 1 0 D4【分析】對(duì) SKIPIF 1 0 兩邊取以 SKIPIF 1 0 為底的對(duì)數(shù)得 SKIPIF 1 0 ，同理 SKIPIF 1 0 ，代入 SKIPIF 1 0 ，即可求出 SKIPIF 1 0 的值【解答】解：對(duì) SKIPIF 1 0 兩邊取以 SKIPIF 1 0 為底的對(duì)數(shù)，得 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，同理有： SKIPIF 1 0 ，代入 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 ，因?yàn)?SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，故選： SKIPIF

4、1 0 【例1-2】（2019秋巢湖市期末）計(jì)算： SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A1B4C5D7【分析】利用指數(shù)對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)即可得出【解答】解：原式 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 故選： SKIPIF 1 0 【跟蹤訓(xùn)練2-1】（2020春興寧區(qū)校級(jí)期末）計(jì)算： SKIPIF 1 0 【分析】進(jìn)行對(duì)數(shù)的運(yùn)算即可【解答】解：原式 SKIPIF 1 0 故答案為：0【跟蹤訓(xùn)練2-2】（2020溫州模擬）著實(shí)數(shù) SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 滿足 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 【分析】由 SKIPIF 1

5、0 ，可得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 即可得出 SKIPIF 1 0 【解答】解：由 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 故答案為：2，2【名師指導(dǎo)】對(duì)數(shù)運(yùn)算的一般思路(1)拆：首先利用冪的運(yùn)算把底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行變形，化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，使冪的底數(shù)最簡(jiǎn)，然后利用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)合并(2)合：將對(duì)數(shù)式化為同底數(shù)對(duì)數(shù)的和、差、倍數(shù)運(yùn)算，然后逆用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為同底對(duì)數(shù)真數(shù)的積、商、冪的運(yùn)算 題型2 對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用【例2-1】（2020春吉林期末）函數(shù) SKIPIF 1 0 的圖象是 SKIPIF 1 0

6、SKIPIF 1 0 ABCD【分析】本題研究一個(gè)對(duì)數(shù)型函數(shù)的圖象特征，函數(shù) SKIPIF 1 0 的圖象可由函數(shù) SKIPIF 1 0 的圖象x軸下方的部分翻折到x軸上部而得到，故首先要研究清楚函數(shù) SKIPIF 1 0 的圖象，由圖象特征選出正確選項(xiàng)【解答】解：由于函數(shù) SKIPIF 1 0 的圖象可由函數(shù) SKIPIF 1 0 的圖象左移一個(gè)單位而得到，函數(shù) SKIPIF 1 0 的圖象與x軸的交點(diǎn)是 SKIPIF 1 0 ，故函數(shù) SKIPIF 1 0 的圖象與x軸的交點(diǎn)是 SKIPIF 1 0 ，即函數(shù) SKIPIF 1 0 的圖象與x軸的公共點(diǎn)是 SKIPIF 1 0 ，考察四個(gè)選

7、項(xiàng)中的圖象只有 SKIPIF 1 0 選項(xiàng)符合題意故選： SKIPIF 1 0 【例2-2】（2020九江三模）如圖所示，正方形 SKIPIF 1 0 的四個(gè)頂點(diǎn)在函數(shù) SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 的圖象上，則 SKIPIF 1 0 【分析】設(shè)出各點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù) SKIPIF 1 0 平行于 SKIPIF 1 0 軸得到 SKIPIF 1 0 ，再結(jié)合 SKIPIF 1 0 平行于 SKIPIF 1 0 軸得到 SKIPIF 1 0 ，可得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，再結(jié)合邊長(zhǎng)相等即可得到結(jié)論【解答】解：設(shè) SKIPIF 1

8、0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，又 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 為正方形， SKIPIF 1 0 ；可得 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 故答案為：2【跟蹤訓(xùn)練2-1】（2020懷柔區(qū)一模）函數(shù) SKIPIF 1 0 的圖象是 SKIPIF 1 0

9、 SKIPIF 1 0 ABCD【分析】要想判斷函數(shù) SKIPIF 1 0 的圖象，我們可以先將函數(shù)的解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)，觀察到函數(shù)的解析式中，含有絕對(duì)值符號(hào)，故可化為分段函數(shù)的形式，再根據(jù)基本初等函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)其進(jìn)行分析，找出符合函數(shù)性質(zhì)的圖象【解答】解： SKIPIF 1 0 則函數(shù)的定義域?yàn)椋?SKIPIF 1 0 ，即函數(shù)圖象只出現(xiàn)在 SKIPIF 1 0 軸右側(cè)；值域?yàn)椋?SKIPIF 1 0 即函數(shù)圖象只出現(xiàn)在 SKIPIF 1 0 軸上方；在區(qū)間 SKIPIF 1 0 上遞減的曲線，在區(qū)間 SKIPIF 1 0 上遞增的曲線分析 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 、 S

10、KIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 四個(gè)答案，只有 SKIPIF 1 0 滿足要求故選： SKIPIF 1 0 【跟蹤訓(xùn)練2-2】（2019衡水二模）如圖，已知過(guò)原點(diǎn) SKIPIF 1 0 的直線與函數(shù) SKIPIF 1 0 的圖象交于 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 兩點(diǎn)，分別過(guò) SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 作 SKIPIF 1 0 軸的平行線與函數(shù) SKIPIF 1 0 圖象交于 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 兩點(diǎn)，若 SKIPIF 1 0 軸，則四邊形 SKIPIF 1 0 的面積為 【分析】設(shè)出 SKIPIF 1 0 、

11、SKIPIF 1 0 的坐標(biāo)，求出 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 的斜率相等利用三點(diǎn)共線得出 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 的坐標(biāo)之間的關(guān)系再根據(jù) SKIPIF 1 0 平行 SKIPIF 1 0 軸， SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 縱坐標(biāo)相等，推出橫坐標(biāo)的關(guān)系，結(jié)合之前得出 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 的坐標(biāo)之間的關(guān)系即可求出 SKIPIF 1 0 的坐標(biāo)，從而解出 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 的坐標(biāo)，最后利用梯形的面積公式求解即可【解答】解：設(shè)點(diǎn) SKIPIF 1 0 、

12、 SKIPIF 1 0 的橫坐標(biāo)分別為 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 由題設(shè)知， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 則點(diǎn) SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 縱坐標(biāo)分別為 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 因?yàn)?SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 在過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 0 的直線上，所以 SKIPIF 1 0 ，點(diǎn) SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 坐標(biāo)分別為 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 由于 SKIPIF 1 0 平行于 SKIPIF

13、 1 0 軸知 SKIPIF 1 0 ，即得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 代入 SKIPIF 1 0 得 SKIPIF 1 0 由于 SKIPIF 1 0 知 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 考慮 SKIPIF 1 0 解得 SKIPIF 1 0 于是點(diǎn) SKIPIF 1 0 的坐標(biāo)為 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 即 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 S

14、KIPIF 1 0 梯形 SKIPIF 1 0 的面積為 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 故答案為： SKIPIF 1 0 【名師指導(dǎo)】對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的識(shí)別及應(yīng)用方法(1)在識(shí)別函數(shù)圖象時(shí)，要善于利用已知函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖象上的特殊點(diǎn)(與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、最高點(diǎn)、最低點(diǎn)等)排除不符合要求的選項(xiàng)(2)一些對(duì)數(shù)型方程、不等式問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合法求解題型3 對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 【例3-1】（2020新課標(biāo)）已知 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 設(shè) SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 S

15、KIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 【分析】根據(jù) SKIPIF 1 0 ，可得 SKIPIF 1 0 ，然后由 SKIPIF 1 0 和 SKIPIF 1 0 ，得到 SKIPIF 1 0 ，再確定 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 的大小關(guān)系【解答】解： SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ； SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ； SKIPIF 1 0 ， SKIPI

16、F 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，綜上， SKIPIF 1 0 故選： SKIPIF 1 0 【例3-2】（2019陸良縣一模）已知函數(shù) SKIPIF 1 0 ，則使得 SKIPIF 1 0 的 SKIPIF 1 0 的取值范圍是 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 【分析】判斷函數(shù) SKIPIF 1 0 是定義域 SKIPIF 1 0 上的偶函數(shù)，且在 SKIPIF 1 0 時(shí)單調(diào)遞增，把不等式 SKIPIF 1 0 轉(zhuǎn)化為 SKIPIF 1 0 ，

17、求出解集即可【解答】解： SKIPIF 1 0 函數(shù) SKIPIF 1 0 為定義域 SKIPIF 1 0 上的偶函數(shù)，且在 SKIPIF 1 0 時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增， SKIPIF 1 0 等價(jià)為 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，兩邊平方得 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ； SKIPIF 1 0 使得 SKIPIF 1 0 的 SKIPIF 1 0 的取值范圍是 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 故選： SKIPIF 1 0 【例3-3】（2019秋靜寧縣校級(jí)月考）已知函數(shù) SKIPIF 1 0 （1）若 SK

18、IPIF 1 0 的定義域?yàn)?SKIPIF 1 0 ，求 SKIPIF 1 0 的取值范圍；（2）若 SKIPIF 1 0 ，求 SKIPIF 1 0 單調(diào)區(qū)間；（3）是否存在實(shí)數(shù) SKIPIF 1 0 ，使 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上為增函數(shù)？若存在，求出 SKIPIF 1 0 的范圍？若不存在，說(shuō)明理由【分析】（1） SKIPIF 1 0 恒成立， SKIPIF 1 0 （2）求出 SKIPIF 1 0 轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問(wèn)題（3）根據(jù)符合函數(shù)單調(diào)性求解【解答】解：（1） SKIPIF 1 0 函數(shù) SKIPIF 1 0 的定義域?yàn)?SKIPIF 1 0 ， SKIPI

19、F 1 0 恒成立， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 即 SKIPIF 1 0 的取值范圍 SKIPIF 1 0 （2） SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 設(shè) SKIPIF 1 0 ，對(duì)稱軸 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上為減函數(shù)，在 SKIPIF 1 0 上為增函數(shù)根據(jù)符合函數(shù)單調(diào)性規(guī)律可判斷： SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上為增函數(shù)，在 SKIPIF 1 0 上為減函數(shù)（3）函數(shù) SKIPIF 1 0

20、 設(shè) SKIPIF 1 0 ，可知在 SKIPIF 1 0 上為減函數(shù)，在 SKIPIF 1 0 上為增函數(shù) SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上為增函數(shù) SKIPIF 1 0 且 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 且 SKIPIF 1 0 ，不可能成立不存在實(shí)數(shù) SKIPIF 1 0 ，使 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上為增函數(shù)【跟蹤訓(xùn)練3-1】（2020昆明一模）已知 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 的大小關(guān)系為 SKIP

21、IF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 【分析】結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的特殊函數(shù)值及單調(diào)性即可比較大小【解答】解： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 故選： SKIPIF 1 0 【跟蹤訓(xùn)練3-2】（2020春安徽期末）已知 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)直接求解【解答】解： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 故選： SKIPIF 1 0 【跟蹤訓(xùn)練3-3】（2019秋武邑縣校級(jí)期中）已知