專(zhuān)題23＋空間中的平行與垂直證明技巧（文）

1、PAGE28專(zhuān)題23空間中的平行與垂直證明技巧一【學(xué)習(xí)目標(biāo)】（1）熟練掌握線(xiàn)面平行、面面平行的判定定理和性質(zhì)，會(huì)把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題（2）學(xué)會(huì)應(yīng)用“化歸思想”進(jìn)行“線(xiàn)線(xiàn)問(wèn)題、線(xiàn)面問(wèn)題、面面問(wèn)題”的互相轉(zhuǎn)化（3）能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的位置關(guān)系的簡(jiǎn)單命題（4）熟練掌握空間中線(xiàn)面垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理；運(yùn)用公理、定理證明或判定空間圖形的垂直關(guān)系的簡(jiǎn)單命題不論何種“垂直”都能化歸到“線(xiàn)線(xiàn)垂直”二【知識(shí)點(diǎn)及方法歸納】1直線(xiàn)與平面平行的判定1判定定理：如果平面外一條直線(xiàn)和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線(xiàn)，那么這條直線(xiàn)和這個(gè)平面平行，即ab，a，ba2如果兩個(gè)平面平行，那么一個(gè)平面內(nèi)的直

2、線(xiàn)與另一個(gè)平面平行，則a2直線(xiàn)與平面平行的性質(zhì)如果一條直線(xiàn)和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線(xiàn)的平面和這個(gè)平面相交；那么這條直線(xiàn)就和平面平行，即a，a，b，3直線(xiàn)與平面垂直的判定1定義如果一條直線(xiàn)和平面內(nèi)任意一條直線(xiàn)都垂直，那么這條直線(xiàn)和這個(gè)平面垂直2判定定理1如果一條直線(xiàn)和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)都垂直，那么這條直線(xiàn)垂直于這個(gè)平面用符號(hào)語(yǔ)言表示為：若m，n，mnB，lm，ln，則l3如果兩條平行線(xiàn)中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面用符號(hào)語(yǔ)言表示為：若ab，a，則b4面面垂直的性質(zhì)定理如果兩個(gè)平面垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線(xiàn)的直線(xiàn)垂直于另一個(gè)平面5兩平面平行的性質(zhì)定理如果兩個(gè)平

3、面平行，那么與其中一個(gè)平面垂直的直線(xiàn)也與另一個(gè)平面垂直6如果兩個(gè)相交平面都垂直于第三個(gè)平面，那么它們的交線(xiàn)也垂直于第三個(gè)平面4兩平面平行的判斷方法1依定義采用反證法2依判定定理通過(guò)說(shuō)明一平面內(nèi)有兩相交直線(xiàn)與另一平面平行來(lái)判斷兩平面平行3依據(jù)垂直于同一直線(xiàn)的兩平面平行來(lái)判定4依據(jù)平行于同一平面的兩平面平行來(lái)判定5平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化程序線(xiàn)線(xiàn)平行線(xiàn)面平行面面平行從上易知三者之間可以進(jìn)行任意轉(zhuǎn)化，因此要判定某一平行的過(guò)程就是從一平行出發(fā)不斷轉(zhuǎn)化的過(guò)程在解題時(shí)要把握這一點(diǎn)，靈活確定轉(zhuǎn)化思路和方向三【解題方法總結(jié)】1證明直線(xiàn)與平面平行和直線(xiàn)與平面垂直常運(yùn)用判定定理，即轉(zhuǎn)化為線(xiàn)線(xiàn)的平行與垂直關(guān)系來(lái)證明2直線(xiàn)與平

4、面平行的判定方法：1aa定義法，2eqblcrcavs4alco1ab,a,ba，這里表示平面，a，b表示直線(xiàn)3證明線(xiàn)面垂直的方法主要有：以下A為點(diǎn)，m，n，l，a，b表示直線(xiàn)，表示平面1利用線(xiàn)面垂直的定義：a與內(nèi)任何直線(xiàn)垂直a；2利用判定定理：eqblcrcavs4alco1m，n，mnA,lm，lnl；3利用第二判定定理：ab，a，則b；4利用面面平行的性質(zhì)定理：，a，則a5利用面面垂直的性質(zhì)定理：，l，a，al，則a4面面垂直的證明方法：1利用定義：和所成的二面角為直二面角；2利用判定定理：若a，a，則5性質(zhì)定理的恰當(dāng)應(yīng)用：1若，l，a，al，則a，用來(lái)證明線(xiàn)面垂直，也用來(lái)確定點(diǎn)到平面的

5、垂線(xiàn)段2若，點(diǎn)不一定垂直n，可能m,n的夾角為鈍角或者銳角，故錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，若，則a不一定垂直b，可能a,b夾角為鈍角或銳角，故錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，若m平行n，則a與b可能異面，故錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，若m和n相交，可能a在b的上方，此時(shí)異面，a與b也可能相交，故正確。故選D?！军c(diǎn)睛】本道題考查了空間直線(xiàn)與直線(xiàn)的位置關(guān)系，關(guān)鍵發(fā)揮空間想象能力，逐一排除答案，即可，難度中等。練習(xí)1三棱錐A一BCD的六條棱所在直線(xiàn)成異面直線(xiàn)的有（）A3對(duì)B4對(duì)C5對(duì)D6對(duì)【答案】A【解析】如圖：三棱錐中六條棱所在直線(xiàn)成異面直線(xiàn)的有AB與CD，AC與BD，AD與BC共3對(duì)故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查了三棱錐的六條棱所在直線(xiàn)存在多少

6、對(duì)異面直線(xiàn)，結(jié)合異面直線(xiàn)的定義即可判斷出結(jié)果，較為簡(jiǎn)單練習(xí)2在正方體中，分別是線(xiàn)段的中點(diǎn)，以下結(jié)論：丄；與異面；丄面；其中正確的是（）ABCD【答案】C【解析】連接，由中位線(xiàn)定理可判斷；由線(xiàn)面垂直的性質(zhì)可判斷；由線(xiàn)面垂直的判斷定理可判斷【詳解】連接，由為的中位線(xiàn)可得，故錯(cuò)誤；由平面，可得，即有，故正確；由，可得平面，即有面，故正確，故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查正方體的性質(zhì)、線(xiàn)面垂直的性質(zhì)、線(xiàn)面垂直的判定定理，屬于難題解答空間幾何體中垂直關(guān)系時(shí)，一般要根據(jù)已知條件把空間中的線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面之間垂直關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化時(shí)要正確運(yùn)用有關(guān)的定理，找出足夠的條件進(jìn)行推理；證明直線(xiàn)和平面垂直的常用方法有：（1

7、）利用判定定理；（2）利用判定定理的推論；（3）利用面面平行的性質(zhì)；（4）利用面面垂直的性質(zhì)，當(dāng)兩個(gè)平面垂直時(shí)，在一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線(xiàn)的直線(xiàn)垂直于另一個(gè)平面練習(xí)3如圖，在正四棱錐SABCD中，E，M，N分別是BC，CD，SC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)，梯形EFGH的面積為，則平行線(xiàn)EH、FG間的距離為A8cmB6cmC4cmD9cm【答案】A【解析】首先根據(jù)相似三角形可求出和的長(zhǎng)，結(jié)合梯形面積公式即可得結(jié)果【詳解】由題知，設(shè)平行線(xiàn)、之間距離為，則，故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間中兩條直線(xiàn)的平行關(guān)系，相似三角形的性質(zhì)，梯形的面積等，屬于基礎(chǔ)題練習(xí)1如圖，在棱長(zhǎng)為4的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為D

8、D1的中點(diǎn)，F(xiàn)、G分別為C1D1、BC1上一點(diǎn)，C1F=1，且FG平面ACE，則BG=（）AB4CD【答案】C【點(diǎn)睛】本題考查線(xiàn)面平行的性質(zhì)以及應(yīng)用，涉及正方體的幾何結(jié)構(gòu)，屬于基礎(chǔ)題練習(xí)2如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，分別是棱的中點(diǎn)，過(guò)的平面與棱分別交于點(diǎn)設(shè)，四邊形一定是菱形；平面；四邊形的面積在區(qū)間上具有單調(diào)性；四棱錐的體積為定值以上結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是A4B3C2D1【答案】B【解析】因?yàn)閷?duì)面互相平行，所以四邊形一定是平行四邊形；因?yàn)镋F垂直平面BDD1B1,所以EF垂直GH，所以四邊形一定是菱形；因?yàn)锳C練習(xí)1a，b，c為三條不重合的直線(xiàn)，為三個(gè)不重合的平面，給出的下列命題中，正確的個(gè)數(shù)為ab；a

9、b；A1B2C3D4【答案】B【解析】由平行公理4知ab正確ab或a與b相交或異面均可，故不正確；或，相交，不正確；，由面面平行的性質(zhì)知正確故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線(xiàn)與平面平行的判定，以及平面與平面平行的判定，同時(shí)考查了對(duì)定理的理解，屬于綜合題練習(xí)2幾何體ABCDA1B1C1D1是棱長(zhǎng)為a的正方體，M、N分別是下底面棱A1B1、B1C1的中點(diǎn)，、N三點(diǎn)的平面交上底面于N平面A1B1C1D1MN平面ABCD，又N平面ABCD，MN、N分別是A1B1、B1C1的中點(diǎn)MNA1C1AC，PQAC，又，ABCD-A1B1C1D1是棱長(zhǎng)為a的正方體，從而，故選B【點(diǎn)睛】本題考查平面與平面平行的性質(zhì)

10、，是立體幾何中面面平行的基本題型，本題要求靈活運(yùn)用定理進(jìn)行證明（十）例10如圖，已知六棱錐PABCDEF的底面是正六邊形，PA平面ABC，則下列結(jié)論正確的是（）APBADB平面PAB平面PBCC直線(xiàn)BC平面PAED直線(xiàn)CD平面PAC【答案】D【解析】因?yàn)锳D與PB在平面ABC內(nèi)的射影AB不垂直，所以A答案不正確過(guò)點(diǎn)A作PB的垂線(xiàn)，垂足為H，若平面PAB平面PBC，則AH平面PBC，所以AHBC又PABC，所以BC平面PAB，則BCAB，這與底面是正六邊形不符，所以B答案不正確若直線(xiàn)BC平面PAE，則BCAE，但BC與AE相交，所以C答案不正確故選D【點(diǎn)睛】本題考查線(xiàn)面位置關(guān)系的判定與證明，熟練

11、掌握空間中線(xiàn)面位置關(guān)系的定義、判定、幾何特征是解答的關(guān)鍵，其中垂直、平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見(jiàn)類(lèi)型：1證明線(xiàn)面、面面平行，需轉(zhuǎn)化為證明線(xiàn)線(xiàn)平行；2證明線(xiàn)面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線(xiàn)線(xiàn)垂直；3證明線(xiàn)線(xiàn)垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線(xiàn)面垂直練習(xí)1如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點(diǎn)，G是EF的中點(diǎn)，現(xiàn)在沿AE，AF及EF把這個(gè)正方形折成一個(gè)空間圖形，使B，C，D三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為H，那么，在這個(gè)空間圖形中必有AAG平面EFHBAH平面EFHCHF平面AEFDHG平面AEF【答案】B【解析】分析折疊前與折疊后位置關(guān)系、幾何量的變與不變，可得HA、HE、HF三者相互垂直，根據(jù)線(xiàn)面垂直

12、的判定定理，進(jìn)而可判斷【詳解】分析折疊前與折疊后位置關(guān)系、幾何量的變與不變，可得HA、HE、HF三者相互垂直，AH平面EFH，B正確；過(guò)A只有一條直線(xiàn)與平面EFH垂直，A不正確；AGEF，EFAH，EF平面HAG，平面HAGAEF，過(guò)H作直線(xiàn)垂直于平面AEF，一定在平面HAG內(nèi)，C不正確；HG不垂直于A(yíng)G，HG平面AEF不正確，D不正確故選：B【點(diǎn)睛】本題了考查直線(xiàn)與平面垂直的判定，一般利用線(xiàn)線(xiàn)線(xiàn)面面面，垂直關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化判斷，屬于中檔題練習(xí)2如圖，四棱柱中，分別是、的中點(diǎn)，下列結(jié)論中，正確的是（）AB平面C平面D平面【答案】D【解析】連接交于，由于四邊形是平行四邊形，對(duì)角線(xiàn)平分，故是的中點(diǎn)因

13、為是的中點(diǎn)，所以是三角形的中位線(xiàn)，故，【點(diǎn)睛】本小題主要考查直線(xiàn)和平面的位置關(guān)系，考查棱柱的側(cè)面是平行四邊形這一幾何性質(zhì)，還考查了三角形的中位線(xiàn)以及線(xiàn)面平行的證明兩條直線(xiàn)平行，在直觀(guān)圖中，這兩條直線(xiàn)是平行的，通過(guò)直觀(guān)感知，再根據(jù)線(xiàn)面平行的判定定理即可得出正確的選項(xiàng)屬于基礎(chǔ)題（十一）面面垂直例11如圖，在三棱錐中，平面平面為等邊三角形，其中分別為的中點(diǎn)，則三棱錐的體積為（）ABCD【答案】D【點(diǎn)睛】本題考查平面與平面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用，考查體積的計(jì)算，正確運(yùn)用平面與平面垂直的性質(zhì)定理是關(guān)鍵，是中檔題練習(xí)1如圖所示，四棱錐的底面方正方形，側(cè)面為等邊三角形，且側(cè)面底面，點(diǎn)在底面正方形內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且滿(mǎn)足

14、，則點(diǎn)在正方形的軌跡一定是（）ABCD【答案】B【解析】先確定軌跡是2個(gè)平面的交線(xiàn)，PC的中垂面和正方形ABCD的交線(xiàn)，再確定交線(xiàn)的準(zhǔn)確位置，即找到交線(xiàn)上的2個(gè)固定點(diǎn)【詳解】，點(diǎn)在的中垂面上，點(diǎn)在正方形內(nèi)的軌跡一定是平面和正方形的交線(xiàn)為正方形，側(cè)面為等邊三角形，取的中點(diǎn)，有取的中點(diǎn)，易知，又，平面，即平面與平面重合點(diǎn)在正方形內(nèi)的軌跡一定是線(xiàn)段故選B【點(diǎn)睛】本題考查面面垂直的性質(zhì)，軌跡的確定方法練習(xí)2如下圖，梯形中，,將沿對(duì)角線(xiàn)折起設(shè)折起后點(diǎn)的位置為，并且平面平面給出下面四個(gè)命題：；三棱錐的體積為；平面；平面平面其中正確命題的序號(hào)是（）ABCD【答案】B【解析】利用折疊前四邊形中的性質(zhì)與數(shù)量關(guān)系

15、，可證出，然后結(jié)合平面平面，可得平面，從而可判斷；三棱錐的體積為，可判斷；因?yàn)槠矫?，從而證明，再證明平面，然后利用線(xiàn)面垂直證明面面垂直【詳解】，平面平面，且平面平面，平面，平面，故不成立，故錯(cuò)誤；棱錐的體積為，故錯(cuò)誤；由知平面，故正確；由知平面，又平面，又，且、平面，,平面，又平面,平面平面，故正確故選：B【點(diǎn)睛】本題通過(guò)折疊性問(wèn)題，考查了面面垂直的性質(zhì)，面面垂直的判定，考查了體積的計(jì)算，關(guān)鍵是利用好直線(xiàn)與平面、平面與平面垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化，也要注意利用折疊前后四邊形中的性質(zhì)與數(shù)量關(guān)系（十二）平行垂直綜合例12如圖，四邊形ABCD是圓柱OO的軸截面，點(diǎn)P在圓柱OO的底面圓周上，圓柱OO的底面圓的半

16、徑OA=1，側(cè)面積為2，AOP=60（1）求證：PB平面APD；（2）是否存在點(diǎn)G在PD上，使得AGBD；并說(shuō)明理由（3）求三棱錐D-AGB的體積【解析】（1）由為圓的直徑，可得，再由平面，得，然后利用線(xiàn)面垂直的判定可得平面；（2）存在，當(dāng)點(diǎn)是中點(diǎn)時(shí)，由側(cè)面積公式求得，進(jìn)一步得到，由是的中點(diǎn)，可得，再由（1）得，由線(xiàn)面垂直的判定可得平面，則；（3）直接利用等積法求三棱錐的體積【詳解】（1）證明：AB為圓O的直徑，PBPA，AD平面PAB，PBAD，又PAAD=A，PB平面APD；（2）解：存在當(dāng)點(diǎn)G是PD中點(diǎn)時(shí)，AGBD事實(shí)上，由題意可知，21AD=2，解得AD=1由AOP=60，可得AOP為

17、等邊三角形，得到AP=OA=1在RtPAD中，AD=AP，G是PD的中點(diǎn)，則AGPD由（1）得PBAG，PDPB=P，AG平面PBD，則AGBD；（3），在RtAPB中，AB=2，AP=1，PB=，【點(diǎn)睛】本題考查空間中直線(xiàn)與直線(xiàn)，直線(xiàn)與平面間位置關(guān)系的判定，考查空間想象能力與思維能力，訓(xùn)練了利用等積法求多面體的體積，是中檔題練習(xí)1如圖，幾何體EF-ABCD中，四邊形CDEF是正方形，四邊形ABCD為直角梯形，ABCD，ADDC，ACB是腰長(zhǎng)為2的等腰直角三角形，平面CDEF平面ABCD（1）求證：BCAF；（2）求幾何體EF-ABCD的體積【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）【解析】（1）推導(dǎo)出F

18、CCD，F(xiàn)CBC，ACBC，由此BC平面ACF，從而B(niǎo)CAF（2）推導(dǎo)出ACBC2，AB4，從而ADBCsinABC22，由V幾何體EFABCDV幾何體ACDEFV幾何體FACB，能求出幾何體EFABCD的體積【詳解】（1）因?yàn)槠矫鍯DEF平面ABCD，平面CDEF平面ABCD=CD，又四邊形CDEF是正方形，所以FCCD，F(xiàn)C平面CDEF，所以FC平面ABCD，所以FCBC因?yàn)锳CB是腰長(zhǎng)為2的等腰直角三角形，所以ACBC又ACCF=C，所以BC平面ACF所以BCAF（2）因?yàn)锳BC是腰長(zhǎng)為2的等腰直角三角形，所以AC=BC=2，AB=4，所以AD=BCsinABC=2=2，CD=AB=BC

19、cosABC=4-2cos45=2，DE=EF=CF=2，由勾股定理得AE=2，因?yàn)镈E平面ABCD，所以DEAD又ADDC，DEDC=D，所以AD平面CDEF所以V幾何體EF-ABCD=V幾何體A-CDEFV幾何體F-ACB=【點(diǎn)睛】本題考查線(xiàn)線(xiàn)垂直的證明，考查幾何體的體積的求法，考查空間中線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題練習(xí)2如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，分別為中點(diǎn)，且，（1）平面；（2）若為線(xiàn)段上一點(diǎn)，且平面，求的值；（3）求四棱錐的體積【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）；（3）【解析】（1）連結(jié)，利用勾股定理逆定理可證明，又易證，可證明平面（2）連接，

20、根據(jù)，平面可得，進(jìn)而，利用為中點(diǎn)可得結(jié)論（3）OA是棱錐的高，求底面直角梯形的面積即可代入體積公式計(jì)算【詳解】（1）證明：連結(jié)，為的中點(diǎn)，且，又，是中點(diǎn)，由已知，且是平面內(nèi)兩條相交直線(xiàn)平面（2）連接，由已知底面為直角梯形，則四邊形為平行四邊形所以因?yàn)槠矫?，平面，平面平面，所以所以因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以為中點(diǎn)，所以，又因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)所以（3）由（1）平面得為四棱錐的高，且又因?yàn)槭侵苯翘菪危灾苯翘菪蔚拿娣e為則四棱錐的體積【點(diǎn)睛】本題主要考查了線(xiàn)面垂直、平行的判定和性質(zhì)，棱錐的體積，屬于中檔題練習(xí)3如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形點(diǎn)E是棱PC的中點(diǎn)，平面ABE與棱PD交于點(diǎn)F（1）求

21、證：ABEF；（2）若PA=AD，且平面PAD平面ABCD，求證：AF平面PCD【解析】（1）證明：底面ABCD是正方形，ABCD,又AB平面PCD，CD平面PCD，AB平面PCD,又A，B，E，F(xiàn)四點(diǎn)共面，且平面ABEF平面PCD=EF，ABEF;（2）證明：在正方形ABCD中，CDAD,又平面PAD平面ABCD，且平面PAD平面ABCD=AD，CD平面ABCD,CD平面PADCD平面PAD,又AF平面PAD,CDAF,由（1）可知，ABEF，又ABCD，C,D,E,F在同一平面內(nèi)，CDEF,點(diǎn)E是棱PC中點(diǎn)，點(diǎn)F是棱PD中點(diǎn),在PAD中，PA=AD，AFPD,又PDCD=D，PD、CD平面PCD,AF平面PCD【點(diǎn)睛】本題主要考查了線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理和線(xiàn)面垂直的證明，屬于基礎(chǔ)題練習(xí)4如圖，三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)面AA1C1C側(cè)面ABB1A1，AC=AA1=AB，AA1C1=60，ABAA1，H為棱CC1的中點(diǎn)，D為BB1的中點(diǎn)（1）求證：A1D平面AB1H；（2）若AB=，求三棱柱ABCA1B1C1的體積【解析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得到AHA1D，再由條件得到A1DAB1，于是根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定得到結(jié)論成立；（2）方法一：取A1C1的中點(diǎn)G，連接AG，證明AG為三棱柱ABC