2023學年上海華東師大二附中高考適應性考試數學試卷（含解析）

2023學年高考數學模擬測試卷注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．雙曲線x2a2A．y=±2x B．y=±3x2．設是雙曲線的左、右焦點，若雙曲線右支上存在一點，使（為坐標原點），且，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．3．已知實數集，集合，集合，則（）A． B． C． D．4．在邊長為的菱形中，，沿對角線折成二面角為的四面體（如圖），則此四面體的外接球表面積為（）A． B．C． D．5．設函數的定義域為，滿足，且當時，.若對任意，都有，則的取值范圍是（）.A． B． C． D．6．“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7．已知雙曲線的焦距為，過左焦點作斜率為1的直線交雙曲線的右支于點，若線段的中點在圓上，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．8．設函數，當時，，則（）A． B． C．1 D．9．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的，則輸出的()A．9 B．31 C．15 D．6310．已知函數，存在實數，使得，則的最大值為（）A． B． C． D．11．設，，則（）A． B． C． D．12．若，則實數的大小關系為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．執(zhí)行如圖所示的偽代碼，若輸出的y的值為13，則輸入的x的值是_______.14．已知點M是曲線y＝2lnx＋x2﹣3x上一動點，當曲線在M處的切線斜率取得最小值時，該切線的方程為_______．15．已知函數，若函數恰有4個零點，則實數的取值范圍是________．16．設函數，則滿足的的取值范圍為________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某工廠的機器上有一種易損元件A，這種元件在使用過程中發(fā)生損壞時，需要送維修處維修．工廠規(guī)定當日損壞的元件A在次日早上8：30之前送到維修處，并要求維修人員當日必須完成所有損壞元件A的維修工作．每個工人獨立維修A元件需要時間相同．維修處記錄了某月從1日到20日每天維修元件A的個數，具體數據如下表：日期1日2日3日4日5日6日7日8日9日10日元件A個數91512181218992412日期11日12日13日14日15日16日17日18日19日20日元件A個數12241515151215151524從這20天中隨機選取一天，隨機變量X表示在維修處該天元件A的維修個數．（Ⅰ）求X的分布列與數學期望；（Ⅱ）若a，b，且b-a=6，求最大值；（Ⅲ）目前維修處有兩名工人從事維修工作，為使每個維修工人每天維修元件A的個數的數學期望不超過4個，至少需要增加幾名維修工人？（只需寫出結論）18．（12分）設函數.（1）求的值；（2）若，求函數的單調遞減區(qū)間.19．（12分）已知，函數的最小值為1．（1）證明：．（2）若恒成立，求實數的最大值．20．（12分）2019年底，北京2023年冬奧組委會啟動志愿者全球招募，僅一個月內報名人數便突破60萬，其中青年學生約有50萬人.現從這50萬青年學生志愿者中，按男女分層抽樣隨機選取20人進行英語水平測試，所得成績(單位:分)統(tǒng)計結果用莖葉圖記錄如下:(Ⅰ)試估計在這50萬青年學生志愿者中，英語測試成績在80分以上的女生人數;(Ⅱ)從選出的8名男生中隨機抽取2人，記其中測試成績在70分以上的人數為X，求的分布列和數學期望;(Ⅲ)為便于聯(lián)絡，現將所有的青年學生志愿者隨機分成若干組(每組人數不少于5000)，并在每組中隨機選取個人作為聯(lián)絡員，要求每組的聯(lián)絡員中至少有1人的英語測試成績在70分以上的概率大于90%.根據圖表中數據，以頻率作為概率，給出的最小值.(結論不要求證明)21．（12分）已知等差數列的前n項和為，等比數列的前n項和為，且，，.（1）求數列與的通項公式；（2）求數列的前n項和.22．（10分）在極坐標系中，已知曲線C的方程為（），直線l的方程為.設直線l與曲線C相交于A，B兩點，且，求r的值.

2023學年模擬測試卷參考答案（含詳細解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【答案解析】分析：根據離心率得a,c關系，進而得a,b關系，再根據雙曲線方程求漸近線方程，得結果.詳解：∵e=因為漸近線方程為y=±bax點睛：已知雙曲線方程x2a22、D【答案解析】

利用向量運算可得，即，由為的中位線，得到，所以，再根據雙曲線定義即可求得離心率.【題目詳解】取的中點，則由得，即；在中，為的中位線，所以，所以；由雙曲線定義知，且，所以，解得，故選：D【答案點睛】本題綜合考查向量運算與雙曲線的相關性質，難度一般.3、A【答案解析】

可得集合,求出補集,再求出即可.【題目詳解】由,得,即,所以,所以.故選:A【答案點睛】本題考查了集合的補集和交集的混合運算,屬于基礎題.4、A【答案解析】

畫圖取的中點M，法一：四邊形的外接圓直徑為OM，即可求半徑從而求外接球表面積；法二：根據，即可求半徑從而求外接球表面積；法三：作出的外接圓直徑，求出和，即可求半徑從而求外接球表面積；【題目詳解】如圖，取的中點M，和的外接圓半徑為，和的外心，到弦的距離（弦心距）為.法一：四邊形的外接圓直徑，，；法二：，，；法三：作出的外接圓直徑，則，，，，，，，，，.故選：A【答案點睛】此題考查三棱錐的外接球表面積，關鍵點是通過幾何關系求得球心位置和球半徑，方法較多，屬于較易題目.5、B【答案解析】

求出在的解析式，作出函數圖象，數形結合即可得到答案.【題目詳解】當時，，，，又，所以至少小于7，此時，令，得，解得或，結合圖象，故.故選：B.【答案點睛】本題考查不等式恒成立求參數的范圍，考查學生數形結合的思想，是一道中檔題.6、B【答案解析】

或，從而明確充分性與必要性.【題目詳解】，由可得：或，即能推出，但推不出∴“”是“”的必要不充分條件故選【答案點睛】本題考查充分性與必要性，簡單三角方程的解法，屬于基礎題.7、C【答案解析】

設線段的中點為，判斷出點的位置，結合雙曲線的定義，求得雙曲線的離心率.【題目詳解】設線段的中點為，由于直線的斜率是，而圓，所以.由于是線段的中點，所以，而，根據雙曲線的定義可知，即，即.故選：C【答案點睛】本小題主要考查雙曲線的定義和離心率的求法，考查直線和圓的位置關系，考查數形結合的數學思想方法，屬于中檔題.8、A【答案解析】

由降冪公式，兩角和的正弦公式化函數為一個角的一個三角函數形式，然后由正弦函數性質求得參數值．【題目詳解】，時，，，∴，由題意，∴．故選：A．【答案點睛】本題考查二倍角公式，考查兩角和的正弦公式，考查正弦函數性質，掌握正弦函數性質是解題關鍵．9、B【答案解析】

根據程序框圖中的循環(huán)結構的運算，直至滿足條件退出循環(huán)體，即可得出結果.【題目詳解】執(zhí)行程序框；；；；；，滿足，退出循環(huán)，因此輸出，故選:B.【答案點睛】本題考查循環(huán)結構輸出結果，模擬程序運行是解題的關鍵，屬于基礎題.10、A【答案解析】

畫出分段函數圖像，可得，由于，構造函數，利用導數研究單調性，分析最值，即得解.【題目詳解】由于，,由于，令，，在↗，↘故.故選：A【答案點睛】本題考查了導數在函數性質探究中的應用，考查了學生數形結合，轉化劃歸，綜合分析，數學運算的能力，屬于較難題.11、D【答案解析】

集合是一次不等式的解集，分別求出再求交集即可【題目詳解】，，則故選【答案點睛】本題主要考查了一次不等式的解集以及集合的交集運算，屬于基礎題．12、A【答案解析】

將化成以為底的對數，即可判斷的大小關系；由對數函數、指數函數的性質，可判斷出與1的大小關系，從而可判斷三者的大小關系.【題目詳解】依題意，由對數函數的性質可得.又因為，故.故選:A.【答案點睛】本題考查了指數函數的性質，考查了對數函數的性質，考查了對數的運算性質.兩個對數型的數字比較大小時，底數相同，則構造對數函數，結合對數的單調性可判斷大?。蝗粽鏀迪嗤?，則結合對數函數的圖像或者換底公式可判斷大小；若真數和底數都不相同，則可與中間值如1,0比較大小.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、8【答案解析】

根據偽代碼逆向運算求得結果.【題目詳解】輸入，若，則，不合題意若，則，滿足題意本題正確結果：【答案點睛】本題考查算法中的語言，屬于基礎題.14、【答案解析】

先求導數可得切線斜率，利用基本不等式可得切點橫坐標，從而可得切線方程.【題目詳解】，，＝1時有最小值1，此時M(1，﹣2)，故切線方程為：，即．故答案為：.【答案點睛】本題主要考查導數的幾何意義，切點處的導數值等于切線的斜率是求解的關鍵，側重考查數學運算的核心素養(yǎng).15、【答案解析】

函數恰有4個零點，等價于函數與函數的圖象有四個不同的交點，畫出函數圖象，利用數形結合思想進行求解即可.【題目詳解】函數恰有4個零點，等價于函數與函數的圖象有四個不同的交點，畫出函數圖象如下圖所示：由圖象可知：實數的取值范圍是.故答案為：【答案點睛】本題考查了已知函數零點個數求參數取值范圍問題，考查了數形結合思想和轉化思想.16、【答案解析】

當時，函數單調遞增，當時，函數為常數，故需滿足，且，解得答案.【題目詳解】，當時，函數單調遞增，當時，函數為常數，需滿足，且，解得.故答案為：.【答案點睛】本題考查了根據函數單調性解不等式，意在考查學生對于函數性質的靈活運用.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）分布列見解析，；(Ⅱ)；(Ⅲ)至少增加2人.【答案解析】

（Ⅰ）求出X的所有可能取值為9，12，15，18，24，求出概率，得到X的分布列，然后求解期望即可．（Ⅱ）當P（a≤X≤b）取到最大值時，求出a，b的可能值，然后求解P（a≤X≤b）的最大值即可．（Ⅲ）利用前兩問的結果，判斷至少增加2人．【題目詳解】(Ⅰ)X的取值為：9，12，15，18，24；,,,,，X的分布列為：X912151824P故X的數學期望；(Ⅱ)當P(a≤X≤b)取到最大值時,a,b的值可能為：,或,或.經計算,,，所以P(a≤X≤b)的最大值為.(Ⅲ)至少增加2人.【答案點睛】本題考查離散型隨機變量及其分布列，離散型隨機變量的期望與方差，屬于中等題.18、（1）（2）的遞減區(qū)間為和【答案解析】

（1）化簡函數，代入，計算即可；（2）先利用正弦函數的圖象與性質求出函數的單調遞減區(qū)間，再結合即可求出.【題目詳解】（1），從而.（2）令.解得.即函數的所有減區(qū)間為，考慮到，取，可得，，故的遞減區(qū)間為和.【答案點睛】本題主要考查了三角函數的恒等變形，正弦函數的圖象與性質，屬于中檔題.19、（1）2；（2）【答案解析】分析：（1）將轉化為分段函數，求函數的最小值（2）分離參數，利用基本不等式證明即可．詳解：（Ⅰ）證明：，顯然在上單調遞減，在上單調遞增，所以的最小值為，即．（Ⅱ）因為恒成立，所以恒成立，當且僅當時，取得最小值，所以，即實數的最大值為．點睛：本題主要考查含兩個絕對值的函數的最值和不等式的應用，第二問恒成立問題分離參數，利用基本不等式求解很關鍵，屬于中檔題．20、(Ⅰ)萬；(Ⅱ)分布列見解析，；(Ⅲ)【答案解析】

(Ⅰ)根據比例關系直接計算得到答案.(Ⅱ)的可能取值為，計算概率得到分布列，再計算數學期望得到答案.(Ⅲ)英語測試成績在70分以上的概率為，故，解得答案.【題目詳解】(Ⅰ)樣本中女生英語成績在分以上的有人，故人數為：萬人.(Ⅱ)8名男生中，測試成績在70分以上的有人，的可能取值為：.，，.故分布列為：.(Ⅲ)英語測試成績在70分以上的概率為，故，故.故的最小值為.【答案點睛】本題考查了樣本估計總體，分布列，數學期望，意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.21、（1）；（2）【答案解析】

(1)設數列的公差為d,由可得,,由即可解得,故,由,即可解得,進而求得.(2)由（1）得，,利用分組求和及錯位相減法即可求得結果.【題目詳解】（1）設數列的公差為d，數列的公比為q，由可得，，整理得，即，故，由可得，則，即，故.（2）由（1）得，，，故，所以，數列的前n項和為，設