高等數(shù)學(xué)講義-第一章-函數(shù)課件

1、高 等 數(shù) 學(xué)主講：李錚高 等 數(shù) 學(xué)主講：李錚預(yù)備知識1. 數(shù)學(xué)歸納法設(shè) P 是一個與自然數(shù) n 有關(guān)的命題。如果 (1)n=1 時，P 成立。 (2) 假設(shè) n=k 時，P 成立，能夠推出 n=k+1 時 P 也成立。則命題 P 對一切自然數(shù) n 均成立。注：i) 如果命題 P 對于 n N0 時成立，則應(yīng)驗證n= N0 時，P 成立。ii) 也可假設(shè)n=1，n=2，n=k 時，P 均成 立，能夠推出 n=k+1，P 也成立。預(yù)備知識1. 數(shù)學(xué)歸納法設(shè) P 是一個與自然數(shù) n 有關(guān)的命2. 算術(shù)平均值大于等于幾何平均值此時，對于算術(shù)平均值而言，達(dá)到了最小值；對于幾何平均值而言，達(dá)到了最大值

2、。3. 常用記號 :對于任意給定的； ：存在2. 算術(shù)平均值大于等于幾何平均值此時，對于算術(shù)平均值而言，第一章函數(shù)函數(shù)是高等數(shù)學(xué)的主要研究對象，它揭示了現(xiàn)實世界中各種變量之間的相互依存關(guān)系，是高等數(shù)學(xué)中最重要的基本概念之一。第一章函數(shù)函數(shù)是高等數(shù)學(xué)的主要研究對象，它揭示了現(xiàn)實世界1. 函數(shù)的概念1. 實數(shù)的絕對值常用的相關(guān)不等式1. 函數(shù)的概念1. 實數(shù)的絕對值常用的相關(guān)不等式2. 變量在高等數(shù)學(xué)中，主要研究變量。常用區(qū)間或鄰域來表示變量的取值范圍1)區(qū)間：2)鄰域：2. 變量在高等數(shù)學(xué)中，主要研究變量。1)區(qū)間：2)鄰域：定義：設(shè)有非空數(shù)集 X 和數(shù)集 Y ，如果對于 X 中的每一個數(shù) x

3、, 按照對應(yīng)法則 f 都對應(yīng)于 Y 中唯一的一個確定的數(shù) y ，則稱 f 為定義在 X 上的函數(shù)，記做 f : X Y。 數(shù) x 對應(yīng)的數(shù) y 稱為 f 的函數(shù)值，記作 y =f (x)其中 X 稱為函數(shù) f 的定義域 (或D( f ) )，函數(shù)值 y 的集合稱為 f 的值域 ,記作 f (X) (或R( f ) ) 。在本課程中，為了便于討論具體的函數(shù)常把函數(shù) f 記作 f (x) 。定義：設(shè)有非空數(shù)集 X 和數(shù)集 Y ，如果對于 X 中的每一2. 函數(shù)的表示法1. 表格法：用表格來表示一種函數(shù)關(guān)系。3. 公式法 (或稱解析法)： 用公式來表示一種函數(shù)關(guān)系。2. 圖示法：用圖來表示一種函數(shù)關(guān)

4、系。在函數(shù)定義中，對應(yīng)法則不一定是一個公式，有時需用幾個公式加以表達(dá)，用多個公式來表示的函數(shù)稱為分段函數(shù)。2. 函數(shù)的表示法1. 表格法：用表格來表示一種函數(shù)關(guān)系。例3. (Dirichlet) 函數(shù)是一個定義在0，2上的分段函數(shù)如2.3 = 2例 2. 設(shè) x 為任一實數(shù)，不超過 x 的最大整數(shù)稱為 x 的整數(shù)部分，記作 x ，稱 y = x 為 x 的取整函數(shù)。-2.3=?=-3例3. (Dirichlet) 函數(shù)是一個定義在0，2上求函數(shù)的定義域主要掌握五種基本類型函數(shù)定義的兩個要素：定義域、對應(yīng)規(guī)律。求函數(shù)的定義域主要掌握五種基本類型函數(shù)定義的兩個要素：定義域所以，定義域為 (- ,0

5、) (0,1) (1,2) (2,+ ) 例4. 求下列函數(shù)的定義域所以，定義域為 (- ,0) (0,1) (1,2所以，定義域為-2，-1） （1，4所以，定義域為-2，-1） （1，4解：利用函數(shù)的“變量無關(guān)性”解：利用函數(shù)的“變量無關(guān)性”3. 函數(shù)的特性1. 奇偶性設(shè) X 為對稱區(qū)間或為 R = (- ，+ )3. 函數(shù)的特性1. 奇偶性設(shè) X 為對稱區(qū)間或為 R 例1. 判定下列函數(shù)的奇偶性所以 f ( x ) = ch x 為偶函數(shù)例1. 判定下列函數(shù)的奇偶性所以 f ( x ) = ch所以 f ( x ) 為奇函數(shù)。所以 f ( x ) 為奇函數(shù)。2. 單調(diào)性設(shè)函數(shù) y = f

6、 ( x )，定義域為 X。單調(diào)增（或減）函數(shù)，簡稱單調(diào)函數(shù)。 除去等號稱為嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)。2. 單調(diào)性設(shè)函數(shù) y = f ( x )，定義域為 X。單例2. 證明函數(shù) f ( x ) = x cos x 在 (- ，+ ) 上無界。無界也可以定義為：3. 有界性設(shè) y = f ( x )，定義域為 X 若 M 0， x X ，有|f ( x )| 0,使得 x X，有 x T X 且 f ( x + T ) = f ( x )。則稱 f ( x )為周期函數(shù)，T 為一個周期。 一般,當(dāng)最小周期存在時，稱最小周期為周期。思考：周期函數(shù)是否一定有最?。ㄕ┲芷凇?. 周期性注：定義高等數(shù)學(xué)講義-第

7、一章-函數(shù)課件4. 反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)1. 反函數(shù) 習(xí)慣上，將函數(shù) y = f ( x )的反函數(shù)用 表示。若用 x 表示自變量，則反函數(shù)可記作為設(shè)函數(shù) y = f ( x ) 的定義域為X，值域為 f (X)。若對于每一個 y f(X)，有唯一的一個 x X與之對應(yīng)，使得 f ( x )= y，則在 f(X)上定義了一個 f 的反函數(shù).4. 反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)1. 反函數(shù) 習(xí)慣上，將函數(shù) y 高等數(shù)學(xué)講義-第一章-函數(shù)課件2. 復(fù)合函數(shù)設(shè)函數(shù) y = f ( u )，u ；u = ( x )，x X。如果當(dāng) x 在 X * ( X ) 中取值時，相應(yīng)的 u 值在中，那末稱 y 為 x 的復(fù)合函數(shù)

8、。定義域為 X* ，u 稱為中間變量。在復(fù)合過程中，中間變量可多于一個，但不能任意復(fù)合。2. 復(fù)合函數(shù)設(shè)函數(shù) y = f ( u )，u ；u 高等數(shù)學(xué)講義-第一章-函數(shù)課件高等數(shù)學(xué)講義-第一章-函數(shù)課件5. 初等函數(shù)下列五類函數(shù)稱為基本初等函數(shù)4) 三角函數(shù)1. 基本初等函數(shù)5. 初等函數(shù)下列五類函數(shù)稱為基本初等函數(shù)4) 三角函數(shù)15) 反三角函數(shù)5) 反三角函數(shù)一般來說分段函數(shù)不是初等函數(shù)。2. 初等函數(shù)等 均為初等函數(shù)，凡是由基本初等函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算和有限次復(fù)合后能用一個公式表示的函數(shù)，稱為初等函數(shù)。shx 稱為雙曲正弦函數(shù)，chx 稱為雙曲余弦函數(shù)。一般來說分段函數(shù)不是初等函數(shù)。2. 初等函數(shù)等 均為初等第一章重點練習(xí)題2. 求下列函數(shù)的定義域1. 用區(qū)間表示變