不等式線性規(guī)劃基本不等式

不等式知識(shí)歸納：1、實(shí)數(shù)大小比較的基本事實(shí):(1)a>b(1)a>bO;(2)a=bO2、不等式的基本性質(zhì)：(1)對(duì)稱性a>bOba;(3)a>b,na+cb+c;(5)a>b,c<0nacbc;(7)a>b>0n￡a<b(neN,n>2)(9)a>b>0,c>d>0nacbd;3、含有絕對(duì)值的不等式的解法：x<a(a>0)O4、分式不等式：―;(3)a<bO.(2)傳遞性：a>b,b>cnac;(4)a>b,c>0nacbc;(6)a>b>0nanbn(neN,n>2);(8)a>b,c>dna+cb+d;(10)a>b,ab>0n1___1.

abx>a(a>0)O課堂基礎(chǔ)訓(xùn)練：1、設(shè)a,b,c,deR且a>b,c>d，且下列結(jié)論中正確的是()a、bA.a+c>b+dB.a—c>b—dC.ac>bdD.—>—dc2、如果a<0,b>0，那么，下列不等式中正確的是()1:b一(A)<-(B)%'—a<*b(C)a2<b2(D)Ial>lbIab3、若]<-<0,則下列不等式①a+b<ab.，②Ial>lbI[③a<b；abba@-+->2中，正確的不等式有()ab(A)1個(gè)(B)2個(gè)(C)3個(gè)(D)4個(gè)…11…8、不等式一<-的解集是()x2A.(—8,2)B.(2,+8)C.(0,2)D.(—8,0)u(2,+8)9、不等式1<x+1<3的解集為()D.(-4,—2)U(0,2)A.(0,2)B,(-2,0D.(-4,—2)U(0,2)簡單線性規(guī)劃知識(shí)歸納：二元一次不等式表示的區(qū)域?qū)τ谥本€a+By當(dāng)B>0時(shí)，Ax+By+C>0表示直線Ax+By+C=0（）區(qū)域；Ax+By+C<0表示直線Ax+By+c=0的（）區(qū)域當(dāng)B<0時(shí)，Ax+By+C>0表示直線Ax+By+C=0（）區(qū)域;Ax+By+C<0表示直線Ax+By+c=0的（）區(qū)域.2、用圖解法解決簡單的線性規(guī)劃問題的基本步驟：.首先，要根據(jù)線性約束條件畫出可行域（即畫出不等式組所表示的公共區(qū)域）..設(shè)z=0,畫出直線10..觀察、分析，平移直線10,從而找到最優(yōu)解..最后求得目標(biāo)函數(shù)的最大值及最小值.x-y+5>0例1、畫出不等式組<x+y>0表示的平面區(qū)域x<3x-y+5>0即時(shí)訓(xùn)練：不等式組Jx+y>0表示的平面區(qū)域的面積為x<0x-4y<-3例2、設(shè)z=2%+y，式中變量x,例2、設(shè)z=2%+y，式中變量x,y滿足條件1x>1'戶％,即時(shí)訓(xùn)練：設(shè)變量X,y滿足約束條件：|x+2yW2,,求z=x-3y的最小值x三-2.課后鞏固練習(xí)：1、畫出下列二元一次不等式表示的平面區(qū)域:'x-y+5>0,‘2x-y+1>0(1)]x+y>0,；(2)卜x+2y-6<0x<3[y>1x-y三-1.2、設(shè)變量x,y滿足約束條件J,上”三1則目標(biāo)函數(shù)z=4x+y的最大值為(ax十y1,3x-y<3.A.4B.11C.12D.14x+y>22、已知實(shí)數(shù)x、y滿足]丫v<9，則Z=2x-y的取值范圍是ax—y<20<y<3線性規(guī)劃常見題型及解法由已知條件寫出約束條件,并作出可行域,進(jìn)而通過平移直線在可行域內(nèi)求線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解是最常見的題型,除此之外,還有以下六類常見題型。、求線性目標(biāo)函數(shù)的取值范圍例1、若x、y滿足約束條件<y<2,則z=x+2y的取值范圍是A、[2,6]B、[2,5]C、[3,6]D、(3,5]解：如圖,作出可行域,作直線l：向右上方平移,過點(diǎn)A（2,0）過點(diǎn)B（2,2）時(shí)，有最大值x+2y=0,將

時(shí)，有最小值

6,故選A求可行域的面積（）2、不等式組2x+y-6>0<x+y—3<0表示的平面區(qū)域的面積y<2(A、B、C、5D、無窮大解：如圖梯形B作出可行域，4ABC的面積即為所求，OMBC的面積減去梯形OMAC的面積即可，、求可行域中整點(diǎn)個(gè)數(shù)中整點(diǎn)（橫縱坐標(biāo)都是整數(shù)）有（）D、14個(gè)例3、滿足|x|+|y|W2的點(diǎn)（x,y）A、9個(gè)B、10個(gè)C、13個(gè)x+yvx+yv2X—y<2解：|x|+|y|W2等價(jià)于1-x+y<2-x-y<2(X>0,y>0)(x>0,y0)(x0,y>0)(xo,yj。)作出可行域如右圖，是正方形內(nèi)部(包括邊界),易得到整點(diǎn)個(gè)數(shù)為13個(gè)，選D5；四、求線性目標(biāo)函數(shù)中參數(shù)的取值范圍x+y>5例4、已知x、y滿足以下約束條件iX-y+5<0,使X<3z=x+ay(a>0)取得最小值的最優(yōu)解有無數(shù)個(gè)，則a的值為()A、－3B、3C、－1D、1解：如圖，作出可行域，作直線l：x+ay=0,要使目標(biāo)函數(shù)z=x+ay(a>0)取得最小值的最優(yōu)解有無數(shù)個(gè)，則將l向右上方平移后與直線x+y=5重合，故a=1,選D五、求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值'2x+y-2>0例5、已知x、y滿足以下約束條件<x—2y+4>0,則z=x2+y2的最大值3x-y-3<0和最小值分別是()4A、13,1B、13,2C、13,5D、、花255解：如圖，作出可行域，x2+y2是點(diǎn)(x,y)到原點(diǎn)的距離的平方，故最大值為點(diǎn)A(2,3)到原點(diǎn)的距離的平方，即|AO|2二13,最小值為原點(diǎn)到直線2x+y—2=0的距離的平方，即為-,選C六、求約束條件中參數(shù)的取值范圍

例6、已知|2x—y+m|V3表示的平面區(qū)域包含點(diǎn)(0,0)和(一1,1),則m的取值范圍是()A、(-3,6)B、(0,6)C、(0,3)D、(-3,3)12x—y+m+3>0解：⑵一十心3等價(jià)于匕x―>皿—3<o由右圖可知m+3>3由右圖可知，故0VmV3,選Cm—3<0七?比值問題y—a~、當(dāng)目標(biāo)函數(shù)形如z=^-―時(shí)，可把z看作是動(dòng)點(diǎn)尸(X,y)與定點(diǎn)Q(b,a)連線的斜率，x—b這樣目標(biāo)函數(shù)的最值就轉(zhuǎn)化為PQ連線斜率的最值。x—y+2W0,TOC\o"1-5"\h\z例已知變量x,y滿足約束條件卜21,則y的取值范圍是().、x+y—7W0,x+8)(A)[9,6]⑻(-8,9]U[6+8)55(C)(—8,3]U[6,+8)(D)[3,6]解析y是可行域內(nèi)的點(diǎn)M(x,y)與原點(diǎn)Ox(0,0)連線的斜率，當(dāng)直線OM過點(diǎn)(5,9)時(shí)，y取得22x最小值9;當(dāng)直線0兇過點(diǎn)(1,6)時(shí)，y取得最大值6.答案A5x基本不等式1、基本形式：若a>0,b>0，則a+b>2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立.例1：若x>。，求y=x+-1的最小值。x12變1：若x>0，求y=3x+—的最小值。xba變2：若a>0,b>0，求y=-+-的最小值。ab變3：若x>3，求y=x+——的最小值。x一3例2、若a>0,b>0，a+b=10，求ab的最大值變1：若a>0,b>0，a+2b=10，求ab的最大值問題1.已知正數(shù)x、y滿足x+2y=1，求1+1的最小值.xy28例1.已知x>0,y>0且滿足一+—=1，求x+y的最小值.xy1例2.若x>-1，則x=時(shí)，x+一-有最小值，最小值為.x+1課外鞏固練習(xí)：

111、（2008?華附）已知x,jeR*且x+4j=1,則一+-的最小值為xj2、下列函數(shù)中,最小值為4的是()44sinxA.f(x)=x+-；B.f(x)=sinxsinx41()C.2D.3()C.3-2v3D.—1C.f(x)=3x+3X()C.2D.3()C.3-2v3D.—13、若x>1,則x+—的最小值是x一1A.—B.2..'—x一1、x-14、設(shè)x>0,則j=3-3x-1的最大值為xA.3B.3-3v2D.242d,k+8)5、若實(shí)數(shù)a、b滿足a+b=2,則2a+D.242d,k+8)A.8B.4C.2%，；26、已知a>0,b>0,a+b=1,則1+1的取值范圍是()abA.(2