(完整版)數(shù)列求和方法歸納

數(shù)列求和解：12+12解：12+12+102102102+129222+928232+8212102+12一、直接求和法（或公式法）掌握一些常見的數(shù)列的前n項和：1+2+3++n=n(n+1),1+3+5+……+(2n-l)=n2212+22+32+……+n2=nn+l)(2n+1),13+23+33+……+n3」n(n+1)12等.6L2」例1求-12+22-32+42-52+62992+1002?解：原式=(22-12)+(42-32)+(62-52)+???+(1002-992)=3+7+11+???+199?由等差數(shù)列求和公式，得原式二50X(3+199)二5050?2變式練習(xí)：已知logx--1，求X+X2+x3++xn+的前n項和.3log321解：1—2n二、倒序相加法此方法源于等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)，目的在于利用與首末兩項等距離的兩項相加有公因式可提取，以便化簡后求和.例2求」^+-^+-^++的和.12+10222+9232+82102+122232102++■■■+22+9232+82102+12兩式相加，得2S-1+1+???+1-10,.?.S-5?三、裂項相消法常見的拆項公式有：一1—-丄(丄-丄),1~=-丄&為匚！-環(huán),n(n+k)knn+kJn+k+Qnk1-1(11)等—(—),等.(2n-1)(2n+1)22n-12n+1

例3已知12+2244n2=-n(n例3已知12+2244n2=-n(n+1)(2n+1),672n+1求-+5++…+(ngN*)的和.1212+2212+22+3212+2++n22n+12n+16==一12+22+???+〃1n(n+1)(2n+1)n(n+1)6111++■■■+1x22x3n(n+1)(1、(11、11"1一一++...+12丿,2_3丿nn+1=66(1)=61-——In+1丿=lnn+1小結(jié)：如果數(shù)列｛a｝的通項公式很容易表示成另一個數(shù)列｛b｝的相鄰兩項的差，即nna=b一b，則有S=b一b.這種方法就稱為裂項相消求和法.nn+1nn411變式練習(xí)：求數(shù)列右12^413^5島，…的前n項和S.11nn42n(n+2)11nn42)=2(1一2一n+1一島)=4一2n+22n+4四、錯位相減法源于等比數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)，對于形如｛ab｝的數(shù)列，其中｛a｝為等差數(shù)列，｛b｝nnnn為等比數(shù)列，均可用此法.例4求x+3x2+5x34卜(2n一1)xn的和.解：當(dāng)x豐1時，S=亠+2x2(1一xn一1)(2n一1)xn+1n1一x(1-x)2小結(jié)：錯位相減法的步驟是：①在等式兩邊同時乘以等比數(shù)列｛b｝的公比；②將兩個等式相n減；③利用等比數(shù)列的前n項和公式求和.變式練習(xí)：求數(shù)列a,2a2,3a3,4a4,…,nan,???(a為常數(shù))的前n項和。解：(1)若a=0,則S=0(2)若a=1,則S=1+2+3+???+n=n(n+】)nn2(3)若a#0且a#1/.aS=a2+2a3+3a4+???+nan+ina-/.aS=a2+2a3+3a4+???+nan+ina-an+1一nan+11-a當(dāng)a=0時…此式也成立。(1-a)Sn=a+a2+a3+???+an-nan+1=a—an+1nan+1…Sn=—(a豐1)n(1—a)21—an(n+1)(_^(a二1)a—an+1nan+1—(a主1)TOC\o"1-5"\h\z(1—a)21—a五、分組求和法若數(shù)列的通項是若干項的代數(shù)和，可將其分成幾部分來求.例5求數(shù)列21,1,丄,…,n+丄，…的前n項和S?48162n+in(111S=(2+4+6+■■?+2n)+—+—+—+…■+1222324變式練習(xí)：求數(shù)列中9,3占哈…的前n項和數(shù)列求和基礎(chǔ)訓(xùn)練1?等比數(shù)列｛an｝的前n1?等比數(shù)列｛an｝的前n項和Sn=2.1'則a12+a2+a2234n-1+a2=-n32?設(shè)S=—1+3—5+7-???+(—1)n(2n—1)，貝USnn111n(—l)n-n?3-匕+J?1，+(3n-2)x(3n+1^3n+廣4.丄+丄+丄+...+1=12?43?54?6(n+1)(n+3)115.數(shù)列1,(1+2),(1+2+22),?.?,(1+2+22+???+2n—1),…的通項公式a=2n—1,前n項和S=nn2‘22‘232‘22‘23'◎，…;的前n項和為S=3-2n+3n2n2n數(shù)列求和提高訓(xùn)練1?數(shù)列｛an｝滿足:a1=1,且對任意的m,n^N*都有：a111+++…+a1?數(shù)列｛an｝滿足:a1=1,且對任意的m,n^N*都有：a111+++…+a1(A)A．a(chǎn)a234016a20082009解：7am+n=am+an+mn，B．?.a.利用疊加法得到:20082009^^3n＋1nn(n+1)111???一+—++…+—

aaaa1232008C20071004D20072008a+e+n=an+1+n，1_an(n+1)n21二2(--

nn+1)'L二2(1-1+1-1+…+1223—)二2(1-200820094016)=20092009TOC\o"1-5"\h\z2.數(shù)列｛an｝、｛bn｝都是公差為1的等差數(shù)列，若其首項滿足a1+b1=5,a1>b1，且a1，b占N*，則數(shù)列｛a｝前10項的和等于（B）1bnA．100B．85C．70D．55解：°.°a=a+n——1，b=b、+n——1n1n1ab=a]+b”一1=a]+(b1解：°.°a=a+n——1，b=b、+n——1n1n1bn11111+n——+n——2=n+3則數(shù)列｛a｝也是等差數(shù)列，并且前10項和等于:bn上口x10=85答案：B.23.設(shè)m=1X2+2X3+3X4+…+(n-1)?n，貝Um等于(A)A.n(n2—DB.1n(n+4)C.1n(n+5)D.1n(n+7)32223.解：因為an=n2-n.,則依據(jù)分組集合即得.答案;A.4.若S”=1-2+3-4+…+（-1）n-1?n,則S17+S33+s50等于（A）A.1B.-1C.0D.2=^（n為奇）解：對前n項和要分奇偶分別解決，即：S“=｛2答案：A（n為偶）J2

5?設(shè)｛an｝為等比數(shù)列,｛bn｝為等差數(shù)列，且b]=O,cn=an+bn,若數(shù)列｛c“｝是1丄2,…,則｛c“｝的前10項和為(A)A.978B.557C.467D.979fq+d=1解由題意可得a1=1,設(shè)公比為q,公差為d,則f[q2+2d=2q2-2q=0,*.*q工0,q=2,an=2n-i,bn=(n-1)(-1)=1-n,c”=2n-i+1-n,Sn=978.答案：A6.若數(shù)列｛an｝的通項公式是an=(-1)n(3n-2)，則a1+a2+-+a10=(A)A．15B.12C．－12D.－15解析A設(shè)bn=3n-2,則數(shù)列｛bn｝是以1為首項，3為公差的等差數(shù)列，所以a1+a2+…+a9+a10二(-bj+b2+…+(-b9)+b10二(b2-bj+(b4-b3)+…+(b10-b9)=5X3=15.7.一個有2001項且各項非零的等差數(shù)列，其奇數(shù)項的和與偶數(shù)項的和之比為解：設(shè)此數(shù)列｛an｝,其中間項為a1001,則S奇則S奇=°1+勺+%+"*2001=1001?ai001'S『a2+a4+a6+"?+a2OOoiOOOaiOO1.答案:10011000解：原式=(n一解：原式=(n一1)n?(2n一1)62n3—3n2+n6答案：,c=8.若12+22+“?+(n-1)2=an3+bn2+cn，貝Ua=,b=,c=9.已知等差數(shù)列｛an｝的首項a1=1，公差d>0,且其第二項、第五項、第十四項分別是等比數(shù)列｛bn｝的第二、三、四項.(1)求數(shù)列｛an｝與｛bn｝的通項公式；二a成立.n+1(2)設(shè)數(shù)列｛c｝對任意自然數(shù)n均有二二a成立.n+1123求c]+c2+c3c2014的值.解得d=2,.°.a=2n-1，可得b=3n-inn解：(1)由題意得(a解得d=2,.°.a=2n-1，可得b=3n-innc⑵當(dāng)n=1時，c,=3；當(dāng)n±2時，由才=a—a，得c=2?3n-i，1bn+1nnn|3(n=1),故cn=[2?3n_1(n>2).故ci+c2+c3+??十2014=3+2X3+2X3+?.+2X32002=32015?nn10.設(shè)數(shù)列｛an｝為等差數(shù)列，Sn為數(shù)列｛an｝的前n項和，已知S7=7,S15=75,Tn為數(shù)列jSn"勺前n項和，求Tn.解析設(shè)等差數(shù)列｛an｝的首項為a1，公差為d,則S”二na1+2n(n-1)d.vS7二7,S15二75,7a1+21d二7,15a1+105d二75,Ia+3d二1,即］1q+7d二5,Ja1二-2,、d二1.(n1-+一一d-2+2(n-1)．計數(shù)列汩是首項為-2,公差為2的等差數(shù)列?丄9七二4n2-4n11.已知數(shù)列｛an｝的首項a12=3'2aa=■—"+1a+1n(1)證明：數(shù)列n是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列2a1a+11,1解析(1)van+1=a_+r，?a_1=la-nn+1n2+2a…n1/+1n項和S.na】=3，??寸-??寸-1=2工0，?十-1工01n丄—1?1…丄an???數(shù)列|土-”是以2為首項，2為公比的等比數(shù)n(2)由(1)知+—1=gn即丄