專題20＋空間幾何體的表面積和體積解題方法（文）

1、PAGE16專題20空間幾何體的表面積和體積解題方法一【學(xué)習(xí)目標】1認識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，掌握柱、錐的簡單幾何體性質(zhì)2了解空間圖形的兩種不同表示形式三視圖和直觀圖，了解三視圖、直觀圖與它們所表示的立體模型之間的內(nèi)在聯(lián)系3能畫出簡單空間圖形及實物的三視圖與直觀圖，能識別三視圖所表示的立體模型，會用斜二測畫法畫出它們的直觀圖4會用平行投影與中心投影兩種方法畫出簡單空間圖形的三視圖與直觀圖二【知識要點】1三視圖空間幾何體的三視圖由平行投影得到，這種投影下，與投影面平行的平面圖形留下的影子，與平面圖形的形狀和大小是全等和相等的，三視圖包括正視、側(cè)視、俯視2空間幾何體的直觀圖空間幾

2、何體的直觀圖常用斜二測畫法來畫，基本步驟是：1畫幾何體的底面在已知圖形中取互相垂直的軸、y軸，兩軸相交于點O，畫直觀圖時，把它們畫成對應(yīng)的軸、y軸，兩軸相交于點O，且使Oy45，已知圖形中平行于軸、y軸的線段在直觀圖中平行于軸、y軸；已知圖形中平行于軸的線段，在直觀圖中長度不變，平行于y軸的線段，長度變?yōu)樵瓉淼囊话?有關(guān)斜二測畫法的常用結(jié)論與方法1用斜二測畫法畫出的平面圖形的直觀圖的面積S與原平面圖形的面積S之間的關(guān)系是Seqfr2,4S2對于圖形中與軸、y軸、軸都不平行的線段，可通過確定端點的辦法來解決，即過端點作坐標軸的平行線段，再借助所作的平行線段確定端點在直觀圖中的位置4有關(guān)三視圖的基

3、本規(guī)律1三視圖的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖分別是從幾何體的正前方、正左方、正上方觀察幾何體畫出的輪廓線畫三視圖的基本要求是：正俯一樣長，俯側(cè)一樣寬，正側(cè)一樣高2由三視圖想象幾何體特征時要根據(jù)“長對正、寬相等、高平齊”的基本原則5特殊多面體的結(jié)構(gòu)特征1直棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱特別地，當(dāng)?shù)酌媸钦噙呅螘r，叫正棱柱如正三棱柱，正四棱柱2正棱錐：指的是底面是正多邊形，且頂點在底面的射影是底面中心的棱錐特別地，各條棱均相等的正三棱錐又叫正四面體3平行六面體：指的是底面為平行四邊形的四棱柱三高考題型典例及訓(xùn)練（一）空間幾何體例1如圖，透明塑料制成的長方體ABCDA1B1C1D1內(nèi)灌進一些水，固定容器底面一

4、邊BC于水平地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜度不同，有下面五個命題：有水的部分始終呈棱柱形；沒有水的部分始終呈棱柱形；水面EFGH所在四邊形的面積為定值；棱A1D1始終與水面所在平面平行；當(dāng)容器傾斜如圖3所示時，BEBF是定值其中所有正確命題的序號是_故填練習(xí)1在棱長為1的正方體中，為線段的中點，是棱上的動點，若點為線段上的動點，則的最小值為_【答案】【解析】作出關(guān)于直線的對稱點，利用三點共線和點到直線的距離，求得的最小值【詳解】作出關(guān)于直線的對稱點，過作的垂線，交于，交與，過作，交于，連接畫出圖像如下圖所示，由于，故為最短的距離在三角形中，設(shè)，則，而，故，所以，所以【點睛】本小題主要考查空間兩

5、條線段距離之和的最小值問題的求解策略，要有一定的空間想象能力，屬于中檔題練習(xí)2如圖所示，在四面體VABC木塊中，），則該幾何體的體積是_cm3，表面積是_cm2【答案】3；【解析】由題意，直觀圖為以正視圖為底面的直三棱柱，由圖中數(shù)據(jù)可得該幾何體的體積，表面積【詳解】由題意，直觀圖為以正視圖為底面的直三棱柱，由圖中數(shù)據(jù)可得該幾何體的體積是，表面積是（221）1211cm2故答案為：3，11練習(xí)1如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積為_【答案】【解析】首先還原幾何體，然后計算表面積【詳解】由三視圖得到幾何體如圖：是正方體的一部分，四棱錐P-ABCD，

6、所以幾何體的表面積為故答案為：練習(xí)2如圖是一個空間幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積是_【答案】【點睛】思考三視圖還原空間幾何體首先應(yīng)深刻理解三視圖之間的關(guān)系，遵循“長對正，高平齊，寬相等”的基本原則，其內(nèi)涵為正視圖的高是幾何體的高，長是幾何體的長；俯視圖的長是幾何體的長，寬是幾何體的寬；側(cè)視圖的高是幾何體的高，寬是幾何體的寬由三視圖畫出直觀圖的步驟和思考方法：1、首先看俯視圖，根據(jù)俯視圖畫出幾何體地面的直觀圖；2、觀察正視圖和側(cè)視圖找到幾何體前、后、左、右的高度；3、畫出整體，然后再根據(jù)三視圖進行調(diào)整（七）柱、錐、臺的體積例7由一個長方體和兩個圓柱體構(gòu)成的幾何體的三視圖如圖，則該幾何體的體積

7、為_【答案】【解析】根據(jù)幾何體的三視圖，可得原幾何體表示兩端為個圓柱，中間為一個長方體，分別利用圓柱和長方體的體積公式，即可求解【詳解】根據(jù)幾何體的三視圖，可得原幾何體表示兩端為個圓柱，中間為一個長方體，由長方體長為2，寬為1，高為1，則長方體的體積，圓柱的底面半徑為1，高為1，則圓柱體的體積，則該幾何體的體積【點睛】本題考查了幾何體的三視圖及組合體的表面積的計算，在由三視圖還原為空間幾何體的實際形狀時，要根據(jù)三視圖的規(guī)則，空間幾何體的可見輪廓線在三視圖中為實線，不可見輪廓線在三視圖中為虛線求解以三視圖為載體的空間幾何體的表面積與體積的關(guān)鍵是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關(guān)系和

8、數(shù)量關(guān)系，利用相應(yīng)體積公式求解練習(xí)1四棱錐的三視圖如圖所示（單位：），則該四棱錐的體積是_【答案】12【解析】首先還原幾何體，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)計算幾何體體積【詳解】由三視圖得到幾何體如圖：體積為12；故答案為：12【點睛】由三視圖畫出直觀圖的步驟和思考方法：1、首先看俯視圖，根據(jù)俯視圖畫出幾何體地面的直觀圖；2、觀察正視圖和側(cè)視圖找到幾何體前、后、左、右的高度；3、畫出整體，然后再根據(jù)三視圖進行調(diào)整練習(xí)2如圖，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，線段B1D1上有兩個動點E、F，且EF，則下列結(jié)論中正確的序號是_ACBEEF平面ABCDAEF的面積與BEF的面積相等三棱錐ABEF的體積為定值【

9、答案】【解析】利用線面垂直的性質(zhì)判斷正確，利用線面平行的判定定理判斷正確，利用同底不同高判斷錯誤，利用等底等高證明正確【詳解】由于，故平面，所以，所以正確由于，所以平面，故正確由于三角形和三角形的底邊都是，而高前者是到的距離，后者是到的距離，這兩個距離不相等，故錯誤由于三棱錐的底面三角形的面積為定值高是點到平面也即點到平面的距離也是定值，故三棱錐的體積為定值故正確綜上所述，正確的時【點睛】本小題主要考查空間兩條直線垂直關(guān)系的判斷，考查空間線面平行的判斷，考查平面圖形的面積和空間立體圖形的體積的判斷，屬于基礎(chǔ)題（八）組合體的表面積例8如圖,用一邊長為的正方形硬紙，按各邊中點垂直折起四個小三角形,

10、做成一個蛋巢，將體積為的雞蛋視為球體放入其中，蛋巢形狀保持不變，則雞蛋中心球心與蛋巢底面的距離為_【答案】【解析】先求得球的半徑，畫出組合體截面的圖像，通過構(gòu)造直角三角形來求得蛋中心球心與蛋巢底面的距離【詳解】根據(jù)球的體積公式，有題目所給圖中，虛線的小正方形的邊長為，其一半為，四個等腰直角三角形斜邊上的高為畫出截面圖形如下圖所示，其中，故所以雞蛋中心球心與蛋巢底面的距離為【點睛】本小題主要考查球體和其它幾何體組合的問題，解題的策略是通過截面圖，構(gòu)造直角三角形來求解屬于中檔題練習(xí)1我國古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中有這樣一些數(shù)學(xué)用語，“塹堵”意指底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱，而“陽馬”指底

11、面為矩形且有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐現(xiàn)有一如圖所示的塹堵，若，當(dāng)陽馬體積最大時，則塹堵的外接球的體積為_【答案】【解析】由ACBC，AAB2，得到“陽馬”BA1ACC1體積V，AC2BC24，從而BCAC4，當(dāng)且僅當(dāng)BCAC時取等號，從而當(dāng)“陽馬”BA1ACC1體積最大時，BCAC，由此能求出“塹堵ABCA1B1C1的外接球的半徑，進而求得體積【詳解】“塹堵”，ACBC，AAB2，“陽馬”BA1ACC1體積V，ACBC，AAB2，AC2BC24，BCAC4，當(dāng)且僅當(dāng)BCAC時取等號，BA1ACC1體積最大時，BCAC，塹堵的底面是直角三角形，塹堵ABCA1B1C1的外接球的球心在面的中心處，外接球的半徑設(shè)為R，則R=V=故答案為【點睛】本題考查棱柱外接球體積的求法，考查“陽馬”的體積、均值定理等基礎(chǔ)知識，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題練習(xí)2如圖所示的幾何體是一個五面體，四邊形為矩形，且，與