2021年黑龍江省牡丹江市、雞西市朝鮮族學校聯(lián)合體中考數(shù)學真題試卷（解析版）

2021年黑龍江省牡丹江市、雞西市朝鮮族學校聯(lián)合體中考數(shù)學試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．下列運算正確的是（）A．﹣3﹣2＝﹣1 B．3×（﹣）2＝﹣ C．x3?x5＝x15 D．?＝a【分析】直接利用有理數(shù)混合運算法則、同底數(shù)冪的乘除運算法則分別化簡得出答案．【解答】解：A、﹣3﹣2＝﹣5，故此選項錯誤；B、3×（﹣）2＝，故此選項錯誤；C、x3?x5＝x8，故此選項錯誤；D、?＝a，正確．故選：D．2．下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義判斷即可．【解答】解：A選項是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意；B選項是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意；C選項既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，符合題意；D選項不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，不符合題意；故選：C．3．由若干個完全相同的小立方塊搭成的幾何體的左視圖和俯視圖如圖所示，則搭成該幾何體所用的小立方塊的個數(shù)可能是（）A．4個 B．5個 C．7個 D．8個【分析】左視圖、俯視圖是分別從物體正面、左面看，所得到的圖形．【解答】解：從左視圖看第一列2個正方體結合俯視圖可知上面一層有1或2個正方體，左視圖第二列1個正方體結合俯視圖可知下面一層有4個正方體，所以此幾何體共有5或6個正方體．故選：B．4．從小到大的一組數(shù)據(jù)﹣1，1，2，x，6，8的中位數(shù)為2，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和平均數(shù)分別是（）A．2，4 B．2，3 C．1，4 D．1，3【分析】先利用中位數(shù)的定義求出x的值，再根據(jù)眾數(shù)的定義和平均數(shù)的公式，即可求出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和平均數(shù)．【解答】解：∵一組數(shù)據(jù)﹣1，1，2，x，6，8的中位數(shù)為2，∴x＝2×2﹣2＝2，2出現(xiàn)的次數(shù)最多，故這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是2，這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是（﹣1+1+2+2+6+8）÷6＝3．故選：B．5．關于x的一元二次方程（m﹣3）x2+m2x＝9x+5化為一般形式后不含一次項，則m的值為（）A．0 B．±3 C．3 D．﹣3【分析】把原方程化為一般形式，根據(jù)一元二次方程的定義、一次項的概念列式計算即可．【解答】解：（m﹣3）x2+m2x＝9x+5，（m﹣3）x2+（m2﹣9）x﹣5＝0，由題意得：m﹣3≠0，m2﹣9＝0，解得：m＝﹣3，故選：D．6．如圖，在平面直角坐標系中，矩形ABCD的頂點A在雙曲線y＝﹣（x＜0）上，點C，D在y軸的正半軸上，點E在BC上，CE＝2BE，連接DE并延長，交x軸于點F，連接CF，則△FCD的面積為（）A．2 B． C．1 D．【分析】根據(jù)題意設出A點和D點的坐標，設OC長度為m，根據(jù)CE＝2BE，得出E點的坐標，再通過證△DEC∽△DFO，得出比例關系，進而求出FO的長度，利用面積公式求面積剛好能消掉未知數(shù)得出面積的具體數(shù)值．【解答】解：根據(jù)題意，設A（n，﹣），D（0，﹣），設OC＝m，則C（0，m），CD＝﹣﹣m，∴B（n，m），BC＝﹣n，∵CE＝2BE，∴CE＝BC＝﹣n，∴E（n，m），由題知BC∥FO，∴∠DEC＝∠DFO，∠DCE＝∠DOF，∴△DEC∽△DFO，∴＝，即＝，∴FO＝，∴S△FCD＝FO?CD＝×（﹣﹣m）＝1，故選：C．7．若關于x的分式方程＝3的解是非負數(shù)，則b的取值范圍是（）A．b≠4 B．b≤6且b≠4 C．b＜6且b≠4 D．b＜6【分析】先解關于x的分式方程，求得x的值，然后再依據(jù)“解是非負數(shù)”建立不等式求b的取值范圍．【解答】解：去分母得，2x﹣b＝3x﹣6，∴x＝6﹣b，∵x≥0，∴6﹣b≥0，解得，b≤6，又∵x﹣2≠0，∴x≠2，即6﹣b≠2，b≠4，則b的取值范圍是b≤6且b≠4，故選：B．8．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，點D在AB的延長線上，連接CD，若AB＝2BD，tan∠BCD＝，則的值為（）A．1 B．2 C． D．【分析】通過作垂線，構造直角三角形，利用相似三角形的性質可求出＝＝＝，再根據(jù)tan∠BCD＝，設參數(shù)表示AC、BC即可求出答案．【解答】解：過點D作DM⊥BC，交CB的延長線于點M，∵∠ACB＝∠DMB＝90°，∠ABC＝∠DBM，∴△ABC∽△DBM，∴＝＝，∵AB＝2BD，∴＝＝＝，在RtCDM中，由于tan∠MCD＝＝，設DM＝2k，則CM＝3k，又∵＝＝，∴BC＝2k，AC＝4k，∴＝＝2，故選：B．9．大課間，12人跳繩隊為尊重每個隊員的意愿，準備把隊員分成跳大繩組或跳小繩組，大繩組3人一組，小繩組2人一組，在全隊同學能同時參加活動且符合小組規(guī)定人數(shù)的前提下，則不同的分組方法有（）A．1種 B．2種 C．3種 D．4種【分析】根據(jù)全隊12人同時參加活動且符合小組規(guī)定的人數(shù)，則大繩組有0組、兩組或四組，故有三種分組方法．【解答】解：∵全隊12人同時參加活動且符合小組規(guī)定的人數(shù)，且大繩組3人一組，小繩組2人一組，∵12是偶數(shù)，2的倍數(shù)也是偶數(shù)，又∵偶數(shù)+偶數(shù)＝偶數(shù)，∴大繩組人數(shù)必須為偶數(shù)，即大繩組有0組、兩組或四組三種分組情況，故選：C．10．如圖，矩形ABCD的邊CD上有一點E，∠DAE＝22.5°，EF⊥AB，垂足為F，將△AEF繞著點F順時針旋轉，使得點A的對應點M落在EF上，點E恰好落在點B處，連接BE．下列結論：①BM⊥AE；②四邊形EFBC是正方形；③∠EBM＝30°；④S四邊形BCEM：S△BFM＝（2+1）：1．其中結論正確的序號是（）A．①② B．①②③ C．①②④ D．③④【分析】延長BM交AE于N，連接AM，由垂直的定義可得∠AFE＝∠EFB＝90°，根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余得∠EAF＝67.5°，從而有∠EAF+∠FBM＝90°，得到①正確；根據(jù)三個角是直角可判斷四邊形EFBC是正方形，再由EF＝BF可知是正方形，故②正確，計算出∠EBM＝22.5°得③錯誤；根據(jù)等腰直角三角形的性質可知AM＝FM，推導得出AM＝EM＝FM，從而EF＝EM+FM＝（+1）FM，得到S△EFB：S△BFM＝（）：1，再由S四邊形BCEF＝2S△EFB，得S四邊形BCEM：S△BFM＝（2+1）：1，判斷出④正確．【解答】解：如圖，延長BM交AE于N，連接AM，∵EF⊥AB，∴∠AFE＝∠EFB＝90°，∵∠DAE＝22.5°，∴∠EAF＝90°﹣∠DAE＝67.5°，∵將△AEF繞著點F順時針旋轉得△MFB，∴MF＝AF，F(xiàn)B＝FE，∠FBM＝∠AEF＝∠DAE＝22.5°，∴∠EAF+∠FBM＝90°，∴∠ANB＝90°，∴BM⊥AE，故①正確；∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠C＝90°，∵∠EFB＝90°，∴四邊形EFBC是矩形，又∵EF＝BF，∴矩形EFBC是正方形，故②正確；∴∠EBF＝45°，∴∠EBM＝∠EBF﹣∠FBM＝45°﹣22.5°＝22.5°，故③錯誤；∵∠AFM＝90°，AF＝FM，∴∠MAF＝45°，AM＝，∴∠EAM＝67.5°﹣45°＝22.5°，∴∠AEM＝∠MAE，∴EM＝AM＝FM，∴EF＝EM+FM＝（+1）FM，∴S△EFB：S△BFM＝（）：1，又∵四邊形BCEF是正方形，∴S四邊形BCEF＝2S△EFB，∴S四邊形BCEM：S△BFM＝（2+1）：1，故④正確，∴正確的是：①②④，故選：C．二．填空題（共9小題）11．人民網哈爾濱1月10日電，1月10日在黑龍江省政府新聞辦舉辦的“重振雄風再出發(fā)﹣﹣龍江這一年”系列主題新聞發(fā)布會上表示，全省實現(xiàn)旅游收入2683.8億元，將2683.8億用科學記數(shù)法表示為2.683×1011．【分析】科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當原數(shù)絕對值≥10時，n是正整數(shù)．【解答】解：2683.8億＝268380000000＝2.683×1011，故答案為：2.683×1011．12．在函數(shù)y＝+中，自變量x的取值范圍是1≤x≤2．【分析】根據(jù)被開方數(shù)大于等于0，列式計算即可得解．【解答】解：由題意得，2﹣x≥0，x﹣1≥0，解得x≤2，x≥1，∴1≤x≤2．故答案為：1≤x≤2．13．如圖，在△ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC和AC邊的中點，請?zhí)砑右粋€條件AB⊥BC，使四邊形BEFD為矩形．（填一個即可）【分析】證DF、EF都是△ABC的中位線，得DF∥BC，EF∥AB，則四邊形BEFD為平行四邊形，當AB⊥BC時，∠B＝90°，即可得出結論．【解答】解：∵D，E，F(xiàn)分別是AB，BC和AC邊的中點，∴DF、EF都是△ABC的中位線，∴DF∥BC，EF∥AB，∴四邊形BEFD為平行四邊形，當AB⊥BC時，∠B＝90°，∴平行四邊形BEFD為矩形，故答案為：AB⊥BC．14．在一個不透明的袋中裝有除顏色外其余都相同的5個小球，其中3個紅球、2個黃球．如果第一次先從袋中摸出1個球后不放回，第二次再從袋中摸出1個球，那么兩次都摸到黃球的概率是．【分析】畫樹狀圖，共有20種等可能的結果，兩次都摸到黃球的結果有2種，再由概率公式求解即可．【解答】解：畫樹狀圖如圖：共有20種等可能的結果，兩次都摸到黃球的結果有2種，∴兩次都摸到黃球的概率為＝，故答案為：．15．已知關于x的不等式組有5個整數(shù)解，則a的取值范圍是﹣＜a≤0．【分析】解兩個不等式得到不等式組的解集為3a﹣2≤x≤2，則可確定不等式組的整數(shù)解為2，1，0，﹣1，﹣2，于是可得到a不等式組，解不等式組可得a的范圍．【解答】解：，由不等式①，得x≥3a﹣2，由不等式②，得x≤2，∴3a﹣2≤x≤2，∵不等式組有5個整數(shù)解，∴x＝2，1，0，﹣1，﹣2，∴﹣3＜3a﹣2≤﹣2，∴﹣＜a≤0，故答案為﹣＜a≤0．16．如圖，△ABC內接于⊙O，∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，CD⊥AB于點D，若⊙O的半徑為2，則CD的長為．【分析】連接CO，OB，則∠O＝2∠A＝60°，得到△BOC是等邊三角形，求得BC＝2，根據(jù)等腰直角三角形的性質即可得到結論．【解答】解：連接CO，OB，則∠O＝2∠A＝60°，∵OC＝OB，∴△BOC是等邊三角形，∵⊙O的半徑為2，∴BC＝2，∵CD⊥AB，∠CBA＝45°，∴CD＝BC＝，故答案為：．17．如圖，在扇形AOB中，∠AOB＝120°，半徑OC交弦AB于點D，且OC⊥OA．若OA＝2，則陰影部分的面積為+π．【分析】根據(jù)題意，作出合適的輔助線，然后根據(jù)圖形可知陰影部分的面積是△AOD的面積與扇形OBC的面積之和再減去△BDO的面積，本題得以解決．【解答】解：作OE⊥AB于點F，∵在扇形AOB中，∠AOB＝120°，半徑OC交弦AB于點D，且OC⊥OA．OA＝2，∴∠AOD＝90°，∠BOC＝30°，OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝30°，∴OD＝OA?tan30°＝×＝2，AD＝4，AB＝2AF＝2×2×＝6，OF＝，∴BD＝2，∴陰影部分的面積是：S△AOD+S扇形OBC﹣S△BDO＝＝+π，故答案為：+π．18．如圖是一個圓錐形冰淇淋外殼．（不計厚度）已知其母線長為12cm，底面圓的半徑為3cm，則這個冰淇淋外殼的側面積等于36πcm2．【分析】根據(jù)圓的周長公式求出圓錐底面圓的周長，得到圓錐側面展開圖扇形的弧長，根據(jù)扇形面積公式計算，得到答案．【解答】解：∵底面圓的半徑為3cm，∴底面圓的周長為6π（cm），即圓錐側面展開圖扇形的弧長為6πcm，∴這個冰淇淋外殼的側面積＝×12×6π＝36π（cm2）故答案為：36π．19．菱形ABCD中，AB＝6，∠ABC＝60°，以AD為邊作等腰直角三角形ADF，∠DAF＝90°，連接BF，BD，則△BDF的面積為27+或27﹣．【分析】分AF在AD上方還是下方兩種情況，若AF在上方，則有S△BDF＝S△ABD+S△ABF+S△ADF，若AF在下方，則有S△BDF＝S△ABF+S△ADF﹣S△ABD，分別求出這三部分面積即可．【解答】解：當AF在AD上方時，如圖，延長FA交BC于E，∵AB＝6，∠ABC＝60°，∴BE＝3，AE＝3，S菱形ABCD＝BC×AE＝6×＝18，∴S△ABD＝＝9，S△ABF＝，S△ADF＝，∴S△BDF＝S△ABD+S△ABF+S△ADF＝9，當AF在AD下方時，如圖，則S△BDF＝S△ABF+S△ADF﹣S△ABD＝27﹣9，故答案為：27+9或27﹣9．20如圖，正方形A0B0C0A1的邊長為1，正方形A1B1C1A2的邊長為2，正方形A2B2C2A3的邊長為4，正方形A3B3C3A4的邊長為8…依次規(guī)律繼續(xù)作正方形AnBn?nAn+1，且點A0，A1，A2，A3，…，An+1在同一條直線上，連接A0C1交，A1B1于點D1，連接A1C2，交A2B2于點D2，連接A2C3，交A3B3于點D3，…記四邊形A0B0C0D1的面積為S1，四邊形A1B1C1D2的面積為S2，四邊形A2B2C2D3的面積為S3，…，四邊形An﹣1Bn﹣1Cn﹣1Dn的面積為Sn，則S2021＝．【考點】規(guī)律型：圖形的變化類．【專題】線段、角、相交線與平行線；矩形菱形正方形；圖形的相似；推理能力．【答案】．【分析】由正方形的性質得出A1D1∥A2C1，則，得出，同理可得，，，…，，即可得出結果．【解答】解：∵四邊形A0B0C0A1與四邊形A1B1C1A2都是正方形，∴A1D1∥A2C1，∴，∴，∴，同理可得：，∴，，，…，，∴，故答案為：．21先化簡，再求值：，其中x滿足x2﹣2x﹣3＝0．【考點】分式的化簡求值．【專題】計算題；壓軸題．【答案】見試題解答內容【分析】首先運用乘法分配律將所求的代數(shù)式去括號，然后再合并化簡，最后代值求解即可．【解答】解：原式＝＝＝x2﹣3﹣2x+2＝x2﹣2x﹣1由x2﹣2x﹣3＝0，得x2﹣2x＝3∴原式＝3﹣1＝2．22在正方形網格中，每個小正方形的邊長為1，△ABC在平面直角坐標系中的位置如圖所示．（1）以點C為位似中心，作出△ABC的位似圖形△A1B1C，使其位似比為2：1，并寫出點A1的坐標；（2）作出△ABC繞點C逆時針旋轉90°后的圖形△A2B2C；（3）在（2）的條件下，求出點B所經過的路徑長．【考點】軌跡；作圖﹣旋轉變換；作圖﹣位似變換．【專題】作圖題；幾何直觀．【答案】（1）A1（3，﹣3）；（2）見解答；（3）π．【分析】（1）延長AC到A1使A1C＝2AC，延長BC到B1使B1C＝2BC，則可得到△A1B1C，然后寫出點A1的坐標；（2）利用網格特點和旋轉的性質畫出A、B的對應點A2、B2即可；（3）先利用勾股定理計算出CB，然后根據(jù)弧長公式計算點B所經過的路徑長．【解答】解：（1）如圖，△A1B1C為所作，點A1的坐標為（3，﹣3）；（2）如圖，△A2B2C為所作；（3）CB＝＝，所以點B所經過的路徑長＝＝π．23已知拋物線y＝ax2+bx+3經過點A（1，0）和點B（﹣3，0），與y軸交于點C，P為第二象限內拋物線上一點．（1）求拋物線的解析式，并寫出頂點坐標；（2）如圖，連接PB，PO，PC，BC．OP交BC于點D，當S△CPD：S△BPD＝1：2時，求出點D的坐標．【考點】二次函數(shù)的性質；二次函數(shù)圖象上點的坐標特征；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式．【專題】數(shù)形結合；二次函數(shù)圖象及其性質；幾何直觀；運算能力．【答案】（1）拋物線解析式為y＝﹣x2﹣2x+3，頂點坐標為（﹣1，4）；（2）D點坐標為（﹣1，2）．【分析】（1）利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，然后將函數(shù)解析式化為頂點式求其頂點坐標；（2）利用等高三角形面積之比為底邊的比，結合平行線分線段成比例定理求解．【解答】解：（1）將點A（1，0）和點B（﹣3，0）代入函數(shù)解析式，可得，解得：，∴y＝﹣x2﹣2x+3，又∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴拋物線的頂點坐標為（﹣1，4）；（2）如圖，過點D作DM⊥y軸，由y＝﹣x2﹣2x+3，當x＝0時，y＝3，∴C點坐標為（0，3），設直線BC的解析式為y＝kx+b，將B（﹣3，0），C（0，3）代入，可得：，解得：，∴直線BC的解析式為y＝x+3，∵S△CPD：S△BPD＝1：2，∴，，又∵DM⊥y軸，∴DM∥OB，∴，∴，解得：OM＝2，在y＝x+3中，當y＝2時，x＝﹣1，∴D點坐標為（﹣1，2）．24某校在一次歷史考試中，隨機抽取了九年級（1）班部分學生的成績（單位：分）并根據(jù)統(tǒng)計結果繪制成了如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計圖，其中成績在70～80分的學生人數(shù)與成績在90～100分的學生人數(shù)之比為6：7．請結合圖中的信息回答下列問題：（1）本次共抽取學生人；（2）補全條形統(tǒng)計圖；（3）該校九年級學生共有2400人，請你估計成績在50～70分的人數(shù)有多少人．【考點】用樣本估計總體；扇形統(tǒng)計圖；條形統(tǒng)計圖．【專題】數(shù)據(jù)的收集與整理；數(shù)據(jù)分析觀念．【答案】（1）50；（2）補圖見解答過程；（3）288．【分析】（1）結合扇形統(tǒng)計圖和條形統(tǒng)計提，即可計算；（2）根據(jù)扇形統(tǒng)計圖計算出缺少分數(shù)段的人數(shù)作圖即可；（3）先計算概率再根據(jù)概率計算即可．【解答】解：（1）18÷36%＝50（人），故答案為：50；（2）由題知，60～70分：50×8%＝4（人），70～80分：（50﹣2﹣4﹣18）×＝12（人），90～100分：50﹣2﹣4﹣18﹣12＝14（人），∴補圖如下：（3）2400×＝288（人），答：估計成績在50～70分的人數(shù)有288人．25.A，B，C三地在同一條公路上，C地在A，B兩地之間，且到A，B兩地的路程相等．甲、乙兩車分別從A，B兩地出發(fā)，勻速行駛．甲車到達C地并停留1小時后以原速繼續(xù)前往B地，到達B地后立即調頭（調頭時間忽略不計），并按原路原速返回C地停止行駛，乙車經C地到達A地停止行駛．在兩車行駛的過程中，甲、乙兩車距C地的路程y（單位：千米）與所用的時間x（單位：小時）之間的函數(shù)圖象如圖所示，請結合圖象信息解答下列問題：（1）直接寫出A，B兩地的路程和甲車的速度；（2）求乙車從C地到A地的過程中y與x的函數(shù)關系式（不用寫自變量的取值范圍）；（3）出發(fā)后幾小時，兩車在途中距C地的路程之和為180千米？請直接寫出答案．【考點】一次函數(shù)的應用．【專題】一次函數(shù)及其應用；應用意識．【答案】（1）A，B兩地的路程360km，甲車速度為120km/h；（2）乙車從C地到A地的過程中y與x的函數(shù)關系式為：y＝60x﹣180；（3）分別在1h，h，5h這三個時間點，兩車在途中距C地的路程之和為180km．【分析】（1）由在0h的圖象可以求出A，B兩地的路程，先求出甲車經過180km所用時間，再求甲車速度即可；（2）由乙車的圖象，用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；（3）由圖可知，分別在3個時間段可能兩車在途中距C地路程之和為180km，分三種情況討論即可．【解答】解：（1）當0h時，甲車和乙車距C地為180km，∴兩地的路程為：180+180＝360km，設甲車經過180km用了xh，則：x+x+x+1＝5.5，∴x＝1.5，則甲車速度為：180÷1.5＝120（km/h）；（2）設乙車從C地到A地的過程中y與x的函數(shù)關系式為：y＝kx+b（k≠0），將（3，0），（6，180）代入y＝kx+b（k≠0），得：，解得：，∴乙車從C地到A地的過程中y與x的函數(shù)關系式為：y＝60x﹣180；（3）由圖可知，分別在3個時間段可能兩車在途中距C地路程之和為180km，①甲車從A地到C地，乙車從B到C，﹣120x+180+60x+180＝180，解得：x＝1；②甲車從C到B，乙車從C到A，﹣120x﹣300+60x﹣180＝180，記得：x＝；③甲車從B到C，乙車從C到A，﹣120x+660+60x﹣180＝180，解得：x＝5．總上所述：分別在1h，h，5h這三個時間點，兩車在途中距C地的路程之和為180km．26已知∠ABC＝60°，點F在直線BC上，以AF為邊作等邊三角形AFE，過點E作ED⊥AB于點D．請解答下列問題：（1）如圖①，求證：AB+BF＝2BD；（2）如圖②、圖③，線段AB，BF，BD又有怎樣的數(shù)量關系？請寫出你的猜想，不需要證明．【考點】幾何變換綜合題．【專題】幾何綜合題；推理能力．【答案】（1）證明見解析部分．（2）如圖②，結論：AB﹣BF＝2BD，如圖③，結論：BF﹣AB＝2BD，證明見解析部分．【分析】（1）如圖①中，連接BE，在BC的延長線上截取BT，使得BT＝BA，連接AT．根據(jù)等邊三角形的性質得到AT＝AB，AF＝AE，∠TAB＝∠FAE＝60°，推出∠TAF＝∠BAE，證得△ATF≌△ABE，根據(jù)全等三角形的性質得到TF＝BE，∠ATB＝∠ABE＝60°，根據(jù)直角三角形的性質得到BD＝BE，等量代換即可得到結論；（2）①如圖②中，結論：AB﹣BF＝2BD．連接BE，在BC的延長線上截取BT，使得BT＝BA，連接AT．根據(jù)等邊三角形的性質得到AC＝AB，AF＝AE，∠CAB＝∠FAE＝60°，推出∠CAF＝∠BAE，證得△ACF≌△ABE，根據(jù)全等三角形的性質得到CF＝BE，∠C＝∠ABE＝60°，根據(jù)直角三角形的性質得到BD＝BE，等量代換即可得到結論．②如圖③中，結論：BF﹣AB＝2BD，證明類似①中．【解答】（1）證明：如圖①中，連接BE，在BC的延長線上截取BT，使得BT＝BA，連接AT．∵BA＝BT，∠ABT＝60°，∴△ABT是等邊三角形，∵△ABT，△AEF是等邊三角形，∴AT＝AB，AF＝AE，∠TAB＝∠FAE＝60°，∴∠TAF＝∠BAE，在△ATF與△ABE中，，∴△ATF≌△ABE（SAS），∴TF＝BE，∠ATB＝∠ABE＝60°，∵ED⊥AB，∴∠DEB＝30°，∴BD＝BE，∴TF＝2BD，∵BT＝AB，∴AB+BF＝2BD．（2）①如圖②，結論：AB﹣BF＝2BD．理由：連接BE，在BC的延長線上截取BT，使得BT＝BA，連接AT．∵△ABT，△AEF是等邊三角形，∴AT＝AB，AF＝AE，∠TAB＝∠FAE＝60°，∴∠TAF＝∠BAE，在△ATF與△ABE中，，∴△ATF≌△ABE（SAS），∴TF＝BE，∠ATF＝∠ABE＝60°，∴∠EBD＝60°，∵ED⊥AB，∴∠DEB＝30°，∴BD＝BE，∴TF＝2BD，∵BT＝AB，∴AB＝2BD，∴AB﹣BF＝2BD．②如圖③，結論：BF﹣AB＝2BD．理由：連接BE，在BC上截取BT，使得BT＝BA，連接AT．∵△ABT，△AEF是等邊三角形，∴AT＝AB，AF＝AE，∴∠TAF＝∠BAE，在△ATF與△ABE中，，∴△ATF≌△ABE（SAS），∴TF＝BE，∠ATF＝∠ABE＝120°，∴∠EBD＝60°∵ED⊥AB，∴∠DEB＝30°，∴BD＝BE，∴TF＝2BD，∵BT＝AB，∴BF﹣AB＝2BD27某中學初三學生在開學前去商場購進A，B兩款書包獎勵班級表現(xiàn)優(yōu)秀的學生，購買A款書包共花費6000元，購買B款書包共花費3200元，且購買A款書包數(shù)量是購買B款書包數(shù)量的3倍，已知購買一個B款書包比購買一個A款書包多花30元．（1）求購買一個A款書包、一個B款書包各需多少元？（2）為了調動學生的積極性，學校在開學后再次購進了A，B兩款書包，每款書包不少于14個，總花費恰好為2268元，且在購買時商場對兩款書包的銷售單價進行了調整，A款書包銷售單價比第一次購買時提高了8%，B款書包按第一次購買時銷售單價的九折出售．求此次A款書包有幾種購買方案？（3）在（2）的條件下，商場這次銷售兩款書包，單價調整后利潤比調整前減少72元，直接寫出兩款書包的購買方案．【考點】一元一次方程的應用；分式方程的應用；一元一次不等式的應用．【專題】一次方程（組）及應用；分式方程及應用；一元一次不等式(組)及應用；應用意識．【答案】（1）購買一個A款書包需要50元，購買一個B款書包需要80元；（2）此次A款書包有3種購買方案；（3）購買18個A款書包，18個B款書包．【分析】（1）設購買一個A款書包需要x元，則購買一個B款書包需要（x+30）元，利用數(shù)量＝總價÷單價，結合用6000元購買A款書包的數(shù)量是用3200元購買B款書包數(shù)量的3倍，即可得出關于x的分式方程，解之經檢驗后即可得出結論；（2）設購買m個B款書包，則購買（42﹣m）個A款書包，根據(jù)購買的每款書包不少于14個，即可得出關于m的一元一次不等式組，解之即可得出m的取值范圍，再結合（42﹣m）為整數(shù)，即可得出m的值，進而可得出此次A款書包購買方案的個數(shù)；（3）利用減少的利潤＝銷售每個B款書包減少的利潤×銷售數(shù)量﹣銷售每個A款書包增加的利潤×銷售數(shù)量，即可得出關于m的一元一次方程，解之即可得出結論．【解答】解：（1）設購買一個A款書包需要x元，則購買一個B款書包需要（x+30）元，依題意得：＝3×，解得：x＝50，經檢驗，x＝50是原方程的解，且符合題意，∴x+30＝50+30＝80（元）．答：購買一個A款書包需要50元，購買一個B款書包需要80元．（2）設購買m個B款書包，則購買＝（42﹣m）個A款書包，依題意得：，解得：14≤m≤2