《向量的數(shù)量積》綜合能力升華題

1、PAGE6平面向量的數(shù)量積綜合能力升華題一、基本概念問題例1已知，當(dāng)（1），（2），（3）與的夾角為，分別求與的數(shù)量積。分析：已知與，求，只需確定其夾角。需注意到時，有和兩種可能。解析：（1），若與同向，則，=；若與反向，則，=。（2）當(dāng)時，=。（3）當(dāng)與的夾角為時，=。評注：（1）對于數(shù)量積=，其中的取值范圍是；（2）非零向量和，；（3）非零向量與共線的充要條件是。例2已知，。（1）若，求；（2）若，求。分析：利用兩向量垂直和平行的條件解題。解析：（1）設(shè)，又，聯(lián)立解得或，或。（2）設(shè)，又，聯(lián)立解得或，或。評注：根據(jù)向量的知識及向量的坐標(biāo)表示，把問題轉(zhuǎn)化為解方程（組），這是我們常用的方法思想

2、。二、有關(guān)模的問題例3設(shè)，且函數(shù)的最大值為0，最小值為，且向量的夾角為，求。分析：要求，需知道，故可利用函數(shù)的最值確定的值。解析：，當(dāng)時，；當(dāng)時，。由解得，。評注：該例將三角函數(shù)的極值與向量的模、數(shù)量積的運(yùn)算結(jié)合在一起。例4已知平面上三個向量的模均為1，它們相互之間的夾角為。（1）求證：；（2）若，求的取值范圍。分析：解答該例的突破口在于準(zhǔn)確理解平面向量相互夾角為。（1）證明：，（2）解析：，且相互之間的夾角為，。故的取值范圍為。評注：該例第問考查了轉(zhuǎn)化的思想，即把有關(guān)向量模的不等式轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)不等式求解。三、開放性問題例5已知點(diǎn)，問能否在軸上找到一點(diǎn)，使，若不能，請說明理由；若能，求出點(diǎn)的坐標(biāo)

3、。分析：該例是開放性問題，沒有明確的標(biāo)準(zhǔn)，需要去探究。解此類問題，一般是假設(shè)存在，通過推理或運(yùn)算，求出結(jié)果或找出矛盾。解析：設(shè)存在點(diǎn)，使，則。，即，又在方程中，方程無解，即不存在滿足條件的點(diǎn)。評注：該例通過運(yùn)算得出無解，從而說明假設(shè)不正確。四、函數(shù)問題例6已知平面向量。（1）證明；（2）若存在不同時為0的實(shí)數(shù)，使，試求函數(shù)關(guān)系式；分析：從向量垂直的條件入手。（1）證明：，。（2）解析：，即。點(diǎn)評：該例為向量與函數(shù)的綜合題，求解要靈活，及時調(diào)整思維角度，并注意解題的嚴(yán)謹(jǐn)性，如容易被忽略。五、幾何問題例7以原點(diǎn)和為兩頂點(diǎn)作等腰直角三角形，使，求點(diǎn)和向量的坐標(biāo)。分析：本題關(guān)鍵是求出點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)，由和，可得關(guān)于，的方程組，解方程組可得點(diǎn)坐標(biāo)。解析：設(shè)，則，。，又，即