應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)分析

1、第 8 章典型習(xí)題解析試畫出下圖所示簡支梁 A 點處的原始單元體。圖 8.1解：（1）原始單元體要求其六個截面上的應(yīng)力應(yīng)已知或可利用公式直接計算，因此應(yīng)選取如下三對平面：A 點左右側(cè)的橫截面，此對截面上的應(yīng)力可直接計算得到；與梁xy平面平行的一對平面，其中靠前的平面是自由表面，所以該對平面應(yīng)力均為零。再取A 點偏上和偏下的一對與xz平行的平面。截取出的單元體如圖(d) 所示。(2) 分析單元體各面上的應(yīng)力:A 點偏右橫截面的正應(yīng)力和切應(yīng)力如圖(b) 、(c) 所示，將A 點的坐標x、y 代入正應(yīng)力和切應(yīng)力公式得A 點單元體左右側(cè)面的應(yīng)力為：MyQSz*I zI z b由切應(yīng)力互等定律知, 單元

2、體的上下面有切應(yīng)力；前后邊面為自由表面，應(yīng)力為零。在單元體各面上畫上應(yīng)力，得到A 點單元體如圖 (d) 。圖 (a) 所示的單元體 , 試求（ 1）圖示斜截面上的應(yīng)力 ; （ 2）主方向和主應(yīng)力，畫出主單元體; （ 3）主切應(yīng)力作用平面的位置及該平面上的正應(yīng)力，并畫出該單元體。解：（ 1）求斜截面上的正應(yīng)力30和切應(yīng)力30由公式305010050 100 cos(60 ) ( 60 ) sin(60 )64.5MPa223050100 sin( 60 )( 60) cos( 60 )34.95MPa2（ 2）求主方向及主應(yīng)力tan 22x1200.850100238.66xy119.33270

3、.67最大主應(yīng)力在第一象限中，對應(yīng)的角度為070.67，主應(yīng)力的大小為150100 50100 cos(270.67 ) (60)sin(270.67 ) 121.0MPa22由12xy可解出2xy(50)100(121.0)71.0MPa1因有一個為零的主應(yīng)力，因此371.0MPa(第三主方向319.33 )畫出主單元體如圖8.2(b) 。（ 3）主切應(yīng)力作用面的法線方向tan 2501001.25120251.34125.672115.67主切應(yīng)力為150 100 sin(51.34 ) ( 60) cos(51.34 )96.04MPa22此兩截面上的正應(yīng)力為125010050100 c

4、os(51.34 )(60) sin(51.34 ) 25.0MPa225010050100 cos(231.34 )(60) sin(231.34 ) 25.0MPa22主切應(yīng)力單元體如圖所示。由25.0 25.0 50MPaxy12，可以驗證上述結(jié)果的正確性。試用圖形解析法，重解例 2。解：（ 1）畫應(yīng)力圓建立比例尺，畫坐標軸、 。對圖 (a) 所示單元體，在平面上畫出代表x、 x 的點 A(-50,-60) 和代表y、 y 的點 B(100,60) 。連接 A、B，與水平軸交于 C點，以 C 點為圓心， CB（或 CA ）為半徑，作應(yīng)力圓如圖所示.斜截面上的應(yīng)力在應(yīng)力圓上自A 點順時針轉(zhuǎn)

5、過60 ，到達 G點。G點在、坐標系內(nèi)的坐標即為該斜截面上的應(yīng)力，從應(yīng)力圓上可直接用比例尺測量或計算得到G點的水平和垂直坐標值：64.5 MPa=34.95 MPa主方向、主應(yīng)力及主單元體圖所示應(yīng)力圓圖上H 點橫坐標 OH 為第一主應(yīng)力，即1OH121.04MPaK 點的橫坐標OK 為第三主應(yīng)力，即3OK71.04MPa由應(yīng)力圓圖上可以看出，由B 點順時針轉(zhuǎn)過20 為第一主方向，在單元體上則為由y軸順時針轉(zhuǎn)0 ，且2 038.66 ,019.33應(yīng)力圓圖上由A 順時針轉(zhuǎn)到K 點 (ACK38.66 ) ，則在單元體上由x 軸順時針轉(zhuǎn)過 19.33 為第三主方向 , 畫出主單元體仍如圖 (b)

6、所示。4）主切應(yīng)力作用面的位置及其上的應(yīng)力圖所示應(yīng)力圓上 N、 P 點分別表示主切應(yīng)力作用面的相對方位及其上的應(yīng)力。在應(yīng)力圓上由B 到 N，逆時針轉(zhuǎn)過51.34 ，單元體上max 作用面的外法線方向為由y軸逆時針轉(zhuǎn)過 25.67 ，且maxminCB 96.04MPamax 和 min 作用面上的正應(yīng)力均為25MPa,主切應(yīng)力作用面的單元體仍如圖(c) 所示。4. 如圖所示兩端封閉的薄壁筒同時承受內(nèi)壓強p 和外力矩 m的作用。在圓筒表面 a 點用應(yīng)變儀測出與 x 軸分別成正負 45 方向兩個微小線段ab 和 ac 的的應(yīng)變 45 629.4 106，45 66.9 10 6，試求壓強 P 和外

7、力矩 m。已知薄壁筒的平均直徑d 200mm，厚度 t 10mm，E 200GPa，泊松比0.25 。解：（ 1） a 點為平面應(yīng)力狀態(tài), 在 a 點取出如圖 (c) 所示的原始單元體，其上應(yīng)力：xpd ,ypd ,x2m4t2td 2t（2）求圖 8.4(c)斜單元體 efgh 各面上的正應(yīng)力：xy452xxy452x3 pd2m8td 2t3pd2m8td 2t（3）利用胡克定律，列出應(yīng)變45 、 45 表達式145E45451454545E將給定數(shù)據(jù)代入上式13 pd12m1E8td 2t13pd1- 2m1E8td2 t629.4 1066.9 10613p2002m1061.2520

8、010380.7520021010611033p200 0.752m1061.25200810200210得內(nèi)壓強和外力矩p 10MPa， m 35kNm5. 直徑 d=20mm 、L=2m 的 圓截面桿 , 受力如圖。試繪桿件中A 點和 B點的單元體受力圖,算出單元體上的應(yīng)力的數(shù)值, 并確定這些點是否為危險點。（ d）(a)（ b）（ c）解： 以下圖為圖各單元體受力圖：A 點點(b )( a )A點B點( c)A點B 點( d )應(yīng)力計算 :圖（ a）的 A 點 :N63.69MPaA8050.96MP a圖（ b）的 A 點 :d 316圖（ c）的 A 點 :N127.38MPaA點

9、:N8050.96MP a127.38MPAad3,16圖（ d）中 A 點 ( 壓應(yīng)力 ):M120 10325.48MPaWz3)33.14 (20 1032B點 :QS*z4Q0.17MP aI z b3A(b ）中的 A 為危險點，（ c）中的 A、 B 為危險點，（ d）中的 A ，B 點均為危險點 , 相比之下 A 點的應(yīng)力較大。已知應(yīng)力狀態(tài)如圖所示 ( 應(yīng)力單位 :MPa) 。試用圖解法求 :(1)(a) 、 (b) 中指定斜截面上的應(yīng)力 ; 并用解析法校核之 ;(2)(c) 、 (d)、 (e) 上主應(yīng)力的大小與方向, 在單元體上畫出主平面的位置, 求最大切應(yīng)力。(a)30 0

10、 斜截面單元本 ;(b)450斜截面單元體 ;(c)純切應(yīng)力單元體;(d)壓拉切單元體拉壓切單元體。解：(a)按比例畫出應(yīng)力圓如下圖, 可得 =300 的斜截面的正應(yīng)力和切應(yīng)力為E 點的坐標為3045MP a308.5MP a解析法校核：xyxy cos2x sin2305050 30 cos60 45MPa2222xysin 2x cos250 3035 38.5MPa222用比例畫出應(yīng)力圓 ,E 點的坐標為455MP a4525MP aE2XOCY解析法校核：yxyxy cos 2x sin 25050 cos 90 20sin 90 5MPa2222xysin 2x cos 250 sin 9025MP a22(c ）應(yīng)力圓如下圖, 與 軸的交點即為主應(yīng)力的對應(yīng)點，從應(yīng)力圓上可按比例直接量得兩個主應(yīng)力之值分別為：1OA 150MPa ,20,3OA 250MPa主平面的方位可由應(yīng)力圓上量得, 因2D1OA190最大主應(yīng)力作用面與x 平面之夾角為( 從 D1 到 A1 是順時針轉(zhuǎn)的):45最大切力；1350MPamax2(d ）應(yīng)力圓與 軸的交點即為主應(yīng)力得應(yīng)點，從應(yīng)力圖上可按比例直接量得兩個主應(yīng)力之值分別為：12OAOA70MP a230MP a ,30最大主應(yīng)