矢量場(chǎng)和梯度算子課件

1、2022/10/141矢量、矢量場(chǎng)和梯度算子2022/10/111矢量、矢量場(chǎng)和梯度算子2022/10/14什么是矢量？2坐標(biāo)變換坐標(biāo)系 Oxyz 任一點(diǎn) P 的坐標(biāo)：坐標(biāo)系 Oxyz 任一點(diǎn) P 的坐標(biāo)：坐標(biāo)變換2022/10/11什么是矢量？2坐標(biāo)變換坐標(biāo)系 Oxyz 2022/10/14什么是矢量？3標(biāo)量與矢量的定義定義：如果某個(gè)量在任一坐標(biāo)系中僅需一個(gè)數(shù)（分量）描述， 并且在坐標(biāo)變換下其分量是不變的，則稱(chēng)其為標(biāo)量推論：如果 a 和 b 是兩個(gè)標(biāo)量，則 a+b 和 ab 也都是標(biāo)量。例子：質(zhì)量m、電荷q、溫度、 Newton時(shí)間t， etc.定義：如果某個(gè)量在任一坐標(biāo)系中需三個(gè)數(shù)（分量）

2、描述， 并且在坐標(biāo)變換下其分量與坐標(biāo)的變換規(guī)律一樣， 則稱(chēng)其為矢量。即推論：位矢是一個(gè)矢量矢量的表示:2022/10/11什么是矢量？3標(biāo)量與矢量的定義定義：如果2022/10/14矢量運(yùn)算4標(biāo)量與矢量運(yùn)算如何由給定的標(biāo)量和矢量得到新的標(biāo)量和矢量。設(shè) a、b為標(biāo)量，推論:位移、速度、加速度、動(dòng)量等物理量是矢量其分量定義為矢量的線(xiàn)性組合仍然是矢量力為矢量是一個(gè)物理的假設(shè)，而不是數(shù)學(xué)的推論為矢量。數(shù)乘：其分量定義為矢量和：2022/10/11矢量運(yùn)算4標(biāo)量與矢量運(yùn)算如何由給定的標(biāo)量2022/10/14矢量運(yùn)算5標(biāo)量與矢量運(yùn)算(續(xù))推論：動(dòng)能標(biāo)量積：矢量的長(zhǎng)度：證明：如果對(duì)于任意矢量、功是標(biāo)量是一個(gè)

3、標(biāo)量，則必是某個(gè)矢量 的分量。2022/10/11矢量運(yùn)算5標(biāo)量與矢量運(yùn)算(續(xù))推論：動(dòng)能2022/10/14矢量運(yùn)算6標(biāo)量與矢量運(yùn)算(續(xù))矢量積：證明：推論：角動(dòng)量、力矩是（贗）矢量。2022/10/11矢量運(yùn)算6標(biāo)量與矢量運(yùn)算(續(xù))矢量積：證2022/10/14矢量運(yùn)算7標(biāo)量與矢量運(yùn)算(續(xù))標(biāo)量積的幾何意義：證明：矢量積的幾何意義：大小為 ，即兩個(gè)矢量張成的平行四邊形的面積，方向滿(mǎn)足右手法則。為兩個(gè)矢量之間的夾角：2022/10/11矢量運(yùn)算7標(biāo)量與矢量運(yùn)算(續(xù))標(biāo)量積的幾2022/10/14矢量運(yùn)算8單位基矢 單位基矢：“完整”的矢量指定了坐標(biāo)系并且給出了矢量分量的含義突出了矢量是坐標(biāo)變

4、換下得不變量 單位基矢的變換：2022/10/11矢量運(yùn)算8單位基矢 單位基矢：“完整”的2022/10/14矢量運(yùn)算9矢量的混合積的大小為三個(gè)矢量所張成的平行六面體的體積，正負(fù)取決于這三個(gè)矢量是否滿(mǎn)足右手法則確定。2022/10/11矢量運(yùn)算9矢量的混合積的大小為三個(gè)矢量所2022/10/14什么是場(chǎng)？10標(biāo)量場(chǎng)及其幾何表示標(biāo)量場(chǎng)：標(biāo)量在空間的分布，對(duì)于空間任一點(diǎn)都指定或者賦 予某個(gè)唯一的標(biāo)量（數(shù)）代數(shù)表示：函數(shù)幾何表示：等值面、等值線(xiàn)-q+q-q+3q-q+q-q+q-q+q-q+q2022/10/11什么是場(chǎng)？10標(biāo)量場(chǎng)及其幾何表示標(biāo)量場(chǎng)：2022/10/14什么是場(chǎng)？11矢量及其幾何表

5、示矢量場(chǎng)：矢量在空間的分布，對(duì)于空間任一點(diǎn)都指定或者賦予某個(gè)唯一的矢量代數(shù)表示：函數(shù)幾何表示：箭頭、場(chǎng)線(xiàn)2022/10/11什么是場(chǎng)？11矢量及其幾何表示矢量場(chǎng)：矢2022/10/14梯度算子12場(chǎng)在空間某個(gè)方向上的變化率在每一點(diǎn)處的數(shù)值都滿(mǎn)足矢量分量的變換規(guī)律在 方向上的變化率 方向?qū)?shù)2022/10/11梯度算子12場(chǎng)在空間某個(gè)方向上的變化率在2022/10/14梯度算子13場(chǎng)在空間某個(gè)方向上的變化率(續(xù))是一個(gè)矢量場(chǎng)的三個(gè)分量梯度算子在 方向上的方向?qū)?shù)2022/10/11梯度算子13場(chǎng)在空間某個(gè)方向上的變化率(2022/10/14梯度算子14梯度算子梯度算子是一個(gè)矢量算子標(biāo)量場(chǎng)梯度是一

6、個(gè)矢量場(chǎng)：矢量場(chǎng)散度是一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)：矢量場(chǎng)旋度是一個(gè)矢量場(chǎng)：梯度算子是一個(gè)矢量微分算符：作為矢量，滿(mǎn)足通常矢量點(diǎn)乘和叉乘運(yùn)算法則作為算符，需作用于表達(dá)式中的所有對(duì)象2022/10/11梯度算子14梯度算子梯度算子是一個(gè)矢量2022/10/14梯度算子15與位置有關(guān)的矢量微分公式證明：2022/10/11梯度算子15與位置有關(guān)的矢量微分公式證明2022/10/14梯度算子16與梯度算子有關(guān)的一些矢量恒等式2022/10/11梯度算子16與梯度算子有關(guān)的一些矢量恒等2022/10/14梯度算子17關(guān)于梯度算子恒等式的符號(hào)法證明例:用符號(hào)法證明證(1) 視為“算符”，分別作用 和 （加上下標(biāo)以示區(qū)別）

7、，得兩項(xiàng)：(2) 視 矢和 為“矢量”，遵循矢量運(yùn)算規(guī)則，將其置于作用對(duì)象前方：(3) 代回原式并舍去矢量算符的下標(biāo)得證畢2022/10/11梯度算子17關(guān)于梯度算子恒等式的符號(hào)法證2022/10/14梯度算子18梯度算子補(bǔ)例:用符號(hào)法證明證(1) 視為“算符”，分別作用 和 （加上下標(biāo)以示區(qū)別），得兩項(xiàng)：(2) 視 矢和 A 為“矢量”，遵循矢量運(yùn)算規(guī)則，將其置于作用對(duì)象前方：(3) 代回原式并舍去矢量算符的下標(biāo)得證畢2022/10/11梯度算子18梯度算子補(bǔ)例:用符號(hào)法證明證2022/10/14梯度算子19梯度算子補(bǔ)例:用符號(hào)法證明證(1) 視為“算符”，分別作用 A 和 B（加上下標(biāo)以示

8、區(qū)別），得兩項(xiàng)：(2) 視 A 矢和 B 為“矢量”，遵循矢量運(yùn)算規(guī)則，將其置于作用對(duì)象前方：(3) 代回原式并舍去矢量算符的下標(biāo)得證畢2022/10/11梯度算子19梯度算子補(bǔ)例:用符號(hào)法證明證2022/10/14梯度算子20梯度算子補(bǔ)例:用符號(hào)法證明證(1) 視為“算符”，分別作用 A 和 B（加上下標(biāo)以示區(qū)別），得兩項(xiàng)：(2) 視 A 矢和 B 為“矢量”，遵循矢量運(yùn)算規(guī)則，將其置于作用對(duì)象前方：(3) 代回原式并舍去矢量算符的下標(biāo)得證畢2022/10/11梯度算子20梯度算子補(bǔ)例:用符號(hào)法證明證2022/10/14梯度算子21場(chǎng)隨空間的二階變化標(biāo)量場(chǎng)梯度 是矢量場(chǎng)：矢量場(chǎng)散度 是標(biāo)量場(chǎng)：矢量場(chǎng)旋度 是矢量場(chǎng)：Laplace(標(biāo)量)算符是一個(gè)矢量場(chǎng)，其分量為2022/10/11梯度算子2