典例精析：生活中的優(yōu)化問題

1、PAGE6生活中的優(yōu)化問題典例精析生活中的許多優(yōu)化問題，往往可以歸結(jié)為求函數(shù)的最大值或最小值問題?？荚囌f明要求“會(huì)利用導(dǎo)數(shù)解決某些實(shí)際問題”這也是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的一個(gè)重要方面。在利用導(dǎo)數(shù)解決這類優(yōu)化問題時(shí)，其一般步驟是：（1）設(shè)出恰當(dāng)?shù)奈粗?，并確定未知量的取值范圍（即函數(shù)的定義域）；（2）依題意將所求最值的量表示為未知量的函數(shù)；（3）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)等于零，得到導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)；（4）通過單調(diào)性確定出函數(shù)的最值點(diǎn)及最值。舉例說明。例1某分公司經(jīng)銷某種品牌產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為3元，并且每件產(chǎn)品需向總公司交元（）的管理費(fèi)，預(yù)計(jì)當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為元（）時(shí)，一年的銷售量為萬件（）求分公司一年的利潤(rùn)（萬

2、元）與每件產(chǎn)品的售價(jià)的函數(shù)關(guān)系式；（）當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為多少元時(shí)，分公司一年的利潤(rùn)最大，并求出的最大值分析：公司利潤(rùn)=每件產(chǎn)品的（售價(jià)-成本-管理費(fèi)銷售量，故可設(shè)出每件產(chǎn)品的售價(jià)，將分公司一年的利潤(rùn)表示成售價(jià)的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值即可。解：（）分公司一年的利潤(rùn)（萬元）與售價(jià)的函數(shù)關(guān)系式為：（）令得或（不合題意，舍去），在兩側(cè)的值由正變負(fù)所以（1）當(dāng)即時(shí)，（2）當(dāng)即時(shí)，所以答：若，則當(dāng)每件售價(jià)為9元時(shí)，分公司一年的利潤(rùn)最大，最大值（萬元）；若，則當(dāng)每件售價(jià)為元時(shí)，分公司一年的利潤(rùn)最大，最大值（萬元）點(diǎn)評(píng)：本小題考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用等知識(shí)，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決實(shí)際問題的能力解題的關(guān)鍵

3、是要注意題目中的及的范圍，因?yàn)榍蠼獾降臉O值點(diǎn)中含有參數(shù)，所以要對(duì)參數(shù)并結(jié)合的范圍進(jìn)行分類討論。例2如圖，有一塊半橢圓形鋼板，其半軸長(zhǎng)為，短半軸長(zhǎng)為，計(jì)劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，下底是半橢圓的短軸，上底的端點(diǎn)在橢圓上，記，梯形面積為（1）求面積以為自變量的函數(shù)式，并寫出其定義域；（2）求面積的最大值分析：由題意可知，需將鋼板的面積表示成為變量的函數(shù)，而此梯形的面積關(guān)鍵是求出它的高，因此，應(yīng)首先建立平面直角坐標(biāo)系，借助橢圓的方程進(jìn)行求解。解：（1）依題意，以的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系（如圖），則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為點(diǎn)的縱坐標(biāo)滿足方程，解得，其定義域?yàn)椋?）記，則令，得因?yàn)楫?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以是的最大值

4、因此，當(dāng)時(shí)，也取得最大值，最大值為即梯形面積的最大值為點(diǎn)評(píng)：本小題考查橢圓、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用等知識(shí)，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決實(shí)際問題的能力本題的主要方法是首先建立恰當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，得到橢圓的方程，然后才能建立面積的一個(gè)函數(shù)表達(dá)式，其次還要注意在第一問中要標(biāo)明函數(shù)的定義域，第二問中所給函數(shù)在給定的區(qū)間上只有一個(gè)極值點(diǎn)，那么它也是函數(shù)在該區(qū)間上的最值點(diǎn)，據(jù)此可求得函數(shù)的最值。例3某企業(yè)有一條價(jià)值萬元的生產(chǎn)流水線，要提高該生產(chǎn)流水線的生產(chǎn)能力，提高產(chǎn)品的增加值，就要對(duì)流水線進(jìn)行技術(shù)改造假設(shè)增加值（萬元）與技改投入（萬元）之間的關(guān)系滿足：與成正比例；當(dāng)時(shí)，；其中為常數(shù)且（1）設(shè)，求出的表達(dá)式，并求其定義域；（2）求出增加值的最大值，并求出此時(shí)的的值分析：由條件可直接列出函數(shù)表達(dá)式，再根據(jù)條件提供的初始值，求出其中的比例系數(shù)，因此第一問難度不大，解決第二問要充分考慮條件中的及的范圍。解：（1）設(shè)，當(dāng)時(shí)，從而有由，得（2），令，解得，或（）若，即，則當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在上為減函數(shù)故對(duì)于的情況，當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為（）若，即，則仿（1）可得在上是增函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為綜上可知：當(dāng)時(shí)，增加值的最大值是萬元，此時(shí)技改投入為萬元；當(dāng)時(shí)，增加值的最大值是萬元，此時(shí)技改投入為萬元點(diǎn)評(píng)：本小題考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用等知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決實(shí)際問題的能力