2022高考數(shù)學(xué)（理）一輪通用版講義：10.2雙曲線

1、PAGE18第二節(jié)雙曲線考綱要求1了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程2知道雙曲線幾何性質(zhì)范圍、對稱性、頂點、離心率、漸近線3了解雙曲線的簡單應(yīng)用4理解數(shù)形結(jié)合思想突破點一雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程eqavs4al基本知識1雙曲線的定義平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于常數(shù)小于|F1F2|的點的軌跡叫做雙曲線這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距集合a|in|eqfy2,n1mn0或者eqf2,meqfy2,n1mn0類型五與橢圓eqf2,a2eqfy2,b21ab0有共同焦點的雙曲線方程可設(shè)為eqf2,a2eqfy2,b21b2a2例22022天津高考已知雙曲線

2、eqf2,a2eqfy2,b21a0，b0的離心率為2，過右焦點且垂直于軸的直線與雙曲線交于A，B兩點設(shè)A，B到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為d1和d2，且d1d26，則雙曲線的方程為f2,4eqfy2,12f2,12eqfy2,41f2,3eqfy2,9f2,9eqfy2,31解析法一：如圖，不妨設(shè)A在B的上方，則Aeqblcrcavs4alco1c，fb2,a，Beqblcrcavs4alco1c，fb2,a又雙曲線的一條漸近線為bay0，則d1d2eqfbcb2bcb2,ra2b2eqf2bc,c2b6，所以b3又由eeqfc,a2，知a2b24a2，所以aeqr3所以雙曲線的方程為e

3、qf2,3eqfy2,91法二：由d1d26，得雙曲線的右焦點到漸近線的距離為3，所以bf2,a2eqfy2,b21a0，b0的離心率為2，所以eqfc,a2，所以eqfa2b2,a24，所以eqfa29,a24，解得a23，所以雙曲線的方程為eqf2,3eqfy2,91，故選C答案C方法技巧求雙曲線方程的思路1如果已知雙曲線的中心在原點，且確定了焦點在軸上或y軸上，則設(shè)出相應(yīng)形式的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后根據(jù)條件確定關(guān)于a，b，c的方程組，解出a2，b2，從而寫出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求得的方程可能是一個，也有可能是兩個，注意合理取舍，但不要漏解2當(dāng)焦點位置不確定時，有兩種方法來解決：一種是分類討論，注意考

4、慮要全面；另一種是設(shè)雙曲線的一般方程為m2ny21mn0求解eqavs4al集訓(xùn)沖關(guān)avs4al考法一虛軸長為2，離心率e3的雙曲線的兩焦點為F1，F(xiàn)2，過F1作直線交雙曲線的一支于A，B兩點，且|AB|8，則ABF2的周長為A3B16eqr2C12eqr2D24解析：選B2b2，eeqfc,a3，b1，c3a，9a2a21，aeqfr2,4由雙曲線的定義知：|AF2|AF1|2aeqfr2,2，|BF2|BF1|eqfr2,2，得|AF2|BF2|AF1|BF1|eqr2，又|AF1|BF1|AB|8，|AF2|BF2|8eqr2，則ABF2的周長為16eqr2，故選Bavs4al考法二設(shè)1

5、，則關(guān)于，y的方程12y221所表示的曲線是A長軸在軸上的橢圓B長軸在y軸上的橢圓C實軸在軸上的雙曲線D實軸在y軸上的雙曲線解析：選D1，10，210，方程12y221所表示的曲線是實軸在y軸上的雙曲線，故選Davs4al考法二已知雙曲線過點2,3，漸近線方程為yeqr3，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是f72,16eqfy2,12fy2,3eqf2,21C2eqfy2,3f3y2,23eqf2,231解析：選C法一：當(dāng)雙曲線的焦點在軸上時，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是eqf2,a2eqfy2,b21a0，b0，由題意得eqblcrcavs4alco1f4,a2f9,b21，,fb,ar3，解得eqblcrca

6、vs4alco1a1，,br3，所以該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為2eqfy2,31；當(dāng)雙曲線的焦點在y軸上時，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是eqfy2,a2eqf2,b21a0，b0，由題意得eqblcrcavs4alco1f9,a2f4,b21，,fa,br3，無解故該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為2eqfy2,31，選C法二：當(dāng)其中的一條漸近線方程yeqr3中的2時，y2eqr33，又點2,3在第一象限，所以雙曲線的焦點在軸上，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是eqf2,a2eqfy2,b21a0，b0，由題意得eqblcrcavs4alco1f4,a2f9,b21，,fb,ar3，解得eqblcrcavs4alco1a1，,br3

7、，所以該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為2eqfy2,31，故選C法三：因為雙曲線的漸近線方程為yeqr3，即eqfy,r3，所以可設(shè)雙曲線的方程是2eqfy2,30，將點2,3代入，得1，所以該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為2eqfy2,31，故選C突破點二雙曲線的幾何性質(zhì)eqavs4al基本知識標(biāo)準(zhǔn)方程eqf2,a2eqfy2,b21a0，b0eqfy2,a2eqf2,b21a0，b0圖形性質(zhì)范圍a或a，yRya或ya，R對稱性對稱軸：坐標(biāo)軸，對稱中心：0,0頂點A1a,0，A2a,0A10，a，A20，a漸近線yeqfb,ayeqfa,b離心率eeqfc,a，e1，a，b，c的關(guān)系c2a2b2實虛軸線段A1A2叫

8、做雙曲線的實軸，它的長|A1A2|2a；線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長|B1B2|2b；a叫做雙曲線的實半軸長，b叫做雙曲線的虛半軸長eqavs4al基本能力一、判斷題對的打“”，錯的打“”1雙曲線方程eqf2,m2eqfy2,n2m0，n0，0的漸近線方程是eqf2,m2eqfy2,n20，即eqf,meqfy,n02等軸雙曲線的離心率等于eqr2，且漸近線互相垂直答案：12二、填空題1雙曲線eqf2,16eqfy2,91的漸近線方程為_答案：34y02若雙曲線82y28的一個焦點坐標(biāo)是3,0，則_答案：13雙曲線的漸近線方程為yeqf3,4，則離心率為_答案：eqf5,4或eqf5,

9、3eqavs4al全析考法考法一漸近線問題例112022全國卷雙曲線eqf2,a2eqfy2,b21a0，b0的離心率為eqr3，則其漸近線方程為Ayeqr2Byeqr3Cyeqfr2,2Dyeqfr3,222022鄭州一中入學(xué)測試已知拋物線28y與雙曲線eqfy2,a221a0的一個交點為M，F(xiàn)為拋物線的焦點，若|MF|5，則該雙曲線的漸近線方程為A53y0B35y0C45y0D54y0解析1eeqfc,aeqfra2b2,aeqr3，a2b23a2，beqr2a漸近線方程為yeqr22設(shè)點M0，y0，則有|MF|y025，所以y03，eqoal2,024，由點M0，y0在雙曲線eqfy2,

10、a221上，得eqfyoal2,0,a2eqoal2,01，即eqf9,a2241，解得a2eqf9,25，所以雙曲線eqfy2,a221的漸近線方程為eqfy2,a220，即35y0，選B答案1A2B方法技巧求雙曲線eqf2,a2eqfy2,b21a0，b0或eqfy2,a2eqf2,b21a0，b0的漸近線方程的方法是令右邊的常數(shù)等于0，即令eqf2,a2eqfy2,b20，得yeqfb,a；或令eqfy2,a2eqf2,b20，得yeqfa,b反之，已知漸近線方程為yeqfb,a，可設(shè)雙曲線方程為eqf2,a2eqfy2,b2a0，b0考法二離心率問題例212022全國卷設(shè)F1，F(xiàn)2是雙

11、曲線C：eqf2,a2eqfy2,b21a0，b0的左、右焦點，O是坐標(biāo)原點過F2作C的一條漸近線的垂線，垂足為eqf2,91m0的一個焦點在直線y5上，則雙曲線的漸近線方程為Ayeqf3,4Byeqf4,3Cyeqf2r2,3Dyeqf3r2,4解析：選B由于雙曲線eqfy2,meqf2,91m0的焦點在y軸上，且在直線y5上，直線y5與y軸的交點為0,5，所以c5，m925，則m16，則雙曲線的方程為eqfy2,16eqf2,91，則雙曲線的漸近線方程為yeqf4,3avs4al考法二若a1，則雙曲線eqf2,a2y21的離心率的取值范圍是Aeqr2，Beqr2，2C1，eqr2D1,2解

12、析：選C由題意得雙曲線的離心率eeqfra21,a即e2eqfa21,a21eqf1,a2a1，0eqf1,a21，11eqf1,a22，1eeqr2avs4al考法一、二2022全國卷已知雙曲線C：eqf2,a2eqfy2,b21a0，b0的離心率為eqr2，則點4,0到C的漸近線的距離為r2B2f3r2,2D2eqr2解析：選Deeqfc,aeqr1fb2,a2eqr2，eqfb,a1雙曲線的漸近線方程為y0點4,0到C的漸近線的距離deqf4,r22eqr2avs4al考法一、二已知F1，F(xiàn)2是雙曲線eqfy2,a2eqf2,b21a0，b0的兩個焦點，過其中一個焦點與雙曲線的一條漸近線

13、平行的直線交雙曲線另一條漸近線于點M，若點M在以線段F1，F(xiàn)2為直徑的圓內(nèi)，則雙曲線離心率的取值范圍是A1,2B2，C1，eqr2Deqr2，解析：選A如圖，不妨設(shè)F10，c，F(xiàn)20，c，則過點F1與漸近線yeqfa,b平行的直線為yeqfa,bc，聯(lián)立得eqblcrcavs4alco1yfa,bc，,yfa,b，解得eqblcrcavs4alco1fbc,2a，,yfc,2，即Meqblcrcavs4alco1fbc,2a，fc,2因為點M在以線段F1F2為直徑的圓2y2c2內(nèi)，故eqblcrcavs4alco1fbc,2a2eqblcrcavs4alco1fc,22c2，化簡得b23a2，

14、即c2a23a2，解得eqfc,a2，又雙曲線的離心率eeqfc,a1，所以雙曲線離心率的取值范圍是1,2故選A課時跟蹤檢測A級基礎(chǔ)題基穩(wěn)才能樓高12022浙江高考雙曲線eqf2,3y21的焦點坐標(biāo)是Aeqr2，0，eqr2，0B2,0，2,0C0，eqr2，0，eqr2D0，2，0,2解析：選B雙曲線方程為eqf2,3y21，a23，b21，且雙曲線的焦點在軸上，ceqra2b2eqr312，即得該雙曲線的焦點坐標(biāo)為2,0，2,022022南寧摸底聯(lián)考雙曲線eqf2,25eqfy2,201的漸近線方程為Ayeqf4,5Byeqf5,4Cyeqf1,5Dyeqf2r5,5解析：選D在雙曲線eq

15、f2,25eqfy2,201中，a5，b2eqr5，其漸近線方程為yeqf2r5,5，故選D32022合肥調(diào)研下列雙曲線中，漸近線方程不是yeqf3,4的是f2,144eqfy2,811fy2,18eqf2,321fy2,9eqf2,161f2,4eqfy2,31解析：選D對于A，漸近線方程為yeqf9,12eqf3,4；對于B，漸近線方程為yeqfr18,r32eqf3,4；對于C，漸近線方程為yeqf3,4；對于D，漸近線方程為yeqfr3,2故選D42022銅陵模擬已知雙曲線eqf2,4eqfy2,21的右焦點為F，切點為M，交y軸于點為線段F|OF|sin45，即aceqfr2,2，e

16、eqfc,aeqr2故選A32022銀川模擬已知雙曲線eqf2,a2eqfy2,1a210a1的離心率為eqr2，則a的值為f1,2fr2,2f1,3fr3,3解析：選Bc2a21a21，c1，又eqfc,aeqr2，aeqfr2,2，故選B42022遼寧五校聯(lián)考在平面直角坐標(biāo)系Oy中，已知雙曲線C：eqf2,a2eqfy2,b21a0，b0的離心率為eqr5，從雙曲線C的右焦點F引漸近線的垂線，垂足為A，若AFO的面積為1，則雙曲線C的方程為Aeqf2,2eqfy2,81Beqf2,4y21Ceqf2,4eqfy2,161D2eqfy2,41解析：選D因為雙曲線C的右焦點F到漸近線的距離|F

17、A|b，|OA|a，所以ab2，又雙曲線C的離心率為eqr5，所以eqr1fb2,a2eqr5，即b24a2，解得a21，b24，所以雙曲線C的方程為2eqfy2,41，故選D52022黃山一診雙曲線C：eqf2,a2eqfy2,b21a0，b0的一條漸近線與直線2y10垂直，F(xiàn)1，F(xiàn)2為C的焦點，A為雙曲線上一點，若|F1A|2|F2A|，則cosAF2F1等于fr3,2fr5,4fr5,5f1,4解析：選C因為雙曲線的一條漸近線與直線2y10垂直，所以b2a又|F1A|2|F2A|，且|F1A|F2A|2a，所以|F2A|2a，|F1A|4a，而c25a2，得2c2eqr5a，所以cosA

18、F2F1eqf|F1F2|2|F2A|2|F1A|2,2|F1F2|F2A|eqf20a24a216a2,22r5a2aeqfr5,5，故選C62022天津和平一模已知雙曲線eqf2,a2eqfy2,b21a0，b0的離心率為eqf3,2，過右焦點F作漸近線的垂線，垂足為M若FOM的面積為eqr5，其中O為坐標(biāo)原點，則雙曲線的方程為A2eqf4y2,51f2,2eqf2y2,51f2,4eqfy2,51f2,16eqfy2,201解析：選C由題意可知eeqfc,aeqf3,2，可得eqfb,aeqfr5,2，取一條漸近線為yeqfb,a，可得F到漸近線yeqfb,a的距離deqfbc,ra2b

19、2b，在RtFOM中，由勾股定理可得|OM|eqr|OF|2|MF|2eqrc2b2a，由題意可得eqf1,2abeqr5，聯(lián)立eqblcrcavs4alco1fb,afr5,2，,f1,2abr5，解得eqblcrcavs4alco1a2，,br5，所以雙曲線的方程為eqf2,4eqfy2,572022湘中名校聯(lián)考過雙曲線eqf2,a2eqfy2,b21a0，b0的右焦點且垂直于軸的直線與雙曲線交于A，B兩點，與雙曲線的漸近線交于C，D兩點，若|AB|eqf3,5|CD|，則雙曲線離心率的取值范圍為blcrcavs4alco1f5,3，blcrcavs4alco1f5,4，blcrcavs4

20、alco11，f5,3blcrcavs4alco11，f5,4解析：選B將c代入eqf2,a2eqfy2,b21得yeqfb2,a，不妨取Aeqblcrcavs4alco1c，fb2,a，Beqblcrcavs4alco1c，fb2,a，所以|AB|eqf2b2,a將c代入雙曲線的漸近線方程yeqfb,a，得yeqfbc,a，不妨取Ceqblcrcavs4alco1c，fbc,a，Deqblcrcavs4alco1c，fbc,a，所以|CD|eqf2bc,a因為|AB|eqf3,5|CD|，所以eqf2b2,aeqf3,5eqf2bc,a，即beqf3,5c，則b2eqf9,25c2，即c2a

21、2eqf9,25c2，即eqf16,25c2a2，所以e2eqf25,16，所以eeqf5,482022桂林模擬若雙曲線eqf2,a2eqfy2,b21a0，b0上存在一點，MF1F2301求雙曲線C的方程；2過雙曲線C上任意一點eqr1b2，y1因為點M在雙曲線C上且在軸上方，所以1b2eqfyoal2,1,b21，得y1b2，所以|F2M|b2在RtMF2F1中，MF1F230，|MF2|b2，所以|MF1|2b2由雙曲線的定義可知，|MF1|MF2|b22，故雙曲線C的方程為2eqfy2,212易知兩條漸近線方程分別為l1：eqr2y0，l2：eqr2y0設(shè)雙曲線C上的點P0，y0，兩條漸近線的夾角為，不妨設(shè)P1在l1上，P2在l2上，則點P到兩條漸近線的距離分別為|PP1|eqf|r20y0|,r