中考數(shù)學銳角三角函數(shù)綜合經(jīng)典題及答案

1、一、銳角三角函數(shù)真題與模擬題分類匯編（難題易錯題）1.如圖，在ABC中，ZABC=90,以AB的中點O為圓心，OA為半徑的圓交AC于點D,E是BC的中點，連接DE,OE.（1）判斷DE與OO的位置關(guān)系，并說明理由；（2）求證：BC2=2CDOE；314（3）若cosZBAD=5,BE二，求OE的長.3535【答案】（1）DE為OO的切線，理由見解析；（2）證明見解析；（3）OE=丁.【解析】試題分析：（1）連接OD,BD,由直徑所對的圓周角是直角得到ZADB為直角，可得出BCD為直角三角形，E為斜邊BC的中點，由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得到CE=DE，從而得ZC=ZCDE，再由O

2、A=OD，得ZA=ZADO,由RtAABC中兩銳角互余，從而可得ZADO與ZCDE互余，可得出ZODE為直角，即DE垂直于半徑OD,可得出DE為OO的切線；（2）由已知可得OE是厶ABC的中位線，從而有AC=2OE,再由ZC=ZC,ZABC=ZBDC,可得ABC-BDC，根據(jù)相似三角形的對應邊的比相等，即可證得；（3）在直角ABC中，利用勾股定理求得AC的長，根據(jù)三角形中位線定理OE的長即可求得.試題解析：（1）DE為OO的切線，理由如下：連接OD，BD，BECAB為OO的直徑，ZADB=90,在RtABDC中，E為斜邊BC的中點,CE=DE=BE=：BC,ZC=ZCDE,TOA=OD,.ZA

3、=ZADO,TZABC=90,.ZC+ZA=90,.ZADO+ZCDE=90,.ZODE=90,.DE丄0D,又OD為圓的半徑，.DE為OO的切線；(2)TE是BC的中點，0點是AB的中點,.OE是ABC的中位線，.AC=2OE,TZC=ZC，ZABC=ZBDC，ABC-BDC,BCACCDBCACCD_BC即BC2=ACCD.BC2=2CDOE；3(3)解：TcosZBAD=?,SC-4sinZBAC=一AC5又T又TBE,E是BC的中點，即BC=4,又TAC=2OE,.OE=：AC=.26考點：1、切線的判定；2、相似三角形的判定與性質(zhì)；3、三角函數(shù)2.如圖，拋物線C1：y=（x+m）2（

4、m為常數(shù)，m0），平移拋物線y=-x2，使其頂點D在拋物線C1位于y軸右側(cè)的圖象上，得到拋物線C2.拋物線C2交x軸于A,B兩點（點A在點B的左側(cè)），交y軸于點C,設點D的橫坐標為a.1如圖1,若m=.當OC=2時，求拋物線C2的解析式；是否存在a,使得線段BC上有一點P,滿足點B與點C到直線OP的距離之和最大且AP=BP?若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由；如圖2,當0B=2：-m(OVmV)時，請直接寫出到厶ABD的三邊所在直線的距離相等的所有點的坐標(用含m的式子表示).71【答案】y=-x2+x+2.1(2)P(L-m，1)，P2(、：-m，-3)，P3(-iT7吟-m，3)，P

5、4(3-m，3)【解析】試題分析：(1)首先寫出平移后拋物線C2的解析式(含有未知數(shù)a),然后利用點C(0，2)在C2上，求出拋物線C2的解析式；認真審題，題中條件AP=BP”意味著點P在對稱軸上，點B與點C到直線OP的距離之和最大”意味著OP丄BC.畫出圖形，如圖1所示，利用三角函數(shù)(或相似)，求出a的值；(2)解題要點有3個：判定ABD為等邊三角形；理論依據(jù)是角平分線的性質(zhì)，即角平分線上的點到角兩邊的距離相等；滿足條件的點有4個，即ABD形內(nèi)1個(內(nèi)心)，形外3個.不要漏解.11試題解析：(1)當m=，時，拋物線q：y=(x+)2.T拋物線C2的頂點D在拋物線q上，且橫坐標為a,D(a,(

6、a+)2).1拋物線C2：y=-(x-a)2+(a+_)2(I).OC=2,C(0,2).點C在拋物線C2上,1-(0-a)2+(a+)2=2,解得：a，代入(I)式,得拋物線C得拋物線C2的解析式為:在式中，7y=-x2+x+2.令令y=0,即：-(x-a)2+(a+J)2=0,解得x=2a+：或x=-，二B(2a+,0)；令x=0令x=0,得：y=a+,J.C(0,a+).設直線BC的解析式為y=kx+b，則有:，解得，解得直線BC的解析式為：y=-x+(a+b.假設存在滿足條件的a值TAP=BP,點P在AB的垂直平分線上，即點P在C2的對稱軸上；點B與點C到直線OP的距離之和0)與BC交

7、于點P,與x軸交于點E,則OP丄BC,OE=a.T點T點P在直線BC上，1111P(a,】a+b,PE=a+ttanttanZEOP=tanZBCO=解得：a=.1.存在a=，使得線段BC上有一點P,滿足點B與點C到直線OP的距離之和最大且AP=BPT拋物線C2的頂點D在拋物線q上，且橫坐標為a，.D(a，(a+m)2).拋物線C2：y=-(x-a)2+(a+m)2.令y=0，即-(x-a)2+(a+m)2=0，解得：x1=2a+m，x2=-m，.B(2a+m,0).vOB=2-m,.2a+m=2、，-m,.a=i-m.DG-m,3).AB=OB+OA=2、-m+m=2、rrnr如圖2所示，設

8、對稱軸與x軸交于點E,則DE=3,BE=AB=iOE=OB-BE-m.tanZABD=ZABD=60.又:AD=BD,.ABD為等邊三角形.作ZABD的平分線，交DE于點P1，則P1E=BEtan30；x=1,.P1（J-m,1）；在厶ABD形外，依次作各個外角的平分線，它們相交于點P2、P3、P4.在RtABEP2中，P2E=BEtan60=八=3,P2（二廠-m,-3）；易知adp3、bdp4均為等邊三角形，.dp3=dp4=ab=,且p3p4iix軸.P3（-m,3）、P4（3-m,3）.綜上所述，到ABD的三邊所在直線的距離相等的所有點有4個，其坐標為：P1：-m,1）,P2（-m,-

9、3）,P3（-m,3）,P4（3-m,3）【考點】二次函數(shù)綜合題3.如圖，某校數(shù)學興趣小組為測量校園主教學樓AB的高度，由于教學樓底部不能直接到達，故興趣小組在平地上選擇一點C,用測角器測得主教學樓頂端A的仰角為30,再向主教學樓的方向前進24米，到達點E處（C,E,B三點在同一直線上），又測得主教學樓頂端A的仰角為60,已知測角器CD的高度為1.6米，請計算主教學樓AB的高度.（J3=1.73，結(jié)果精確到0.1米）GG【答案】22.4m【解析】【分析】首先分析圖形,根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形.本題涉及多個直角三角形,應利用其公共邊構(gòu)造等量關(guān)系,進而求解.【詳解】解：在RtAAFG中，tanzAF

10、G=j3,AGAGFG=tanZAFG更在RtAACG中，tanzACG=CG又:CG-FG=24m,.AG=12J3m,.AB=12+1.6=22.4m.42018年12月10日，鄭州市城鄉(xiāng)規(guī)劃局網(wǎng)站掛出鄭州都市區(qū)主城區(qū)停車場專項規(guī)劃，將停車納入城市綜合交通體系，計劃到2030年，在主城區(qū)新建停車泊位33.04萬個，2019年初，某小區(qū)擬修建地下停車庫，如圖是停車庫坡道入口的設計圖，其中MN是水平線，MNIIAD，AD丄DE,CF丄AB，垂足分別為D，F(xiàn),坡道AB的坡度為1:3，DE=3米，點C在DE上,CD=0.5米，CD是限高標志屏的高度（標志牌上寫有：限高米），如果進入該車庫車輛的高度

11、不能超過線段CF的長，則該停車庫限高多少米？（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)j2=1.41,0),CE=2.5,5代入得(2)2=X2+3X2,解得x=1.25,.CF=承x-2.2,.該停車庫限高約為2.2米.【點睛】本題考查了解直角三角形的應用,坡面坡角問題和勾股定理,解題的關(guān)鍵是坡度等于坡角的正切值如圖1,以點M(1,0)為圓心的圓與y軸、x軸分別交于點A、B、C、D,直線y=x與OM相切于點H,交x軸于點E,交y軸于點F.請直接寫出OE、OM的半徑r、CH的長；如圖2,弦HQ交x軸于點P,且DP:PH=3:2,求cosZQHC的值；如圖3,點K為線段EC上一動點(不與E、C重合)，連接B

12、K交OM于點T,弦AT交x軸于點N.是否存在一個常數(shù)a,始終滿足MNMK=a,如果存在，請求出a的值；如【答案】(1)OE=5,r=2,CH=2CQSjLQHC-(2):;3)a=4解析】分析】(1)在直線y=x中，令y=0,可求得E的坐標，即可得到OE的長為(1)在直線MH,根據(jù)EMH與厶EFO相似即可求得半徑為2；再由EC=MC=2,ZEHM=90，可知CH是RTAEHM斜邊上的中線，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可得出CH的(2)連接DQ、CQ.根據(jù)相似三角形的判定得到CHP-QPD,從而求得DQ的長，在直角三角形CDQ中，即可求得ZD的余弦值，即為cosZQHC的值;連接A

13、K,AM,延長AM,與圓交于點G,連接TG,由圓周角定理可知，ZGTA=90,Z3=Z4,故ZAKC=ZMAN，再由AMK-NMA即可得出結(jié)論.詳解】(2)如圖1,連接QC、QD,則(2)如圖1,連接QC、QD,則ZCQD=90,ZQHC=ZQDC,DPDQ易知CHP-DQP,故，得DQ=3,由于CD=4,QD3-cosjlQDC-（3）如圖2,連接AK,AM,延長AM,與圓交于點G,連接TG,則團2”.乙2+斗一勺臚Z3-斗Z2+Z3-馬0由于門，故:.而m,故宀在曲財K和0月肘K中，厶12.LAMK-LNMA故厶AMK-NMAMNAM麗=顧即：mm二二:x-故存在常數(shù)，始終滿足=常數(shù)a=4

14、解法二：連結(jié)bm,證明二丄三、丄m得xm三:j=-=-蘭州銀灘黃河大橋北起安寧營門灘，南至七里河馬灘，是黃河上游的第一座大型現(xiàn)代化斜拉式大橋如圖，小明站在橋上測得拉索AB與水平橋面的夾角是31,拉索AB的長為152米，主塔處橋面距地面7.9米（CD的長），試求出主塔BD的高.（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：sin31=0.52,cos31=0.86,tan31=0.60）【答案】主塔BD的高約為86.9米.【解析】【分析】根據(jù)直角三角形中由三角函數(shù)得出BC相應長度，再由BD=BC+CD可得出.【詳解】在Rt3BC中，ZACB=90,BCSinA=AB二BC二ABxsinA二152xsin311

15、52x0.52二79.04.BD=BC+CD=79.04+7.9=86.94二86.9(米)答：主塔BD的高約為86.9米.【點睛】本題考察了直角三角形與三角函數(shù)的結(jié)合，熟悉掌握是解決本題的關(guān)鍵.如圖，正方形OABC的頂點0與原點重合，點A,C分別在x軸與y軸的正半軸上，點1A的坐標為(4,0),點D在邊AB上，且tanZAOD=-，點E是射線OB上一動點，厶EF丄x軸于點F,交射線OD于點G,過點G作GHIIx軸交AE于點H.求B，D兩點的坐標；當點E在線段OB上運動時，求ZHDA的大?。灰渣cG為圓心，GH的長為半徑畫OG.是否存在點E使OG與正方形OABC的對角線所在的直線相切？若不存在，

16、請說明理由；若存在，請求出所有符合條件的點E的坐標.【答案】(1)B(4,4),D(4,2)；(2)45；(3)存在，符合條件的點為(8-4邁,8-4邁)或(8+4f2,8+4邁)或，理由見解析解析】分析】1(1)由正方形性質(zhì)知AB=0A=4,ZOAB=90,據(jù)此得B(4,4),再由tanZAOD=-得AD=-OA=2,據(jù)此可得點D坐標;GF11(2)由tanZGOF=-知GF=OF,再由ZAOB=ZABO=45知OF=EF，即OF221GF=-EF,根據(jù)GHIIx軸知H為AE的中點，結(jié)合D為AB的中點知DH是厶ABE的中位線，即HDIIBE,據(jù)此可得答案；分OG與對角線OB和對角線AC相切兩

17、種情況，設PG=x，結(jié)合題意建立關(guān)于x的方程求解可得【詳解】解：(1)TA(4,0),0A=4,T四邊形OABC為正方形,AB=OA=4,ZOAB=90,B(4,4),在RtAOAD中，ZOAD=90,1TtanZAOD=2.AD.AD11=2OA=2也=2.D(4，2)；(2)如圖1,在RtAOFG中，ZOFG=90GF11tan/GOF=，即gf=OF,OF22四邊形OABC為正方形，/AOB/ABO=45,OFEF,GF=EF,2.G為EF的中點，GHIIx軸交AE于H,H為AE的中點，B(4,4),D(4,2),D為AB的中點，DHABE的中位線，.HDIBE,./HDA=/ABO=4

18、5(3)(3)若OG與對角線OB相切，如圖2,當點E在線段OB上時，圖2過點G作GP丄OB于點P,設PG=x,可得PE=x,EG=FG巨x,OF=EF=2、2x,OA=4,AF=4-22x,G為EF的中點，H為AE的中點，GH為AFE的中位線，.GH=11.GH=112AF=2X(4-2J2x)=2-v2x,則x=2-邁x,解得：x=2j2-2,E(8-4邁,8-4J2),如圖3,當點E在線段OB的延長線上時,7777解得：x=2+p2,二E(8+42,8+42)；若OG與對角線AC相切，如圖4,當點E在線段BM上時，對角線AC,OB相交于點M,J/ZD0圖rA匸過點G作GP丄0B于點P,設P

19、G=x,可得PE=x,EG=FG=p2x,OF=EF=2：2x,TOA=4,AF=4-2冒邁x,TG為EF的中點，H為AE的中點，GH為AAFE的中位線，GH=112AF=2X（4-2富2x）=2-J2x,過點G作GQ丄AC于點Q,貝9GQ=PM=3x-2邁,3x-2邁=2-邁x,.4近+2x4J2+164邁+16如圖5,當點E在線段0M上時,GQ=PM=2邁-3x,貝2邁-3x=2-2x,如圖6,當點E在線段0B的延長線上時,圏63x-2”2=2x-2,4J2一2解得：x二（舍去）；7綜上所述，符合條件的點為（8-4J2,8-4邁）或（8+4邁,8+4邁）或16-4/216-4邁77【點睛】

20、本題是圓的綜合問題，解題的關(guān)鍵是掌握正方形和直角三角形的性質(zhì)、正切函數(shù)的定義三角形中位線定理及分類討論思想的運用如圖，建筑物上有一旗桿小,從與川相距Z的處觀測旗桿頂部；的仰角為*,觀測旗桿底部扶的仰角為，求旗桿.的高度（參考數(shù)據(jù)：sinSO空0”77,氐藥50。之04,怡亙1.1勺）【答案】旗桿匕的高度約為二【解析】【分析】BC在RtABDC中，根據(jù)tanZBDC=:；求出BC,接著在RtAADC中，根據(jù)ACAB+BCtanZADC=一即可求出AB的長度【詳解】BC解：在RtABDC中，tanZBDC=.，；=1,BC=CD=40mACAB十BC在RtAADC中，tanZADC=,.=，打.t

21、an50=:=1.19AB7.6m答：旗桿AB的高度約為7.6m.【點睛】此題主要考查了三角函數(shù)的應用12已知拋物線y=-x2-x+2與x軸交于點A，B兩點，交y軸于C點，拋物線的對稱63軸與x軸交于H點，分別以OC、OA為邊作矩形AECO.求直線AC的解析式；如圖，P為直線AC上方拋物線上的任意一點，在對稱軸上有一動點M,當四邊形AOCP面積最大時，求|PM-OM|的值.如圖，將AOC沿直線AC翻折得ACD，再將ACD沿著直線AC平移得ACD.使得點A、C在直線AC上，是否存在這樣的點Dz,使得AZED為直角三角形？若存在，請求出點D的坐標；若不存在，請說明理由.團1砂勒1一5【答案】y=3

22、x+2團1砂勒1一5【答案】y=3x+2；點M坐標為(-2,3)時，四邊形AOCP的面積最大，此時6(0,(0,4)或(-6,2)或(5，罟).【分析】令x=0,則y=2，令y=0,則x=2或-6,求出點A、B、C坐標，即可求解；連接OP交對稱軸于點M,此時，|PM-OM|有最大值，即可求解；存在；分AD丄AE；AD丄ED；ED丄AE三種情況利用勾股定理列方程求解即可【詳解】(1)令x=0,則y=2,令y=0,則x=2或-6,二A(-6,0)、B(2,0)、C(0,82),函數(shù)對稱軸為：x=-2,頂點坐標為(-2,3)，C點坐標為(0，2),則過點C1的直線表達式為：y=kx+2,將點A坐標代

23、入上式，解得：k=3，貝V：直線AC的表達式1(2)如圖，過點P作x軸的垂線交AC于點H(2)如圖，過點P作x軸的垂線交AC于點H.四邊形AOCP面積=AOC的面積+ACP的面積，四邊形AOCP面積最大時，只需要厶ACP121的面積最大即可，設點P坐標為(m,一二m2一m+2)，則點G坐標為(m,萬m+2),633111211SACP2PGOA2(6m2m+23m-2)62m2-3m,當m=-3時，上式555取得最大值，則點P坐標為（-3,2）連接0P交對稱軸于點M,此時，IPM-0M|有55最大值，直線OP的表達式為：y=丁x,當x=-2時，y二，即：點M坐標為（-2,633），|PM-0M

24、3），|PM-0M|的最大值為:；(-3+2)2+(23)2嚴+（3）6163）存在:AE=CD,ZAEC=ZADC=90,ZEMA=ZDMC,AEAMDCM(AAS)，AEM=DM，AM=MC,=a，DM，AM=MC,=a，設：EM=a，貝9：MC=6-a.在RtADCM中，由勾股定理得：MC2=DC2+MD2，即：(6-a)2=22+02，解得:a=3，則:MC=10，過點D作x軸的垂線交x軸于點N,交EC于點H.在RtADMC中,1102MDDC即：Dy=83X28則：DH=58則：DH=5,HC=:DC2DH2=5，即：點D的坐標為（一亍匕3mm設：ACD沿著直線AC平移了m個單位，貝

25、9：點A坐標（-6+丐0，帀0）點D坐標63m18m為（5+巧0飛+巧0），而點E坐標為（-6,2）,則AD2=(6+AD2=(6+1)2+(188)2=36,AE2=2+4m一2)2一m2一+4=v10，243m8ED=(了+常+(5+32m1282=m2+10+M若AED為直角三角形,分三種情況討論：m=4m32m128m=當AD2+AE2=ED2時，36+m2帀+4=m2+帀+g，解得:63m18m此時D（一5+而+而）為（，4）；4m32m1284m4m當AD2+ED2=AE2時，36+m2+帀+y=m2市+4，解得:81063m18mm=-，此時D（一5+而,+而）為（6,2）；TO

26、C o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark148 o Current Document 4m,32m1288JI0當AE2+ED2=AD2時，m2-10+4+m2+10+=36，解得：m=- HYPERLINK l bookmark136 o Current Document J1063m18m319或加丁此時D，（-+帀，飛+而）為（一6,2）或（5，）-綜上所述：D坐標為：（0,4）或（-6,2）或（5,11）.【點睛】本題考查了二次函數(shù)知識綜合運用，涉及到一次函數(shù)、圖形平移、解直角三角形等知識,其中（3）中圖形是本題難點，其核心是確定平移后A、D的坐標，本題難度較大

27、.10問題探究：（一）新知學習：圓內(nèi)接四邊形的判斷定理：如果四邊形對角互補，那么這個四邊形內(nèi)接于圓（即如果四邊形EFGH的對角互補，那么四邊形EFGH的四個頂點E、F、G、H都在同個圓上）（二）問題解決：已知OO的半徑為2，AB,CD是OO的直徑.P是上任意一點，過點P分別作AB,CD的垂線，垂足分別為N,M.（1）若直徑AB丄CD,對于號上任意一點P（不與B、C重合）（如圖一），證明四邊形PMON內(nèi)接于圓，并求此圓直徑的長；（2）若直徑AB丄CD,在點P（不與B、C重合）從B運動到C的過程匯總，證明MN的長為定值，并求其定值；（3）若直徑AB與CD相交成120角.當點P運動到BC的中點卩時（如圖二），求MN的長；當點P（不與B、C重合）從B運動到C的過程中（如圖三），證明MN的長為定值.（4）試問當直徑AB與CD相交成多少度角時，MN的長取最大值，并寫出其最大值.占、巳【答案】（1