(新高考)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講與練第8章§8.4《直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系》(含詳解)

1、8.4直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系考試要求1.能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系.2.能用直線和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問題與實(shí)際問題知識(shí)梳理1直線與圓的位置關(guān)系(圓心到直線的距離為d，圓的半徑為r)相離相切相交圖形量化方程觀點(diǎn)0幾何觀點(diǎn)drdrdr1r2外切dr1r2相交|r1r2|dr1r2內(nèi)切d|r1r2|內(nèi)含d|r1r2|3.直線被圓截得的弦長(zhǎng)(1)幾何法：弦心距d、半徑r和弦長(zhǎng)|AB|的一半構(gòu)成直角三角形，弦長(zhǎng)|AB|2eq r(r2d2).(2)代數(shù)法：設(shè)直線ykxm與圓x2y2DxEyF0相交于點(diǎn)M，N，代入，消去y，得關(guān)于x的一元二次方程，則|MN|eq

2、r(1k2)eq r(xMxN24xMxN).常用結(jié)論1圓的切線方程常用結(jié)論(1)過圓x2y2r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程為x0 xy0yr2.(2)過圓x2y2r2外一點(diǎn)M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點(diǎn)所在直線方程為x0 xy0yr2.2圓與圓的位置關(guān)系的常用結(jié)論(1)兩圓相交時(shí)，其公共弦所在的直線方程由兩圓方程相減得到(2)兩個(gè)圓系方程過直線AxByC0與圓x2y2DxEyF0交點(diǎn)的圓系方程為x2y2DxEyF(AxByC)0(R)；過圓C1：x2y2D1xE1yF10和圓C2：x2y2D2xE2yF20交點(diǎn)的圓系方程為x2y2D1xE1yF1(x2y2D2xE2yF2

3、)0(1)(其中不含圓C2，所以注意檢驗(yàn)C2是否滿足題意，以防丟解)思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”)(1)若直線平分圓的周長(zhǎng)，則直線一定過圓心()(2)若兩圓相切，則有且只有一條公切線()(3)若直線的方程與圓的方程組成的方程組有解，則直線與圓相交或相切()(4)在圓中最長(zhǎng)的弦是直徑()教材改編題1直線yx1與圓x2y21的位置關(guān)系為()A相切B相交但直線不過圓心C直線過圓心D相離答案B解析圓心為(0,0)，到直線yx1即xy10的距離deq f(1,r(2)eq f(r(2),2)，而0eq f(r(2),2)1，但是圓心不在直線yx1上，所以直線與圓相交，但直線不過圓

4、心2過點(diǎn)(0,1)且傾斜角為eq f(,3)的直線l交圓x2y26y0于A，B兩點(diǎn)，則弦AB的長(zhǎng)為()A.eq r(10) B2eq r(10)C2eq r(2) D4eq r(2)答案D解析過點(diǎn)(0,1)且傾斜角為eq f(,3)的直線l：y1eq r(3)x，即eq r(3)xy10.圓x2y26y0，即x2(y3)29，圓心坐標(biāo)為(0,3)，半徑r3，圓心到直線l的距離deq f(|31|,2)1，直線被圓截得的弦長(zhǎng)|AB|2eq r(3212)4eq r(2).3若圓x2y21與圓(x4)2(ya)225相切，則常數(shù)a_.答案2eq r(5)或0解析兩圓的圓心距deq r(42a2)，

5、由兩圓相切(外切或內(nèi)切)，得eq r(42a2)51或eq r(42a2)51，解得a2eq r(5)或a0.題型一直線與圓的位置關(guān)系命題點(diǎn)1位置關(guān)系的判斷例1直線kxy2k0與圓x2y22x80的位置關(guān)系為()A相交、相切或相離B相交或相切C相交D相切答案C解析方法一直線kxy2k0的方程可化為k(x1)(y2)0，該直線恒過定點(diǎn)(1,2)因?yàn)?2222180，所以點(diǎn)(1,2)在圓x2y22x80的內(nèi)部，所以直線kxy2k0與圓x2y22x80相交方法二圓的方程可化為(x1)2y232，所以圓的圓心為(1,0)，半徑為3.圓心到直線kxy2k0的距離為eq f(|k2k|,r(1k2)eq

6、f(2,r(1k2)23，所以直線與圓相交思維升華判斷直線與圓的位置關(guān)系的常見方法(1)幾何法：利用d與r的關(guān)系(2)代數(shù)法：聯(lián)立方程之后利用判斷(3)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法：若直線恒過定點(diǎn)且定點(diǎn)在圓內(nèi)，可判斷直線與圓相交命題點(diǎn)2弦長(zhǎng)問題例2(1)(多選)直線ykx1與圓C：(x3)2(y3)236相交于A，B兩點(diǎn)，則AB的長(zhǎng)度可能為()A6 B8 C12 D16答案BC解析因?yàn)橹本€ykx1過定點(diǎn)(0，1)，故圓C的圓心C(3,3)到直線ykx1的距離的最大值為eq r(302312)5.又圓C的半徑為6，故弦長(zhǎng)AB的最小值為2eq r(6252)2eq r(11).又當(dāng)直線ykx1過圓心時(shí)弦長(zhǎng)A

7、B取最大值，為直徑12，故|AB|2eq r(11)，12(2)設(shè)圓x2y22x2y20的圓心為C，直線l過(0,3)與圓C交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|2eq r(3)，則直線l的方程為()A3x4y120或4x3y90B3x4y120或x0C4x3y90或x0D3x4y120或4x3y90答案B解析當(dāng)直線l的斜率不存在，即直線l的方程為x0時(shí)，弦長(zhǎng)為2eq r(3)，符合題意；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線l的方程為ykx3，由弦長(zhǎng)為2eq r(3)，半徑為2可知，圓心到該直線的距離為1，從而有eq f(|k2|,r(k21)1，解得keq f(3,4)，綜上，直線l的方程為x0或3x4y12

8、0.思維升華弦長(zhǎng)的兩種求法(1)代數(shù)法：將直線和圓的方程聯(lián)立方程組，根據(jù)弦長(zhǎng)公式求弦長(zhǎng)(2)幾何法：若弦心距為d，圓的半徑長(zhǎng)為r，則弦長(zhǎng)l2eq r(r2d2).命題點(diǎn)3切線問題例3(2022衡水模擬)已知直線l：xay10是圓C：x2y26x2y10的對(duì)稱軸，過點(diǎn)A(1，a)作圓C的一條切線，切點(diǎn)為B，則|AB|等于()A1 B2 C4 D8答案C解析已知直線l：xay10是圓C：x2y26x2y10的對(duì)稱軸，圓心C(3,1)，半徑r3，所以直線l過圓心C(3,1)，故3a10，故a2，所以點(diǎn)A(1，2)，|AC|eq r(312122)5，|AB|eq r(5232)4.思維升華當(dāng)切線方程

9、斜率存在時(shí)，圓的切線方程的求法(1)幾何法：設(shè)切線方程為yy0k(xx0)，利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心到切線的距離d，然后令dr，進(jìn)而求出k.(2)代數(shù)法：設(shè)切線方程為yy0k(xx0)，與圓的方程組成方程組，消元后得到一個(gè)一元二次方程，然后令判別式0進(jìn)而求得k.注意驗(yàn)證斜率不存在的情況命題點(diǎn)4直線與圓位置關(guān)系中的最值(范圍)問題例4在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，已知圓C：(x2)2y24，點(diǎn)A是直線xy20上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線AP，AQ分別切圓C于P，Q兩點(diǎn)，則線段PQ的長(zhǎng)的取值范圍為_答案2eq r(2)，4)解析由圓的方程知，圓心C(2,0)，半徑r2.連接AC，PC，QC(圖略)，設(shè)|

10、AC|x，則xeq f(|202|,r(2)2eq r(2).AP，AQ為圓C的切線，CPAP，CQAQ，|AP|AQ|eq r(|AC|2r2)eq r(x24).AC是PQ的垂直平分線，|PQ|2eq f(|AP|PC|,|AC|)eq f(4r(x24),x)4eq r(1f(4,x2).x2eq r(2)，eq f(1,2)1eq f(4,x2)1，2eq r(2)|PQ|4，即線段PQ的長(zhǎng)的取值范圍為2eq r(2)，4)教師備選1(多選)(2022深圳模擬)設(shè)直線l：ykx1(kR)與圓C：x2y25，則下列結(jié)論正確的為()Al與C可能相離Bl不可能將C的周長(zhǎng)平分C當(dāng)k1時(shí)，l被C

11、截得的弦長(zhǎng)為eq f(3r(2),2)Dl被C截得的最短弦長(zhǎng)為4答案BD解析對(duì)于A選項(xiàng)，直線l過定點(diǎn)(0,1)，且點(diǎn)(0,1)在圓C內(nèi)，則直線l與圓C必相交，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，若直線l將圓C的周長(zhǎng)平分，則直線l過原點(diǎn)，此時(shí)直線l的斜率不存在，B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)k1時(shí)，直線l的方程為xy10，圓心C到直線l的距離為deq f(r(2),2)，所以直線l被C截得的弦長(zhǎng)為2eq r(5blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)2)3eq r(2)，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，圓心C到直線l的距離為deq f(1,r(k21)1，所以直線l被C截得的弦長(zhǎng)為2eq r(5d2)4，

12、D選項(xiàng)正確2過點(diǎn)Peq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，f(r(3),2)的直線l與圓C：(x1)2y24交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)ACB最小時(shí)，此時(shí)直線l的方程為_，ACB_.答案xeq r(3)y30eq f(2,3)解析圓C：(x1)2y24的圓心為C(1,0)，驗(yàn)證知點(diǎn)P在圓內(nèi)，當(dāng)ACB最小時(shí)，|AB|最短，即CP和AB垂直，因?yàn)镃P的斜率kCPeq f(f(r(3),2)0,f(3,2)1)eq r(3)，所以直線AB的斜率為eq f(r(3),3)，所以直線l的方程為yeq f(r(3),2)eq f(r(3),3)eq blc(rc)(avs4alco1(xf(3,2)

13、，即xeq r(3)y30.此時(shí)|CP|eq f(|2|,r(13)1，所以ACPeq f(,3)，ACBeq f(2,3).思維升華涉及與圓的切線有關(guān)的線段長(zhǎng)度范圍(或最值)問題，解題關(guān)鍵是能夠把所求線段長(zhǎng)表示為關(guān)于圓心與直線上的點(diǎn)的距離的函數(shù)的形式，利用求函數(shù)值域的方法求得結(jié)果跟蹤訓(xùn)練1(1)(多選)(2021新高考全國(guó))已知直線l：axbyr20與圓C：x2y2r2，點(diǎn)A(a，b)，則下列說法正確的是()A若點(diǎn)A在圓C上，則直線l與圓C相切B若點(diǎn)A在圓C內(nèi)，則直線l與圓C相離C若點(diǎn)A在圓C外，則直線l與圓C相離D若點(diǎn)A在直線l上，則直線l與圓C相切答案ABD解析圓心C(0,0)到直線l的

14、距離deq f(r2,r(a2b2)，若點(diǎn)A(a，b)在圓C上，則a2b2r2，所以deq f(r2,r(a2b2)|r|，則直線l與圓C相切，故A正確；若點(diǎn)A(a，b)在圓C內(nèi)，則a2b2|r|，則直線l與圓C相離，故B正確；若點(diǎn)A(a，b)在圓C外，則a2b2r2，所以deq f(r2,r(a2b2)|r|，則直線l與圓C相交，故C錯(cuò)誤；若點(diǎn)A(a，b)在直線l上，則a2b2r20，即a2b2r2，所以deq f(r2,r(a2b2)|r|，則直線l與圓C相切，故D正確(2)(2021北京)已知圓C：x2y24，直線l：ykxm，當(dāng)k變化時(shí)，l截得圓C弦長(zhǎng)的最小值為2，則m等于()A2 B

15、eq r(2) Ceq r(3) Deq r(5)答案C解析由題可得圓心為(0,0)，半徑為2，則圓心到直線的距離deq f(|m|,r(k21)，則弦長(zhǎng)為2eq r(4f(m2,k21)，則當(dāng)k0時(shí)，弦長(zhǎng)取得最小值為2eq r(4m2)2，解得meq r(3).(3)由直線yx1上的一點(diǎn)向圓(x3)2y21引切線，則切線長(zhǎng)的最小值為_答案eq r(7)解析設(shè)直線上一點(diǎn)P，切點(diǎn)為Q，圓心為M，M的坐標(biāo)為(3,0)，則|PQ|即為切線長(zhǎng)，|MQ|為圓M的半徑，長(zhǎng)度為1，|PQ|eq r(|PM|2|MQ|2)eq r(|PM|21)，要使|PQ|最小，即求|PM|的最小值，此題轉(zhuǎn)化為求直線yx1

16、上的點(diǎn)到圓心M的最小距離設(shè)圓心到直線yx1的距離為d，則deq f(|301|,r(1212)2eq r(2)，|PM|的最小值為2eq r(2)，此時(shí)|PQ|eq r(|PM|21)eq r(2r(2)21)eq r(7).題型二圓與圓的位置關(guān)系例5(1)(2022長(zhǎng)沙模擬)若圓C1：(x1)2(ya)24與圓C2：(x2)2(y1)2a2相交，則正實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A(3，) B(2，)C.eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，) D(3,4)答案A解析|C1C2|eq r(9a12)，因?yàn)閳AC1：(x1)2(ya)24與圓C2：(x2)2(y1)2a2相交，所以|a

17、2|eq r(9a12)3.(2)圓C1：x2y22x10y240與圓C2：x2y22x2y80的公共弦所在直線的方程為_，公共弦長(zhǎng)為_答案x2y402eq r(5)解析聯(lián)立兩圓的方程得eq blcrc (avs4alco1(x2y22x10y240，,x2y22x2y80，)兩式相減并化簡(jiǎn)，得x2y40，此即兩圓公共弦所在直線的方程由x2y22x10y240，得(x1)2(y5)250，圓C1的圓心坐標(biāo)為(1，5)，半徑r5eq r(2)，圓心到直線x2y40的距離為deq f(|1254|,r(122)3eq r(5).設(shè)公共弦長(zhǎng)為2l，由勾股定理得r2d2l2，即50(3eq r(5)2

18、l2，解得leq r(5)，故公共弦長(zhǎng)為2eq r(5).教師備選已知兩圓x2y22x6y10和x2y210 x12ym0.求：(1)m取何值時(shí)兩圓外切？(2)當(dāng)m45時(shí)兩圓的公共弦所在直線的方程和公共弦的長(zhǎng)解兩圓的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為(x1)2(y3)211，(x5)2(y6)261m，圓心分別為M(1,3)，N(5,6)，半徑分別為eq r(11)和eq r(61m).(1)當(dāng)兩圓外切時(shí)，eq r(512632)eq r(11)eq r(61m).解得m2510eq r(11).(2)兩圓的公共弦所在直線的方程為(x2y22x6y1)(x2y210 x12y45)0，即4x3y230.由圓的半徑

19、、弦長(zhǎng)、弦心距間的關(guān)系，求得公共弦的長(zhǎng)為2eq r(r(11)2blc(rc)(avs4alco1(f(|43323|,r(4232)2)2eq r(7).思維升華(1)判斷兩圓的位置關(guān)系時(shí)常用幾何法，即利用兩圓圓心之間的距離與兩圓半徑之間的關(guān)系，一般不采用代數(shù)法(2)若兩圓相交，則兩圓公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差消去x2，y2項(xiàng)得到跟蹤訓(xùn)練2(1)已知圓M：x2y22ay0(a0)截直線xy0所得線段的長(zhǎng)度是2eq r(2)，則圓M與圓N：(x1)2(y1)21的位置關(guān)系是()A內(nèi)切 B相交 C外切 D相離答案B解析由題意得圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2(ya)2a2，圓心(0，a)到直線x

20、y0的距離deq f(a,r(2)，所以2eq r(a2f(a2,2)2eq r(2)，解得a2，圓M，圓N的圓心距|MN|eq r(2)小于兩圓半徑之和3，大于兩圓半徑之差1，故兩圓相交(2)(2022長(zhǎng)沙模擬)已知圓C1：x2y24x2y40，圓C2：eq blc(rc)(avs4alco1(xf(3,2)2eq blc(rc)(avs4alco1(yf(3,2)2eq f(11,2)，則這兩圓的公共弦長(zhǎng)為()A5 B2eq r(2) C2 D1答案C解析由題意知圓C1：x2y24x2y40，圓C2：x2y23x3y10，將兩圓的方程相減，得xy30，所以兩圓的公共弦所在直線的方程為xy3

21、0.又因?yàn)閳AC1的圓心為(2,1)，半徑r3，所以圓C1的圓心到直線xy30的距離deq f(|213|,r(2)2eq r(2).所以這兩圓的公共弦的弦長(zhǎng)為2eq r(r2d2)2eq r(322r(2)2)2.公元前3世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯(Apollonius)在平面軌跡一書中，曾研究了眾多的平面軌跡問題，其中有如下結(jié)果：到兩定點(diǎn)距離之比等于已知數(shù)的動(dòng)點(diǎn)軌跡為直線或圓如圖，點(diǎn)A，B為兩定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|PB|.則1時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為直線；當(dāng)0且1時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為圓，后世稱之為阿波羅尼斯圓證明：設(shè)|AB|2m(m0)，|PA|PB|，以AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)，直線AB為x軸建立平面

22、直角坐標(biāo)系，則A(m，0)，B(m，0)又設(shè)P(x，y)，則由|PA|PB|得eq r(xm2y2)eq r(xm2y2)，兩邊平方并化簡(jiǎn)整理得(21)x22m(21)x(21)y2m2(12)當(dāng)1時(shí)，x0，軌跡為線段AB的垂直平分線；當(dāng)0且1時(shí)，eq blc(rc)(avs4alco1(xf(21,21)m)2y2eq f(42m2,212)，軌跡為以點(diǎn)eq blc(rc)(avs4alco1(f(21,21)m，0)為圓心，eq blc|rc|(avs4alco1(f(2m,21)為半徑的圓例1(1)已知平面直角坐標(biāo)系中，A(2,0)，B(2,0)，則滿足|PA|2|PB|的點(diǎn)P的軌跡的圓

23、心坐標(biāo)為_答案eq blc(rc)(avs4alco1(f(10,3)，0)解析設(shè)P(x，y)，由|PA|2|PB|，得eq r(x22y2)2eq r(x22y2)，整理得eq blc(rc)(avs4alco1(xf(10,3)2y2eq f(64,9)，所以點(diǎn)P的軌跡的圓心坐標(biāo)為eq blc(rc)(avs4alco1(f(10,3)，0).(2)已知圓O：x2y21和點(diǎn)Aeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，0)，若定點(diǎn)B(b，0)eq blc(rc)(avs4alco1(bf(1,2)和常數(shù)滿足：對(duì)圓O上任意一點(diǎn)M，都有|MB|MA|，則_，MAB面積的最大值為_答

24、案2eq f(3,4)解析設(shè)點(diǎn)M(x，y)，由|MB|MA|，得(xb)2y22eq blcrc(avs4alco1(blc(rc)(avs4alco1(xf(1,2)2y2)，整理得x2y2eq f(2b2,12)xeq f(b2f(1,4)2,12)0，所以eq blcrc (avs4alco1(f(2b2,12)0，,f(b2f(1,4)2,12)1，)解得eq blcrc (avs4alco1(2，,b2.)如圖所示，SMABeq f(1,2)|AB|yM|，由圖可知，當(dāng)|yM|1，即M的坐標(biāo)為(0,1)或(0，1)時(shí)，SMAB取得最大值，故MAB的面積的最大值為eq f(1,2)eq

25、 blc|rc|(avs4alco1(f(1,2)2)1eq f(3,4).例2如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，點(diǎn)A(0,3)，直線l：y2x4，設(shè)圓C的半徑為1，圓心在l上(1)若圓心C也在直線yx1上，過點(diǎn)A作圓C的切線，求切線的方程；(2)若圓C上存在點(diǎn)M，使|MA|2|MO|，求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍解(1)聯(lián)立eq blcrc (avs4alco1(yx1，,y2x4，)得圓心為C(3,2)切線的斜率存在，設(shè)切線方程為ykx3.圓心C到切線的距離deq f(|3k32|,r(1k2)r1，得k0或keq f(3,4).故所求切線方程為y3或3x4y120.(2)設(shè)點(diǎn)M(x，y

26、)，由|MA|2|MO|，知eq r(x2y32)2eq r(x2y2)，化簡(jiǎn)得x2(y1)24.即點(diǎn)M的軌跡為以(0，1)為圓心，2為半徑的圓，可記為圓D.又因?yàn)辄c(diǎn)M也在圓C上，故圓C與圓D的關(guān)系為相交或相切故1|CD|3，其中|CD|eq r(a22a32).解得0aeq f(12,5).即圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍是eq blcrc(avs4alco1(0，f(12,5).課時(shí)精練1圓C1：(x1)2(y2)24與圓C2：(x3)2(y2)24的公切線的條數(shù)是()A1 B2 C3 D4答案C解析圓C1：(x1)2(y2)24的圓心為C1(1,2)，半徑為2，圓C2：(x3)2(y2)24

27、的圓心為C2(3,2)，半徑為2，兩圓的圓心距|C1C2|eq r(132222)422，即兩圓的圓心距等于兩圓的半徑之和，故兩圓外切，故公切線的條數(shù)為3.2過點(diǎn)P(2,4)作圓(x1)2(y1)21的切線，則切線方程為()A3x4y40B4x3y40Cx2或4x3y40Dy4或3x4y40答案C解析當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線x2與圓相切；當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為y4k(x2)，即kxy42k0，則eq f(|k142k|,r(k21)1，解得keq f(4,3)，得切線方程為4x3y40.綜上，得切線方程為x2或4x3y40.3(2022滄州模擬)若圓C：x216xy2m0被直線3x4y40截得

28、的弦長(zhǎng)為6，則m等于()A26 B31 C39 D43答案C解析將圓化為(x8)2y264m(m1”是曲線C表示圓的充要條件B當(dāng)m3eq r(3)時(shí)，直線l與曲線C表示的圓相交所得的弦長(zhǎng)為1C“m3”是直線l與曲線C表示的圓相切的充分不必要條件D當(dāng)m2時(shí)，曲線C與圓x2y21有兩個(gè)公共點(diǎn)答案C解析對(duì)于A，曲線C：x2y24x2my50(x2)2(ym)2m21，曲線C要表示圓，則m210m1，所以“m1”是曲線C表示圓的充分不必要條件，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，m3eq r(3)時(shí)，直線l：xeq r(3)y10，曲線C：(x2)2(y3eq r(3)226，圓心到直線l的距離deq f(|2r(3)

29、3r(3)1|,r(13)5，所以弦長(zhǎng)2eq r(r2d2)2eq r(2625)2，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若直線l與圓相切，則圓心到直線l的距離deq f(|6m23|,r(9m2)eq r(m21)m3，所以“m3”是直線l與曲線C表示的圓相切的充分不必要條件，C正確；對(duì)于D，當(dāng)m2時(shí)，曲線C：(x2)2(y2)23，其圓心坐標(biāo)為(2,2)，req r(3)，曲線C與圓x2y21的圓心距為eq r(202202)2eq r(2)eq r(3)1，故兩圓相離，不會(huì)有兩個(gè)公共點(diǎn)，D錯(cuò)誤6(多選)(2022?？谀M)已知圓O1：x2y22x30和圓O2：x2y22y10的交點(diǎn)為A，B，則()A圓O1

30、和圓O2有兩條公切線B直線AB的方程為xy10C圓O2上存在兩點(diǎn)P和Q使得|PQ|AB|D圓O1上的點(diǎn)到直線AB的最大距離為2eq r(2)答案ABD解析對(duì)于A，因?yàn)閮蓚€(gè)圓相交，所以有兩條公切線，故A正確；對(duì)于B，將兩圓方程作差可得2x2y20，即得公共弦AB的方程為xy10，故B正確；對(duì)于C，直線AB經(jīng)過圓O2的圓心(0,1)，所以線段AB是圓O2的直徑，故圓O2中不存在比AB長(zhǎng)的弦，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，圓O1的圓心坐標(biāo)為(1,0)，半徑為2，圓心到直線AB：xy10的距離為eq f(|11|,r(2)eq r(2)，所以圓O1上的點(diǎn)到直線AB的最大距離為2eq r(2)，D正確7(2021天

31、津)若斜率為eq r(3)的直線與y軸交于點(diǎn)A，與圓x2(y1)21相切于點(diǎn)B，則|AB|_.答案eq r(3)解析設(shè)直線AB的方程為yeq r(3)xb，則點(diǎn)A(0，b)，由于直線AB與圓x2(y1)21相切，且圓心為C(0,1)，半徑為1，則eq f(|b1|,2)1，解得b1或b3，所以|AC|2，因?yàn)閨BC|1，故|AB|eq r(|AC|2|BC|2)eq r(3).8若A為圓C1：x2y21上的動(dòng)點(diǎn)，B為圓C2：(x3)2(y4)24上的動(dòng)點(diǎn)，則線段AB長(zhǎng)度的最大值是_答案8解析圓C1：x2y21的圓心為C1(0,0)，半徑r11，圓C2：(x3)2(y4)24的圓心為C2(3，4

32、)，半徑r22，所以|C1C2|5.又A為圓C1上的動(dòng)點(diǎn)，B為圓C2上的動(dòng)點(diǎn)，所以線段AB長(zhǎng)度的最大值是|C1C2|r1r25128.9已知圓C：x2y28y120，直線l：axy2a0.(1)當(dāng)a為何值時(shí)，直線l與圓C相切；(2)當(dāng)直線l與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|2eq r(2)時(shí)，求直線l的方程解(1)根據(jù)題意，圓C：x2y28y120，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2(y4)24，其圓心為(0,4)，半徑r2，若直線l與圓C相切，則有eq f(|42a|,r(1a2)2，解得aeq f(3,4).(2)設(shè)圓心C到直線l的距離為d，則eq blc(rc)(avs4alco1(f(|AB|,2

33、)2d2r2，即2d24，解得deq r(2)，則有deq f(|42a|,r(1a2)eq r(2)，解得a1或a7，則直線l的方程為xy20或7xy140.10已知點(diǎn)P(2,2)，圓C：x2y28y0，過點(diǎn)P的動(dòng)直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)(1)求M的軌跡方程；(2)當(dāng)|OP|OM|時(shí)，求l的方程及POM的面積解(1)圓C的方程可化為x2(y4)216，所以圓心為C(0,4)，半徑為4.設(shè)M(x，y)，則eq o(CM,sup6()(x，y4)，eq o(MP,sup6()(2x，2y)由題設(shè)知eq o(CM,sup6()eq o(MP,sup6()0，故x

34、(2x)(y4)(2y)0，即(x1)2(y3)22.由于點(diǎn)P在圓C的內(nèi)部，所以M的軌跡方程是(x1)2(y3)22.(2)由(1)可知M的軌跡是以點(diǎn)N(1,3)為圓心，eq r(2)為半徑的圓由于|OP|OM|，故O在線段PM的垂直平分線上，又P在圓N上，從而ONPM.因?yàn)镺N的斜率為3，所以l的斜率為eq f(1,3)，故l的方程為x3y80.又|OM|OP|2eq r(2)，O到l的距離為eq f(4r(10),5)，所以|PM|eq f(4r(10),5)，SPOMeq f(1,2)eq f(4r(10),5)eq f(4r(10),5)eq f(16,5)，故POM的面積為eq f(

35、16,5).11如果圓C：(xa)2(ya)28上總存在兩個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離均為eq r(2)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A(3，1)(1,3) B(3,3)C1,1 D(3，11,3)答案A解析到原點(diǎn)的距離為eq r(2)的點(diǎn)的軌跡方程為圓C1：x2y22，因此圓C：(xa)2(ya)28上總存在兩個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離均為eq r(2)，轉(zhuǎn)化為圓C1：x2y22與圓C：(xa)2(ya)28有兩個(gè)交點(diǎn)，兩圓的圓心和半徑分別為C1(0,0)，r1eq r(2)，C(a，a)，r2eq r(2)，rr1|C1C|r1r，eq r(2)eq r(2)|a|3eq r(2)，解得實(shí)數(shù)a的取值范圍是(3，1)(1,3)12已知圓C：(x1)2(y2)29上存在四個(gè)點(diǎn)到直線l：xyb0的距離等于2，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是()A(，15eq r(2)(15eq r(2)，)B(15eq r(2)，15eq r(2)C(，1eq r(2)(1eq r(2)，)D(1eq r(2)，1eq r(2)答案D解析由C：(x1)2(y2)29知圓心C(1,2)，半徑為3，若圓C：(x1)2(y2)29上存在四個(gè)點(diǎn)到直線l：xy