優(yōu)化設(shè)計(jì)的基本概念

機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)機(jī)電學(xué)院黃大宇自我介紹姓名：黃大宇辦公地點(diǎn)：2號(hào)樓106電話67698176E-mail：hdywxl@交待幾個(gè)問(wèn)題:作業(yè)紀(jì)律考試交作業(yè)時(shí)間:根據(jù)課程進(jìn)度要求:關(guān)手機(jī)不要在下面開(kāi)小會(huì) 有問(wèn)題舉手平時(shí)表現(xiàn)（作業(yè)）:15%~20%期末考試(開(kāi)卷）:85%~80%計(jì)劃學(xué)時(shí)數(shù)：30學(xué)時(shí)使用教材汪萍，候慕英主編.機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì).武漢：中國(guó)地質(zhì)大學(xué)出版社，1998（第三版）學(xué)習(xí)參考書(shū)[1]孫靖民.機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì).北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2002[2]陳立周，機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，北京：冶金工業(yè)出版社，1997[3]劉惟信.機(jī)械最優(yōu)化設(shè)計(jì).北京：清華大學(xué)出版社，1994課程介紹而優(yōu)化作為一門(mén)學(xué)科與技術(shù)，則是一切科學(xué)與技術(shù)所追求的永恒主題，旨在從處理各種事物的一切可能的方案中，尋求最優(yōu)的方案。優(yōu)化的原理與方法，在科學(xué)的、工程的和社會(huì)的實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，便是優(yōu)化設(shè)計(jì)。優(yōu)化設(shè)計(jì)是在現(xiàn)代計(jì)算機(jī)廣泛應(yīng)用的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的一項(xiàng)新技術(shù)。是根據(jù)最優(yōu)化原理和方法，以人機(jī)配合方式或“自動(dòng)探索”方式，在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行的半自動(dòng)或自動(dòng)設(shè)計(jì)，以選出在現(xiàn)有工程條件下的最佳設(shè)計(jì)方案的一種現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法。

優(yōu)化設(shè)計(jì)反映出人們對(duì)于設(shè)計(jì)規(guī)律這一客觀世界認(rèn)識(shí)的深化。緒論1.優(yōu)化、優(yōu)化設(shè)計(jì)和機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)的含義例如，古代人類在生產(chǎn)和生活活動(dòng)中經(jīng)過(guò)無(wú)數(shù)次摸索認(rèn)識(shí)到，在使用同樣數(shù)量和質(zhì)量材料的條件下，圓截面的容器比其他任何截面的容器能夠盛放的谷物都要多，而且容器的強(qiáng)度也最大。

優(yōu)化是萬(wàn)物演化的自然選擇和必然趨勢(shì)。優(yōu)化作為一種觀念和意向，人類從很早開(kāi)始就一直在自覺(jué)與不自覺(jué)地追求與探索。

（1）來(lái)源：優(yōu)化一語(yǔ)來(lái)自英文Optimization，其本意是尋

優(yōu)的過(guò)程；

（2）優(yōu)化過(guò)程：是尋找約束空間下給定函數(shù)取極大值（以max

表示)或極小(以min表示)的過(guò)程。優(yōu)化方法也

稱數(shù)學(xué)規(guī)劃，是用科學(xué)方法和手段進(jìn)行決策及

確定最優(yōu)解的數(shù)學(xué)；

（3）優(yōu)化設(shè)計(jì)：根據(jù)給定的設(shè)計(jì)要求和現(xiàn)有的技術(shù)條件，應(yīng)用

專業(yè)理論和優(yōu)化方法，在電子計(jì)算機(jī)上從滿足

給定的設(shè)計(jì)要求的許多可行方案中，按照給定

的目標(biāo)自動(dòng)地選出最優(yōu)的設(shè)計(jì)方案。

機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)就是把機(jī)械設(shè)計(jì)與優(yōu)化設(shè)計(jì)理論及方法相結(jié)合，借助電子計(jì)算機(jī)，自動(dòng)尋找實(shí)現(xiàn)預(yù)期目標(biāo)的最優(yōu)設(shè)計(jì)方案和最佳設(shè)計(jì)參數(shù)。優(yōu)化設(shè)計(jì)流程

常規(guī)設(shè)計(jì)流程2.優(yōu)化設(shè)計(jì)的發(fā)展概況歷史上最早記載下來(lái)的最優(yōu)化問(wèn)題可追溯到古希臘的歐幾里得（Euclid，公元前300年左右），他指出：在周長(zhǎng)相同的一切矩形中，以正方形的面積為最大。十七、十八世紀(jì)微積分的建立給出了求函數(shù)極值的一些準(zhǔn)則，對(duì)最優(yōu)化的研究提供了某些理論基礎(chǔ)。然而，在以后的兩個(gè)世紀(jì)中，最優(yōu)化技術(shù)的進(jìn)展緩慢，主要考慮了有約束條件的最優(yōu)化問(wèn)題，發(fā)展了變分法。直到本世紀(jì)40年代初，由于軍事上的需要產(chǎn)生了運(yùn)籌學(xué)，并使優(yōu)化技術(shù)首先應(yīng)用于解決戰(zhàn)爭(zhēng)中的實(shí)際問(wèn)題，例如轟炸機(jī)最佳俯沖軌跡的設(shè)計(jì)等。50年代末數(shù)學(xué)規(guī)劃方法被首次用于結(jié)構(gòu)最優(yōu)化，并成為優(yōu)化設(shè)計(jì)中求優(yōu)方法的理論基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)規(guī)劃方法是在第二次世界大戰(zhàn)期間發(fā)展起來(lái)的一個(gè)新的數(shù)學(xué)分支，線性規(guī)劃與非線性規(guī)劃是其主要內(nèi)容。

近十幾年來(lái)，最優(yōu)化設(shè)計(jì)方法已陸續(xù)用到建筑結(jié)構(gòu)、化工、冶金、鐵路、航天航空、造船、機(jī)床、汽車、自動(dòng)控制系統(tǒng)、電力系統(tǒng)以及電機(jī)、電器等工程設(shè)計(jì)領(lǐng)域，并取得了顯著效果。其中在機(jī)械設(shè)計(jì)方面的應(yīng)用雖尚處于早期階段，但也已經(jīng)取得了豐碩的成果。一般說(shuō)來(lái)，對(duì)于工程設(shè)計(jì)問(wèn)題，所涉及的因素愈多，問(wèn)題愈復(fù)雜，最優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果所取得的效益就愈大。

最優(yōu)化設(shè)計(jì)是在數(shù)學(xué)規(guī)劃方法的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的，是6O年代初逐步形成電子計(jì)算機(jī)引入結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)領(lǐng)域后的一種有效的設(shè)計(jì)方法。利用這種方法，不僅使設(shè)計(jì)周期大大縮短，計(jì)算精度顯著提高，而且可以解決傳統(tǒng)設(shè)計(jì)方法所不能解決的比較復(fù)雜的最優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題。大型電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)，使最優(yōu)化方法及其理論蓬勃發(fā)展，成為應(yīng)用數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要分支，并在許多科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域中得到應(yīng)用。第一階段人類智能優(yōu)化：與人類史同步，直接憑借人類的直覺(jué)或邏輯思維，如黃金分割法、窮舉法和瞎子爬山法等。隨著人類對(duì)自然界認(rèn)識(shí)的不斷深入，尋找最優(yōu)逐漸從下意識(shí)的、缺乏系統(tǒng)性的行為發(fā)展到目的明確的有意識(shí)活動(dòng)，并在數(shù)學(xué)工具日漸完善的基礎(chǔ)上，對(duì)各種尋找最優(yōu)的活動(dòng)進(jìn)行數(shù)學(xué)描述和分析，指導(dǎo)尋優(yōu)活動(dòng)更有效地進(jìn)行，從而形成了最優(yōu)化理論與方法這一應(yīng)用數(shù)學(xué)理論分支第二階段數(shù)學(xué)規(guī)劃方法優(yōu)化：從三百多年前牛頓發(fā)明微積分算起，電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)推動(dòng)數(shù)學(xué)規(guī)劃方法在近五十年來(lái)得到迅速發(fā)展。第三階段工程優(yōu)化：近二十余年來(lái)，計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展給解決復(fù)雜工程優(yōu)化問(wèn)題提供了新的可能，非數(shù)學(xué)領(lǐng)域?qū)＜议_(kāi)發(fā)了一些工程優(yōu)化方法，能解決不少傳統(tǒng)數(shù)學(xué)規(guī)劃方法不能勝任的工程優(yōu)化問(wèn)題。在處理多目標(biāo)工程優(yōu)化問(wèn)題中，基于經(jīng)驗(yàn)和直覺(jué)的方法得到了更多的應(yīng)用。優(yōu)化過(guò)程和方法學(xué)研究，尤其是建模策略研究引起重視，開(kāi)辟了提高工程優(yōu)化效率的新的途徑。第四階段現(xiàn)代優(yōu)化方法：如遺傳算法、

模擬退火算法、

蟻群算法、

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法等，并采用專家系統(tǒng)技術(shù)實(shí)現(xiàn)尋優(yōu)策略的自動(dòng)選擇和優(yōu)化過(guò)程的自動(dòng)控制，智能尋優(yōu)策略迅速發(fā)展。機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)應(yīng)用實(shí)例美國(guó)波音飛機(jī)公司對(duì)大型機(jī)翼用138個(gè)設(shè)計(jì)變量進(jìn)行結(jié)構(gòu)優(yōu)化，使重量減少了三分之一；大型運(yùn)輸艦用10個(gè)變量進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，使成本降低約10%。實(shí)踐證明，最優(yōu)化設(shè)計(jì)是保證產(chǎn)品具有優(yōu)良的性能，減輕自重或體積，降低產(chǎn)品成本的一種有效設(shè)計(jì)方法。同時(shí)也可使設(shè)計(jì)者從大量繁瑣和重復(fù)的計(jì)算工作中解脫出來(lái)，使之有更多的精力從事創(chuàng)造性的設(shè)計(jì)，并大大提高設(shè)計(jì)效率。例如，工廠在安排生產(chǎn)計(jì)劃時(shí)，首先要考慮在現(xiàn)有原材料、設(shè)備、人力等資源條件下，如何安排生產(chǎn)，使產(chǎn)品的產(chǎn)值最高，或產(chǎn)生的利潤(rùn)最大；又如，在多級(jí)火箭發(fā)射過(guò)程中，如何控制燃料的燃燒速率，從而用火箭所載的有限燃料使火箭達(dá)到最大升空速度；再如，在城市交通管理中，如何控制和引導(dǎo)車輛的流向，盡量減少各個(gè)交叉路口的阻塞和等待時(shí)間、提高各條道路的車輛通行速度，在現(xiàn)有道路條件下取得最大的道路通行能力?；A(chǔ)：（1）最優(yōu)化數(shù)學(xué)理論（2）現(xiàn)代計(jì)算技術(shù)

內(nèi)容：（1）將工程實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化；（建立優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型）（2）用最優(yōu)化計(jì)算方法在計(jì)算機(jī)上

求解數(shù)學(xué)模型。優(yōu)化設(shè)計(jì)是一種現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法，是很好的工具。3.本課程的任務(wù)該課程的主要目的和任務(wù)：①了解和基本掌握機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)的基本知識(shí)；②擴(kuò)大視野，并初步具有應(yīng)用機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)的基本理論和基本方法解決簡(jiǎn)單工程實(shí)際問(wèn)題的素質(zhì)。第一章優(yōu)化設(shè)計(jì)的基本概念

§1-1優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題的示例§1-2優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型

§1-3優(yōu)化問(wèn)題的幾何描述§1-4優(yōu)化計(jì)算的數(shù)值解法及收斂條件§1-1優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題的示例優(yōu)化設(shè)計(jì)就是借助最優(yōu)化數(shù)值計(jì)算方法與計(jì)算機(jī)技術(shù)，求取工程問(wèn)題的最優(yōu)設(shè)計(jì)方案。優(yōu)化設(shè)計(jì)包括：（1）必須將實(shí)際問(wèn)題加以數(shù)學(xué)描述，形成數(shù)學(xué)模型；（2）選用適當(dāng)?shù)囊环N最優(yōu)化數(shù)值方法和計(jì)算程序運(yùn)算求解。1.1.1工程結(jié)構(gòu)件優(yōu)化設(shè)計(jì)

點(diǎn)A處垂直載荷2P＝300000N,跨距2L＝1520mm，空心鋼管厚度T＝0.25cm，材料彈性模量E＝2.16×105MPa，屈服極限σs＝703MPa。求：在滿足強(qiáng)度條件和穩(wěn)定性條件下，使桁架體積最小時(shí)的圓管直徑d和桁架高度H

。圖1.1桁架解：為保證桁架可靠地工作，就必須要求桿件具有足夠的抗壓強(qiáng)度和穩(wěn)定性?？箟簭?qiáng)度：桿件截面上產(chǎn)生的壓應(yīng)力不超過(guò)材料的屈服極限；穩(wěn)定性：桿件截面上的壓應(yīng)力不超過(guò)壓桿穩(wěn)定的臨界應(yīng)力。圖1.1為由兩根鋼管組成的對(duì)稱桁架。1.1.1工程結(jié)構(gòu)件優(yōu)化設(shè)計(jì)

桿件由圓管制成，截面面積F＝πdT

桁架為對(duì)稱靜定，按A點(diǎn)的平衡條件得桿內(nèi)力:圖1.1桁架式中：桿截面壓應(yīng)力：具有足夠的抗壓強(qiáng)度而不發(fā)生壓縮破壞的條件為：滿足穩(wěn)定性不發(fā)生屈曲破壞的條件為：式中

為壓桿穩(wěn)定的臨界應(yīng)。1.1.1工程結(jié)構(gòu)件優(yōu)化設(shè)計(jì)由材料力學(xué)知：壓桿穩(wěn)定的臨界應(yīng)力為：式中：要求在具有足夠的抗壓強(qiáng)度和壓桿穩(wěn)定性的條件下，求總體積最小的桿件尺寸參數(shù)H和d，則表達(dá)式如下：結(jié)構(gòu)總體積：

(1)抗壓強(qiáng)度條件：

，即：(2)壓桿穩(wěn)定性條件：

，即：1.1.1工程結(jié)構(gòu)件優(yōu)化設(shè)計(jì)

以上所述是以d、H為設(shè)計(jì)變量的具有不等式約束優(yōu)化問(wèn)題，其數(shù)學(xué)模型為：設(shè)計(jì)變量：x目標(biāo)函數(shù)：F(x)約束條件：g1(x)g2(x)1.1.1工程結(jié)構(gòu)件優(yōu)化設(shè)計(jì)該優(yōu)化問(wèn)題的解見(jiàn)圖1.2。K點(diǎn)為最優(yōu)點(diǎn)：x1＝d＝4.77cm，x2＝H＝51.31cm最優(yōu)點(diǎn)的桁架體積F(x)＝687.07cm3圖1.2桁架最優(yōu)解1.1.2機(jī)械零件優(yōu)化設(shè)計(jì)

內(nèi)徑D0＝0.12m，內(nèi)部氣體壓強(qiáng)p＝12.75×106N/m2，置螺栓的中心圓直徑D＝0.2m，要求選擇螺栓的直徑d和數(shù)量n，使螺栓組的總成本最低。

螺栓緊固件在機(jī)械設(shè)計(jì)中大量存在，零件雖不很大，但有些產(chǎn)品用量很多，例如波音747飛機(jī)，僅鈦制螺栓7萬(wàn)個(gè)，價(jià)值18萬(wàn)美元，還需40萬(wàn)個(gè)精密螺栓，價(jià)約25萬(wàn)美元。這些螺栓的尺寸規(guī)格及數(shù)量，對(duì)保證產(chǎn)品的可靠性、提高壽命及降低成本很有意義。

解：首先螺栓要滿足強(qiáng)度要求，所用螺栓數(shù)量要考慮密封要求，又要兼顧裝拆的扳手空間。

螺栓組的總成本：Cn＝C·n式中：C為螺栓單價(jià)；n為螺栓個(gè)數(shù)。圖1.3氣缸螺栓組

單價(jià)C與螺栓材料、直徑d、長(zhǎng)度l以及加工狀況有關(guān)。本組螺栓取35＃鋼，長(zhǎng)度l＝50mm的六角頭半精制螺栓，單價(jià)見(jiàn)表1.1。圖1.3所示壓力容器，1.1.2機(jī)械零件優(yōu)化設(shè)計(jì)表1.1長(zhǎng)度為50mm，35＃鋼半精制六角螺栓單價(jià)：直徑d(mm)101214161820單價(jià)C（元）0.0520.0910.1420.1740.2280.251按表1.1數(shù)據(jù)初步畫(huà)出單價(jià)C＝f(d)曲線，見(jiàn)圖1.4用線性回歸法求得方程為：?jiǎn)蝺r(jià)C＝b＋kd式中：b為待定常數(shù)，k為斜率，d為螺栓直徑。

圖1.4單價(jià)圖1.1.2機(jī)械零件優(yōu)化設(shè)計(jì)故:C＝b＋kd＝0.02054d－0.1518解之得：k＝0.02054b＝－0.15181.1.2機(jī)械零件優(yōu)化設(shè)計(jì)螺栓連接所受到的限制為：(l)螺栓強(qiáng)度限制條件：?jiǎn)蝹€(gè)螺栓的許用載荷為[F]，用回歸分析法得：[F]＝64d2.13，安全系數(shù)α＝1.1，則螺栓強(qiáng)度限制（約束）條件為：(2)扳手空間的限制條件：為了保證裝拆時(shí)有足夠的扳手空間，螺栓的周向間距要大于5d

，則扳手空間的限制（約束）條件為：(3)壓力容器密封的條件：為了保證容器密封，壓力均勻且不漏氣。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，螺栓周向間距要小于l0d。則壓力容器密封的限制（約束）條件為：1.1.2機(jī)械零件優(yōu)化設(shè)計(jì)

該優(yōu)化問(wèn)題為：

試確定螺栓的直徑d

和數(shù)量n

，在滿足上述約束條件時(shí)，應(yīng)使螺栓組的造價(jià)總成本最低。

由此得出該優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型為：設(shè)計(jì)變量：目標(biāo)函數(shù)：Cn＝C·n，約束條件：g1(x)，（）g2(x)，（）g3(x)），（即F(x)以上所述是以d、n為設(shè)計(jì)變量的具有三個(gè)不等式約束優(yōu)化問(wèn)題。1.1.4生產(chǎn)管理優(yōu)化

例題

某車間有四臺(tái)機(jī)器，每臺(tái)擬生產(chǎn)3種類型零件，每小時(shí)各零件獲利潤(rùn)見(jiàn)表1.2；生產(chǎn)不同零件之速率示于表1.3；本月對(duì)1、2、3種零件的需求量分別為700、500、400個(gè)；四臺(tái)機(jī)器可提供的工作時(shí)間分別為90、75、90、80h。如何安排生產(chǎn)方可月獲利最大？表1.2每小時(shí)生產(chǎn)各件利潤(rùn)額（元／件）零件種類機(jī)器序號(hào)零件種類機(jī)器序號(hào)12341234156431824925454276633672834852表1.3各機(jī)器生產(chǎn)零件速率（件／h)1.1.4生產(chǎn)管理優(yōu)化

解：為獲利潤(rùn)最大，需合理確定每臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)某種零件若干。設(shè)xij表示第j臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)第i種零件的件數(shù)。

一個(gè)月內(nèi)獲總利潤(rùn)為：W＝5x11＋6x12＋4x13＋3x14＋5x21＋4x22＋5x23＋4x24＋6x31＋7x32＋2x33＋8x34

且要滿足以下約束條件：

(l)數(shù)量需求限制（本月對(duì)1、2、3種零件的需求量分別為700、500、400個(gè)）x11＋x12＋x13＋x14=700x21＋x22＋x23＋x24=500x31＋x32＋x33＋x34＝400零件種類機(jī)器序號(hào)1234156432545436728表1.2每小時(shí)生產(chǎn)各件利潤(rùn)額（元／件）1.1.4生產(chǎn)管理優(yōu)化(2)工時(shí)需求限制（四臺(tái)機(jī)器可提供的工作時(shí)間分別為：90、75、90、80h。）零件種類機(jī)器序號(hào)1234182492766334852表1.3各機(jī)器生產(chǎn)零件速率（件／h)(3)非負(fù)條件：x11，x12，xl3，x14，x21，x22，x23，x24，x31，x32，x32，x34≥0；本題是以xij（i＝1，2，3；j＝1，2，3，4）共12個(gè)設(shè)計(jì)變量的約束優(yōu)化問(wèn)題。1.2優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型把一般的機(jī)械設(shè)計(jì)描述為一個(gè)優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題時(shí)，有下面三部分內(nèi)容：

一是需求解的一組參數(shù)，這組參數(shù)在設(shè)計(jì)中作為變量來(lái)處理，稱為設(shè)計(jì)變量；

二是有一個(gè)明確的追求目標(biāo)，這個(gè)目標(biāo)以設(shè)計(jì)變量的函數(shù)來(lái)體現(xiàn)，稱為目標(biāo)函數(shù)；

三是有若干必須的限制條件，設(shè)計(jì)變量的取值必須滿足這些限制條件，它們稱為設(shè)計(jì)約束。

按照具體機(jī)械設(shè)計(jì)問(wèn)題擬定的設(shè)計(jì)變量、目標(biāo)函數(shù)及約束條件的總體組成了優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型。由1.1中的示例可以看出，下面對(duì)它們分別做介紹。1.2.1設(shè)計(jì)變量1．設(shè)計(jì)變量機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)是欲對(duì)某機(jī)械設(shè)計(jì)項(xiàng)目取得一個(gè)最優(yōu)方案。所謂一個(gè)設(shè)計(jì)方案一般是用一組參數(shù)來(lái)表示。例如1.1.1桁架,P、L、H、d、T、E、σS圖1.1桁架些參數(shù)稱為設(shè)計(jì)常量。設(shè)計(jì)參數(shù)在優(yōu)化設(shè)計(jì)中分成兩種類型，一類參數(shù)是可以根據(jù)設(shè)計(jì)的具體情況或成熟的經(jīng)驗(yàn)預(yù)先給定，這例如在零件結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中材料的彈性模量、許用應(yīng)力等常作為設(shè)計(jì)常量，或?qū)υO(shè)計(jì)結(jié)果影響不大的參數(shù)也常作為設(shè)計(jì)常量處理；另一類參數(shù)在設(shè)計(jì)過(guò)程中需優(yōu)選的參數(shù)，把它作為優(yōu)化設(shè)計(jì)中的設(shè)計(jì)變量。即在設(shè)計(jì)過(guò)程中作為變量處理以供選擇，并最終必須確定的各項(xiàng)獨(dú)立參數(shù)，稱為設(shè)計(jì)變量。優(yōu)化設(shè)計(jì)是研究怎樣合理地優(yōu)選這些設(shè)計(jì)變量值的一種現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法，所以在設(shè)計(jì)計(jì)算過(guò)程中它們是變量，在優(yōu)化過(guò)程中，這些變量最終確定以后，則設(shè)計(jì)方案也即完全確定了。例如1.1.1中可以選擇的參數(shù)是桁架高度h和圓管直徑d，則h、d為該設(shè)計(jì)中的設(shè)計(jì)變量，而已經(jīng)給定的支架水平距離L及所用鋼管厚度T在此優(yōu)化設(shè)計(jì)中即為設(shè)計(jì)常量；1.1.2中的螺栓直徑d和所需的數(shù)量n為設(shè)計(jì)變量。1．設(shè)計(jì)變量另外，有一些參數(shù)與其他參數(shù)之間存在一定的依賴關(guān)系，表面上看來(lái)雖都是變量，但并不都是獨(dú)立的，在這種情況下，要從互相依賴的參數(shù)中把真正獨(dú)立的參數(shù)分解出來(lái)，被分解出的獨(dú)立參數(shù)才是設(shè)計(jì)變量。例如二級(jí)圓柱齒輪減速器的設(shè)計(jì)，已給定總傳動(dòng)比i總，要恰當(dāng)選擇高速級(jí)及低速級(jí)傳動(dòng)比iⅠ、iⅡ，因?yàn)橐獫M足i總＝iⅠiⅡ，所以iⅠ、iⅡ是互相依賴的，如選iⅠ作為獨(dú)立變量，則iⅡ即為非獨(dú)立變量，設(shè)計(jì)者可從互相依賴的兩參數(shù)iⅠ、iⅡ中取其一個(gè)為設(shè)計(jì)變量。若參數(shù)之間存在依賴關(guān)系，其表現(xiàn)形式也多種多樣，設(shè)計(jì)者要按具體情況恰當(dāng)分解出獨(dú)立參量作為設(shè)計(jì)變量。又如在設(shè)計(jì)鉸鏈四桿機(jī)構(gòu)時(shí)，由于四桿長(zhǎng)度l1、l2、l3、l4按同一比例縮放不影響連桿E點(diǎn)軌跡，則以l4去縮放各桿長(zhǎng)度，即取l4＝1，而其余各長(zhǎng)度均是與l4的比值。此處理后的設(shè)計(jì)變量為l1、l2、l3。2．設(shè)計(jì)變量的類型設(shè)計(jì)變量按取值是否連續(xù)分為連續(xù)變量和離散變量。若變量在其取值范圍內(nèi)取任何連續(xù)值均有意義，則是連續(xù)變量，如1.1.1中的桁架高度H；1.1.3中的l1、l2、l3、l5及α等。如設(shè)計(jì)變量取間斷跳躍式的值才有意義，它就是離散變量。機(jī)械設(shè)計(jì)中的離散變量很多，如齒輪的齒數(shù)必須是正整數(shù)，齒輪的模數(shù)、螺紋的名義直徑d、滾動(dòng)軸承的內(nèi)徑等必須符合國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)，這些都是離散變量。3．設(shè)計(jì)變量的幾何描述一個(gè)設(shè)計(jì)方案是以一組設(shè)計(jì)變量來(lái)表示，一組中所包含設(shè)計(jì)變量的個(gè)數(shù)因問(wèn)題而異。設(shè)計(jì)變量的數(shù)目稱為優(yōu)化問(wèn)題的維數(shù)。如一個(gè)設(shè)計(jì)問(wèn)題有n個(gè)設(shè)計(jì)變量，則稱為n維設(shè)計(jì)問(wèn)題（n＝1，2，…）。當(dāng)n＝1時(shí)，稱為一維優(yōu)化問(wèn)題，則設(shè)計(jì)變量xl沿一個(gè)數(shù)軸上選取。當(dāng)n＝2時(shí)，稱為二維設(shè)計(jì)問(wèn)題，設(shè)計(jì)變量表示為：x＝3．設(shè)計(jì)變量的幾何描述二維問(wèn)題可在平面直角坐標(biāo)系中表示，見(jiàn)圖1.6(a)，設(shè)計(jì)變量x1，x2分別在坐標(biāo)軸Ox1，Ox2上取值，當(dāng)（x1，x2）分別取不同值時(shí)，則在x1Ox2坐標(biāo)平面上得到不同的相應(yīng)點(diǎn)，每一個(gè)點(diǎn)表示一種設(shè)計(jì)方案。在圖中，圖1.6(a)設(shè)計(jì)點(diǎn)（x1，x2）為終點(diǎn)的矢量，所以一個(gè)設(shè)計(jì)方案也常稱為設(shè)計(jì)矢量，矢量端點(diǎn)稱設(shè)計(jì)點(diǎn)。所以從設(shè)計(jì)角度、數(shù)的表達(dá)以及圖形描繪各方面看，設(shè)計(jì)方案、設(shè)計(jì)變量、設(shè)計(jì)點(diǎn)、設(shè)計(jì)矢量都是相對(duì)應(yīng)的。x代表由原點(diǎn)O為始點(diǎn)，3．設(shè)計(jì)變量的幾何描述當(dāng)n＝3時(shí)，稱為三維設(shè)計(jì)問(wèn)題，設(shè)計(jì)變量表示為：x=x2，x3分別在Ox1，Ox2，Ox3坐標(biāo)軸上選取，當(dāng)（x1，x2，x3）分別取不同值時(shí)，可有三維空間的不同點(diǎn)與之對(duì)應(yīng)，所以矢量x代表三維設(shè)計(jì)問(wèn)題的設(shè)計(jì)方案、設(shè)計(jì)點(diǎn)、設(shè)計(jì)矢量。三維問(wèn)題在空間直角坐標(biāo)系中表示。各維設(shè)計(jì)變量x1，圖1.6(b)3．設(shè)計(jì)變量的幾何描述在一般情況下，若有n個(gè)設(shè)計(jì)變量，把第i個(gè)設(shè)計(jì)變量記為xi，則一組設(shè)計(jì)變量用n維向量以矩陣形式：x=表示為當(dāng)n>3時(shí)，其各設(shè)計(jì)變量xi(i＝1，2，3，4，…）仍以其對(duì)應(yīng)的各坐標(biāo)軸上取值，可想象成抽象的高維空間表示出各設(shè)計(jì)點(diǎn)x。4．設(shè)計(jì)空間設(shè)計(jì)點(diǎn)的集合稱為設(shè)計(jì)空間。以n個(gè)獨(dú)立變量為坐標(biāo)軸組成的n維向量空間是一個(gè)n維實(shí)空間，用Rn表示。工程設(shè)計(jì)中的設(shè)計(jì)變量均為實(shí)數(shù)，且任意兩矢量有某種計(jì)算，則這樣的空間又稱為n維實(shí)歐氏空間。當(dāng)n＝2，3時(shí)，則設(shè)計(jì)點(diǎn)用平面直角坐標(biāo)系及三維空間直角坐標(biāo)系表示。當(dāng)n≥4時(shí)，就不能用圖象表示，這時(shí)的n維空間又稱為超越空間。方案，由此方案調(diào)整到第k＋1方案，是由設(shè)計(jì)點(diǎn)x(k)移向x(k+1)點(diǎn)，設(shè)計(jì)變量x(k)、x(k+1)之間的關(guān)系為：

x(k+1)

＝x(k)＋α(k)S(k)

（1.2）向量S(k)為移動(dòng)（迭代）方向，α(k)為移動(dòng)（迭代）步長(zhǎng)。5．設(shè)計(jì)矢量的變化設(shè)計(jì)變量x=表示著一個(gè)設(shè)設(shè)計(jì)方案，x(k)=為第k個(gè)圖1.6(c)6．優(yōu)化問(wèn)題的大小

設(shè)計(jì)空間的維數(shù)體現(xiàn)著設(shè)計(jì)的自由度，設(shè)計(jì)變量越多，則設(shè)計(jì)的自由度就越大，可供選擇的方案可擴(kuò)大，設(shè)計(jì)更靈活；但維數(shù)多則設(shè)計(jì)復(fù)雜，運(yùn)算量也增大。當(dāng)n≤10稱為小型設(shè)計(jì)問(wèn)題；當(dāng)10＜n≤50稱為中型問(wèn)題；當(dāng)n>50稱為大型設(shè)計(jì)問(wèn)題。例如1.1.1節(jié)問(wèn)題的設(shè)計(jì)變量x＝[dH]T＝[x1

x2]T是二維優(yōu)化問(wèn)題。

1.1.3節(jié)的x＝[l1

l2

l3

l5

α]T＝[x1

x2

x3

x4x5]T，維數(shù)n＝5。以上兩設(shè)計(jì)均屬小型設(shè)計(jì)問(wèn)題。

1.1.4節(jié)的設(shè)計(jì)變量為：x＝[x11，x12，xl3，x14，x21，x22，x23，x24，x31，x32，x32，x34]T

或x＝[x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9，x10，x11，x12]T其維數(shù)n＝12，屬于中型優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題。1.2.2目標(biāo)函數(shù)

1．優(yōu)化設(shè)計(jì)是在多種因素下欲尋求使設(shè)計(jì)者最滿意、最適宜的一組參數(shù)?！白顫M意”、“最適宜”是針對(duì)某具體問(wèn)題，人們所追求的某一特定目標(biāo)而言在機(jī)械設(shè)計(jì)中，人們總希望所設(shè)計(jì)的產(chǎn)品具有最好的使用性能、體積小、結(jié)構(gòu)緊湊、重量最輕和最少的制造成本以及最多的經(jīng)濟(jì)效益，即有關(guān)性能指標(biāo)和經(jīng)濟(jì)指標(biāo)方面最好。在優(yōu)化設(shè)計(jì)中，一般將所追求的目標(biāo)（最優(yōu)指標(biāo)）用設(shè)計(jì)變量的函數(shù)形式表達(dá)，稱該函數(shù)為優(yōu)化設(shè)計(jì)的目標(biāo)函數(shù)。目標(biāo)函數(shù)的值是評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)方案優(yōu)劣程度的標(biāo)準(zhǔn)，也可稱為評(píng)價(jià)函數(shù)。建立這個(gè)函數(shù)的過(guò)程稱為建立目標(biāo)函數(shù)。一般的表達(dá)式為：

F(x)＝F(x1，x2，…，xn)(1.3)1.2.2目標(biāo)函數(shù)2．在一般情況下，我們總是追求目標(biāo)函數(shù)的極小值，即目標(biāo)函數(shù)值越小，設(shè)計(jì)方案就越好。但是某些實(shí)際問(wèn)題中也可能追求目標(biāo)函數(shù)的極大值。例如追求效率最高，承載能力最大等。由于求目標(biāo)函數(shù)極大化的問(wèn)題等價(jià)于求目標(biāo)函數(shù)負(fù)的極小化的問(wèn)題，即：maxF(x)＝min[－F(x)](1.4)因此，為了簡(jiǎn)化算法和程序起見(jiàn)，我們一律把優(yōu)化過(guò)程看成是追求目標(biāo)函數(shù)極小化的過(guò)程，其一般形式為：minF(x)＝F(x1*，x2*，…，xn*)1.2.2目標(biāo)函數(shù)3．目標(biāo)函數(shù)有單目標(biāo)函數(shù)和多目標(biāo)函數(shù)之分。僅根據(jù)一項(xiàng)設(shè)計(jì)準(zhǔn)則建立的目標(biāo)函數(shù)稱為單目標(biāo)函數(shù)；若某項(xiàng)設(shè)計(jì)需要同時(shí)兼顧若干個(gè)設(shè)計(jì)準(zhǔn)則，這就將構(gòu)成多目標(biāo)函數(shù)。例如，在設(shè)計(jì)一臺(tái)機(jī)器時(shí)，有可能同時(shí)需要追求：整個(gè)機(jī)器的重量為最輕；制造成本最低；維修費(fèi)用最少；能耗最小等。對(duì)于多目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化問(wèn)題，要分別建立滿足不同方面需求的目標(biāo)函數(shù)，即：然后再采取適當(dāng)辦法處理多目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化問(wèn)題。在機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)中，多目標(biāo)函數(shù)問(wèn)題不少，目標(biāo)函數(shù)愈多，設(shè)計(jì)的綜合效果愈好，但問(wèn)題的求解也愈復(fù)雜。1.2.3約束條件在工程設(shè)計(jì)中，設(shè)計(jì)變量的選擇，一般總要受到某些條件的限制。這些限制設(shè)計(jì)變量取值的條件稱為設(shè)計(jì)約束。設(shè)計(jì)約束按其形式來(lái)分，可分為不等式約束和等式約束兩大類，其一般表達(dá)式為：不等式約：gu(x)≥0，ｕ＝1、2、．．．、p；等式約：hv(x)＝0，ｖ＝1、2、．．．、q式中，gu(x)和hv(x)都是設(shè)計(jì)變量的函數(shù)，稱為約束函數(shù)

在機(jī)械設(shè)計(jì)中，絕大多數(shù)的設(shè)計(jì)約束為不等式約束，但是有時(shí)也會(huì)遇到等式約束問(wèn)題。例如，在易拉罐盒優(yōu)化設(shè)計(jì)中，由容積為355cm3的設(shè)計(jì)要求可得到等式約束條件：易拉罐的容積：V＝πd2h／4＝355；即：h(x)＝πx22x１／４－355＝0此約束條件限制了易拉罐盒的高度h和直徑d取值。1.2.3約束條件2．按照設(shè)計(jì)約束的性質(zhì)分，又有性能約束和邊界約束兩類。

所謂性能約束是指由設(shè)計(jì)產(chǎn)品時(shí)提出的性能要求而制定的約束，例如在雙級(jí)圓柱齒輪減速器優(yōu)化設(shè)計(jì)中由強(qiáng)度條件、不干涉條件等構(gòu)成的約束就屬于性能約束；再如在設(shè)計(jì)曲柄搖桿機(jī)構(gòu)時(shí)，要求各桿的長(zhǎng)度滿足曲柄存在的條件。為了保證所設(shè)計(jì)的機(jī)構(gòu)具有良好的傳力效果，要求機(jī)構(gòu)的傳動(dòng)角γ≥[γ]等。

邊界約束是指對(duì)某些設(shè)計(jì)變量的取值范圍的限制。例如，在設(shè)計(jì)連桿機(jī)構(gòu)時(shí)，各桿件的長(zhǎng)度必須大于零，最長(zhǎng)桿件也不能超過(guò)某個(gè)值。再如在設(shè)計(jì)一般傳動(dòng)用的齒輪時(shí)，其模數(shù)和齒數(shù)等都給出了他們的上下界限。1.2.3約束條件3．帶有約束條件的優(yōu)化問(wèn)題成為約束優(yōu)化問(wèn)題；反之，則為無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題。

在機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)實(shí)際問(wèn)題中，絕大多數(shù)的優(yōu)化問(wèn)題都屬于約束優(yōu)化問(wèn)題。對(duì)于約束優(yōu)化問(wèn)題，如果討論的是一般n維優(yōu)化問(wèn)題，設(shè)計(jì)點(diǎn)x在n維歐氏空間Rn內(nèi)的集合，即設(shè)計(jì)空間，

空間可以分為兩部分；一部分是滿足全部設(shè)計(jì)約束的點(diǎn)的集合D，即：D＝｛x│gu(x)≥0，u＝1、2、．．．、p；

hv(x)＝0，v＝1、2、．．．、q｝稱為可行設(shè)計(jì)域，簡(jiǎn)稱為可行域；其余部分則為非可行域。1.2.3約束條件在可行域內(nèi)的設(shè)計(jì)點(diǎn)稱為可行設(shè)計(jì)點(diǎn)；簡(jiǎn)稱為可行點(diǎn)；而其余部分則為非可行域，設(shè)計(jì)變量在非可行域內(nèi)取值對(duì)設(shè)計(jì)是無(wú)意義的，即為非可行設(shè)計(jì)點(diǎn)。

當(dāng)設(shè)計(jì)點(diǎn)處于不等式約束邊界上時(shí)，稱為邊界設(shè)計(jì)點(diǎn)；邊界設(shè)計(jì)點(diǎn)屬于可行設(shè)計(jì)點(diǎn)，它是約束所允許的極限設(shè)計(jì)點(diǎn)。二維設(shè)計(jì)問(wèn)題的可行域可在x1Ox2平面直角坐標(biāo)系表示，見(jiàn)圖1.8；三維的可行域可在空間直角坐標(biāo)系中表示。圖1.8可行域1.2.4數(shù)學(xué)模型表達(dá)式對(duì)于一個(gè)優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題，當(dāng)選取設(shè)計(jì)變量、建立目標(biāo)函數(shù)及約束條件后便依優(yōu)化設(shè)計(jì)規(guī)范寫(xiě)出優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型。無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題數(shù)學(xué)模型的一般表達(dá)形式為：

minF(x)x∈Rn約束數(shù)優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型一般表達(dá)形式為：minF(x)x∈DRnD：gu(x)≥0，ｕ＝1、2、…、p；hv(x)＝0，ｖ＝1、2、…、q∪1.2.4數(shù)學(xué)模型表達(dá)式

約束數(shù)優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型一般表達(dá)形式為：minF(x)x∈DRnD：gu(x)≥0，ｕ＝1、2、．．．、p；hv(x)＝0，ｖ＝1、2、．．．、q式中，D表示由p個(gè)不等式約束和q個(gè)等式約束所限定的可行域，它是n維歐氏空間Rn內(nèi)的一個(gè)子集。符號(hào)∈的含義為“屬于”；符號(hào)∪在上述數(shù)學(xué)模型一般表達(dá)是中，若目標(biāo)函數(shù)F(x)和約束函數(shù)gu(x)、hv(x)均為設(shè)計(jì)變量的線性函數(shù)，則這種優(yōu)化問(wèn)題屬線性規(guī)劃問(wèn)題；否則屬于非線性規(guī)劃問(wèn)題。在機(jī)械設(shè)計(jì)中，絕大多數(shù)的優(yōu)化問(wèn)題均屬于非線性規(guī)劃問(wèn)題。的含義為“包含于”，為：．．．．子集?！?.2.4數(shù)學(xué)模型表達(dá)式選取適當(dāng)優(yōu)化方法，對(duì)優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解，可以得出設(shè)計(jì)變量的一組最優(yōu)解，記作：

x*＝[x1*，x2*，…，xn*]T使該設(shè)計(jì)點(diǎn)的標(biāo)函數(shù)F(x*)為最小，點(diǎn)x*稱為最優(yōu)點(diǎn)（極小點(diǎn)），它代表了一個(gè)最優(yōu)方案。相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)F(x*)稱為最優(yōu)值（極小值）。

一個(gè)優(yōu)化問(wèn)題的最優(yōu)解包著最優(yōu)點(diǎn)（極小點(diǎn)）和最優(yōu)值（極小值）。我們把最優(yōu)點(diǎn)和最優(yōu)值的總和通稱為最優(yōu)解，表示為(x*，F(xiàn)*)建立數(shù)學(xué)模型是最優(yōu)設(shè)計(jì)中最關(guān)鍵、最重要的一步，數(shù)學(xué)模型的質(zhì)量直接影響設(shè)計(jì)效果。數(shù)學(xué)模型的建立是依具體設(shè)計(jì)問(wèn)題而異。對(duì)于復(fù)雜的問(wèn)題，在建立數(shù)學(xué)模型中往往會(huì)遇到很多困難，甚至比求解過(guò)程要復(fù)雜得多，因此要抓住關(guān)鍵因素，適當(dāng)忽略不重要的成分，使問(wèn)題得到合理簡(jiǎn)化，以易于建立數(shù)學(xué)模型。由此可見(jiàn)，在優(yōu)化設(shè)計(jì)工作中加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)模型構(gòu)成的研究，十分重要。1.2.4數(shù)學(xué)模型表達(dá)式對(duì)于一個(gè)具體的優(yōu)化問(wèn)題，可以參照上面的一般表達(dá)式寫(xiě)出其具體的數(shù)學(xué)模型。試建立前面桁架問(wèn)題的優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型。設(shè)計(jì)變量：x目標(biāo)函數(shù)：F(x)約束條件：g1(x)g2(x)1.2.4數(shù)學(xué)模型表達(dá)式將已知數(shù)據(jù)代人后寫(xiě)出彬架優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型如下：§1-3

優(yōu)化問(wèn)題的幾何描述優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型包含著設(shè)計(jì)變量、目標(biāo)函數(shù)及約束條件等內(nèi)容。通過(guò)對(duì)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型的求解從而可求得最優(yōu)解，即最優(yōu)設(shè)計(jì)方案。在研究n維優(yōu)化問(wèn)題中，可以建立n＋１維坐標(biāo)系，其中n個(gè)坐標(biāo)代表著n維設(shè)計(jì)變量，另一個(gè)坐標(biāo)代表其目標(biāo)函數(shù)值。這樣，目標(biāo)函數(shù)在此坐標(biāo)系中形成一個(gè)超曲面。為了更直觀說(shuō)明問(wèn)題，下面以二維優(yōu)化問(wèn)題為例，來(lái)說(shuō)明優(yōu)化問(wèn)題中的幾何概念。為了形象地說(shuō)明優(yōu)化問(wèn)題的一些基本概念，下面再對(duì)優(yōu)化問(wèn)題作必要的幾何描述?！?-3

優(yōu)化問(wèn)題的幾何描述設(shè)有二維優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型為：minF(x)＝x12＋x22－4x1＋4＝(x1－2)2＋x22x＝[x1

x2]T∈DRnD：g1(x)＝x1－x2＋2≥0g2(x)＝－x12＋x2－1≥0g3(x)＝x1≥0g4(x)＝x2≥0可以用圖1.9的幾何圖形來(lái)說(shuō)明優(yōu)化問(wèn)題的幾個(gè)基本概念。1.3.1.目標(biāo)函數(shù)的等值線圖1.9(a)是優(yōu)化問(wèn)題幾何描述立體圖。Ox1x2坐標(biāo)平面為設(shè)計(jì)變量x1、x2取值的設(shè)計(jì)平面，F(xiàn)軸為目標(biāo)函數(shù)值。在FOx1x2空間中，目標(biāo)函數(shù)是以通過(guò)x1*且與F軸平行為軸線的旋轉(zhuǎn)拋物面；約束函數(shù)是g1(x)、g2(x)、g3(x)的三個(gè)柱面。圖1.9(b)所示為設(shè)計(jì)變量x1、x2組成的二維設(shè)計(jì)平面，由g1(x)、g2(x)、g3(x)所包圍的區(qū)域?yàn)榭尚杏駾，以外的區(qū)域是非可行域。如果令目標(biāo)函數(shù)F(x)等于一系列常數(shù)c1、c2、c3、．．．時(shí)，也就是說(shuō)作一系列平行于x1Ox2平面，且其高度為：c1、c2、c3、．．．的平面，即F(x)＝cｉ。這些平面將分別與目標(biāo)函數(shù)的曲面相交，得到一系列等值的目標(biāo)函數(shù)曲線，將這些曲線投影到坐標(biāo)平面上，這些在坐標(biāo)平面x1Ox2上的一族曲線稱為目標(biāo)函數(shù)的等值線。目標(biāo)函數(shù)的等值線可行域D1.3.1.目標(biāo)函數(shù)的等值線由此可見(jiàn)：①在每一條等值線上，各點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值均相等。在上面的例中，由于

F(x)＝(x1—2)2＋x22，若令F(x)＝cｉ，i＝1，2，3，…則在坐標(biāo)x1Ox2平面上可到一族等值線方程為：

(x1—2)2＋x22＝cｉ，

i＝1，2，3，…，該曲線族是在坐標(biāo)平面x1Ox2上以x１*(2，0)為圓心，以為半徑的一族同心圓。目標(biāo)函數(shù)的等值線1.3.1.目標(biāo)函數(shù)的等值線②目標(biāo)函數(shù)等值線的形狀將清晰地表達(dá)了目標(biāo)函數(shù)數(shù)值變化的情況。③對(duì)于二維目標(biāo)函數(shù)，極值理論證明在極值點(diǎn)附近領(lǐng)域內(nèi)的等值線是一族近似的同心橢圓。橢圓族的中心便是極值點(diǎn)，即在目標(biāo)函數(shù)極值點(diǎn)附近領(lǐng)域內(nèi)函數(shù)呈較強(qiáng)的二次形態(tài)。目標(biāo)函數(shù)的等值線1.3.2.約束曲線形成可行域則相應(yīng)的約束方程可在坐標(biāo)平面x1Ox2上畫(huà)出某些曲線，該曲線稱為約束曲線。

由這些約束曲線圍成的公共區(qū)域D就是可行域。如圖1.9(b)中的陰影所包圍的部分。該封閉域可行域D是由約束曲線g1(x)、g2(x)、g3(x)圍成的。凡是滿足這個(gè)三個(gè)設(shè)計(jì)約束的設(shè)計(jì)點(diǎn)x必滿足第四個(gè)設(shè)計(jì)約束g4(x)，第四個(gè)約束g4(x)是一個(gè)消極約束。當(dāng)問(wèn)題比較復(fù)雜時(shí)，往往并不能預(yù)先觀察出那些約束是消極約束，因此在數(shù)學(xué)模型中仍然需要列出所有的設(shè)計(jì)約束。在約束曲線的一側(cè)gi(x)≥0，而另一側(cè)gi(x)＜0。約束曲線g1(x)＝x1－x2＋2≥0可行域若令各不等式約束函數(shù)g1(x)、g2(x)、g3(x)分別為零，1.3.2.約束曲線形成可行域如果在設(shè)計(jì)約束中還包含有等式約束hv(x)＝0，則又給設(shè)計(jì)變量x帶來(lái)了特殊的限制。在二維優(yōu)化問(wèn)題中，等式約束表現(xiàn)為坐標(biāo)平面上的一段曲線，它是滿足所有不等式約束和等式約束的點(diǎn)的集合。也就是說(shuō)在二維優(yōu)化問(wèn)題中，帶有等式約束的可行域是一段曲線。顯然這使得可行域大大減小，或可以認(rèn)為是對(duì)可行域的一種降維。1.3.3

最優(yōu)解不考慮設(shè)計(jì)約束時(shí)的目標(biāo)函數(shù)極小點(diǎn)x*是無(wú)約束極小點(diǎn)，即無(wú)約束最優(yōu)點(diǎn)。本例中，x1*＝[2，0]T。

在給定約束優(yōu)化問(wèn)題中，應(yīng)該是在可行域Ｄ內(nèi)尋找目標(biāo)函數(shù)的最小點(diǎn)和最小值，有約束的目標(biāo)函數(shù)最小點(diǎn)稱為約束最優(yōu)點(diǎn)。在本例中，x2*＝[0.58，1.34]T。顯然，該約束最優(yōu)點(diǎn)為具有較小的目標(biāo)函數(shù)值的等值線F(x)＝3.8與約束曲線g2(x)＝0的切點(diǎn)。目標(biāo)函數(shù)的等值線§1-3

優(yōu)化問(wèn)題的幾何描述①若令n維目標(biāo)函數(shù)F(x)等以一系列常值cｉ，則可在n維歐氏空間內(nèi)形成一系列相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)超等值面（當(dāng)n＝3時(shí)為一般的等值面），而在無(wú)約束極小點(diǎn)附近領(lǐng)域內(nèi)目標(biāo)函數(shù)超等值曲面是一族近似的超橢球面。即在無(wú)約束最優(yōu)點(diǎn)領(lǐng)域內(nèi)，目標(biāo)函數(shù)呈較強(qiáng)的二次型態(tài)；

②若取各不等式約束函數(shù)值為零，則在n維歐氏空間又形成的若干個(gè)超約束曲面。這些超約束曲面所圍成的一個(gè)滿足全部設(shè)計(jì)約束的n維空間就是約束優(yōu)化問(wèn)題的可行域D；

③對(duì)無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題，目標(biāo)函數(shù)超等值面的中心就是無(wú)約束最優(yōu)點(diǎn)；對(duì)于約束優(yōu)化問(wèn)題除可能是目標(biāo)函數(shù)等值面的中心外，更有可能的是目標(biāo)函數(shù)超等值面與某個(gè)超約束曲面的切點(diǎn)，或者是目標(biāo)函數(shù)超等值面與某些超約束曲面相交的交點(diǎn)。我們可以將上述二維優(yōu)化問(wèn)題的幾何描述擴(kuò)展到n維優(yōu)化問(wèn)題中。1.4優(yōu)化計(jì)算的數(shù)值解法及收斂條件最優(yōu)化技術(shù)總地包含兩個(gè)方面，首先是由實(shí)際的生產(chǎn)或科技問(wèn)題構(gòu)造出優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型；再對(duì)數(shù)學(xué)模型采取恰當(dāng)?shù)膬?yōu)化方法進(jìn)行求解。無(wú)論是無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題或是約束優(yōu)化問(wèn)題，其本質(zhì)上都是求極值的數(shù)學(xué)問(wèn)題。從理論上，其求解可用解析法，即微積分學(xué)和變分法中的極值理論，但由于實(shí)際中的優(yōu)化數(shù)學(xué)模型多種多樣，往往目標(biāo)函數(shù)及約束函數(shù)是非線性的，此時(shí)采用解析法求解變得非常復(fù)雜與困難，甚至在具體求解中無(wú)法實(shí)現(xiàn)。所以產(chǎn)生了一種更為實(shí)用的求優(yōu)方法―求優(yōu)的數(shù)值計(jì)算法，即常稱之為解非線性規(guī)劃的最優(yōu)化方法。1.4.1數(shù)值計(jì)算法的迭代過(guò)程優(yōu)化方法的迭代特點(diǎn)是：按照某種人為規(guī)定的邏輯結(jié)構(gòu)，以一定的格式進(jìn)行反復(fù)的數(shù)值計(jì)算，尋求函數(shù)值逐次下降的設(shè)計(jì)點(diǎn)，直到滿足規(guī)定的精度時(shí)終止迭代計(jì)算，最后的設(shè)計(jì)點(diǎn)即為欲求的最優(yōu)點(diǎn)，所得到的解是滿足規(guī)定精度的近似解。最優(yōu)化方法是與電子計(jì)算機(jī)及計(jì)算技術(shù)的發(fā)展緊密相聯(lián)系的，數(shù)值計(jì)算法的迭代過(guò)程也是依賴于計(jì)算機(jī)的運(yùn)算特點(diǎn)而形成的，所以，計(jì)算過(guò)程完全有別于解析法的求解過(guò)程。1.4.1數(shù)值計(jì)算法的迭代過(guò)程首先在二維設(shè)計(jì)平面內(nèi)，任選一個(gè)初始點(diǎn)x(0)，從該點(diǎn)出發(fā)，沿著某種優(yōu)化方法所規(guī)定的搜尋方向S(0)，選取恰當(dāng)?shù)牟介L(zhǎng)α(0)，按下面的迭代格式產(chǎn)生一個(gè)新的設(shè)計(jì)點(diǎn)x(1)：

現(xiàn)在結(jié)合圖1.10所示的二維優(yōu)化問(wèn)題的圖形來(lái)說(shuō)明優(yōu)化算法的迭代過(guò)程。設(shè)有一個(gè)二維的優(yōu)化問(wèn)題，其目標(biāo)函數(shù)等值線如圖1.10所示。等值線中心為目標(biāo)函數(shù)的無(wú)約束極小點(diǎn)。x(1)＝x(0)＋α(0)S(0)本次迭代的終止點(diǎn)本次迭代的起始點(diǎn)本次迭代的步長(zhǎng)（常用一維優(yōu)化方法確定）本次迭代的方向（由某種優(yōu)化方法確定）1.4.1數(shù)值計(jì)算法的迭代過(guò)程x(1)＝x(0)＋α(0)S(0)本次迭代的終止點(diǎn)本次迭代的起始點(diǎn)本次迭代的步長(zhǎng)（常用一維優(yōu)化方法確定）本次迭代的方向（由某種優(yōu)化方法確定）并使之滿足：F(x(1))＜F(x(0))則

x(1)就是一個(gè)優(yōu)越于初始點(diǎn)x(0)的新設(shè)計(jì)點(diǎn)。然后，再以該新設(shè)計(jì)x(1)為起始點(diǎn)，按類似的迭代格式產(chǎn)生第二個(gè)新的設(shè)計(jì)點(diǎn)x(2)：

x(2)＝x(1)＋α(1)S(1)這樣，依次迭代可得到一系列的迭代點(diǎn)：x(0)、x(1)、x(2)、…；這些迭代點(diǎn)通常稱為迭代點(diǎn)序列。1.4.1數(shù)值計(jì)算法的迭代過(guò)程第k＋1次迭代的格式為：x(k+1)＝x(k)＋α(k)S(k)k＝0，1，2，3，…(1.8)并使之滿足：F(x(k+1))＜F(x(k))上式稱為優(yōu)化計(jì)算的基本迭代公式。式中的第ｋ+1次搜尋方向S(k)及步長(zhǎng)α(k)是根據(jù)本次迭代初始點(diǎn)x(k)的目標(biāo)函數(shù)值和約束函數(shù)值等信息而確定。

按上述迭代格式反復(fù)迭代計(jì)算后產(chǎn)生的迭代點(diǎn)序列：x(0)、x(1)、x(2)、…、x(k)、…，各點(diǎn)的函數(shù)值依次下降，即：F(x(0))＞F(x(1))＞F(x(2))…＞F(x(k))…。顯然迭代點(diǎn)系列不斷向理論的最優(yōu)點(diǎn)逼近，最后必將達(dá)到滿足預(yù)定精度要求的近似最優(yōu)點(diǎn)，記作x*。1.4.1數(shù)值計(jì)算法的迭代過(guò)程由迭代算法的基本迭代公式可見(jiàn)，優(yōu)化方法的主要問(wèn)題乃是解決迭代方向S(k)（k＝0，1，2，…）和迭代步長(zhǎng)α(k)

（k＝0，1，2，…）的問(wèn)題，由于S(k)與α(k)的確定方法及特性之不同而構(gòu)成了不同的優(yōu)化方法，即最優(yōu)化方法。已有的各種優(yōu)化方法盡管在選取方向和步長(zhǎng)的原則辦法各有千秋，但有一點(diǎn)是共同的，就是都按式(1.8)的基本迭代公式，通過(guò)電子計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，且保證目標(biāo)函數(shù)值穩(wěn)定地下降，最終獲得逼近理論最優(yōu)點(diǎn)的近似解。1.4.2迭代計(jì)算的終止準(zhǔn)則在優(yōu)化計(jì)算中，上述迭代過(guò)程總不能無(wú)限制地進(jìn)行下去，那么，何時(shí)可以終止這種迭代計(jì)算呢？這就需要有一個(gè)迭代計(jì)算終止準(zhǔn)則來(lái)給與判定。理論上來(lái)說(shuō)，我們當(dāng)然希望最終的迭代點(diǎn)能到達(dá)理論極小點(diǎn)，或者使最終迭代點(diǎn)能與理論極小點(diǎn)之間的距離足夠小時(shí)，才終止迭代計(jì)算。但是，這在實(shí)際計(jì)算中是辦不到的。因?yàn)?，?duì)一待求的設(shè)計(jì)優(yōu)化問(wèn)題，其理論極值點(diǎn)究竟在哪里還并不知道，而所知道的只有通過(guò)多次迭代計(jì)算而獲得的迭代點(diǎn)的序列x(0)、x(1)、x(2)、…、x(k)、…。因此，我們只能從上述迭代點(diǎn)序列所提供的信息來(lái)判定是否應(yīng)當(dāng)終值迭代計(jì)算。借助不同方面的信息進(jìn)行判斷可否終止迭代的原則就構(gòu)成了不同的終止準(zhǔn)則。1.4.2迭代計(jì)算的終止準(zhǔn)則對(duì)于無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題通常采用的迭代終止準(zhǔn)則有以下幾種：

(1)、點(diǎn)距準(zhǔn)則在迭代點(diǎn)系列中，相鄰兩迭代點(diǎn)x(k-1)、x(k)之間的距離已達(dá)到充分小，即滿足：或用兩迭代點(diǎn)的坐標(biāo)(設(shè)計(jì)變量)進(jìn)行檢驗(yàn)，寫(xiě)為：根據(jù)線性規(guī)劃理論，我們知道：對(duì)于某一個(gè)穩(wěn)定收斂的迭代計(jì)算方法，當(dāng)?shù)c(diǎn)到達(dá)理論極小點(diǎn)附近領(lǐng)域內(nèi)，各迭代的步長(zhǎng)將變得越來(lái)越短，而各迭代點(diǎn)越來(lái)越接近，各迭代點(diǎn)的函數(shù)值之差越來(lái)越小，由此我們可以建立如下迭代計(jì)算的終止準(zhǔn)則。取為x(k)最優(yōu)點(diǎn)，即令x*＝x(k)式中：n是設(shè)計(jì)維數(shù)ε1、ε2是預(yù)先給定的收斂精度。1.4.2迭代計(jì)算的終止準(zhǔn)則(2)、函數(shù)下降量準(zhǔn)則由于在最優(yōu)點(diǎn)的很小鄰域內(nèi)各迭代點(diǎn)的函數(shù)值變化很小，所以當(dāng)相鄰兩迭代點(diǎn)的函數(shù)值下降量已達(dá)到充分小時(shí)，預(yù)示著當(dāng)前的迭代點(diǎn)已很接近了最優(yōu)點(diǎn)。當(dāng)│F(x(k))│＜１時(shí)，采用函數(shù)絕對(duì)下降量準(zhǔn)則：

│F(x(k))—F(x(k-1))│≤ε3當(dāng)│F(x(k))│≥１時(shí)，采用函數(shù)相對(duì)下降量準(zhǔn)則：│F(x(k))—F(x(k-1))│／F(x(k))≤ε4取為x(k)最優(yōu)點(diǎn)，即令x*＝x(k)式中：ε3、ε4是預(yù)先給定的收斂精度。1.4.2迭代計(jì)算的終止準(zhǔn)則(3)、梯度準(zhǔn)則按函數(shù)的極值理論，在極值點(diǎn)處函數(shù)的梯度為零。當(dāng)目標(biāo)函數(shù)在x(k)點(diǎn)處梯度的模已達(dá)到充分小，即取為x(k)最優(yōu)點(diǎn)，即令x*＝x(k)式中：ε5是預(yù)先給定的收斂精度。這一準(zhǔn)則對(duì)凸集凸函數(shù)是完全正確的，若是非凸函數(shù)，有可能誤把駐點(diǎn)作為最優(yōu)點(diǎn)。關(guān)于函數(shù)的梯度、凸集、凸函數(shù)等概念將在以后介紹。上述是無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題數(shù)值迭代法的終止準(zhǔn)則。由于無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題與約束優(yōu)化問(wèn)題最優(yōu)解的條件不同，所以迭代終止準(zhǔn)則有別，但以上各終止準(zhǔn)則對(duì)約束優(yōu)化的求解在有些情況下有著重要的意義?！?-3

優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型

1.設(shè)計(jì)變量一個(gè)設(shè)計(jì)方案可以用一組基本參數(shù)的數(shù)值來(lái)表示，這些基本參數(shù)可以是構(gòu)件尺寸等幾何量，也可以是質(zhì)量等物理量，還可以是應(yīng)力、變形等表示工作性能的導(dǎo)出量。在設(shè)計(jì)過(guò)程中進(jìn)行選擇并最終必須確定的各項(xiàng)獨(dú)立的基本參數(shù)，稱作設(shè)計(jì)變量，又叫做優(yōu)化參數(shù)。優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型是描述實(shí)際優(yōu)化問(wèn)題的設(shè)計(jì)內(nèi)容、變量關(guān)系、有關(guān)設(shè)計(jì)條件和意圖的數(shù)學(xué)表達(dá)式，它反映了物理現(xiàn)象各主要因素的內(nèi)在聯(lián)系，是進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)。

設(shè)計(jì)變量的全體實(shí)際上是一組變量，可用一個(gè)列向量表示。設(shè)計(jì)變量的數(shù)目稱為優(yōu)化設(shè)計(jì)的維數(shù)，如n個(gè)設(shè)計(jì)變量，則稱為n維設(shè)計(jì)問(wèn)題。

由n個(gè)設(shè)計(jì)變量為坐標(biāo)所組成的實(shí)空間稱作設(shè)計(jì)空間。一個(gè)“設(shè)計(jì)”，可用設(shè)計(jì)空間中的一點(diǎn)表示。設(shè)計(jì)變量的數(shù)目稱為優(yōu)化設(shè)計(jì)的維數(shù)，如n個(gè)設(shè)計(jì)變量，則稱為n維設(shè)計(jì)問(wèn)題。按照產(chǎn)品設(shè)計(jì)變量的取值特點(diǎn)，設(shè)計(jì)變量可分為連續(xù)變量（例如軸徑、輪廓尺寸等）和離散變量（例如各種標(biāo)準(zhǔn)規(guī)格等）。

圖1-1設(shè)計(jì)變量所組成的設(shè)計(jì)空間（a）二維設(shè)計(jì)問(wèn)題（b）三維設(shè)計(jì)問(wèn)題只有兩個(gè)設(shè)計(jì)變量的二維設(shè)計(jì)問(wèn)題可用圖1-1（a）所示的平面直角坐標(biāo)表示；有三個(gè)設(shè)計(jì)變量的三維設(shè)計(jì)問(wèn)題可用圖1-1（b）所表示的空間直角坐標(biāo)表示。設(shè)計(jì)空間的維數(shù)表征設(shè)計(jì)的自由度，設(shè)計(jì)變量愈多，則設(shè)計(jì)的自由度愈大、可供選擇的方案愈多，設(shè)計(jì)愈靈活，但難度亦愈大、求解亦愈復(fù)雜。

小型設(shè)計(jì)問(wèn)題：一般含有2—10個(gè)設(shè)計(jì)變量；中型設(shè)計(jì)問(wèn)題：10—50個(gè)設(shè)計(jì)變量；大型設(shè)計(jì)問(wèn)題：50個(gè)以上的設(shè)計(jì)變量。目前已能解決200個(gè)設(shè)計(jì)變量的大型最優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題。如何選定設(shè)計(jì)變量？

任何一項(xiàng)產(chǎn)品，是眾多設(shè)計(jì)變量標(biāo)志結(jié)構(gòu)尺寸的綜合體。變量越多，可以淋漓盡致地描述產(chǎn)品結(jié)構(gòu)，但會(huì)增加建模的難度和造成優(yōu)化規(guī)模過(guò)大。所以設(shè)計(jì)變量時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：（1）抓主要，舍次要。對(duì)產(chǎn)品性能和結(jié)構(gòu)影響大的參數(shù)可取為設(shè)計(jì)變量，影響小的可先根據(jù)經(jīng)驗(yàn)取為試探性的常量，有的甚至可以不考慮。（2）根據(jù)要解決設(shè)計(jì)問(wèn)題的特殊性來(lái)選擇設(shè)計(jì)變量。例如，圓柱螺旋拉壓彈簧的設(shè)計(jì)變量有4個(gè)，即鋼絲直徑d，彈簧中徑D，工作圈數(shù)n和自由高度H。在設(shè)計(jì)中，將材料的許用剪切應(yīng)力和剪切模量Ｇ等作為設(shè)計(jì)常量。在給定徑向空間內(nèi)設(shè)計(jì)彈簧，則可把彈簧中徑D作為設(shè)計(jì)常量。

2.約束條件

設(shè)計(jì)空間是所有設(shè)計(jì)方案的集合，但這些設(shè)計(jì)方案有些是工程上所不能接受的。如一個(gè)設(shè)計(jì)滿足所有對(duì)它提出的要求，就稱為可行設(shè)計(jì)。一個(gè)可行設(shè)計(jì)必須滿足某些設(shè)計(jì)限制條件，這些限制條件稱作約束條件，簡(jiǎn)稱約束。約束又可按其數(shù)學(xué)表達(dá)形式分成等式約束和不等式約束兩種類型：(1)等式約束(2)不等式約束顯式約束隱式約束約束函數(shù)有的可以表示成顯式形式，即反映設(shè)計(jì)變量之間明顯的函數(shù)關(guān)系，有的只能表示成隱式形式,如例中的復(fù)雜結(jié)構(gòu)的性能約束函數(shù)（變形、應(yīng)力、頻率等），需要通過(guò)有限元等方法計(jì)算求得。根據(jù)約束的性質(zhì)可以把它們區(qū)分成：性能約束——針對(duì)性能要求而提出的限制條件稱作性能約束。例如，選擇某些結(jié)構(gòu)必須滿足受力的強(qiáng)度、剛度或穩(wěn)定性等要求；邊界約束——只是對(duì)設(shè)計(jì)變量的取值范圍加以限制的約束稱作邊界約束。例如，允許機(jī)床主軸選擇的尺寸范圍，對(duì)軸段長(zhǎng)度的限定范圍就屬于邊界約束。圖1-2設(shè)計(jì)空間中的約束面（或約束線）(a)二變量設(shè)計(jì)空間中的約束線(b)三變量設(shè)計(jì)空間中的約束面如圖1-4上畫(huà)出了滿足兩項(xiàng)約束條件g1（X）=x12＋x22—16≤O和g2（X）＝2—X2≤0的二維設(shè)計(jì)問(wèn)題的可行域D，它位于X2=2的上面和圓x12＋x22=16的圓弧ABC下面并包括線段AC和圓弧ABC在內(nèi)。圖1-3約束條件規(guī)定的可行域D

可行域:在設(shè)計(jì)空間中，滿足所有約束條件的所構(gòu)成的空間。

3.目標(biāo)函數(shù)在優(yōu)化過(guò)程中，通過(guò)設(shè)計(jì)變量的不斷向F(X)值改善的方向自動(dòng)調(diào)整，最后求得F(X)值最好或最滿意的X值。在構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)時(shí)，應(yīng)注意目標(biāo)函數(shù)必須包含全部設(shè)計(jì)變量，所有的設(shè)計(jì)變量必須包含在約束函數(shù)中。在機(jī)械設(shè)計(jì)中，可作為參考目標(biāo)函數(shù)的有：體積最小、重量最輕、效率最高、承載能力最大、結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)精度最高、振幅或噪聲最小、成本最低、耗能最小、動(dòng)負(fù)荷最小等等。

為了對(duì)設(shè)計(jì)進(jìn)行定量評(píng)價(jià)，必須構(gòu)造包含設(shè)計(jì)變量的評(píng)價(jià)函數(shù)，它是優(yōu)化的目標(biāo)，稱為目標(biāo)函數(shù)，以F(X)表示。在最優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題中，可以只有一個(gè)目標(biāo)函數(shù)，稱為單目標(biāo)函數(shù)。當(dāng)在同一設(shè)計(jì)中要提出多個(gè)目標(biāo)函數(shù)時(shí)，這種問(wèn)題稱為多目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)化問(wèn)題。在一般的機(jī)械最優(yōu)化設(shè)計(jì)中，多目標(biāo)函數(shù)的情況較多。目標(biāo)函數(shù)愈多，設(shè)計(jì)的綜合效果愈好，但問(wèn)題的求解亦愈復(fù)雜。在實(shí)際工程設(shè)計(jì)問(wèn)題中，常常會(huì)遇到在多目標(biāo)函數(shù)的某些目標(biāo)之間存在矛盾的情況，這就要求設(shè)計(jì)者正確處理各目標(biāo)函數(shù)之間的關(guān)系。

目標(biāo)函數(shù)等值（線）面目標(biāo)函數(shù)是n維變量的函數(shù)，它的函數(shù)圖像只能在n+1維空間中描述出來(lái)。為了在n維設(shè)計(jì)空間中反映目標(biāo)函數(shù)的變化情況，常采用目標(biāo)函數(shù)等值面的方法。目標(biāo)函數(shù)的等值面（線）數(shù)學(xué)表達(dá)式為：c為一系列常數(shù)，代表一族n維超曲面。如在二維設(shè)計(jì)空間中，F(xiàn)(x1,x2)=c代表x-x設(shè)計(jì)平面上的一族曲線。對(duì)于具有相等目標(biāo)函數(shù)值的設(shè)計(jì)點(diǎn)構(gòu)成的平面曲線或曲面稱為等值線或等值面。圖1-4等值線

圖1-5表示目標(biāo)函數(shù)f（X）與兩個(gè)設(shè)計(jì)變量x1，x2階所構(gòu)成的關(guān)系曲面上的等值線，它是由許多具有相等目標(biāo)函數(shù)值的設(shè)計(jì)點(diǎn)所構(gòu)成的平面曲線。當(dāng)給目標(biāo)函數(shù)以不同值時(shí)，可得到一系列的等值線，它們構(gòu)成目標(biāo)函數(shù)的等值線族。在極值處目標(biāo)函數(shù)的等值線聚成一點(diǎn)，并位于等值線族的中心。當(dāng)目標(biāo)函數(shù)值的變化范圍一定時(shí)，等值線愈稀疏說(shuō)明目標(biāo)函數(shù)值的變化愈平緩。利用等值線的概念可用幾何圖象形象地表現(xiàn)出目標(biāo)函數(shù)的變化規(guī)律。從等值線上，可以清除地看到函數(shù)值的變化情況。其中F=40的等值線就是使F(x1,x2)=40的各點(diǎn)[x1,x2]T所組成的連線。如圖函數(shù)的等值線圖。圖1-5等值線4.優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題一般數(shù)學(xué)形式：滿足約束條件：求設(shè)計(jì)變量向量使目標(biāo)函數(shù)對(duì)于復(fù)雜的問(wèn)題，要建立能反映客觀工程實(shí)際的、完善的數(shù)學(xué)模型往往會(huì)遇到很多困難，有時(shí)甚至比求解更為復(fù)雜。這時(shí)要抓住關(guān)鍵因素，適當(dāng)忽略不重要的成分，使問(wèn)題合理簡(jiǎn)化，以易于列出數(shù)學(xué)模型，這樣不僅可節(jié)省時(shí)間，有時(shí)也會(huì)改善優(yōu)化結(jié)果。最優(yōu)化設(shè)計(jì)的目標(biāo)函數(shù)通常為求目標(biāo)函數(shù)的最小值。若目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)點(diǎn)為可行域中的最大值時(shí)，則可看成是求［-F（X）］的最小值，因?yàn)閙in［-F（X）］與maxF（X）是等價(jià)的。當(dāng)然，也可看成是求1／F（X）的極小值。5.建模實(shí)例

1）根據(jù)設(shè)計(jì)要求，應(yīng)用專業(yè)范圍內(nèi)的現(xiàn)行理論和經(jīng)驗(yàn)等，對(duì)優(yōu)化對(duì)象進(jìn)行分析。必要時(shí)，需要對(duì)傳統(tǒng)設(shè)計(jì)中的公式進(jìn)行改進(jìn)，并盡可以反映該專業(yè)范圍內(nèi)的現(xiàn)代技術(shù)進(jìn)步的成果。2）對(duì)結(jié)構(gòu)諸參數(shù)進(jìn)行分析，以確定設(shè)計(jì)的原始參數(shù)、設(shè)計(jì)常數(shù)和設(shè)計(jì)變量。3）根據(jù)設(shè)計(jì)要求，確定并構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)和相應(yīng)的約束條件，有時(shí)要構(gòu)造多目標(biāo)函數(shù)。4）必要時(shí)對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行規(guī)范化，以消除諸組成項(xiàng)間由于量綱不同等原因?qū)е碌臄?shù)量懸殊的影響。建立優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型一般步驟：人字架結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)

受力分析圖圓桿截面圖桁桿示意圖d

由兩根空心圓桿組成對(duì)稱的兩桿桁架，其頂點(diǎn)承受負(fù)載為2p，兩支座之間的水平距離為2L，圓桿的壁厚為B，桿的比重為ρ，彈性模量為E，屈服強(qiáng)度為。求在桁架不被破壞的情況下使桁架重量最輕的桁架高度h及圓桿平均直徑d。解：桁桿的截面積為：由此得穩(wěn)定約束：圓桿中應(yīng)力小于等于壓桿穩(wěn)定的臨界應(yīng)力。由材料力學(xué)知：壓桿穩(wěn)定的臨界應(yīng)力為此應(yīng)力要求小于材料的屈服極限，即：于是桿截面的應(yīng)力為：負(fù)載2p在每個(gè)桿上的分力為：桁桿的總重量為：

另外還要考慮到設(shè)計(jì)變量d和h有界。從而得到兩桿桁架最優(yōu)設(shè)計(jì)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型：配料每磅配料中的營(yíng)養(yǎng)含量鈣蛋白質(zhì)纖維每磅成本（元）石灰石谷物大豆粉0.3800.000.000.0010.090.020.0020.500.080.01640.04630.1250

以最低成本確定滿足動(dòng)物所需營(yíng)養(yǎng)的最優(yōu)混合飼料。設(shè)每天需要混合飼料的批量為100磅，這份飼料必須含：至少0.8%而不超過(guò)1.2%的鈣;至少22%的蛋白質(zhì);至多5%的粗纖維。假定主要配料包括石灰石、谷物、大豆粉。這些配料的主要營(yíng)養(yǎng)成分為：混合飼料配合解:根據(jù)前面介紹的建模要素得出此問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型如下:設(shè)是生產(chǎn)100磅混合飼料所須的石灰石、谷物、大豆粉的量（磅）。6.優(yōu)化設(shè)計(jì)的分類

對(duì)于最優(yōu)化問(wèn)題一般可作如下分類：還有其它的一些劃分方法：如按設(shè)計(jì)變量的性質(zhì)分：連續(xù)變量、離散變量、整數(shù)變量規(guī)劃問(wèn)題；二次規(guī)劃、幾何規(guī)劃、隨機(jī)規(guī)劃等。例1：如下二維非線性規(guī)劃問(wèn)題一、幾何解釋§1-4優(yōu)化問(wèn)題的幾何解釋和基本解法

通過(guò)二維優(yōu)化問(wèn)題的幾何求解來(lái)直觀地描述優(yōu)化設(shè)計(jì)的基本思想。

目標(biāo)函數(shù)等值線是以點(diǎn)（2，0）為圓心的一組同心圓。如不考慮約束，本例的無(wú)約束最優(yōu)解是：，約束方程所圍成的可行域是D。圖1-9由圖易見(jiàn)約束直線與等值線的切點(diǎn)是最優(yōu)點(diǎn)，利用解析幾何的方法得該切點(diǎn)為，對(duì)應(yīng)的最優(yōu)值為(見(jiàn)圖）用圖解法求解

例2：解：先畫(huà)出目標(biāo)函數(shù)等值線，再畫(huà)出約束曲線，本處約束曲線是一條直線，這條直線就是容許集。而最優(yōu)點(diǎn)就是容許集上使等值線具有最小值的點(diǎn)。解：①先畫(huà)出等式約束曲線的圖形。這是一條拋物線，如圖例3：②再畫(huà)出不等式約束區(qū)域，如圖（選定哪側(cè)區(qū)域）③最后畫(huà)出目標(biāo)函數(shù)等值線，特別注意可行集邊界點(diǎn)，ABCD

以及等值線與可行集的切點(diǎn)，易見(jiàn)可行域?yàn)榍€段ABCD。當(dāng)動(dòng)點(diǎn)沿拋物曲線段ABCD由A點(diǎn)出發(fā)時(shí)，AB段目標(biāo)函數(shù)值下降。過(guò)點(diǎn)B后，在BC段目標(biāo)函數(shù)值上升。過(guò)C點(diǎn)后，在CD段目標(biāo)函數(shù)值再次下降。D點(diǎn)是使目標(biāo)函數(shù)值最小的可行點(diǎn)，其坐標(biāo)可通過(guò)解方程組：得出：ABCD

由以上三個(gè)例子可見(jiàn)，對(duì)二維最優(yōu)化