2022高考理數(shù)復(fù)習(xí)資料講義：第6章 數(shù)列 第1講

1、PAGE19第六章數(shù)列第1講數(shù)列的概念與簡單表示法考綱解讀1了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法列表、圖象、通項(xiàng)公式，并知道數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類特殊函數(shù)2掌握數(shù)列求通項(xiàng)的幾種常用方法：利用Sn與an的關(guān)系求通項(xiàng)；利用遞推關(guān)系求通項(xiàng)重點(diǎn)、難點(diǎn)考向預(yù)測從近三年高考情況來看，本講一般不單獨(dú)命題預(yù)測2022年高考可能與遞推數(shù)列、等差、等比數(shù)列及前n項(xiàng)和綜合考查，涉及題型有：由Sn求an；由遞推關(guān)系求an；根據(jù)anfn求最值題型一般為客觀題，也可能作為解答題中的一問，試題難度一般不大，屬中檔題型1數(shù)列的有關(guān)概念2數(shù)列的分類3數(shù)列an的an與Sn的關(guān)系1數(shù)列an的前n項(xiàng)和：Sna1a2an特別提醒：若

2、當(dāng)n2時(shí)求出的an也適合n1時(shí)的情形，則用一個(gè)式子表示an，否則分段表示1概念辨析1相同的一組數(shù)按不同順序排列時(shí)都表示同一個(gè)數(shù)列2根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)歸納出數(shù)列的通項(xiàng)公式可能不止一個(gè)3若數(shù)列用圖象表示，則從圖象上看都是一群孤立的點(diǎn)4如果數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，則對nN*，都有an1Sn1Sn答案12342小題熱身1已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an912n，則在下列各數(shù)中，不是an的項(xiàng)的是A21B33C152D153答案C解析代n值進(jìn)行驗(yàn)證，n1時(shí)，A滿足；n2時(shí)，B滿足；n12時(shí)，D滿足故選C2設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snn2，則a8的值為A15B16C49D64答案A解析a8S8S78272153在數(shù)

3、列an中，a11，an1eqf1n,an1n2，則a5等于f3,2f5,3f8,5f2,3答案D解析a21eqf1,a1112，a31eqf1,a21eqf1,2eqf1,2，a41eqf1,a3123，a51eqf1,a41eqf1,3eqf2,34數(shù)列eqf1,12，eqf1,23，eqf1,34，eqf1,45，的一個(gè)通項(xiàng)公式an_答案eqf1n,nn1nN*解析觀察數(shù)列可知，分母為以項(xiàng)數(shù)與項(xiàng)數(shù)加1的乘積形式的數(shù)列，分子是常數(shù)1的數(shù)列，各項(xiàng)的符號正負(fù)相間，故可得數(shù)列的通項(xiàng)公式aneqf1n,nn1nN*題型eqavs4al一知數(shù)列前幾項(xiàng)求通項(xiàng)公式根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)，寫出下列各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)

4、公式：11,7，13,19，；2,，；31,0，eqf1,3，0，eqf1,5，0，eqf1,7，0，；4eqf3,2，1，eqf7,10，eqf9,17，解1符號問題可通過1n或1n1表示，其各項(xiàng)的絕對值的排列規(guī)律為：后面的數(shù)的絕對值總比前面數(shù)的絕對值大6，故通項(xiàng)公式為an1n6n52將數(shù)列變形為eqf8,91，eqf8,91，eqf8,91，aneqf8,9eqblcrcavs4alco11f1,10n3把數(shù)列改寫成eqf1,1，eqf0,2，eqf1,3，eqf0,4，eqf1,5，eqf0,6，eqf1,7，eqf0,8，分母依次為1,2,3，而分子1,0,1,0，周期性出現(xiàn)，因此數(shù)列

5、的通項(xiàng)可表示為aneqf11n1,2n或aneqfblc|rc|avs4alco1sinfn,2,n4將數(shù)列統(tǒng)一為eqf3,2，eqf5,5，eqf7,10，eqf9,17，對于分子3,5,7,9，是序號的2倍加1，可得分子的通項(xiàng)公式為bn2n1，對于分母2,5,10,17，聯(lián)想到數(shù)列1,4,9,16，即數(shù)列n2，可得分母的通項(xiàng)公式為cnn21，所以可得它的一個(gè)通項(xiàng)公式為aneqf2n1,n21由前幾項(xiàng)歸納數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法及具體策略1常用方法：觀察觀察規(guī)律、比較比較已知數(shù)列、歸納、轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列、聯(lián)想聯(lián)想常見的數(shù)列等方法2具體策略：分式中分子、分母的特征；相鄰項(xiàng)的變化特征；各項(xiàng)的符號

6、特征和絕對值特征；對于分式還可以考慮對分子、分母各個(gè)擊破，或?qū)ふ曳肿?、分母之間的關(guān)系，如舉例說明4對于符號交替出現(xiàn)的情況，可用1或11，N*處理如舉例說明1根據(jù)下面各數(shù)列前幾項(xiàng)的值，寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：1eqf2,3，eqf4,15，eqf6,35，eqf8,63，eqf10,99，；2eqf1,2，eqf1,4，eqf5,8，eqf13,16，eqf29,32，eqf61,64，；3eqf1,2，2，eqf9,2，8，eqf25,2，；45,55,555,5555，解1這是一個(gè)分?jǐn)?shù)數(shù)列，其分子構(gòu)成偶數(shù)數(shù)列，而分母可分解為13,35,57,79,911，每一項(xiàng)都是兩個(gè)相鄰奇數(shù)的乘積，分子依

7、次為2,4,6，相鄰的偶數(shù)故所求數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為aneqf2n,2n12n12數(shù)列可以改為eqf1,2，eqf1,4，eqf5,8，eqf13,16，eqf29,32，eqf61,64，則分母為2n，分子為2n3，所以數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an1neqf2n3,2n3數(shù)列的各項(xiàng)，有的是分?jǐn)?shù)，有的是整數(shù)，可將數(shù)列的各項(xiàng)都統(tǒng)一成分?jǐn)?shù)再觀察即eqf1,2，eqf4,2，eqf9,2，eqf16,2，eqf25,2，分子為項(xiàng)數(shù)的平方，從而可得數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為aneqfn2,24將原數(shù)列改寫為eqf5,99，eqf5,999，eqf5,9999，易知數(shù)列9,99,999，的通項(xiàng)為10n1，故所求的

8、數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為aneqf5,910n1題型eqavs4al二由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)公式1已知Sn3n2n1，則an_答案eqblcrcavs4alco16，n1，,23n12，n2解析因?yàn)楫?dāng)n1時(shí)，a1S16；當(dāng)n2時(shí)，anSnSn13n2n13n12n1123n12，由于a1不適合此式，所以aneqblcrcavs4alco16，n1，,23n12，n22設(shè)Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且a11，an1SnSn1，則Sn_答案eqf1,n解析由已知得an1Sn1SnSnSn1，兩邊同時(shí)除以SnSn1得eqf1,Sneqf1,Sn11，即eqf1,Sn1eqf1,Sn1又eqf1,S11，

9、eqblcrcavs4alco1f1,Sn是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，eqf1,Sn1n11n，即Sneqf1,n條件探究1把舉例說明2中的條件“a11，an1SnSn1”改為“Sn2an1”，求an解依題意得Sn12an11，Sn2an1，兩式相減得Sn1Sn2an12an，即an12an又S12a11a1，因此a11，所以數(shù)列an是以a11為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，an2n1條件探究2把舉例說明2中的條件“a11，an1SnSn1”改為“S24，an12Sn1”求an解因?yàn)閍n12Sn1，所以a22S11，即a22a11又因?yàn)閍1a2S24，所以a11，a23當(dāng)n2時(shí)，an2Sn11

10、，得an13ann2，又a23a1，故數(shù)列an是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，因此an3n1nN*1已知Sn求an的三個(gè)步驟1先利用a1S1求出a12用n1替換Sn中的n得到一個(gè)新的關(guān)系，利用anSnSn1n2便可求出當(dāng)n2時(shí)an的表達(dá)式3對n1時(shí)的結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)，看是否符合n2時(shí)an的表達(dá)式，如果符合，則可以把數(shù)列的通項(xiàng)公式合寫；如果不符合，則應(yīng)該分n1與n2兩段來寫如舉例說明12Sn與an關(guān)系問題的求解思路根據(jù)所求結(jié)果的不同要求，將問題向不同的兩個(gè)方向轉(zhuǎn)化1利用anSnSn1n2轉(zhuǎn)化為只含Sn，Sn1的關(guān)系式如舉例說明22利用SnSn1ann2轉(zhuǎn)化為只含an，an1的關(guān)系式，再求解如舉例說

11、明2的條件探究1,212022全國卷改編設(shè)數(shù)列an滿足a13a22n1an2n，則an_答案eqf2,2n1nN*解析因?yàn)閍13a22n1an2n，故當(dāng)n2時(shí)，a13a22n3an12n1兩式相減得2n1an2，所以aneqf2,2n1n2又由題設(shè)可得a12，滿足上式，從而an的通項(xiàng)公式為aneqf2,2n1nN*2若數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn首項(xiàng)a10且2Snaeqoal2,nannN*求數(shù)列an的通項(xiàng)公式解當(dāng)n1時(shí)，2S1aeqoal2,1a1，則a11當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1eqfaoal2,nan,2eqfaoal2,n1an1,2，即anan1anan110anan1或anan11，a

12、n1n1或ann題型eqavs4al三由遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式角度1形如an1anfn，求an1已知數(shù)列an中，a12，an1anlneqblcrcavs4alco11f1,n，求通項(xiàng)公式an解an1anlneqblcrcavs4alco11f1,n，anan1lneqblcrcavs4alco11f1,n1lneqfn,n1n2，ananan1an1an2a2a1a1lneqfn,n1lneqfn1,n2lneqf3,2ln222lneqblcrcavs4alco1fn,n1fn1,n2f3,222lnnn2又a12適合上式，故an2lnnnN*角度2形如an1anfn，求an2已知數(shù)列an中，

13、a11，aneqfn1,nan1n2，求通項(xiàng)公式an解aneqfn1,nan1n2，an1eqfn2,n1an2，a2eqf1,2a1以上n1個(gè)式子相乘得ana1eqf1,2eqf2,3eqfn1,neqfa1,neqf1,n當(dāng)n1時(shí)也滿足此等式，aneqf1,n角度3形如an1panq，求an3已知數(shù)列an中，a11，an12an3，求通項(xiàng)公式an解遞推公式an12an3可以轉(zhuǎn)化為an1t2ant，即an12antt132an3，令bnan3，則b1a134，且eqfbn1,bneqfan13,an32所以bn是以b14為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則bn42n12n1，所以an2n131疊加

14、法求通項(xiàng)公式的四步驟2疊乘法求通項(xiàng)公式的四步驟3構(gòu)造法求通項(xiàng)公式的三步驟1數(shù)列an中，a11，an1an2n，則通項(xiàng)公式an_答案eqblcrcavs4alco1n，n為奇數(shù)，,n1，n為偶數(shù)nN*解析an1an2n，an2an12n2，故an2an2即數(shù)列an是奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)都是公差為2的等差數(shù)列當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，a21，故ana22eqblcrcavs4alco1fn,21n1當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，an1an2n，an1nn1為偶數(shù)，故ann綜上所述，aneqblcrcavs4alco1n，n為奇數(shù)，,n1，n為偶數(shù)nN*2在數(shù)列an中，a13，3n2an13n1ann1，則an_答案eqf6,3n1

15、解析3n2an13n1an，an1eqf3n1,3n2an，aneqf3n11,3n12eqf3n21,3n22eqf321,322eqf31,32a1eqf3n4,3n1eqf3n7,3n4eqf5,8eqf2,53eqf6,3n13設(shè)an是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且n1aeqoal2,n1naeqoal2,nan1an0n1,2,3，則它的通項(xiàng)公式an_答案eqf1,n解析因?yàn)閚1aeqoal2,n1naeqoal2,nan1an0，所以an1ann1an1nan0又因?yàn)閍n0，所以an1an0，所以n1an1nan0，即eqfan1,aneqfn,n1，nN*所以eqfa2,a1eqf1,2

16、，eqfa3,a2eqf2,3，eqfa4,a3eqf3,4，eqfan,an1eqfn1,n，以上各式相乘得eqfan,a1eqf1,2eqf2,3eqf3,4eqfn1,neqf1,n又a11，所以aneqf1,n題型eqavs4al四數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用1已知aneqfn,n，那么數(shù)列an是A遞減數(shù)列B遞增數(shù)列C常數(shù)列D擺動數(shù)列答案A解析aneqfn,neqfn,n1eqf,n，因?yàn)楹瘮?shù)y1eqf,在，上是減函數(shù)，所以數(shù)列an是遞減數(shù)列22022大慶模擬已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式ann2eqblcrcavs4alco1f6,7n，則數(shù)列an的項(xiàng)取最大值時(shí)，n_答案4或5解析因?yàn)閍n1ann3eq

17、blcrcavs4alco1f6,7n1n2eqblcrcavs4alco1f6,7neqblcrcavs4alco1f6,7neqblcrcavs4alco1f6n3,7n2eqblcrcavs4alco1f6,7neqf4n,7當(dāng)n0，即an1an；當(dāng)n4時(shí)，an1an0，即an1an；當(dāng)n4時(shí)，an1an0，即an10數(shù)列an是單調(diào)遞增數(shù)列；an1an0時(shí)，eqfan1,an1數(shù)列an是單調(diào)遞增數(shù)列；eqfan1,an1數(shù)列an是單調(diào)遞減數(shù)列；eqfan1,an1數(shù)列an是常數(shù)列當(dāng)an1數(shù)列an是單調(diào)遞減數(shù)列；eqfan1,an1數(shù)列an是單調(diào)遞增數(shù)列；eqfan1,an1數(shù)列an是常數(shù)

18、列2求數(shù)列最大項(xiàng)或最小項(xiàng)的方法1可以利用不等式組eqblcrcavs4alco1an1an，,anan1n2找到數(shù)列的最大項(xiàng)；2利用不等式組eqblcrcavs4alco1an1an，,anan1n2找到數(shù)列的最小項(xiàng)1若數(shù)列an滿足a12，a23，aneqfan1,an2n3且nN*，則a2022f3,2Bf1,2f2,3答案A解析因?yàn)閍12，a23，aneqfan1,an2n3且nN*，所以a3eqfa2,a1eqf3,2，a4eqfa3,a2eqff3,2,3eqf1,2，a5eqfa4,a3eqff1,2,f3,2eqf1,3，a6eqfa5,a4eqff1,3,f1,2eqf2,3，a7eqfa6,a5eqff2,3,f1,32a1，a8eqfa7,a6