2022-2023學年天津南開區(qū)第七十四中學高二數(shù)學理聯(lián)考試卷含解析

1、2022-2023學年天津南開區(qū)第七十四中學高二數(shù)學理聯(lián)考試卷含解析一、 選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1. 拋物線圖象上與其準線的距離為5的點的坐標為（ ） A(4,4) B(3，) C(2，) D(1，,2)參考答案：A略2. 若一條直線與一個平面成720角，則這條直線與這個平面內(nèi)不經(jīng)過斜足的直線所成角中最大角等于( )A. 720 B. 900 C. 1080 D. 1800參考答案：B略3. 下列說法：必然事件的概率為1；如果某種彩票的中獎概率為，那么買1000張這種彩票一定能中獎；某事件的概率為；互斥事件一定是對立事

2、件；其中正確的說法是（ ）A B C D參考答案：B4. 袋中裝有黑球和白球共7個,從中任取2個球都是白球的概率是,現(xiàn)在甲乙兩人輪流從袋中摸出一球,甲先取,乙后取,然后甲再取取后不放回,直到兩人中有一人取到白球時即終止,每個球每一次被取到的機會是均等的,那么甲取到白球的概率是 （ ）A B C D參考答案：D5. 直線（t為參數(shù)）和圓x2+y2=16交于A、B兩點，則線段AB的中點坐標為（）A（3，3）B（3，）C（，3）D（3，）參考答案：B【考點】QH：參數(shù)方程化成普通方程【專題】4R：轉(zhuǎn)化法；5B ：直線與圓；5S ：坐標系和參數(shù)方程【分析】直線（t為參數(shù)），消去參數(shù)t化為普通方程：y=

3、x4，代入圓的方程可得：x26x+8=0，設A（x1，y1），B（x2，y2），線段AB的中點坐標為M（x0，y0）利用根與系數(shù)的關系、中點坐標公式即可得出【解答】解：直線（t為參數(shù)），消去參數(shù)t化為普通方程：y=x4，代入圓x2+y2=16可得：x26x+8=0，設A（x1，y1），B（x2，y2），線段AB的中點坐標為M（x0，y0）x1+x2=6x0=3，y0=34=M（3，）故選：B【點評】本題考查了參數(shù)方程方程化為直角坐標方程、直線與圓相交問題、中點坐標公式、一元二次方程的根與系數(shù)的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題6. 用數(shù)學歸納法證明不等式“”時的過程中，由到時，不等式的

4、左邊（ ）A.增加了一項 B.增加了兩項C.增加了兩項，又減少了；D.增加了一項，又減少了一項；參考答案：C7. 設某大學的女生體重(單位:)與身高(單位:)具有線性相關關系,根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù) ,用最小二乘法建立的回歸方程為,則下列說法不正確的是( )A與具有正的線性相關關系B回歸直線過樣本點的中心C若該大學某女生身高增加1，則體重約增加D若該大學某女生身高為，則可斷定其體重必為參考答案：D略8. 拋物線上兩點、關于直線對稱，且，則等于（ ）A B C D參考答案：A9. 如圖所示的算法流程圖中（注：“”也可寫成“”或“”, 均表示賦值語句），第3個輸出的數(shù)是（ ）A1 BC D參考答案：C1

5、0. 設是定義在R上的奇函數(shù)，當時，則（ ）A. B. C. D. 參考答案：A二、 填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11. 已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(0，2)且P(2X0)0.4，則P(X2)_.參考答案：0.1隨機變量服從正態(tài)分布，且，故答案為0.1.12. 若的展開式中的系數(shù)為，則常數(shù)的值為 .參考答案：4 略13. 的三個頂點坐標為，則邊上高線的長為_。參考答案：14. 在平面直角坐標系中，不等式組表示的平面區(qū)域的面積是 _參考答案：4略15. 若點在函數(shù)的圖象上，則的值為 參考答案：略16. 已知,且,則= . 參考答案：0 17. 若橢圓：（）和橢圓：（）的焦點相同

6、，且，則下面結論正確的是（ ） 橢圓和橢圓一定沒有公共點 A B. C D. 參考答案：C略三、 解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18. 已知頂點在坐標原點，焦點在軸正半軸的拋物線上有一點，點到拋物線焦點的距離為1.（1）求該拋物線的方程；（2）設為拋物線上的一個定點，過作拋物線的兩條互相垂直的弦,求證：恒過定點.（3）直線與拋物線交于,兩點，在拋物線上是否存在點，使得為以為斜邊的直角三角形.參考答案：解：（1）由題意可設拋物線的方程為，則由拋物線的定義可得，即，所以拋物線的方程為 . 4分 （2）由題意知直線與軸不平行，設所在直線方程為得 其中 即所以

7、 所以直線的方程為 即 9分（3）假設（上，的解，消去得 19. 在四棱錐PABCD中，底面ABCD是正方形，側棱PD底面ABCD，PD=DC，點E是PC的中點，作EFPB交PB于點F（1）求證PA平面EDB；（2）求二面角CPBD的大小參考答案：【考點】二面角的平面角及求法；直線與平面平行的判定【分析】（1）連結AC，BD，交于點O，連結OE，則OEPA，由此能證明PA平面EDB（2）以D為原點，DA，DC，DP為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角CPBD的大小【解答】證明：（1）連結AC，BD，交于點O，連結OE，底面ABCD是正方形，O是AC的中點，點E是PC的中點

8、，OEPA，OE?平面EBD，PA?平面EBD，PA平面EDB解：（2）以D為原點，DA，DC，DP為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，設PD=DC=1，則D（0，0，0），P（0，0，1），B（1，1，0），C（0，1，0），=（0，0，1），=（1，1，0），=（0，1，1），=（1，1，1），設平面PBC的法向量=（x，y，z），平面PBD的法向量=（a，b，c），則，取y=1，得=（0，1，1），取a=1，得=（1，1，0），設二面角CPBD的大小為，則cos=，=60，二面角CPBD的大小為6020. （13分）已知函數(shù)f（x）=x2xaxlnx（aR），g（x）=（）討論g（x）的

9、單調(diào)區(qū)間與極值；（）不論a取何值，函數(shù)f（x）與g（x）總交于一定點，求證：兩函數(shù)在此點處的切線重合；（）若a0，對于?x11，e，總?x2e，e2使得f（x1）g（x2）成立，求a的取值范圍參考答案：【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導數(shù)研究函數(shù)的極值【分析】（）求得g（x）的解析式和導數(shù)，對a討論，求出單調(diào)區(qū)間和極值；（）求出定點（1，0），求出f（x）、g（x）的導數(shù)和切線的斜率，即可得證；（）當a0時，分別判斷f（x），g（x）的導數(shù)的符號，得到單調(diào)性，可得f（x），g（x）的最大值，由f（x）max不大于g（x）max，解a的不等式，即可得到所求范圍【解答】解：（）函數(shù)f（x）=

10、x2xaxlnx（aR），g（x）=x1alnx，x0，可得g（x）=1，當a0時，g（x）0，g（x）在（0，+）遞增，無極值；當a0時，xa時g（x）0，g（x）在（a，+）遞增；0 xa時，g（x）0，g（x）在（0，a）遞減，可得g（x）在x=a處取得極小值，且為a1alna，無極大值；（）證明：由f（x）=x2xaxlnx，g（x）=x1alnx，x0，可得f（1）=g（1）=0，定點為（1，0），f（x）=2x1a（1+lnx），g（x）=1，可得f（1）=21a（1+ln1）=1a，g（1）=1a，即有切線的斜率相等，又它們均過定點（1，0），則兩函數(shù)在此點處的切線重合；（）當a

11、0時，由f（x）=2x1a（1+lnx）0在1，e恒成立，可得f（x）在1，e遞增，即有f（e）取得最大值e2eae；由g（x）=10在e，e2恒成立，可得g（x）在e，e2遞增，即有g（e2）取得最大值e212a；由對于?x11，e，總?x2e，e2使得f（x1）g（x2）成立，可得e2eaee212a，解得a0即a的范圍是，0）21. 已知函數(shù)，其中，且曲線在點處的切線垂直于直線.（1）求a的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.參考答案：(1)；(2) 的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.試題分析：（1）求導，利用導數(shù)的幾何意義進行求解；（2）求導，利用導函數(shù)的符號變化確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.試題解析：（1）對求導得，由在點處的切線垂直于直線知，解得.（2）由（1）知，則.令，解得或.因為不在的定義域內(nèi)，故舍去.當時，故在內(nèi)為減函數(shù)；當時，故在內(nèi)為增函數(shù).綜上，的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.22. 設函數(shù).（1）當時，求不等式的解集；（2）若，求a的取值范圍.參考答案：(1).(2).分析：（1）先根據(jù)絕對值幾何意義將不等式化為三個不等式組，分別求解，最后求并集，（2）先化簡不等式為，再根據(jù)絕對值三角不等式得最小值，最后解不等