人教A版高中數(shù)學(xué)必修5同步數(shù)列2課件

1、2.2等 差 數(shù) 列第1課時等 差 數(shù) 列2.2等 差 數(shù) 列人教A版高中數(shù)學(xué)必修5同步數(shù)列2課件1.等差數(shù)列的定義(1)條件:從第2項起.每一項與前一項的差等于同一個常數(shù).(2)結(jié)論:這個數(shù)列是等差數(shù)列.(3)相關(guān)概念:常數(shù)叫做數(shù)列的公差,常用d表示.1.等差數(shù)列的定義【思考】(1)為什么強調(diào)“從第2項起”?提示:第1項前面沒有項,無法與后續(xù)條件中“與前一項的差”相吻合;定義中包括首項這一基本量,且必須從第2項起保證使數(shù)列中各項均與其前面一項作差.【思考】(2)如何理解“每一項與前一項的差”?提示:它的含義也有兩個:其一是強調(diào)作差的順序,即后面的項減前面的項;其二是強調(diào)這兩項必須相鄰.(2)

2、如何理解“每一項與前一項的差”?2.等差中項(1)前提:三個數(shù)a,A,b成等差數(shù)列.(2)結(jié)論:A叫做a,b的等差中項.(3)滿足的關(guān)系式:2A=a+b.人教A版高中數(shù)學(xué)必修5同步數(shù)列2人教A版高中數(shù)學(xué)必修5同步數(shù)列22.等差中項人教A版高中數(shù)學(xué)必修5同步數(shù)列2人教A版高中數(shù)學(xué)【思考】等式“2A=a+b”有哪些等價形式?提示:2A=a+bA-a=b-AA= .人教A版高中數(shù)學(xué)必修5同步數(shù)列2人教A版高中數(shù)學(xué)必修5同步數(shù)列2【思考】人教A版高中數(shù)學(xué)必修5同步數(shù)列2人教A版高中數(shù)學(xué)必修3.等差數(shù)列的通項公式遞推公式通項公式an+1-an=d(nN*)an=a1+(n-1)d(nN*)人教A版高中數(shù)

3、學(xué)必修5同步數(shù)列2人教A版高中數(shù)學(xué)必修5同步數(shù)列23.等差數(shù)列的通項公式遞推公式通項公式an+1-an=d(n【素養(yǎng)小測】1.思維辨析(對的打“”,錯的打“”)(1)若一個數(shù)列每一項與前一項的差是一個常數(shù),則該數(shù)列是等差數(shù)列.()(2)常數(shù)列也是等差數(shù)列.()人教A版高中數(shù)學(xué)必修5同步數(shù)列2人教A版高中數(shù)學(xué)必修5同步數(shù)列2【素養(yǎng)小測】人教A版高中數(shù)學(xué)必修5同步數(shù)列2人教A版高中數(shù)學(xué)(3)根據(jù)等差數(shù)列的通項公式,可以求出數(shù)列中的任意一項.()(4)若三個數(shù)a,b,c滿足2b=a+c,則a,b,c一定是等差數(shù)列.()人教A版高中數(shù)學(xué)必修5同步數(shù)列2人教A版高中數(shù)學(xué)必修5同步數(shù)列2(3)根據(jù)等差數(shù)列

4、的通項公式,可以求出數(shù)列中的任意一項.(提示:(1).如數(shù)列2,7,9,1.雖然7-2=5,9-7=2,1-9=-8,每一項與前一項的差都是常數(shù),但不是同一個常數(shù),故不是等差數(shù)列.(2).因為從第2項起每一項與前一項的差是同一個常數(shù)0.人教A版高中數(shù)學(xué)必修5同步數(shù)列2人教A版高中數(shù)學(xué)必修5同步數(shù)列2提示:(1).如數(shù)列2,7,9,1.雖然7-2=5,9-7(3).只需將項數(shù)n代入即可求出數(shù)列中的任意一項.(4).若a,b,c滿足2b=a+c,即b-a=c-b,故a,b,c為等差數(shù)列.人教A版高中數(shù)學(xué)必修5同步數(shù)列2人教A版高中數(shù)學(xué)必修5同步數(shù)列2(3).只需將項數(shù)n代入即可求出數(shù)列中的任意一項

5、.人教A版2.下列數(shù)列是等差數(shù)列的是()A. B.1, C.1,-1,1,-1D.0,0,0,0人教A版高中數(shù)學(xué)必修5同步數(shù)列2人教A版高中數(shù)學(xué)必修5同步數(shù)列22.下列數(shù)列是等差數(shù)列的是()【解析】選D.因為 - - ,故排除A;因為 -1 - ,故排除B;因為-1-11-(-1),故排除C.人教A版高中數(shù)學(xué)必修5同步數(shù)列2人教A版高中數(shù)學(xué)必修5同步數(shù)列2【解析】選D.因為 - - ,故排除A;3.已知等差數(shù)列an的首項a1=2,公差d=3,則數(shù)列an的通項公式為()A.an=3n-1B.an=2n+1C.an=2n+3D.an=3n+2【解析】選A.an=a1+(n-1)d=2+(n-1)3

6、=3n-1.3.已知等差數(shù)列an的首項a1=2,公差d=3,則數(shù)列4. +1與 -1的等差中項是()A.1B.-1C. D.14. +1與 -1的等差中項是()【解析】選C.設(shè)等差中項為x,由等差中項的定義知x= .【解析】選C.設(shè)等差中項為x,由等差中項的定義知類型一等差數(shù)列的定義及應(yīng)用【典例】1.(2019遂寧高一檢測)已知數(shù)列an滿足an+1-an=2,nN*,且a3=3,則a1=_.類型一等差數(shù)列的定義及應(yīng)用2.已知數(shù)列an滿足a1=2,an+1= (nN*),bn= (nN*).求證:數(shù)列bn是等差數(shù)列,并求出首項和公差.2.已知數(shù)列an滿足a1=2,an+1= (n【思維引】1.由

7、an和an+1的關(guān)系判斷數(shù)列an是等差數(shù)列及其公差,由第三項求第一項;【思維引】1.由an和an+1的關(guān)系判斷數(shù)列an是等差2.根據(jù)要證結(jié)論,方法一:將已知等式變?yōu)?=某常數(shù)的形式,方法二:bn+1-bn是常數(shù).2.根據(jù)要證結(jié)論,方法一:將已知等式變?yōu)?【解析】1.因為an+1-an=2,nN*,所以數(shù)列an是等差數(shù)列,其公差為2,因為a3=a1+22=3,所以a1=-1.答案:-1【解析】1.因為an+1-an=2,nN*,2.方法一:因為 所以 = +3,所以 - =3,又因為bn= (nN*),所以bn+1-bn=3(nN*),且b1= = .所以數(shù)列bn是等差數(shù)列,首項為 ,公差為3.

8、2.方法一:因為 方法二:因為bn= ,且an+1= 所以bn+1= = = +3=bn+3,所以bn+1-bn=3(nN*),b1= = .所以數(shù)列bn是等差數(shù)列,首項為 ,公差為3.方法二:因為bn= ,且an+1= 【素養(yǎng)探】在與等差數(shù)列定義有關(guān)的問題中,經(jīng)常利用核心素養(yǎng)中的數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理,通過研究一個數(shù)列中任意相鄰兩項an+1與an(nN*)的關(guān)系,判定該數(shù)列是否為等差數(shù)列,培養(yǎng)學(xué)生推理、論證的能力.【素養(yǎng)探】將本例2的條件“a1=2,an+1= ”改為“a1= ,anan-1=an-1-an(n2)”,其他條件不變,如何解答?將本例2的條件“a1=2,an+1= ”改為“a1【解

9、析】因為anan-1=an-1-an(n2),所以 =1.(n2)又因為bn= ,所以bn+1-bn=1(nN*)且b1= =2.所以數(shù)列bn是等差數(shù)列,其首項為2,公差為1.【解析】因為anan-1=an-1-an(n2),【類題通】定義法判定數(shù)列an是等差數(shù)列的步驟:(1)作差an+1-an;(2)對差式進(jìn)行變形;(3)當(dāng)an+1-an是一個與n無關(guān)的常數(shù)時,數(shù)列an是等差數(shù)列;當(dāng)an+1-an不是常數(shù),是與n有關(guān)的代數(shù)式時,數(shù)列an不是等差數(shù)列.【類題通】【習(xí)練破】若數(shù)列an的通項公式為an=10+lg2n(nN*),求證:數(shù)列an為等差數(shù)列.【習(xí)練破】【證明】因為an=10+lg2n=

10、10+nlg2,所以an+1=10+(n+1)lg2.所以an+1-an=10+(n+1)lg2-(10+nlg2)=lg2(nN*).所以數(shù)列an為等差數(shù)列.【證明】因為an=10+lg2n=10+nlg2,【加練固】1.以下選項中構(gòu)不成等差數(shù)列的是()A.2,2,2,2B.3m,3m+a,3m+2a,3m+3aC.cos 0,cos 1,cos 2,cos 3D.a-1,a+1,a+3【加練固】【解析】選C.選項A是公差為0的等差數(shù)列;選項B是公差為a的等差數(shù)列;選項D是公差為2的等差數(shù)列.【解析】選C.選項A是公差為0的等差數(shù)列;選項B是公差為a的2.判斷下列數(shù)列是否為等差數(shù)列.(1)a

11、n=3n+2.(2)an=n2+n.2.判斷下列數(shù)列是否為等差數(shù)列.【解析】(1)an+1-an=3(n+1)+2-(3n+2)=3(常數(shù)),n為任意正整數(shù),所以此數(shù)列為等差數(shù)列.(2)因為an+1-an=(n+1)2+(n+1)-(n2+n)=2n+2 (不是常數(shù)),所以此數(shù)列不是等差數(shù)列.【解析】(1)an+1-an=3(n+1)+2-(3n+2)類型二等差中項的應(yīng)用【典例】1.已知a= ,b= ,則a,b的等差中項為()A. B. C. D. 類型二等差中項的應(yīng)用2.an是等差數(shù)列,a1與a2的等差中項為1,a2與a3的等差中項為2,則公差d=()A.2B. C.1D. 2.an是等差數(shù)

12、列,a1與a2的等差中項為1,a2與a33.已知 , , 成等差數(shù)列,證明 , , 成等差數(shù)列.世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號3.已知 , , 成等差數(shù)列,證明 , ,【思維引】1.a,b的等差中項為 (a+b).【思維引】1.a,b的等差中項為 (a+b).2.根據(jù)等差中項的定義列出兩個等量關(guān)系,兩式相減即可求出公差.3.由于所求證的是三個數(shù)成等差數(shù)列,所以可用等差中項來證明.2.根據(jù)等差中項的定義列出兩個等量關(guān)系,兩式相減即可求出公差【解析】1.選A.a,b的等差中項為 = = .【解析】1.選A.a,b的等差中項為 2.選C.因為an是等差數(shù)列,a1與a2的等差中項為1,a2,a3的等差中項為2,所以a

13、1+a2=2,a2+a3=4,兩式相減得a3-a1=2d=4-2,解得d=1.2.選C.因為an是等差數(shù)列,a1與a2的等差中項為1,3.因為 成等差數(shù)列,所以 化簡得2ac=b(a+c),又 = = = = = =2 ,所以 , , 成等差數(shù)列.3.因為 成等差數(shù)列,【內(nèi)化悟】三數(shù)a,b,c成等差數(shù)列的條件是什么?可用來解決什么問題?提示:條件是b= (或2b=a+c),可用來解決等差數(shù)列的判定或有關(guān)等差中項的計算問題.【內(nèi)化悟】【類題通】1.等差中項的應(yīng)用策略(1)涉及等差數(shù)列中相鄰三項問題可用等差中項求解.【類題通】(2)在一個等差數(shù)列中,從第2項起,每一項(有窮數(shù)列的末項除外)都是它的

14、前一項與后一項的等差中項,即2an=an-1+an+1;實際上,等差數(shù)列中的某一項是與其等距離的前后兩項的等差中項,即2an=an-m+an+m(m,nN*,mn).(2)在一個等差數(shù)列中,從第2項起,每一項(有窮數(shù)列的2.等差中項法判定等差數(shù)列若數(shù)列an滿足2an=an-1+an+1(n2),則可判定數(shù)列an是等差數(shù)列.2.等差中項法判定等差數(shù)列【習(xí)練破】1.一個等差數(shù)列的前4項是a,x,b,2x,則 等于()A. B. C. D. 【習(xí)練破】【解析】選C. 所以a= ,b= x.所以 .【解析】選C. 所以a= ,b= x.2.已知 成等差數(shù)列,試證:a2,b2,c2也成等差數(shù)列.2.已知

15、 成等差數(shù)列,試證:a2,b【證明】由已知 成等差數(shù)列,可得 ,所以 ,所以(2b+a+c)(c+a)=2(b+c)(a+b),所以a2+c2=2b2,所以a2,b2,c2也成等差數(shù)列.【證明】由已知 成等差數(shù)列,【加練固】已知b是a,c的等差中項,且lg(a+1),lg(b-1),lg(c-1)成等差數(shù)列,同時a+b+c=15,求a,b,c的值.【加練固】【解析】因為2b=a+c,a+b+c=15,所以3b=15,b=5.設(shè)等差數(shù)列a,b,c的公差為d,則a=5-d,c=5+d.由2lg(b-1)=lg(a+1)+lg(c-1)知:2lg4=lg(6-d)+lg(4+d).從而16=(6-d

16、)(4+d),即d2-2d-8=0.所以d=4或d=-2.所以a,b,c三個數(shù)分別為1,5,9或7,5,3.【解析】因為2b=a+c,a+b+c=15,所以3b=15,類型三等差數(shù)列的通項公式及應(yīng)用【典例】1.有窮等差數(shù)列5,8,11,3n+11(nN*)的項數(shù)是()A.nB.3n+11C.n+4D.n+3類型三等差數(shù)列的通項公式及應(yīng)用2.已知數(shù)列an中,a1=2,a2=1,又?jǐn)?shù)列 為等差數(shù)列,則an=_.2.已知數(shù)列an中,a1=2,a2=1,又?jǐn)?shù)列 3.(2019長春高一檢測)等差數(shù)列an中,已知a3=10,a12=31.(1)求a1,d及通項公式an;(2)45和85是不是該數(shù)列中的項?

17、若不是,說明原因;若是,是第幾項?世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號3.(2019長春高一檢測)等差數(shù)列an中,已知a3=【思維引】1.方法一:設(shè)此等差數(shù)列有x項,利用等差數(shù)列的通項公式推出x與n的關(guān)系.方法二:由31+11=14,32+11=17,3n+11判斷該等差數(shù)列有多少項.【思維引】1.方法一:設(shè)此等差數(shù)列有x項,利用等差數(shù)列的通2.先求 ,再求an.3.(1)由已知列關(guān)于首項與公差的方程組,求解可得首項與公差,則通項公式可求;(2)分別把45和85代入等差數(shù)列的通項公式,即可得到45是第18項,85不是數(shù)列中的項.2.先求 ,再求an.【解析】1.選D.方法一:設(shè)此等差數(shù)列有x項,則3n+11=5+(

18、x-1)3,所以x = n+3.方法一:在3n+11中令n=1,結(jié)果為14,它是這個數(shù)列的第4項,前面還有5,8,11三項,故這個數(shù)列的項數(shù)為n+3.【解析】1.選D.方法一:設(shè)此等差數(shù)列有x項,則3n+11=2.因為數(shù)列an中,a1=2,a2=1,所以 , = ,又?jǐn)?shù)列 為等差數(shù)列,所以其公差d= ,所以 = +(n-1)d= (n-1)= ,所以an= .答案: 2.因為數(shù)列an中,a1=2,a2=1,所以 3.(1)在等差數(shù)列an中,由a3=10,a12=31,得 解得 所以an= + (n-1)= n+3.3.(1)在等差數(shù)列an中,由a3=10,a12=31,(2)由an= n+3=

19、45,解得n=18,故45是第18項;由an= n+3=85,得n= N*,故85不是數(shù)列中的項.(2)由an= n+3=45,解得n=18,故45是第18【內(nèi)化悟】構(gòu)成等差數(shù)列的基本量是什么?解答等差數(shù)列計算問題的常規(guī)方法是什么?提示:基本量是a1和d,根據(jù)已知條件列出關(guān)于a1和d的方程組,求出a1和d,進(jìn)而求出通項公式an=a1+(n-1)d.【內(nèi)化悟】【類題通】等差數(shù)列通項公式的四個主要應(yīng)用(1)已知an,a1,n,d中的任意三個量,求出第四個量.(2)由等差數(shù)列的通項公式可以求出該數(shù)列中的任意項,也可以判斷某一個數(shù)是不是該數(shù)列中的項.【類題通】(3)根據(jù)等差數(shù)列的兩個已知條件建立關(guān)于“基本量”a1和d的方程組,求出a1和d,從而確定通項公式,求得所需求的項.(4)若數(shù)列an的通項公式是關(guān)于n的一次函數(shù)或常數(shù)函數(shù),則可判斷數(shù)列an是等差數(shù)列.(3)根據(jù)等差數(shù)列的兩個已知條件建立關(guān)于“基本量”a1和d的【習(xí)練破】1.等差數(shù)列1,-1,-3,-89的項數(shù)是_.【習(xí)練破】【解析】由等差數(shù)列的通項公式an=a1+(n-1)d,可知-89=1+(n-1)(-2