計量經濟學：聯立方程部分習題以及解析

1、第六章經典聯立方程計量經濟學模型：理論與方法一、內容提要聯立方程計量經濟學模型是相對于單一方程模型提出來的，旨在在討論多個經濟變量相互影響的錯綜復雜的運行規(guī)律，或者說討論多個內生變量被聯立決定的問題。本章學習內容的一個重點是關于聯立方程計量經濟學模型區(qū)別于單方程模型的若干基本概念，包括內生變量、外生變量、前定變量的概念；結構式模型、簡化式模型的概念；隨機方程、恒等方程的概念；行為方程、技術方程、制度方程、統計方程、定義方程、平衡方程等相關概念。本章學習的另一個重點是聯立模型的識別問題。需掌握模型識別的基本概念、模型識別的類型（不可識別、恰好識別、過渡識別）、模型的結構式識別條件、模型的簡化式識

2、別條件以及實際應用中的經驗識別方法。本章學習的第三個重點是聯立模型的估計問題。首先明確聯立模型估計時會遇到的三個方面的問題。一是隨機解釋變量問題，即模型中的某些解釋變量也能是與隨機擾動項相關的隨機解釋變量；二是損失變量信息的問題，即以單方程方法估計模型時會損失其他方程變量所提供的信息；三是損失方程之間的相關性信息問題，即以單方程方法估計模型時會損失不同方程隨機擾動項間的相關性方面的一些信息。其次，需要掌握聯立模型兩大類估計方法中的主要估計方法，如單方程估計方法中的狹義工具變量法（IV）、間接最小二乘法（ILS）、二階段最小二乘法（2SLS）,系統估計方法中的三階段最小二乘法（3SLS）等。本章

3、學習中不容忽視的還有聯立方程計量經濟學模型估計方法的比較，以及聯立方程模型的檢驗問題。前者需要考察大樣本估計量特性與小樣本估計量的特性；后者包括擬合效果檢驗、預測性檢驗、方程間誤差傳遞檢驗等方面的內容。二、典型例題分析1、如果我們將“供給”Y與“需求”Y寫成如下的聯立方程的形式：12=aY,Zu12111=aY,Zu122222其中，Z、Z為外生變量。12若a=0或a=0,解釋為什么存在Y的簡化式？若a0、a=0,寫出Y121122的簡化式。若a0、a0，且aa，求Y的簡化式。這時，Y有簡化式嗎？121212在“供給-需求”的模型中，aa的條件有可能滿足嗎？請解釋。12解答：(1)若a=0，則

4、由第1個方程得：Y=卩Z+u，這就是一個Y的簡化式；111111若a二0，則由第2個方程得：Y二,Z+u，這也是一個Y的簡化式。12221若a0、a=0，則將Y=卩Z+u代入第1個方程得：121222Z+uaY+,Z+u22212111整理得：,uu整理得：2Z1Z+1a2a1a111由第二個方程得：(Y,Zu)/a212222代入第一個方程得：a(Y-,Zu)/a+,Z+u1112222111整理得a,a,aaY2_ZiZ+2u1u1aa1aa2aa1aa221212121這就是Yi的簡化式。Y也有簡化式，由兩個方程易得:aY+,Z+uaY+,Z+u2222212111整理得,1Y1Z2Z+

5、(uu)2aa1aa2aa12212121在“供給-需求”模型中，a1a2的條件可以滿足。例如，如果第一個方程是供給方程，而第二個方程是需求方程，則這里的Y就代表供給量或需求量，而Y就代表這市12場價格。于是，應有a0，a,0。122.個由兩個方程組成的聯立模型的結構形式如下(省略t-下標)Pa+aN+aS+aA+ut01t2t3ttNP+PP+PM+vt01t2tt指出該聯立模型中的內生變量與外生變量。分析每一個方程是否為不可識別的，過度識別的或恰好識別的？有與卩相關的解釋變量嗎？有與u相關的解釋變量嗎？如果使用0LS方法估計a,B會發(fā)生什么情況？可以使用ILS方法估計a嗎？如果可以，推導出

6、估計值。對B回答同樣的問題。逐步解釋如何在第2個方程中使用2SLS方法。解答：內生變量：P、N；外生變量：A、S、M容易寫出聯立模型的結構參數矩陣PN常量SAM(pr)(1a1a0a2a30、=2-1，因此第二個方程是過渡識別的。該模型對應于13.3屆中的模型4。我們注意到該模型為過渡識別的。綜合兩個方程的識別狀況，該聯立模型是過渡識別的。S,A,M為外生變量，所以他們與卩，U都不相關。而P,N為內生的，所以他們與卩，u都相關。具體說來，N與P同期相關，而P與卩同期相關，所以N與卩同期相關。另一方面，N與v同期相關，所以P與v同期相關。由(3)知，由于隨機解釋變量的存在，a與B的0LS估計量有

7、偏且是不一致的。對第一個方程，由于是恰也識別的，所以間可用接最小二乘法(ILS)進行估計。對第二個方程，由于是過渡識別的，因此ILS法在這里并不適用。對第二個方程可采用二階段最小二乘法進行估計，具體步驟如下：第1階段，讓P對常量，S,M,A回歸并保存預測值P；同理，讓N對常量，S,A,M回歸t并保存預測值N。t第2階段，讓N對常量、P、M作回歸求第2個方程的2SLS估計值。ttt三、習題6-1.解釋下列概念：1)聯立問題8)不可識別2)行為方程9)恰度識別3)間接最小二乘法10)過度識別4)識別問題11)結構式模型5)二階段最小二乘法12)遞歸系統模型6)三階段最小二乘法13)先決變量7)簡化

8、式模型14)參數關系體系6-2為什么要建立聯立方程模型，聯立方程模型適用于什么樣的經濟現象？6-3聯立方程模型中的變量可以分為幾類？其含義各是什么？6-4聯立方程模型中的方程可以分為幾類？其含義各是什么？6-5聯立方程模型可以分為幾類？其含義各是什么？6-6聯立方程模型的識別狀況可以分為幾類？其含義各是什么？6-7結構方程可識別和不可識別的等價定義是什么？6-8簡述結構方程識別的階條件和秩條件的步驟。6-9聯立方程模型的估計有哪些方法？其適用條件、統計性質各是什么？6-10.聯立方程計量經濟模型中結構方程的結構參數為什么不能直接應用OLS估計？6-11已知一個聯立方程計量經濟學模型的完備的結構

9、式模型，如何確定其中的內生變量、先決變量、外生變量？6-12如何對不可識別的方程進行簡單的修改使之可以識別？6-13為什么說ILS、IV、2SLS方法都可以認為是工具變量方法？它們在工具變量的選取上有什么區(qū)別？6-14證明對于恰好識別的結構方程ILS、IV、2SLS的參數估計量是等價的。6-15.3SLS的方法步驟是什么？為什么3SLS的參數估計量比2SLS的參數估計量更有效？6-16理解聯立方程計量經濟學模型單方程估計方法與系統估計方法的概念。6-17.寫出結構模型的一般形式和結構參數矩陣。6-18寫出簡化模型的一般形式和參數關系式的表達式。6-19已知簡單的Keynesian收入決定模型如

10、下：C二aaYu（消費方程）t01ttI二卩+卩Y卩YV（投資方程）t01t2t，1tY-C1G（定義方程）tttt要求：（1）導出簡化型方程；（2）試證明：簡化型參數是用來測定外生變量變化對內生變量所起的直接與間接的總影響（以投資方程的簡化型為例來加以說明）。（3）試用階條件與秩條件確定每個結構方程的識別狀態(tài)；整個模型的識別狀態(tài)如何？6-20.為什么間接最小二乘法（ILS）只適用于恰好識別的結構模型？6-21.簡述二階段最小二乘法（2SLS）的兩個階段6-22.在聯立方程計量經濟學模型YB+xr=U中，每個結構方程的隨機誤差項具有0均值、同方差且存在一階序列相關，每個結構方程的隨機誤差項之間

11、具有同期相關。要求：寫出該聯立方程計量經濟學模型隨機誤差項的方差協方差矩陣。6-23.某聯立方程計量經濟學模型有3個方程、3個內生變量（y，y，y）、3個外生變123量（x,x,x）和樣本觀測值始終為1的虛變量C,樣本容量為n。其中第2個方程：123y=+x+y+xu201123332為恰好識別的結構方程。要求：（1）寫出用IV法估計該方程參數的正規(guī)方程組；（2）用ILS方法估計該方程參數,也可以看成一種工具變量方法,指出工具變量是如何選取的,并寫出參數估計量的矩陣表達式；（3）用2SLS方法估計該方程參數,也也可以看成一種工具變量方法,指出y的工具變量是什么,并寫出參數估計量的矩陣表達式；6

12、-24.下列為一完備的聯立方程計量經濟學模型：M=YPUt01t2t1tY=P+BMut01t2t其中：M為貨幣供給量，Y為國內生產總值，P為價格總指數。要求：（1）指出模型的內生變量、外生變量、先決變量；（2）寫出簡化式模型，并導出結構式參數與簡化式參數之間的關系；（3）用結構式條件確定模型的識別狀態(tài)；（4）從方程之間的關系出發(fā)確定模型的識別狀態(tài)；（5）如果模型不可識別，試作簡單的修改使之可以識別；（6）指出ILS、IV、2SLS中哪些可用于原模型第1、2個方程的參數估計。6-25獨立建立一個包含34個方程的中國宏觀經濟模型，并完成模型的識別和估計（可以采取本章中第五節(jié)的例子，將樣本觀測值擴

13、大到2000年之后，自己獨立完成）。四、習題解答6-11）聯立問題：經濟現象是極為復雜的，其中諸因素之間的關系，在很多情況下，不是單一方程所能描述的那種簡單的單向因果關系，而是相互依存，互為因果的，這時，就必須用聯立的計量經濟學方程才能描述清楚。聯立方程計量經濟學模型以經濟系統為研究對象，揭示經濟系統中各部分、各因素之間的數量關系和系統的數量特征。2）行為方程：行為方程描述經濟系統中變量之間的行為關系，主要是因果關系，例如用收入作為消費的解釋變量建立的方程。3）間接最小二乘法：先對關于內生解釋變量的簡化式方程采用普通最小二乘法估計簡化式參數，得到簡化式參數估計量，然后通過參數關系體系，計算得到

14、結構式參數的估計量。4）識別問題：聯立方程計量經濟學模型是由多個方程組成，對方程之間的關系有嚴格的要求，否則模型就可能無法估計。所以在進行模型估計之前首先要判斷它是否可以估計，這就是模型的識別。如果聯立方程模型中某個結構方程不具有確定的統計形式，則稱該方程為不可識別。如果一個模型中的所有隨機方程都是可以識別的，則認為該聯立方程模型系統是可以識別的。反過來，如果一個模型系統中存在一個不可識別的隨機方程，則認為該聯立方程模型系統是不可以識別的。5）二階段最小二乘法：估計聯立方程模型中的某個結構式方程時，先用普通最小二乘法對其中內生解釋變量的簡化式進行估計，得到內生解釋變量的估計值，用此估計值代替原

15、結構式方程中的內生解釋變量，再對變換了的結構式方程用普通最小二乘法進行估計。6）三階段最小二乘法：三階段最小二乘法是估計聯立方程模型全部結構方程的系統估計方法，基本思路是3SLS=2SLS+GLS，即首先用兩階段最小二乘法估計模型系統中的每一個結構方程，然后再用廣義最小二乘法估計模型系統。7）簡化式模型：將聯立方程模型的每個內生變量表示成所有先決變量和隨機誤差項的函數，即用所有先決變量作為每個內生變量的解釋變量，所形成的模型稱為簡化式模型。8）不可識別：如果聯立方程模型中某個結構方程不具有確定的統計形式，則稱該方程為不可識別。如果一個模型系統中存在一個不可識別的隨機方程，則認為該聯立方程系統是

16、不可識別的。恰度識別：如果某一個隨機方程具有一組參數估計量，稱其為恰度識別。過度識別：如果某一個隨機方程具有多組參數估計量，稱其為過度識別。結構式模型：根據經濟理論和行為規(guī)律建立的描述經濟變量之間直接關系結構的計量經濟學方程系統稱為結構式模型。結構式模型中的每一個方程都是結構方程，將一個內生變量表示為其它內生變量、先決變量和隨機誤差項的函數形式，被稱為結構方程的正規(guī)12)形式。遞歸系統模型1-p2121-p3112)形式。遞歸系統模型1-p2121-p3131聯立方程模型0Y+rx,，如果1p32-Pg1-Pg2.0-_-Y-Y.y.0ii121k-Y-Yy.0r21222k-Y-Yy.1g1

17、g2gk-Pg3即在第1個方程中被解釋變量為解釋變量全部為先決變量；在第2個方程中被解釋變量為Y,解釋變量中除了作為第1個方程被解釋變量的內生變量Y外，全部為先21決變量；第3個方程，依次類推。這類模型稱為遞歸系統模型。先決變量：外生變量與滯后內生變量統稱為先決變量。參數關系體系：簡化式參數與結構式參數之間的關系，稱為參數關系體系。6-2經濟現象是極為復雜的，其中諸因素之間的關系，在很多情況下，不是單一方程所能描述的那種簡單的單向因果關系，而是相互依存，互為因果的，這時，就必須用聯立的計量經濟學方程才能描述清楚。所以與單方程適用于單一經濟現象的研究相比，聯立方程模型適用于描述復雜的經濟現象，即

18、經濟系統。6-3對于聯立方程模型系統而言，將變量分為內生變量和外生變量兩大類，外生變量與滯后內生變量又被統稱為先決變量。內生變量是具有某種概率分布的隨機變量，它是由模型系統決定的，同時也對模型系統產生影響，內生變量一般都是經濟變量。外生變量一般是確定性變量，或者是具有臨界概率分布的隨機變量。外生變量影響系統，但本身不受系統的影響。外生變量一般是經濟變量、條件變量、政策變量、虛變量。6-4聯立方程模型中，結構式模型中的每一個方程都是結構方程，簡化式模型中每個方程稱為簡化式方程，結構方程的方程類型如下：行為方程技術方程隨機方程制度方程統計方程定義方程恒等方程平衡方程經驗方程其中，行為方程描述經濟系

19、統中變量之間的行為關系，主要是因果關系，例如用收入作為消費的解釋變量建立的方程；技術方程描述由技術決定的變量之間的關系，例如用總產值作為凈產值的解釋變量建立的方程；制度方程描述由制度決定的變量之間的關系，例如用進口總額作為關稅收入的解釋變量建立的方程；統計方程描述由數據之間的相關性決定的變量之間的關系，例如描述城鎮(zhèn)居民收入與農村居民收入之間關系的方程。定義方程是由經濟學或經濟統計學的定義決定的，例如國內生產總值等于第一、二、三產業(yè)增加值之和；平衡方程是由變量所代表的指標之間的平衡關系決定的，例如政府消費等于消費總額減去居民消費。經驗方程僅描述由經驗得到的數據之間的確定性關系，沒有什么實質性意義

20、。6-5聯立方程模型可以分為結構式模型和簡化式模型。根據經濟理論和行為規(guī)律建立的描述經濟變量之間直接關系結構的計量經濟學方程系統稱為結構式模型。結構式模型中的每一個方程都是結構方程，將一個內生變量表示為其它內生變量、先決變量和隨機誤差項的函數形式，被稱為結構方程的正規(guī)形式。將聯立方程模型的每個內生變量表示成所有先決變量和隨機誤差項的函數，即用所有先決變量作為每個內生變量的解釋變量，所形成的模型稱為簡化式模型。6-6聯立方程模型的識別狀況可以分為可識別和不可識別，可識別又分為恰好識別和過度識別。如果聯立方程模型中某個結構方程不具有確定的統計形式，則稱該方程為不可識別，或者根據參數關系體系，在已知

21、簡化式參數估計值時，如果不能得到聯立方程模型中某個結構方程的確定的結構參數估計值，稱該方程為不可識別。如果一個模型中的所有隨機方程都是可以識別的，則認為該聯立方程模型系統是可以識別的。反過來，如果一個模型系統中存在一個不可識別的隨機方程，則認為該聯立方程模型系統是不可以識別的。如果某一個隨機方程具有一組參數估計量，稱其為恰好識別；如果某一個隨機方程具有多組參數估計量，稱其為過度識別。6-7定義一：如果聯立方程模型中某個結構方程不具有確定的統計形式，則稱該方程為不可識別。定義二：如果聯立方程模型中某些方程的線性組合可以構成與某一個方程相同的統計形式，則稱該方程為不可識別。定義三：根據參數關系體系

22、，在已知簡化式參數估計值時，如果不能得到聯立方程模型中某個結構方程的確定的結構參數估計值，則稱該方程為不可識別。6-8.聯立方程計量經濟學模型的結構式Y+TX,中的第i個方程中包含g個內生變量i(含被解釋變量)和k個先決變量(含常數項)，模型系統中內生變量和先決變量的數i目用g和k表示，矩陣(Br)表示第i個方程中未包含的變量(包括內生變量和先決00變量)在其它g-1個方程中對應系數所組成的矩陣。于是，判斷第i個結構方程識別狀態(tài)的結構式條件為：如果r(Br)g-1，則第i個結構方程過度識別。ii其中符號R表示矩陣的秩。一般將該條件的前一部分稱為秩條件，用以判斷結構方程是否識別；后一部分稱為階條

23、件，用以判斷結構方程恰好識別或者過度識別。6-9.單方程估計方法有：狹義的工具變量法(IV)，間接最小二乘法(ILS),兩階段最小二乘法（2SLS）；系統估計方法有：三階段最小二乘法（3SLS）,完全信息最大或然法（FIML）。狹義的工具變量法（IV）和間接最小二乘法（ILS）只適用于恰好識別的結構方程的估計。兩階段最小二乘法（2SLS）、三階段最小二乘法（3SLS）、完全信息最大或然法（FIML）既適用于恰好識別的結構方程，又適用于過度識別的結構方程。工具變量法參數估計量，一般情況下，在小樣本下是有偏的，但在大樣本下是漸近無偏的。如果選取的工具變量與方程隨機誤差項完全不相關，那么其參數估計量

24、是無偏性估計量。對于間接最小二乘法，對簡化式模型應用普通最小二乘法得到的參數估計量具有線性、無偏性、有效性。通過參數關系體系計算得到結構方程的結構參數估計量在小樣本下是有偏的，在大樣本下是漸近無偏的。采用二階段最小二乘法得到結構方程的結構參數估計量在小樣本下是有偏的，在大樣本下是漸近無偏的。3SLS估計量的統計性質主要有:如果聯立方程模型系統中所有結構方程都是可以識別的，并且非奇異，則3SLS估計量是一致性估計量。為了保證非奇異，必須將模型系統中的恒等式排除在外，不參加估計過程。因為恒等式的隨機誤差項為0，將使矩陣中出現0行和0列，使之成為奇異矩陣。3SLS估計量比2SLS估計量更有效，但是這

25、是對大樣本而言。對于有限樣本情況下3SLS估計量和2SLS估計量的有效性比較，無法從數學上加以證明，可以通過MonteCarlo試驗進行統計上的說明。如果是對角矩陣，即模型系統中不同結構方程的隨機誤差項之間無相關性，那么可以證明3SLS估計量與2SLS估計量是等價的。在大樣本時，一般情況下，3SLS與FIML具有相同的漸近有效性。但是，在特殊情況下，例如，如果在開始估計之前已經知道方程系統隨機誤差項的方差、協方差信息，FIML就可以充分利用這些信息，因而比3SLS更有效。6-10第一，結構方程解釋變量中的內生解釋變量是隨機解釋變量，不能直接用OLS來估計；第二，損失變量信息問題：在估計聯立方程

26、系統中某一個隨機方程參數時，必須考慮沒有包含在該方程中的變量的數據信息；第三，聯立方程模型系統中每個隨機方程之間往往存在某種相關性，表現于不同方程隨機誤差項之間，如果采用單方程模型方法估計某一個方程，是不可能考慮這種相關性的，造成信息的損失。6-11內生變量：內生變量是具有某種概率分布的隨機變量，它的參數是聯立方程系統估計的元素，內生變量是由模型系統決定的，同時也對模型系統產生影響。內生變量一般都是經濟變量。一般情況下，內生變量Y滿足：Cov（Y，卩）,0ii即E（Y卩）,0ii因為Cov（Y,卩）=E（YE（Y）（卩E（卩）iiiiii=E（YE（Y）卩）iii=E（Y卩）E（Y）E（卩）i

27、iii=E（Y卩）ii外生變量：外生變量一般是確定性變量，或者是具有臨界概率分布的隨機變量，其參數不是模型系統研究的元素。外生變量影響系統，但本身不受系統的影響。外生變量一般是經濟變量、條件變量、政策變量、虛變量。外生變量X一般滿足：E(X)=0ii外生變量與滯后內生變量統稱為先決變量。6-12修改方程使得其余每一個方程中都包含至少1個該方程所未包含的變量，并且互不相同，那么所有方程的任意線性組合都不能構成與該方程相同的統計形式，則該方程變?yōu)榭梢宰R別的方程。6-13.狹義工具變量法用結構方程中未包含的先決變量X*作為Y的工具變量，用結構方程00中包含的先決變量X作為自己的工具變量;而間接最小二

28、乘法則將先決變量X按自0己的順序作為(Yo,“)的工具變量；二階段最小二乘法選取X的線性組合丫0二Xn0二X(X，X)-1XY0)作為結構方程中內生解釋變量Y的工具變量，選取X作為自己的工具變量。06-14.入_B入0二廠0IV入_B6-14.入_B入0二廠0IV入_B入0廠0ILS入B入0廠02SLS，(Y0)1X，Y1X”0“X)Y01X)Y01(1)(2)(3)可以看到，三種結果是用不同的工具變量方法估計得到的，區(qū)別僅在于工具變量選取不同。比較狹義工具變量法和間接最小二乘法的參數估計量(1)與(2)，它們選取了同樣一組變量X作為結構方程中解釋變量(Y0,X0)的工具變量，只是次序不同。狹

29、義工具變量法用結構方程中未包含的先決變量X*作為Y的工具變量，用結構方程中包含的先決00變量X作為自己的工具變量；而間接最小二乘法則將先決變量X按自己的順序作為0(Y,X)的工具變量，這就使得結構方程中包含的先決變量X也選擇了其它先決變量000作為工具變量，而不是自身，這兩種不同的選取只影響正規(guī)方程組中方程的次序，并不影響方程組的解。所以狹義工具變量法和間接最小二乘法的參數估計量是等價的。比較二階段最小二乘法和間接最小二乘法的參數估計量(3)與(2)。間接最小二乘法選取X作為結構方程中解釋變量(Y,X)的工具變量，二階段最小二乘法選取X的線性組合0011)Y0 xn0X(XX),1XY0)作為

30、結構方程中內生解釋變量Y的工具變量，選取0000X作為自己的工具變量。這樣使得關于二者參數估計量的正規(guī)方程組是不同的，分別0為Y00X0YY00X0Y0入_入o廠0ILSXYX)000入_B入o廠02SLS比較該兩個正規(guī)方程組發(fā)現，后者可以由前者經過初等線性變換得到。而根據代數知識，初等線性變換不影響方程組的解。所以二階段最小二乘法和間接最小二乘法的參數估計量是等價的。也可以對此進行嚴格證明。假設一入E一入E入o廠0ILS即入_B入o廠02SLSYX00?Cx=(xYX),YX00?Cx=(xYX),0(x，YX)心X)00YX)“00-If人兩邊同時右乘YX)，有00X)=X/Y00該式顯然

31、成立。所以兩種參數估計量是等價的的假設成立。結論是，對于恰好識別的結構方程，狹義工具變量法、間接最小二乘法和二階段最小二乘法三種方法是等價的。6-15三階段最小二乘法的步驟用兩階段最小二乘法估計結構方程YZ”-iiiiZYiXiiooo11)11)得到方程隨機誤差項的估計值0。i首先采用OLS估計結構方程中內生解釋變量的簡化式模型YiYi0得到Xni+ei0八Yi0八Yi0于是ZiXI,i0X(XX)-1XYi0Yi0Xi)0用Z替換(1)中的Zii進行2SLS的第二階段估計，得到用Z替換(1)中的Zii進行2SLS的第二階段估計，得到A的2SLS估計量iA(zZ)-1ZYiiii和Y的2SL

32、S估計量iYZAiii.( HYPERLINK l bookmark133入入Yyii1入入yi2yin)in計算殘差估計值為eieilei1i2-yilile)in求S的估計量丈根據計算公式計算得到：丈(6)ijeeTOC o 1-5 h zcIjj(n-g+1-k)(n-g+1-k) HYPERLINK l bookmark149iijj丈I對方程系統 HYPERLINK l bookmark153YZA+N(2)其中Y_Y1Y2Yiyi1yi2Yygin應用廣義最小二乘法，得到結構參數A的3SLS估計量A為:XX=(Zn-1Z)-1Zg-y=(Z(,I)-iZ)-iZ(,I)-iy至此，

33、完成了三階段最小二乘法估計，同時得到所有方程的結構參數估計量。3SLS估計量比2SLS估計量更有效。3SLS方法主要優(yōu)點是考慮了模型系統中不同結構方程的隨機誤差項之間的相關性。將3SLS估計量和2SLS估計量的分布進行比較，并根據Gauss-Markov定理，即可清楚看到這點。但是這是對大樣本而言。對于有限樣本情況下3SLS估計量和2SLS估計量的有效性比較，無法從數學上加以證明，可以通過MonteCarlo試驗進行統計上的說明。6-16聯立方程計量經濟學模型的估計方法分為兩大類：單方程估計方法與系統估計方法。所謂單方程估計方法，指每次只估計模型系統中的一個方程，依次逐個估計。單方程估計方法主

34、要解決的是聯立方程模型系統中每一個方程中的隨機解釋變量問題，同時盡可能地利用單個方程中沒有包含的、而在模型系統中包含的變量樣本觀測值的信息，沒有考慮模型系統方程之間的相關性對單個方程參數估計量的影響。所謂系統估計方法，指同時對全部方程進行估計，同時得到所有方程的參數估計量，利用了模型系統的全部信息。顯然，從模型估計的性質來講，系統估計方法必然優(yōu)于單方程方法，但從方法的復雜性來講，單方程方法又優(yōu)于系統估計方法。6-17一個完備的結構式模型可以寫成：BY+rx二N或YY(Br)=NXX=XX=其中Y=Y)1Y2X=X)1X2NN)1N2:Y丿X丿n丿gkg用n表示樣本容量，則Y)yyy11112I

35、nYyyyY=221222nY丿yyygg1g2gnX)xxx1“11121nXxxx2“21222nX丿xxxkk1k2kn,Npp111121nNpp221222nN丿ppgg1,Npp111121nNpp221222nN丿ppgg1g2gn參數矩陣為：rp11p21P12P22p1gp2gpgiPg2pgg11121k21222kk1k2kk(B)為結構參數矩陣。6-18簡化式模型的矩陣形式為Y=”X+其中(1)-11121k-21222k-g1g2gk11121n21222ng1g2gn”表示簡化式參數矩陣。將結構式模型by+rx=n作如下變換:BY=-rX+NY=-B-iX+B-1N

36、與(1)比較，可以得到：TOC o 1-5 h z”二-B-i該式描述了簡化式參數與結構式參數之間的關系，稱為參數關系體系。6-19(1)將題中結構式模型進行變量連續(xù)替代后得到-p+pC二一-p+pC二一01-1-2-t1-p11卩+卩一p卩1-p1112Y+1G+1-pt-i1-pt1111BB+BBBp一+BI01001,2Y,1G,2t121t1p1pt11pt1p11111111p,00-p,00-1p11p21p111Y，t11p11G+tTp11例如兀21例如兀21pppp21pp,12p表示Y對I的影響，即Y增加11p21pt1tt11111個單位時對11的影響。這種影響被分成兩

37、部分，其中前-項卩2正是結構式方程中反映Y對Y對I的直接影響的參數,t1t項反映Y對I的間接影響。t1t3)結構參數矩陣為：10(Br)=10(Br)=0111-p1-p00p20模型系統中內生變量的數目為g=3,先決變量的數目為k=3。首先判斷第1個結構方程的識別狀態(tài)。對于第1個方程，有IbrL00R(Br)2g100又因為有：k一k2g一111所以，第1個結構方程為過度識別的結構方程再看第2個結構方程，有brL0010brL00一1一1R(Br)2g一100所以，該方程可以識別。并且k一k1g一122所以，第2個結構方程為恰好識別的結構方程。第3個方程是平衡方程，不存在識別問題。綜合以上結

38、果，該聯立方程模型是可以識別的。6-20間接最小二乘法只適用于恰好識別的結構方程的參數估計，因為只有恰好識別的結構方程，才能從參數關系體系中得到唯一一組結構參數的估計量。6-21.對于聯立方程模型BY+rX11(B的第1個結構方程Y(Y,X)+N(1)100,1丿10由于內生解釋變量Y是隨機變量，不能直接采用普通最小二乘法。但是對于Y的簡化00式方程，即簡化式模型YX+E000中的每個方程，不存在隨機解釋變量問題，可以直接采用普通最小二乘法估計其參數，并得到關于Y的估計值：0y0 xnox（xX）-ixY0）這就是二階段最小二乘法的第一階段，即對簡化式方程第一次使用普通最小二乘法用丫0的估計量

39、Yo替換中的Yo，得到新的方程Y1(Y1(Yo,Xo)(B0丿0+N111B”入010B”入010CX)CXACX)1116-22Cov(N)I21I122R222I1gI2gIIg1g22Rggg顯然，該方程中不存在隨機解釋變量問題，可以直接采用普通最小二乘法估計其參數得到：oo2SLS這就是二階段最小二乘法的第二階段，即對變換了的結構式方程使用普通最小二乘法得到的參數估計量即為原結構方程參數的二階段最小二乘估計量。1111Pn-1jj=1,2.gPn-2jj=1,2.g“Pn-1Pn-2jj其中g為內生變量數目，n為每個結構方程樣本數目。6-23（1）將方程寫成標準形式：y22y3+0+1

40、x1+3x3+u233TOC o 1-5 h z-VVf乙yx，乙(y+x+x)x2i2i23i011i33i2ii，1i，1iLy，工(y+x+x)2i23i011i33ii，1i，1Lnnnyx，(y+x+x)x2i1i23i011i33i1ii，1i，1/八八八,厶yx，厶(y+x2i3i23i011ii，1i，1（2）用（2）用ILS方法估計方程參數，用（C,xi，x2，x）依次作為（y3，C，x，x）133333的工具變量參數估計量的矩陣表達式為2013，(t2013，(tx)-1lc3xx12x3Ty2其中xjxj1xj2j=1，2，3yj1yj2j=2，3xjnxjnyjn3）用

41、2SLS方法估計方程參數，y3）用2SLS方法估計方程參數，y3的工具變量為C，x1，X2，亠的線性組合33333,X(XTx)-1xry3)其中X=Cx1x2x3參數估計量的矩陣表達式為6-242016-24201，(ycx31xxJ)-Uy133x3Ty2（1）內生變量為M,tY；外生變量為P和常數項;tt先決變量為P和常數項。t33332）簡化式模型為a+aMo10+t1，a11a2P+(t1，a11la11u+1ta11，a11u)2tY卩+a卩Yoo1+_一t1，a1，a1111a21P+(1Ut1，a1t11+1，allu2t結構式參數與簡化式參數之間的關系體系為a+a010101

42、，a11+a HYPERLINK l bookmark2001201，a11a2111，a11a21211，a113）用結構式條件確定模型的識別狀態(tài)；結構參數矩陣為：一a一a一a1021-00，1模型系統中內生變量的數目為g=2,先決變量的數目為k=2（包括常數項）。首先判斷第1個結構方程的識別狀態(tài)。對于第1個方程，有r（Br）0g100所以，第1個結構方程為不可識別的結構方程再看第2個結構方程，有br，a002R（Br）1g100所以，該方程可以識別。并且k-k1g-122所以，第2個結構方程為恰好識別的結構方程綜合以上結果，該聯立方程模型是不可識別的。（4）第一個結構方程包含了第二個結構方

43、程所未包含的變量P，這使得這兩個方程t的任意線性組合都不能構成與第二個方程相同的統計形式，所以第二個方程是可以識別的；而第二個結構方程沒有包含第一個方程中所未包含的變量，這使得這兩個方程的某些線性組合能構成與第一個方程相同的統計形式，導致第一個方程不可識別。例如，將兩個方程相加并整理，得到：Mta+a，1a104+1Y+2P+(u+U)1，1，t1，t1，1t2t1111這與方程一有相同的統計形式。當我們收集了M、tY和P的樣本觀測值進行參數估tt計后，很難判斷得到的是第一個方程的參數估計量還是新組合方程的參數估計量。（5）為了使模型可以識別，需要第二個方程包含一個第一個方程所未包含的變量，所

44、以引入滯后一期的國內生產總值Y，模型變?yōu)閠1M，a+aY+aP+ut01t2t1tY，+M+Y+ut01t2t12t可以判別，此時兩個結構方程都是恰好識別的，這樣模型是可以識別的。（6）如前所述，第一個方程式不可識別的，第二個方程是恰好識別的，所以可以用以上三種方法來估計第二個方程。6-25下面為一個包含3個方程的中國宏觀經濟模型。此模型包含3個內生變量：國內生產總值Y、居民消費總額C和投資總額I；3個先決變量：政府消費（將凈出口也包含其中，為了實現數據的平衡）G、前期居民消費總額C和常數項。完備的結構式模型為：t1C，a+aY+aC+pt01t2t1ItI=+卩Y+pt=1978,1979,

45、.,2002t01t2tY，I+C+Gtttt樣本觀測值見表1,數據來自中國統計年鑒。表1中國宏觀經濟數據單位：億元年份YCIG19783605.61759.11377.9468.6197940742005.41474.2594.419804551.32317.11590644.219814901.42604.11581716.319825489.22867.91760.2861.119836076.33182.52005888.819847164.43674.52468.61021.319858792.145893386817.1198610132.8517538461111.8198711

46、784.75961.243221501.51988147047633.154951575.91989164668523.560951847.5199018319.59113.264442762.3199121280.410315.975173447.5199225863.712459.896363767.9199334500.715682.4149983820.3199446690.720809.819260.66620.31995199619971998199920002001200258510.526944.52387768330.474894.279003.382673.189340.9

47、98592.9107514.232152.334854.636921.139334.442895.645898.148534.526867.21995199619971998199920002001200258510.526944.52387768330.474894.279003.382673.189340.998592.9107514.232152.334854.636921.139334.442895.645898.148534.526867.228457.629545.930701.632499.837460.842355.476899310.91158212536.312637.11

48、3945.515234.016624.3一、模型的識別結構參數矩陣為：1010=01-1-11-卩11aa002P000001首先判斷第1個結構方程的識別狀態(tài)。對于第1個方程，有bL00bL00R(B)=2=g100所以，該方程可以識別。又因為有：kk=1=g111所以，第1個結構方程為恰好識別的結構方程再看第2個結構方程，有kJ1-a2000-10-1R(Bg一122所以，第2個結構方程為過度識別的結構方程。第3個方程是平衡方程，不存在識別問題。綜合以上結果，該聯立方程模型是可以識別的。二、模型的估計1.用狹義的工具變量法估計消費方程選取消費方程中未包含的先決變量G作為內生解釋變量Y的工具變

49、量，得到結構參數的工具變量法估計量：&582.36620oc0.2747251oc0.4324272C582.3662+0.274725Y+0.432427Cttt12用間接最小二乘法估計消費方程消費方程中包含的內生變量的簡化式方程為：fC=兀+兀C+兀G+t1011t-112t1tY=兀+兀C+兀G+Jt2021t-122t2t參數關系體系為：兀，o兀-a0111212兀一aa兀0100120兀，a兀012122用普通最小二乘法估計簡化式方程，得到簡化式參數估計量為ic1135.352ic2012.8721020ic0.620442ic0.6843751121ic121.238064ic224.506562由參數關系體系計算得到結構參數間接最小二乘估計值為：a71Ti0.27472511222aiai0.432427TOC o 1-5 h z211