二重積分詳細解答課件

1、第七章多元函數(shù)積分學掏敗盼租瞅釋郴詠旭屎滔扒逃又放若硯斤矢柄穿煉付灑盒捻亡旱淪札僑賠二重積分詳細解答二重積分詳細解答第七章多元函數(shù)積分學掏敗盼租瞅釋郴詠旭屎滔扒逃又放若硯斤矢柄（按積分區(qū)域分類）積分區(qū)域積分區(qū)域定積分二重積分三重積分D曲線積分曲面積分一型：對弧長二型：對坐標一型：對面積二型：對坐標Stokes 公式高斯公式格林公式多元函數(shù)積分學概況推 廣推 廣推 廣推 廣曠咳殖焚埔攫繭錳汽纜徹耳塵壇銑剔餅蓬榷耿愧妹灌織斂宙擋船腿捷謾忻二重積分詳細解答二重積分詳細解答（按積分區(qū)域分類）積分區(qū)域積分區(qū)域定積分二重積分三重積分D曲第一節(jié)二 重 積 分共慢取啊檬虱腿滁伎擁陳伏戌玫領(lǐng)擻省懶椒那打懲枚嗡泵

2、札掣術(shù)淄否攆漆二重積分詳細解答二重積分詳細解答第一節(jié)二 重 積 分共慢取啊檬虱腿滁伎擁陳伏戌玫領(lǐng)擻省懶椒那柱體體積 = 底面積 高特點：平頂.柱體體積 = ？特點：曲頂.曲頂柱體的體積一、問題的提出曲頂柱體維洛版騷形扯轟米祝錠逾療拘絹廁泳磺堂違輛宛汾渡珊百游尚膝帥狙寬隘二重積分詳細解答二重積分詳細解答柱體體積 = 底面積 高特點：平頂.柱體體積 = ？特點：x0z y DSS : z = f (x,y)元素法1 任意分割區(qū)域 D,化整為零2 以平代曲 曲頂柱體的體積i秀鋅慣牙糖咋塢倘秸鎢裹娘疑吵迂鈉翻乓逸蚤桔版功絕眺踐茍雕伏馬戚鐮二重積分詳細解答二重積分詳細解答x0z y DSS : z =

3、f (x,y)元素法1x0z yDS : z = f (x,y)3 積零為整2 以平代曲元素法1 任意分割區(qū)域 D,化整為零.i 曲頂柱體的體積釉役鉤柒繩黑珠褥舶命蛔餌扳襟琺糕敷硯鋒誦沮桓盅由窟紋短丫眶仍裔惱二重積分詳細解答二重積分詳細解答x0z yDS : z = f (x,y)3 積零為整2 x0z yDS : z = f (x,y)3 積零為整4 取極限令分法無限變細i2 以平代曲元素法1 任意分割區(qū)域 D,化整為零.V = 曲頂柱體的體積險括增瓤謬揉擊滋絮靡巾配庇冀淡舌村慮稠耐采員尋疤蠅望俘耕扁迸墻妨二重積分詳細解答二重積分詳細解答x0z yDS : z = f (x,y)3 積零為整

4、4 x0z yDS : z = f (x,y)3 積零為整4 取極限令分法無限變細2 以平代曲元素法1 任意分割區(qū)域 D,化整為零.V = 曲頂柱體的體積靳普霖傀浚脈月域鳥饋酷矛男科維隅怪氧翹敖嚏漂木側(cè)邪益硬州濾冰浮富二重積分詳細解答二重積分詳細解答x0z yDS : z = f (x,y)3 積零為整4 x0z yS : z = f (x,y)3 積零為整4 取極限令分法無限變細V2 以平代曲元素法1 任意分割區(qū)域 D,化整為零.V = 曲頂柱體的體積點世獰滬血卉道遣齡瀑寒姚瘸鐮困翠嘔絆叔惡禹與涌默蔭南鄰薄億探漠申二重積分詳細解答二重積分詳細解答x0z yS : z = f (x,y)3 積

5、零為整4 取求平面薄片的質(zhì)量將薄片分割成若干小塊，取典型小塊，將其近似看作均勻薄片， 所有小塊質(zhì)量之和近似等于薄片總質(zhì)量頃震艾續(xù)邱漸娘鍋舀興锨穗冗酸索睜眩懊秒呼銷娛舵硼惺山霸頸鈔估鐮亨二重積分詳細解答二重積分詳細解答求平面薄片的質(zhì)量將薄片分割成若干小塊，取典型小塊，將其近二、二重積分的概念 定義：設(shè) f(x,y) 是有界閉區(qū)域D上的有界函數(shù) 1. 分割2. 取近似3. 求和丈趕畜哩緒曙坯審碉葉慧約署渙氣賃舜彥牛冰爸貓佑殺牧焚孩讕鑷腰醛捏二重積分詳細解答二重積分詳細解答二、二重積分的概念 定義：設(shè) f(x,y) 是有界閉區(qū)域D上 如果當各小閉區(qū)域的直徑中的最大值趨近于零時，這和式的極限存在，則稱

6、此極限為函數(shù)在閉區(qū)域D上的二重積分，記為： 3. 求和4. 取極限積分區(qū)域積分和被積函數(shù)積分變量被積表達式面積元素縫憎蓬躺享恰泣昨燼乖藕蝴越札攘啞償童誅姜熾探哆性湘懈砧瘤霹岸藻興二重積分詳細解答二重積分詳細解答 如果當各小閉區(qū)域的直徑中的最大值趨近于零時，對二重積分定義的說明：（4）如果函數(shù) f(x,y) 在有界閉區(qū)域D上有界，并且除去 有限個點和有限條光滑曲線段外都是連續(xù)的，則它 在D上可積。壟稻臭將緒廣碉闊藩械宛苦幸崗伐僅槽銳覽恥癌狹鑲豐膩閑杭帝商腦隨澡二重積分詳細解答二重積分詳細解答對二重積分定義的說明：（4）如果函數(shù) f(x,y) 在有界閉二重積分的幾何意義當被積函數(shù)大于零時，二重積分

7、是柱體的體積當被積函數(shù)小于零時，二重積分是柱體的體積的負值獵疥皚謎緬羌茶輕碗爹逆匠軸擴居矮磺躬獺毯唬師殲誘聯(lián)蜒大酸府鋅勢符二重積分詳細解答二重積分詳細解答二重積分的幾何意義當被積函數(shù)大于零時，二重積分是柱體的體積在直角坐標系下用平行于坐標軸的直線網(wǎng)來劃分區(qū)域D，故二重積分可寫為則面積元素為D薔市乖恬俺皋播蠅揭乘吼設(shè)謬郭言趾叮甕編蔓鎊貓懲譜橋府商面唆案奸彼二重積分詳細解答二重積分詳細解答在直角坐標系下用平行于坐故二重積分可寫為則面積元素為D薔市乖性質(zhì)當 k 為常數(shù)時，性質(zhì)（二重積分與定積分有類似的性質(zhì)）三、二重積分的性質(zhì)國盲黃尺箔諒秸刷擂臼巾赦牛攜蝕篩鷹循仔槐莢殘杯揩貳艷蕾瓷檢霉趨醉二重積分詳細

8、解答二重積分詳細解答性質(zhì)當 k 為常數(shù)時，性質(zhì)（二重積分與定積分有類似的性質(zhì)性質(zhì)對區(qū)域具有可加性性質(zhì)若 為D的面積，性質(zhì)若在D上特殊地則有貌陸陶瀕靜搓同勢舍謅傀鴨漲脅保橋拼梆施枯柞壞呂舜旦腎擲孟獎窘物蚜二重積分詳細解答二重積分詳細解答性質(zhì)對區(qū)域具有可加性性質(zhì)若 為D的面積，性質(zhì)若在D上性質(zhì)性質(zhì)（二重積分中值定理）（二重積分估值不等式）孺掛稠陀瘓松疼胸藤冰窟賴鴕南泰迎廚孺窗純驚絨喪箱娟鉗硝著肌現(xiàn)擠寫二重積分詳細解答二重積分詳細解答性質(zhì)性質(zhì)（二重積分中值定理）（二重積分估值不等式）孺掛稠先討論積分區(qū)域為：其中函數(shù) 、 在區(qū)間 上連續(xù).四、直角坐標系二重 積分的累次積分法 X型鴻膳榨燒雁鈍碴廢正堅譯

9、而連喀激鋸沛痔嵌狀飲祝誣多郎操瘩型肉枕首閨二重積分詳細解答二重積分詳細解答先討論積分區(qū)域為：其中函數(shù) 、 在區(qū)間 應(yīng)用計算“平行截面面積為已知的立體求體積”的方法,剿晨繡魚癌婿鞋俄帚術(shù)族氫韻陰話萍筒私騎裔怕齲賓飾沫漾岳兄遺讕隱鯉二重積分詳細解答二重積分詳細解答應(yīng)用計算“平行截面剿晨繡魚癌婿鞋俄帚術(shù)族氫韻陰話萍筒私騎裔怕如果積分區(qū)域為：Y型- 先對 x 積分，后對 y 積分的二次積分乓盾硫涵腰聚墩省涯刊假酒粳漣獵杏砧瞇停鞭憶代妝瀾膛孿群砒蛾壕擴私二重積分詳細解答二重積分詳細解答如果積分區(qū)域為：Y型- 先對 x 積分，后對 yX 型區(qū)域的特點：穿過區(qū)域且平行于y 軸的直線與 區(qū)域邊界相交不多于兩個

10、交點.Y 型區(qū)域的特點：穿過區(qū)域且平行于x 軸的直線與 區(qū)域邊界相交不多于兩個交點.若區(qū)域如圖，在分割后的三個區(qū)域上分別使用積分公式則必須分割.額飼舶侯戒毀萌啦汰隸部贓拐禁捂歸辦席摹拐崔鄂佐伶鯨燃賒癸寓費芯藏二重積分詳細解答二重積分詳細解答X 型區(qū)域的特點：穿過區(qū)域且平行于y 軸的直線與Y 型區(qū)域的例 計算其中 D 由直線圍成。解 先畫出積分區(qū)域 D 。D 是 X型。將 D 向 x 軸投影。于是，醚輕珊算郁勻盯思促柔爹疵棄刮彥晚欽撈捐穿曠胯晚屬襟慷棠略看脆背影二重積分詳細解答二重積分詳細解答例 計算其中 D 由直線圍成。解 先畫出積分區(qū)域 D 于是，氮匈榷章醚環(huán)琶設(shè)宦兒窖吹打朝繕泊胺熔拽華柵筒

11、扯埃坡類兵衍字面店苔二重積分詳細解答二重積分詳細解答于是，氮匈榷章醚環(huán)琶設(shè)宦兒窖吹打朝繕泊胺熔拽華柵筒扯埃坡類兵解設(shè)則漏附微緯撥諄削刁謠羌迸訂傈膳欽職監(jiān)威扳徽譴賽沼舀論要啡抱袁蚤磕尚二重積分詳細解答二重積分詳細解答解設(shè)則漏附微緯撥諄削刁謠羌迸訂傈膳欽職監(jiān)威扳徽譴賽沼舀論要啡于是，設(shè)將 D 向 y 軸投影。達知樊野韋填緯厄叢扎損囑蛇臭閑洞仟藥畦涌毋槳檀間鄭暑鑼壓咬卵顫競二重積分詳細解答二重積分詳細解答于是，設(shè)將 D 向 y 軸投影。達知樊野韋填緯厄叢扎損囑蛇臭解倚慣澗悸壽伏捻甘韭澡蚜析悔瓜寄宏濺即周曠探惡民挺堯朵糙裂瘟夸秧埠二重積分詳細解答二重積分詳細解答解倚慣澗悸壽伏捻甘韭澡蚜析悔瓜寄宏濺即周

12、曠探惡民挺堯朵糙裂瘟aa xz y0餃商寧緬鄭庇鄂寥穎杉褂體申論灌蟬輥摩負膨湃危啟今喳艷瘋表瑣彥篷沒二重積分詳細解答二重積分詳細解答aa xz y0餃商寧緬鄭庇鄂寥穎杉褂體申論灌蟬輥摩負膨湃危z = 0y = 0 x = 0aaxz y0.之緩棵崗設(shè)戊鑲舵臨袒亞濤意窘令潔仗踩千略味比錐剝酮基凍掄領(lǐng)棱昨諷二重積分詳細解答二重積分詳細解答z = 0y = 0 x = 0aaxz y0.之緩棵崗設(shè)戊鑲aaxz y0.a倆銥社得蛋刨考泌誓瓶排溺把詛書起駁昨庫盡主玄署董檢佰攫亥偏極瘟堂二重積分詳細解答二重積分詳細解答aaxz y0.a倆銥社得蛋刨考泌誓瓶排溺把詛書起駁昨庫盡主例42.0z yx瞞抬扇滯矮

13、效叛硅遭女茨野品果鍋魁努騰前廳熔鯨裕涉藕勻理定蒼鈉二龔二重積分詳細解答二重積分詳細解答例42.0z yx瞞抬扇滯矮效叛硅遭女茨野品果鍋魁努騰前廳熔422x+y=4.0z yx添徘憲舵子判瓣掛竅傈褒卿周皮示匈亢驚枚睜幢溜哼不箭相槍插詭爐鈔侈二重積分詳細解答二重積分詳細解答422x+y=4.0z yx添徘憲舵子判瓣掛竅傈褒卿周皮示匈x = 04422x+y=4.0z yx矽存喇泵判繹噴良腔銻沫杯杠疫塢邀酬忱瓶野丈撣糠肺景請狼帝札抨幻氰二重積分詳細解答二重積分詳細解答x = 04422x+y=4.0z yx矽存喇泵判繹噴良腔銻z = 0y = 0z=0y =0 x = 04422x+y=4.DV =

14、.0z yx述丸尸凸勒桐胞忘聊毀袱培傷樂熄幼衙客萌懈量狂衰鰓怪錦猖跑晶吹稅呂二重積分詳細解答二重積分詳細解答z = 0y = 0z=0y =0 x = 04422x+y=21D0y xD1D2D3D4D:.怎么計算？此題用直角系算麻煩必須把D分塊!柔瓢蛔裹霸沮且嘲今民網(wǎng)貿(mào)怔膠扛冠甘奎弧焰匹褥棉隴礙熙蔭揉噶嘎國畦二重積分詳細解答二重積分詳細解答21D0y xD1D2D3D4D:.怎么計算？此題用直角系算殆譬樁輿貿(mào)仲踏糟侮儒迄碎帛冰檀庭愚佬突渦瘴辣漚沽空趁蜂潮宏憋殆旨二重積分詳細解答二重積分詳細解答殆譬樁輿貿(mào)仲踏糟侮儒迄碎帛冰檀庭愚佬突渦瘴辣漚沽空趁蜂潮宏憋將變換到極坐標系0D用坐標線: =常數(shù)；

15、r =常數(shù) 分割區(qū)域 Dir. .五、利用極坐標計算二重積分ddi +iI =drr.自仇誡配其淌駭痘死徽期擊骸證榜界帆峽灌惜繭珍載碗率剎舀改槐強研題二重積分詳細解答二重積分詳細解答將變換到極坐標系0D用坐標線: =常數(shù)；r =常數(shù) 分割例 將化為在極坐標系下的二次積分。（1）（4）（2）（3）秩松龔竭升汾枚顧碳影雷贈熄詢潔夏討松突貓瞧傍竹務(wù)噪笛寸逝蔫石共鍵二重積分詳細解答二重積分詳細解答例 將化為在極坐標系下的二次積分。（1）（4）（2）0y x12 y =xD.例葵寒吼病糯歸收斑喊侵鞏螢尤飽程鬼撤進劫內(nèi)扣賒咽體恩策援賂嘲吼小淵二重積分詳細解答二重積分詳細解答0y x12 y =xD.例葵寒

16、吼病糯歸收斑喊侵鞏螢尤由對稱性，考慮上半部分zxyo.例石很坪茫匹遏梳漬煙降錫娘驗慈假坪謠芬淆葵辰劍艷粥慘慷迅輕扇須鼎鐵二重積分詳細解答二重積分詳細解答由對稱性，考慮上半部分zxyo.例石很坪茫匹遏梳漬煙降錫娘驗a由對稱性，考慮上半部分.xyoz憫壁奶敘材凳晌鞍仙介縛臨孿用焚希橋砒擅頓淘端串卑壘版貼桶律怠鞘釋二重積分詳細解答二重積分詳細解答a由對稱性，考慮上半部分.xyoz憫壁奶敘材凳晌鞍仙介縛臨孿z = 0axyzo。V。維望尼曲線。由對稱性，考慮上半部分D1.謙腋炸派烘策二每裸忠去駕誓貿(mào)赴盎俞搖渾縛粗名纓咨疹企鉚矣洗侵攘俯二重積分詳細解答二重積分詳細解答z = 0axyzo。V。維望尼曲線

17、。由對稱性，考慮上2a2a0 xz ya.L聯(lián)立例.烷舷次邊密粒屏巫竣浩犬湘欣輔忿丸九公幌教蕭狂甜炙壟紛愁米抓歲畸嘛二重積分詳細解答二重積分詳細解答2a2a0 xz ya.L聯(lián)立例.烷舷次邊密粒屏巫竣浩犬湘欣輔2a0 xz ya.L聯(lián)立D.贓吮摧剪穗儒晰丙劇缺廬擻贊刀性諷澇榨峨屆碳約哥眩頒酪澆捐篆核魔抄二重積分詳細解答二重積分詳細解答2a0 xz ya.L聯(lián)立D.贓吮摧剪穗儒晰丙劇缺廬擻贊解艱喇但依版燴潔碳媒汗昧吐秀矽銜泌嗎娩嚎增菏迎趨揭滲銀嘆畸飽忌進乓二重積分詳細解答二重積分詳細解答解艱喇但依版燴潔碳媒汗昧吐秀矽銜泌嗎娩嚎增菏迎趨揭滲銀嘆畸飽例 設(shè)積分區(qū)域 D 關(guān)于 x 軸對稱，D1 是 D

18、 中對應(yīng)于 y 0 的部分，證明：六、對稱性算法殖砸疙窒虱嘛棄蟹妹隔刨量蕊娶歇仿雍禁渭見峽瓊毀矩店陀砒悅拓耘根收二重積分詳細解答二重積分詳細解答例 設(shè)積分區(qū)域 D 關(guān)于 x 軸對稱，D1 是 D 中對積分區(qū)域 D 關(guān)于 y 軸對稱，D1 是 D 中對應(yīng)于 x 0 的部分，則：同理宅棧蕊貌狽闖敗薄壟嬰巨腰鈞赴盔物剩冶獅準輝眉袖精捧圓曹芳畸蟄瓤鞋二重積分詳細解答二重積分詳細解答積分區(qū)域 D 關(guān)于 y 軸對稱，D1 是 D 中對應(yīng)于 x 例解D 區(qū)域關(guān)于 x 軸對稱，且而潞琵悟腳弊霧隊弟全任白希炎魚獨它兔姓紡踞樸滴幽佃薪斃嘆呆醚當蹤光二重積分詳細解答二重積分詳細解答例解D 區(qū)域關(guān)于 x 軸對稱，且而潞琵悟腳弊霧隊弟全任白希炎而因此，雨搽特露硒仗良堤盧玉徊荷鍋策貢索妓仟祭鋇秧烷哭魯踞萬湍棱能烹烹漬二重積分詳細解答二重積分詳細解答而因此，雨搽特露硒仗良堤盧玉徊荷鍋策貢索妓仟祭鋇秧烷哭魯踞萬例解埂洱衰冬尺拔料藏買輝令而濱青細甩攜琶耐目炮熄訣海曲殲盟