概率論第十六講中心極限定理

概率論第十六講中心極限定理第1頁，共29頁，2022年，5月20日，6點12分，星期四中心極限定理：概率論中有關(guān)隨機(jī)變量的和的極限分布是正態(tài)分布的系列定理。設(shè)隨機(jī)變量序列相互獨(dú)立,且有期望和方差：令則第2頁，共29頁，2022年，5月20日，6點12分，星期四定理1林德伯格（Lindberg）定理設(shè)相互獨(dú)立隨機(jī)變量滿足林德伯格條件，即有其中，是隨機(jī)變量的概率密度第3頁，共29頁，2022年，5月20日，6點12分，星期四其中，是任何實數(shù)則n→∞，有第4頁，共29頁，2022年，5月20日，6點12分，星期四林德伯格定理的意義:被研究的隨機(jī)變量可以被表示為，許多相互獨(dú)立隨機(jī)變量的和,其中,則這個總和服從或近似服從正態(tài)分布.每一個隨機(jī)變量對于總和只起微小的作用,第5頁，共29頁，2022年，5月20日，6點12分，星期四定理二林德伯格-列維中心極限定理[獨(dú)立同分布的中心極限定理]定理三棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理[二項分布以正態(tài)分布為極限分布](Lindberg-levi)(DeMoivre-Laplace)第6頁，共29頁，2022年，5月20日，6點12分，星期四獨(dú)立同分布的中心極限定理設(shè)隨機(jī)變量序列獨(dú)立同一分布,且有期望和方差：則對于任意實數(shù)x,定理1第7頁，共29頁，2022年，5月20日，6點12分，星期四注則Yn

為的標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量.即n足夠大時，Yn

的分布函數(shù)近似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量的分布函數(shù)記近似近似服從第8頁，共29頁，2022年，5月20日，6點12分，星期四中心極限定理的意義

在第二章曾講過有許多隨機(jī)現(xiàn)象服從正態(tài)分布若聯(lián)系于此隨機(jī)現(xiàn)象的隨機(jī)變量為X，是由于許多彼次沒有什么相依關(guān)系、對隨機(jī)現(xiàn)象誰也不能起突出影響，而均勻地起到微小作用的隨機(jī)因素共同作用則它可被看成為許多相互獨(dú)立的起微小作用的因素Xk的總和，而這個總和服從或近似服從正態(tài)分布.(即這些因素的疊加)的結(jié)果.第9頁，共29頁，2022年，5月20日，6點12分，星期四對此現(xiàn)象還可舉個有趣的例子——高爾頓釘板試驗——加以說明.03—釘子層數(shù)高爾頓釘板第10頁，共29頁，2022年，5月20日，6點12分，星期四德莫佛—拉普拉斯中心極限定理（DeMoivre-Laplace）

設(shè)Yn

~B(n,p),0<p<1,n=1,2,…則對任一實數(shù)x，有即對任意的a<b,Yn

~N(np,np(1-p))(近似)定理2第11頁，共29頁，2022年，5月20日，6點12分，星期四應(yīng)用1例1炮火轟擊敵方防御工事100次,每次轟擊命中的炮彈數(shù)服從同一分布,其數(shù)學(xué)期望為2,均方差為1.5.若各次轟擊命中的炮彈數(shù)是相互獨(dú)立的,求100次轟擊(1)至少命中180發(fā)炮彈的概率;(2)命中的炮彈數(shù)不到200發(fā)的概率.中心極限定理的應(yīng)用第12頁，共29頁，2022年，5月20日，6點12分，星期四解

設(shè)Xk

表示第k次轟擊命中的炮彈數(shù)相互獨(dú)立，設(shè)X表示100次轟擊命中的炮彈數(shù),則由獨(dú)立同分布中心極限定理,有第13頁，共29頁，2022年，5月20日，6點12分，星期四(1)(2)第14頁，共29頁，2022年，5月20日，6點12分，星期四例2售報員在報攤上賣報,已知每個過路人在報攤上買報的概率為1/3.令X是出售了100份報時過路人的數(shù)目，求P(280X320).解令Xi

為售出了第i–1份報紙后到售出第i份報紙時的過路人數(shù),i=1,2,…,100(幾何分布)應(yīng)用2第15頁，共29頁，2022年，5月20日，6點12分，星期四相互獨(dú)立,由獨(dú)立同分布中心極限定理,有第16頁，共29頁，2022年，5月20日，6點12分，星期四例3

檢驗員逐個檢查某產(chǎn)品,每查一個需用10秒鐘.但有的產(chǎn)品需重復(fù)檢查一次，再用去10秒鐘.若產(chǎn)品需重復(fù)檢查的概率為0.5,求檢驗員在8小時內(nèi)檢查的產(chǎn)品多于1900個的概率.解

若在8小時內(nèi)檢查的產(chǎn)品多于1900個,即檢查1900個產(chǎn)品所用的時間小于8小時.設(shè)X為檢查1900個產(chǎn)品所用的時間(秒)設(shè)Xk

為檢查第k個產(chǎn)品所用的時間(單位：秒),k=1,2,…,1900應(yīng)用3第17頁，共29頁，2022年，5月20日，6點12分，星期四

XkP10200.50.5相互獨(dú)立同分布,第18頁，共29頁，2022年，5月20日，6點12分，星期四第19頁，共29頁，2022年，5月20日，6點12分，星期四例4某車間有200臺車床，每臺獨(dú)立工作，開工率為0.6.開工時每臺耗電量為r千瓦.問供電所至少要供給這個車間多少電力,才能以99.9%的概率保證這個車間不會因供電不足而影響生產(chǎn)？解設(shè)至少要供給這個車間a千瓦的電力，X為開工的車床數(shù),

則X~B(200,0.6),

X~N(120,48)(近似)應(yīng)用4由德莫佛—拉普拉斯中心極限定理,有第20頁，共29頁，2022年，5月20日，6點12分，星期四問題轉(zhuǎn)化為求a,使反查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)函數(shù)分布表，得第21頁，共29頁，2022年，5月20日，6點12分，星期四令解得(千瓦)第22頁，共29頁，2022年，5月20日，6點12分，星期四例5設(shè)有一批種子，其中良種占1/6.試估計在任選的6000粒種子中，良種比例與1/6比較上下不超過1%的概率.解設(shè)X表示6000粒種子中的良種數(shù),X~B(6000,1/6)應(yīng)用5近似由德莫佛—拉普拉斯中心極限定理,則有第23頁，共29頁，2022年，5月20日，6點12分，星期四第24頁，共29頁，2022年，5月20日，6點12分，星期四比較幾個近似計算的結(jié)果中心極限定理二項分布(精確結(jié)果)Poisson分布Chebyshev不等式比較第25頁，共29頁，2022年，5月20日，6點12分，星期四作業(yè)P.138習(xí)題四1920

2223習(xí)題第26頁，共29頁，2022年，5月20日，6點12分，星期四設(shè)某農(nóng)貿(mào)市場某種商品每日的價格的變化是個相互獨(dú)立且均值為0,方差為2=2的隨機(jī)變量Yn，并滿足其中Xn是第n天該商品的價格.如果今天的價格為100，求18天后該商品的價格在96與104之間的概率.*補(bǔ)充作業(yè)第27頁，共29頁，2022年，5月20日，6點12分，星期四解設(shè)表示今天該商品的價格,為18天后該商品的價格,則得第28頁，共29頁，2022年