異面直線及其夾角

1、關(guān)于異面直線及其夾角第1頁，共30頁，2022年，5月20日，14點29分，星期三例1 在正方體ABCDA1B1C1D1中,求以下各對異面直線所成的角：(1)AB與CC1；（2）AB1與CD1；（3）AB1與CD；（4）AB1與BC1。例1 在正方體ABCDA1B1C1D1中,求以下各對異面直線所成的角：（1）AB與CC1；ABCDD1C1B1A1第2頁，共30頁，2022年，5月20日，14點29分，星期三例1 在正方體ABCDA1B1C1D1中,求以下各對異面直線所成的角：(1)AB與CC1；（2）AB1與CD1；（3）AB1與CD；（4）AB1與BC1。例1 在正方體ABCDA1B1C1

2、D1中,求以下各對異面直線所成的角：（1）AB與CC1；ABCDD1C1B1A1第3頁，共30頁，2022年，5月20日，14點29分，星期三例1 在正方體ABCDA1B1C1D1中,求以下各對異面直線所成的角：(1)AB與CC1；（2）AB1與CD1；（3）AB1與CD；（4）AB1與BC1。例1 在正方體ABCDA1B1C1D1中,求以下各對異面直線所成的角：（1）AB與CC1；ABCDD1C1B1A1第4頁，共30頁，2022年，5月20日，14點29分，星期三例1 在正方體ABCDA1B1C1D1中,求以下各對異面直線所成的角：（1）AB與CC1；（2）AB1與CD1；D1ABCDD1

3、C1B1A1第5頁，共30頁，2022年，5月20日，14點29分，星期三例1 在正方體ABCDA1B1C1D1中,求以下各對異面直線所成的角：（1）AB與CC1；（2）AB1與CD1；D1ABCDD1C1B1A1第6頁，共30頁，2022年，5月20日，14點29分，星期三例1 在正方體ABCDA1B1C1D1中,求以下各對異面直線所成的角：(1)AB與CC1；（2）AB1與CD1；（3）AB1與CD；（4）AB1與BC1。例1 在正方體ABCDA1B1C1D1中,求以下各對異面直線所成的角：（1）AB與CC1；（2）AB1與CD1；D1ABCDD1C1B1A1第7頁，共30頁，2022年，

4、5月20日，14點29分，星期三例1 在正方體ABCDA1B1C1D1中,求以下各對異面直線所成的角：(1)AB與CC1；（2）AB1與CD1；（3）AB1與CD；（4）AB1與BC1。例1 在正方體ABCDA1B1C1D1中,求以下各對異面直線所成的角：（1）AB與CC1；（2）AB1與CD1；D1ABCDD1C1B1A1第8頁，共30頁，2022年，5月20日，14點29分，星期三例1 在正方體ABCDA1B1C1D1中,求以下各對異面直線所成的角：(1)AB與CC1；（2）AB1與CD1；（3）AB1與CD；（4）AB1與BC1。例1 在正方體ABCDA1B1C1D1中,求以下各對異面直

5、線所成的角：（1）AB與CC1；（2）AB1與CD1；D1ABCDD1C1B1A1第9頁，共30頁，2022年，5月20日，14點29分，星期三例1 在正方體ABCDA1B1C1D1中,求以下各對異面直線所成的角：(1)AB與CC1；（2）AB1與CD1；（3）AB1與CD；（4）AB1與BC1。例1 在正方體ABCDA1B1C1D1中,求以下各對異面直線所成的角：（1）AB與CC1；（2）AB1與CD1；（3）AB1與CD；ABCDD1C1B1A1第10頁，共30頁，2022年，5月20日，14點29分，星期三例1 在正方體ABCDA1B1C1D1中,求以下各對異面直線所成的角：(1)AB與

6、CC1；（2）AB1與CD1；（3）AB1與CD；（4）AB1與BC1。例1 在正方體ABCDA1B1C1D1中,求以下各對異面直線所成的角：（1）AB與CC1；（2）AB1與CD1；（3）AB1與CD；（4）AB1與BC1。ABCDD1C1B1A1第11頁，共30頁，2022年，5月20日，14點29分，星期三例1 在正方體ABCDA1B1C1D1中,求以下各對異面直線所成的角：(1)AB與CC1；（2）AB1與CD1；（3）AB1與CD；（4）AB1與BC1。例1 在正方體ABCDA1B1C1D1中,求以下各對異面直線所成的角：（1）AB與CC1；（2）AB1與CD1；（3）AB1與CD；

7、（4）AB1與BC1。ABCDD1C1B1A1第12頁，共30頁，2022年，5月20日，14點29分，星期三例1 在正方體ABCDA1B1C1D1中,求以下各對異面直線所成的角：(1)AB與CC1；（2）AB1與CD1；（3）AB1與CD；（4）AB1與BC1。例1 在正方體ABCDA1B1C1D1中,求以下各對異面直線所成的角：（1）AB與CC1；（2）AB1與CD1；（3）AB1與CD；（4）AB1與BC1。ABCDD1C1B1A1第13頁，共30頁，2022年，5月20日，14點29分，星期三例1 在正方體ABCDA1B1C1D1中,求以下各對異面直線所成的角：（1）AB與CC1；（2

8、）AB1與CD1；（3）AB1與CD；（4）AB1與BC1。ABCDD1C1B1A1第14頁，共30頁，2022年，5月20日，14點29分，星期三例2 已知空間四邊形ABCD中， F、G分別是BC,AD的中點，AC=BD=2，F(xiàn)G= ，求異面直線AC,BD所成的角。 FGABCD第15頁，共30頁，2022年，5月20日，14點29分，星期三例2 已知空間四邊形ABCD中， F、G分別是BC,AD的中點，AC=BD=2，F(xiàn)G= ，求異面直線AC,BD所成的角。 MFGABCD第16頁，共30頁，2022年，5月20日，14點29分，星期三例2 已知空間四邊形ABCD中， F、G分別是BC,A

9、D的中點，AC=BD=2，F(xiàn)G= ，求異面直線AC,BD所成的角。 MFGABCD第17頁，共30頁，2022年，5月20日，14點29分，星期三例3 如圖，在正方體AC1中，M、N分別是A1B1、BB1的中點，求：（1）異面直線AM與CN所成角的大??；NMA1B1C1D1DCBA第18頁，共30頁，2022年，5月20日，14點29分，星期三例3 如圖，在正方體AC1中，M、N分別是A1B1、BB1的中點，求：（1）異面直線AM與CN所成角的大??；NMA1B1C1D1DCBAQ第19頁，共30頁，2022年，5月20日，14點29分，星期三例3 如圖，在正方體AC1中，M、N分別是A1B1、

10、BB1的中點，求：（1）異面直線AM與CN所成角的大小；NMA1B1C1D1DCBAP第20頁，共30頁，2022年，5月20日，14點29分，星期三例3 如圖，在正方體AC1中，M、N分別是A1B1、BB1的中點，求：（1）異面直線AM與CN所成角的大??；（2）異面直線AM與BD所成角的大小；MA1B1C1D1DCBA第21頁，共30頁，2022年，5月20日，14點29分，星期三例3 如圖，在正方體AC1中，M、N分別是A1B1、BB1的中點，求：（1）異面直線AM與CN所成角的大??；（2）異面直線AM與BD所成角的大??；MA1B1C1D1DCBAR第22頁，共30頁，2022年，5月20

11、日，14點29分，星期三例3 如圖，在正方體AC1中，M、N分別是A1B1、BB1的中點，求：（1）異面直線AM與CN所成角的大?。唬?）異面直線AM與BD所成角的大??；（3）異面直線AM與BD1所成角的大小。MA1B1C1D1DCBA第23頁，共30頁，2022年，5月20日，14點29分，星期三例3 如圖，在正方體AC1中，M、N分別是A1B1、BB1的中點，求：（1）異面直線AM與CN所成角的大?。唬?）異面直線AM與BD所成角的大??；（3）異面直線AM與BD1所成角的大小。MA1B1C1D1DCBAS第24頁，共30頁，2022年，5月20日，14點29分，星期三例4：長方體ABCD-

12、A1B1C1D1，AB=AA1=2 cm， AD=1cm，求異面直線A1C1與BD1所成角的余弦值。取BB1的中點M，連O1M，則O1MD1B，如圖，連B1D1與A1C1 交于O1，于是A1O1M就是異面直線A1C1與BD1所成的角（或其補角）O1MDB1A1D1C1ACB解：為什么？第25頁，共30頁，2022年，5月20日，14點29分，星期三解法二：方法歸納：補形法把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、長方體等，其目的在于易于發(fā)現(xiàn)兩條異面直線的關(guān)系。 在A1C1E中，由余弦定理得A1C1與BD1所成角的余弦值為 如圖，補一個與原長方體全等的并與原長方體有公共面連結(jié)A1E，C1E，

13、則A1C1E為A1C1與BD1所成的角(或補角)，F(xiàn)1EFE1BDB1A1D1C1ACBC1的方體B1F，第26頁，共30頁，2022年，5月20日，14點29分，星期三例5、解答題已知正方體的棱長為 a , M 為 AB 的中點, N 為 BB1的中點，求 A1M 與 C1 N 所成角的余弦值。解：A1D1C1B1ABCDMNEG如圖，取AB的中點E, 連BE, 有BE A1M 取CC1的中點G,連BG. 有BG C1N 則EBG即為所求角。BG=BE= a, F C1 = a由余弦定理，cosEBG=2/5F取EB1的中點F，連NF,有BENF則FNC為所求角。想一想：還有其它定角的方法嗎？在EBG中第27頁，共30頁，2022年，5月20日，14點29分，星期三定角一般方法有：（1）平移法（常用方法）小結(jié)：1、求異面直線所成的角是把空間角轉(zhuǎn)化為平面 角，體現(xiàn)了化歸的數(shù)學(xué)思想。2、用余弦定理求異面直線所成角時，要注意角的 范圍： （1） 當(dāng) cos 0 時，所成角為 （2） 當(dāng) cos 0 時，所成角為 （3） 當(dāng) cos = 0 時，所成角為 3、當(dāng)異面直線垂直時，還可應(yīng)用線面垂直的有 關(guān)知識解決。90o（2）補形法化歸的一