抽樣與抽樣分配

1、第七章 抽樣與抽樣分配所謂的抽抽樣，是是指從一一個(gè)母體體中抽出出一組樣樣本，利利用此樣樣本來(lái)推推估母體特性性的一種種方法或或程序，而我們們所抽出出的樣本本是否能能夠具體體的代表整個(gè)個(gè)母體，與我們們所使用用的抽樣樣方法有有關(guān)。一一般而言言，抽樣樣的方法可以以分為兩兩種，一一種是隨隨機(jī)抽樣樣，另一一種則是是非隨機(jī)機(jī)抽樣。由隨機(jī)抽樣樣所抽出出的樣本本都具有有隨機(jī)性性，亦即即每組樣樣本被抽抽出的機(jī)機(jī)率皆相同，而且所所抽出的的樣本是是互相獨(dú)獨(dú)立的；至於非非隨機(jī)抽抽樣則沒沒有這個(gè)特性性。在此此我們僅僅介紹隨隨機(jī)抽樣樣的部分分。隨機(jī)抽樣樣所抽出出的樣本本，稱之之為隨機(jī)機(jī)樣本。常見的的隨機(jī)抽抽樣方法法有簡(jiǎn)單隨

2、機(jī)機(jī)抽樣法法(SimpleRandom Sampling)、分層隨機(jī)機(jī)抽樣法法(Stratified RandomSampling)、部落抽樣樣法(Cluster Sampling)以及系統(tǒng)抽樣樣法(Systematic Sampling)。7.1常見的抽抽樣方法法在這一節(jié)節(jié)中我們們所討論論的是隨隨機(jī)性的的抽樣法法，常見見的有以以下四種種：簡(jiǎn)單隨機(jī)機(jī)抽樣、分層隨隨機(jī)抽樣樣、部落落抽樣以以及系統(tǒng)統(tǒng)抽樣，以下便便將這四種方方法加以以說(shuō)明。7.1.1簡(jiǎn)單隨機(jī)機(jī)抽樣法法設(shè)從含有有N個(gè)元素的的母體中中，隨機(jī)機(jī)抽取個(gè)個(gè)為一組組樣本，而每一一個(gè)樣本本被抽出的的機(jī)會(huì)均均相同，此種抽抽樣的方方法，稱稱之為簡(jiǎn)簡(jiǎn)單

3、隨機(jī)機(jī)抽樣法法；而按此種種方法所所抽出的的樣本，則稱之之為簡(jiǎn)單單隨機(jī)抽抽樣樣本本。在採(cǎi)採(cǎi)用此種抽樣樣方法時(shí)時(shí)，依其其抽取的的樣本放放回或不不放回，又可分分為抽樣樣放回(samplingwith replacement)與抽樣不不放回(samplingwithoutreplacement)兩種。這這兩者在在抽樣的的時(shí)候，樣本出出現(xiàn)的機(jī)機(jī)率並不不相同。當(dāng)我們採(cǎi)採(cǎi)取抽樣樣放回的的方式時(shí)時(shí)，每組組樣本出出現(xiàn)的機(jī)機(jī)率為，而當(dāng)當(dāng)我們採(cǎi)用抽樣樣不放回回的方式式時(shí)，其其每組樣樣本出現(xiàn)現(xiàn)的機(jī)率率則為，然而而當(dāng)母體相當(dāng)大大的時(shí)候候，兩者者均可視視為獨(dú)立立的狀況況，也就就是說(shuō)不不管樣本本放回或是不不放回，對(duì)於下下一

4、次抽抽取並不不會(huì)造成成影響。7.1.2分層隨機(jī)機(jī)抽樣法法分層隨機(jī)機(jī)抽樣法法就是指指將整個(gè)個(gè)母體分分成若干干個(gè)不重重疊之部部份母體體，此部份母母體稱之之為層，每個(gè)層層與層之之間互相相排斥。例如將將班上個(gè)個(gè)同學(xué)的身高高依160公分分以下、160170公分分、170公分分以上三三種層次次分為三個(gè)不不同的部部份母體體，而每每個(gè)母體體的個(gè)數(shù)數(shù)分別為為、與，然後在在每一層中各各別抽取取一簡(jiǎn)單單隨機(jī)樣樣本，其其樣本數(shù)數(shù)分別為為、與。若將各各層的樣本數(shù)數(shù)加總起起來(lái)，便便為總樣樣本。由由上述的的例子，我們不不難看出出層內(nèi)的變異異較小，而層與與層之間間的變異異則較大大。然而而當(dāng)我們們?cè)趻?cǎi)用用分層隨機(jī)抽抽樣法時(shí)時(shí)，

5、要如如何來(lái)決決定每一一層內(nèi)到到底要抽抽出幾個(gè)個(gè)樣本呢呢？一般而言言，最常常用的方方法是比例配配置法，以下下便加以以說(shuō)明?！纠?.1】某個(gè)研究究機(jī)構(gòu)想想要研究究大學(xué)教教育的問(wèn)問(wèn)題，於於是想要要在臺(tái)灣灣地區(qū)以以隨機(jī)抽樣法法選取1200名大學(xué)學(xué)生作為為樣本。倘若已已知全省省大學(xué)各各年級(jí)之之總?cè)藬?shù)及及其學(xué)業(yè)業(yè)平均成成績(jī)的資資料如下下表所示示：試問(wèn)倘若若以分層層比例抽抽樣法來(lái)來(lái)選取樣樣本，則則各年級(jí)級(jí)應(yīng)該抽抽取多少少名學(xué)生？解:首先我們們先求出出臺(tái)灣地地區(qū)大學(xué)學(xué)生之總總個(gè)數(shù)NN=25,000+21,000+18,000+16,000=80,000令n1,n2,n3與n4分別表示示依分層層比例抽抽樣法所所

6、應(yīng)該抽抽取之大大一、大大二、大大三與大大四的學(xué)學(xué)生人數(shù)數(shù)。則根根據(jù)(7.1)式我們們可以求求出因此，倘倘若以分分層比例例抽樣法法來(lái)選取取樣本時(shí)時(shí)，則應(yīng)應(yīng)該選取取大一的的學(xué)生375位，大二的的學(xué)生315位位，大三三的學(xué)生生270位以及及大四的的學(xué)生240位。7.1.3部落抽樣樣法部落抽樣樣法是將將整個(gè)母母體依其其標(biāo)準(zhǔn)分分成若干干個(gè)部落落(部落落內(nèi)的每每個(gè)元素彼此間間的差異異較大，而部落落與部落落間的差差異較小小)，然然後任取取數(shù)個(gè)部落為隨隨機(jī)樣本本，而被被抽中之之部落內(nèi)內(nèi)的每個(gè)個(gè)元素皆皆為調(diào)查查的對(duì)象象。例如人口口調(diào)查，以家庭庭為抽樣樣單位，被選中中的家庭庭其全部部成員皆皆必須接受調(diào)調(diào)查。採(cǎi)採(cǎi)用

7、部落落抽樣法法的誤差差通常較較大，然然而因?yàn)闉榭梢跃途徒姓{(diào)查查，可因因此而省省下不少少的時(shí)間間與調(diào)查查費(fèi)用，故此種種抽樣法法還是有其可可用之處處。部落落抽樣法法與分層層抽樣法法看似相相同，然然而實(shí)際際上，兩者卻有有很大的的不同之之處，茲茲將這兩兩種抽樣樣方法的的差異列列表如下下：7.1.4系統(tǒng)抽樣樣法將母體所所有的元元素依次次排列，然後將將其分成成數(shù)個(gè)間間隔，每每隔若干干元素抽取一一個(gè)，此此種抽樣樣方法稱稱之為系系統(tǒng)抽樣樣法。此此種抽樣樣方法的的優(yōu)點(diǎn)便是在在使用時(shí)時(shí)非常方方便，只只需隨機(jī)機(jī)選取出出第一個(gè)個(gè)元素之之後，每每隔若干個(gè)單單位之後後再抽取取一個(gè)元元素，以以此類推推，其餘餘的樣本本元

8、素便便能夠決定出出來(lái)，一一直到抽抽取了所所需的樣樣本個(gè)數(shù)數(shù)為止。然而採(cǎi)採(cǎi)用此種種抽樣方法時(shí)時(shí)，其所所使用的的資料應(yīng)應(yīng)該避免免有週期期性的現(xiàn)現(xiàn)象，否否則將會(huì)會(huì)造成嚴(yán)重的的偏差。例如在在探討冷冷氣機(jī)平平均每月月的銷售售數(shù)量時(shí)時(shí)，倘若若每隔12個(gè)個(gè)月抽取取一個(gè)元元素，則則所得到到的資料料都是同同一月份份的資料料，將無(wú)法提供供充分的的情報(bào)，因此在在採(cǎi)用此此方法時(shí)時(shí)必須加加以注意意。以下下便將此系統(tǒng)統(tǒng)抽樣法法的步驟驟加以說(shuō)說(shuō)明：(1)首首先先先將所有有的N個(gè)母體元元素依序序排列。(2)依依次將將母體劃劃分為n個(gè)相等大大小的區(qū)區(qū)間，每每一區(qū)間間內(nèi)的元元素個(gè)數(shù)為（若若k為非整數(shù)數(shù)，則取取最接近近的整數(shù)數(shù)來(lái)代

9、替替）。 (3)採(cǎi)採(cǎi)用簡(jiǎn)簡(jiǎn)單隨機(jī)機(jī)的抽樣樣方法從從第一個(gè)個(gè)區(qū)間的的k個(gè)元素中中，抽出出 一個(gè)元素，作為起起始點(diǎn)。(4)由由起始始點(diǎn)算起起，每隔隔k個(gè)單位抽抽取一個(gè)個(gè)元素，即為樣樣本元素素，共取n個(gè)元素合合成一組組樣本。7.2抽樣分配配統(tǒng)計(jì)量乃乃為樣本本內(nèi)隨機(jī)機(jī)變數(shù)的的實(shí)數(shù)值值函數(shù)，但此實(shí)實(shí)數(shù)值函函數(shù)不包包含未知參數(shù)數(shù)。統(tǒng)計(jì)計(jì)量本身身亦為一一隨機(jī)變變數(shù)並以以大寫字字母表示示，如樣樣本平均數(shù)，樣樣本變異異數(shù)，而而以小寫寫字母表表示統(tǒng)計(jì)計(jì)量的計(jì)計(jì)算值或或觀察值，如樣樣本平均均數(shù)，樣樣本變異異數(shù)。舉舉個(gè)例子子來(lái)說(shuō)，假若我我們從一一母體中隨隨機(jī)抽出出一組樣樣本，則像像等皆為樣樣本內(nèi)隨隨機(jī)變數(shù)數(shù)的實(shí)數(shù)數(shù)值

10、函數(shù)數(shù)，但這這些實(shí)數(shù)數(shù)值函數(shù)數(shù)不包含含未知參數(shù)，這些皆皆可稱之之為統(tǒng)計(jì)計(jì)量。但隨機(jī)變變數(shù)並並不是是統(tǒng)計(jì)量量，因包包含未知知參數(shù)。當(dāng)當(dāng)我們?cè)谠谧髻Y料料分析時(shí)，主要要的目的的便是利利用統(tǒng)計(jì)計(jì)量來(lái)推推估母體體的某些些數(shù)值特特徵，這這些母體的數(shù)數(shù)值特徵徵稱為母母體參數(shù)數(shù)。一般般在統(tǒng)計(jì)計(jì)學(xué)上較較常使用用到的統(tǒng)統(tǒng)計(jì)量包含有有樣本平平均數(shù)、樣本變變異數(shù)、樣本比比例等等。為了了要充分分地利用樣本統(tǒng)統(tǒng)計(jì)量來(lái)來(lái)對(duì)母體體的參數(shù)數(shù)作估計(jì)計(jì)，我們們必須對(duì)對(duì)每一種種可能的的樣本作探討討。倘若若我們將將所有可可能的樣樣本組合合都考慮慮進(jìn)去，那麼統(tǒng)統(tǒng)計(jì)量的機(jī)率率分配便便稱為抽抽樣分配配。7.2.1樣本平均均數(shù)的抽抽樣分配配倘

11、若我們們從一個(gè)個(gè)平均數(shù)數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差差為的的母體中中，隨機(jī)機(jī)抽出一一組樣本，那麼麼樣本平平均數(shù)則則為為樣本平均均數(shù)的抽抽樣分配配之期望望值與變變異數(shù)如如下：期望值變異數(shù)【例7.2】設(shè)一個(gè)母母體，其其元素包包含1、2、3、4、5共N=5個(gè)數(shù)值，若從此此一母體體中抽出出n=2個(gè)為一組組隨機(jī)樣樣本。倘倘若採(cǎi)用用抽取後後放回的的方式，試求樣樣本平均均數(shù)的抽抽樣分配配，平均均數(shù)與變變異數(shù)。解:首先可以以由題意意求出母母體平均均數(shù)與母母體變異異數(shù)母體平均均數(shù)母體變異異數(shù) 若從此一一無(wú)限母母體中抽抽取n=2個(gè)為一組組隨機(jī)樣樣本，則則所有可可能的不不同樣本本組合列列表如下下：編號(hào)樣樣本編編號(hào)樣樣本編編號(hào)樣樣本1

12、(1，1)111(3，1)221(5，1)32(1，2)1.512(3，2)2.522(5，2)3.53(1，3)213(3，3)323(5，3)44(1，4)2.514(3，4)3.524(5，4)4.55(1，5)315(3，5)425(5，5)56(2，1)1.516(4，1)2.57(2，2)217(4，2)38(2，3)2.518(4，3)3.59(2，4)319(4，4)410(2，5)3.520(4，5)4.5由上表可可知，的的可能組組合有25種，而每每一種組組合的機(jī)機(jī)率皆為為，所以以的抽樣樣分配為為11.522.533.544.55從的抽樣樣分配表表中可以以計(jì)算出出的平均均數(shù)與

13、與變異數(shù)數(shù)由以上所所得到的的結(jié)果可可知，所所有可能能組合之之樣本平平均數(shù)的的期望值值與母體體平均數(shù)數(shù)相等()，而樣本本平均數(shù)數(shù)的變異異數(shù)等於於母體變變異數(shù)除除以n的值()。而對(duì)所所有的有有限母體體且抽出出後不放放回，使使用簡(jiǎn)單單隨機(jī)抽抽樣，則則樣本平平均數(shù)的的抽樣分分配之期期望值與與變異數(shù)數(shù)：期望值變異數(shù)(7.4)上述定理理中是在在有限母母體且抽抽出的元元素不放放回母體體中的情情況。而而式子中中則則稱稱為有限限母體校校正因子子(f.p.c)，在此將將一些有有限母體體校正因因子的特特性加以以說(shuō)明：1.由於樣本本數(shù)固固定定，所以以當(dāng)母體體數(shù)愈大大時(shí)，愈愈接接近於1。2.若樣本數(shù)數(shù)與母體體數(shù)N的比例

14、相相當(dāng)小時(shí)時(shí)，則可可以將之之視為無(wú)無(wú)限母體體；一般而而言，當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，便便可將有有限母體體校正因因子省略略。3.當(dāng)樣本數(shù)數(shù)接接近於於母體數(shù)數(shù)N時(shí)，有限限母體校校正因子子便趨近近於0，亦即表表示也也將趨趨近於0。一般來(lái)說(shuō)說(shuō)，當(dāng)我我們?cè)诳伎紤]樣本本平均數(shù)數(shù)之之抽抽樣分配配的型態(tài)態(tài)時(shí)，樣樣本大小以及及母體本本身的分分配型態(tài)態(tài)都會(huì)影影響此統(tǒng)統(tǒng)計(jì)量之之抽樣分分配。當(dāng)當(dāng)這些因素處處?kù)恫煌那闆r況之下，則的的抽樣樣分配將將會(huì)有所所差異，以下便加以探探討在不不同的特特性因素素下，抽抽樣分分配所呈呈現(xiàn)的各各種型態(tài)態(tài)。自常態(tài)分分配母體體中抽樣樣時(shí)：自非常態(tài)態(tài)分配母母體中抽抽樣時(shí)：【例7.4】一個(gè)常態(tài)態(tài)分配母母體其

15、平平均數(shù)80而變異數(shù)數(shù)16，若從此此一母體體中隨機(jī)機(jī)抽取出出樣本大大小為100的隨機(jī)樣樣本，其其樣本平平均數(shù)用用來(lái)估計(jì)計(jì)母體平平均數(shù)。試求之之期望值值與與標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)差為為何？並並且說(shuō)明明的抽樣樣分配。解:由題意我我們可以以得知，母體平平均數(shù)80，母體變變異數(shù)16而樣本大大小n=100，且母體體本身為為常態(tài)分分配，因因此其樣樣本平均均數(shù)的期期望值與與標(biāo)準(zhǔn)差差分別為為而之抽樣樣分配則則是平均均數(shù)為80，標(biāo)準(zhǔn)差差為0.4的常態(tài)分分配。7.2.2中央極限限定理(Central Limit Theorem；C.L.T)中央極限限定理在在統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)中相當(dāng)當(dāng)?shù)刂匾摱ǘɡ硎侵钢笍囊粋€(gè)個(gè)具有平平均數(shù)與變異異數(shù)的

16、母母體中抽抽取樣本本數(shù)為的的一組隨隨機(jī)樣本本，其樣樣本平均均數(shù)為，則當(dāng)當(dāng)n趨近無(wú)限限大時(shí)時(shí)時(shí)，的的分配趨趨近於標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)態(tài)分配。因此，當(dāng)當(dāng)我們不不知母體體的分配配型態(tài)，或是母母體本身身並非常常態(tài)分配配，只要樣本本個(gè)數(shù)夠夠大，我我們均可可以將其其樣本平平均數(shù)之之抽樣分分配視為為常態(tài)分配，並且我我們也可可以利用用此定理理來(lái)求有有關(guān)樣本本平均數(shù)數(shù)的某些些機(jī)率。【例7.6】一個(gè)在全全省各地地開了三三千家分分店的大大企業(yè)，想要抽抽樣估計(jì)計(jì)去年每每家分店店發(fā)生物物品損壞壞的平均均損失金金額。假假設(shè)母體體平均數(shù)數(shù)元元，而而母體標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)差元元，試求求(a)倘若抽取取n=100家分店當(dāng)當(dāng)成隨機(jī)機(jī)樣本，則樣本本平均

17、數(shù)數(shù)與母體體平均數(shù)數(shù)之差在在60元以內(nèi)的的機(jī)率是是多少？(b)倘若將抽抽取的分分店家數(shù)數(shù)增加到到n=256家，則樣樣本平均均數(shù)與母母體平均均數(shù)之差差在60元以內(nèi)的的機(jī)率又又是多少少？解:由題意可可以得知知，母體體平均數(shù)數(shù)與與標(biāo)準(zhǔn)差差分分別為與與，令X代表該企企業(yè)的去去年的損損失金額額，則XN(1630, )。(a)由於母體體總數(shù)N=3000，而樣本本數(shù)n=100，這兩者者的比例例相當(dāng)小小，因此此在求時(shí)時(shí)，可以將將有限母母體校正正因子省省略不計(jì)計(jì)，因此此我們可可以求得得由此可知知，樣本本平均數(shù)數(shù)的的抽樣分分配為N(1630,)，而所欲欲求的機(jī)機(jī)率為：由以上的的結(jié)果，我們有有約87的信心心，斷定定

18、的誤差差不會(huì)超超過(guò)60元。(b)倘若將樣樣本數(shù)增增加到n=256時(shí)，其依依然然等於母母體平均均數(shù)，而而樣本平平均數(shù)的的標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)差則則為此時(shí)樣本本平均數(shù)數(shù)的的抽樣分分配為N(1630,)，而所欲欲求的機(jī)機(jī)率為為：當(dāng)樣本數(shù)數(shù)增加到到256家分店時(shí)時(shí)，其估估計(jì)誤差差不超過(guò)過(guò)60元的機(jī)率率也增加加到了98，由此此我們可可以得到到一個(gè)結(jié)結(jié)論：當(dāng)當(dāng)樣本數(shù)數(shù)愈大時(shí)時(shí)，估計(jì)計(jì)值將愈愈精確，其樣本本平均數(shù)數(shù)愈愈趨近於於母體的的平均數(shù)數(shù)。7.3樣本比例例的抽樣樣分配在7.2節(jié)中我我們談到到了樣本本平均數(shù)數(shù)的抽樣樣分配，這一節(jié)節(jié)我們將將討論另另一種重要要的樣本本統(tǒng)計(jì)量量，樣本本比例(proportion)的抽樣分分配

19、。樣樣本比例在統(tǒng)計(jì)計(jì)學(xué)上應(yīng)應(yīng)用也相相當(dāng)廣泛泛，他可可用來(lái)推推估某種種特性(如性別別，不良品，成成功)在在整個(gè)母母體中所所佔(zhàn)的比比例，其其定義如如下：上面的(7.5)式中中，Y代表不良良品，成成功或某某種特性性之觀測(cè)測(cè)值所發(fā)發(fā)生的次數(shù)，例例如成功功的次數(shù)數(shù)或者男男性的人人數(shù)等，而n則表示樣樣本的大大小，此時(shí)Y的機(jī)率分分配，則則相當(dāng)於於前面章章節(jié)中所所討論到到的二項(xiàng)項(xiàng)分配。假若母體為有有限母體體且抽樣樣放回，母體比比例為p的情況下下，樣本本比例的抽樣分分配之期期望值(7.6)變異數(shù)(7.7)在此，我我們將上上面的(7.6)式與(7.7)式證明如如下： 上面所討討論的是是有限母母體且抽抽樣放回回的情

20、況況，倘若若此時(shí)的的母體為為有限母母體且抽抽出後不不放回的的抽樣方方式時(shí)，抽取n個(gè)樣本，則樣本本比例的的抽抽樣分配配之期望望值與變變異數(shù)分分別如下下:期望值變異數(shù)(7.8)我們?cè)?jīng)經(jīng)在之前前討論二二項(xiàng)分配配時(shí)提過(guò)過(guò)，當(dāng)樣樣本數(shù)足足夠大的的時(shí)候，二項(xiàng)分分配可以以用常態(tài)態(tài)分配來(lái)來(lái)近似，而一般般來(lái)說(shuō)，當(dāng)以以及這兩個(gè)條條件皆成成立時(shí)，都可將將其視為為大樣本本的情況況，亦即即可用常常態(tài)分配配來(lái)處理理二項(xiàng)分分配的問(wèn)問(wèn)題。而而當(dāng)我們們?cè)谔接懹憳颖颈缺壤某槌闃臃址峙鋾r(shí)時(shí)，若樣樣本數(shù)夠夠大，則則有限母母體校正正因子(f.p.c)可以省略略，因此此根據(jù)中中央極限限定理，在大樣樣本的情情況下，的的抽抽樣分配配近似

21、於於一個(gè)平平均數(shù)等等於，標(biāo)準(zhǔn)差差為的的常態(tài)態(tài)分配。亦即當(dāng)且且時(shí)時(shí)，的的分配近近似於常常態(tài)分配配(7.9)【例7.8】解:7.4與常態(tài)分分配有關(guān)關(guān)之三種抽抽樣分配配常態(tài)分配配在統(tǒng)計(jì)計(jì)學(xué)的應(yīng)應(yīng)用非常常地廣泛泛，然而而，除了了常態(tài)分分配之外外，另外還有有三種相相當(dāng)重要要的抽樣樣分配：卡方分分配、t分配、F分配。我我們將在在下面的的各小節(jié)節(jié)中分別別一一加加以介紹紹。7.4.1卡方分配配上面的(7.10)式式表示卡卡方分配配的機(jī)率率密度函函數(shù)。卡卡方分配配是由“標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)”平平方和所所組成的的分配，它主要要是用來(lái)來(lái)作適合合度檢定定，亦即即檢定資料是否否符合某某種分配配，有時(shí)時(shí)也用來(lái)來(lái)求母體體變異數(shù)數(shù)的信賴

22、賴區(qū)間與與檢定單一母母體的變變異數(shù)。至於卡卡方分配配的圖形形，則如如以下圖圖7.2所示?？ǚ椒峙渑錇橛移姆峙渑淝€，我們由由圖中可可以看出出，當(dāng)自自由度r越大時(shí)，其卡卡方分配配所呈現(xiàn)現(xiàn)的圖形形會(huì)愈趨趨近於常常態(tài)分配配?？ǚ椒峙渑涞男再|(zhì)質(zhì)：1.卡方方分配之之加法性性：設(shè)X與Y皆為互相相獨(dú)立之之卡方分分配，其其自由度度各為及及，若一一統(tǒng)計(jì)量量，則則Z為自由度度的的卡方分配。2.若隨隨機(jī)變數(shù)數(shù)X為具有自自由度為為r的卡方分分配，則則(1)期期望值(2)變變異數(shù).3.卡方方分配是是右偏的的分配曲曲線，隨隨著自由由度的增增加，其其變異數(shù)數(shù)也會(huì)跟跟著增大。4.，其中r表示其自自由度，此機(jī)率率代表點(diǎn)點(diǎn)的

23、右尾面面積為。舉個(gè)個(gè)例子來(lái)來(lái)說(shuō)，表表示自由由度為10之卡卡方分配配的數(shù)值值，比15.987大大的機(jī)率率為10%，而而比15.987小的機(jī)率則則為90%?！纠?.10】利用卡方方分配表表求出下下列的卡卡方值：(a)自由度=15,(b)自由度=28,(c)自由度= 5,求求使得的的卡方值值。解:(a)從後面附附錄的卡卡方分配配表中，我們可可以看出出因此我們們可以得得到(b)同(a)小題的查查表方法法，我們們亦可得得到亦即表示示說(shuō)的的機(jī)機(jī)率為0.01(c)由題意得得知，此此卡方分分配的自自由度為為5。因?yàn)樗?查卡方分分配表中中，以以及及所對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的卡方方值因此便可可以求出出使使得的的卡方值值為12

24、.8325。【例7.11】由一個(gè)平平均數(shù)未未知，而變異異數(shù)的的常態(tài)分分配母體體中抽出出一組樣樣本數(shù)為為20的隨機(jī)樣樣本，試試求：(a)其樣本變變異數(shù)會(huì)會(huì)超超過(guò)27.67的機(jī)率為為多少?(b)其樣本變變異數(shù)會(huì)會(huì)介介於8.52與25.384之間的機(jī)機(jī)率為多多少?解:(a)由題意可可知母體體的變異異數(shù)，樣樣本數(shù)n=20，由定理理7.4.5可知，則樣本本變異數(shù)數(shù)超超過(guò)27.67的 機(jī)率率為 我們由卡卡方分配配表中可可以看出出，當(dāng)自自由度d.f.=19，而時(shí)時(shí)，其卡方方值，因因此我們們可以求求出=0.025故樣本變變異數(shù)超超過(guò)27.67的機(jī)率為為0.025。(b)樣本變異異數(shù)會(huì)會(huì)介於於8.52與25.384之間的機(jī)機(jī)率為我們由卡卡方分配配表中可可以看出出，其卡卡方值，因此我們們可以求求出=0.95-0.05=0.9故我們可可以求出出樣本變變異數(shù)會(huì)會(huì)介介於8.52與25.384之間的機(jī)機(jī)率為0.9。7.4.2t分配上面的(7.13)式式表示分配的機(jī)機(jī)率密度度函數(shù)，而此分分配的平平均數(shù)與與變異數(shù)分別別表示如如下：;，r為自由度度且。分配的性性質(zhì)：【例7.12】解:【例7.13】假設(shè)X表示某國(guó)國(guó)中之男男生的體體重，已已知其分分配為平平均數(shù)，而標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)差未未知知的常態(tài)態(tài)分配，亦即XN(63,)。倘若今今從此班班級(jí)中隨隨機(jī)抽出出n=