高等數(shù)學(xué)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)

高等數(shù)學(xué)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)1第1頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)25分，星期四常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念

二、無(wú)窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)三、級(jí)數(shù)收斂的必要條件第一節(jié)2第2頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)25分，星期四一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念引例1.用圓內(nèi)接正多邊形面積逼近圓面積.依次作圓內(nèi)接正邊形,這個(gè)和逼近于圓的面積A.設(shè)a0表示即內(nèi)接正三角形面積,ak表示邊數(shù)增加時(shí)增加的面積,則圓內(nèi)接正3第3頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)25分，星期四定義：給定一個(gè)數(shù)列將各項(xiàng)依即稱(chēng)上式為無(wú)窮級(jí)數(shù)，其中第n項(xiàng)叫做級(jí)數(shù)的一般項(xiàng),級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)和稱(chēng)為級(jí)數(shù)的部分和.次相加,簡(jiǎn)記為一般項(xiàng)4第4頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)25分，星期四部分和數(shù)列級(jí)數(shù)的部分和當(dāng)n=1，2，3，時(shí)又形成一個(gè)新的數(shù)列，5第5頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)25分，星期四當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí),稱(chēng)差值為級(jí)數(shù)的余項(xiàng).則稱(chēng)無(wú)窮級(jí)數(shù)發(fā)散.顯然收斂,并稱(chēng)S

為級(jí)數(shù)的和,記作則稱(chēng)無(wú)窮級(jí)數(shù)6第6頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)25分，星期四無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂性舉例：Koch雪花.做法：先給定一個(gè)正三角形，然后在每條邊上對(duì)稱(chēng)的產(chǎn)生邊長(zhǎng)為原邊長(zhǎng)的1/3的小正三角形．如此類(lèi)推在每條凸邊上都做類(lèi)似的操作，我們就得到了面積有限而周長(zhǎng)無(wú)限的圖形——“Koch雪花”．7第7頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)25分，星期四觀察雪花分形過(guò)程第一次分叉：依次類(lèi)推播放8第8頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)25分，星期四例1.討論等比級(jí)數(shù)(又稱(chēng)幾何級(jí)數(shù))(q

稱(chēng)為公比)的斂散性.解:1)若從而因此級(jí)數(shù)收斂,從而則部分和因此級(jí)數(shù)發(fā)散.其和為9第9頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)25分，星期四2).若因此級(jí)數(shù)發(fā)散;因此n為奇數(shù)n為偶數(shù)從而綜合1)、2)可知,則級(jí)數(shù)成為不存在,因此級(jí)數(shù)發(fā)散.10第10頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)25分，星期四例2.

判別下列級(jí)數(shù)的斂散性:解:(1)所以級(jí)數(shù)(1)發(fā)散;技巧:利用“拆項(xiàng)相消”求和11第11頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)25分，星期四(2)所以級(jí)數(shù)(2)收斂,其和為1.技巧:利用“拆項(xiàng)相消”求和12第12頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)25分，星期四例3：對(duì)級(jí)數(shù)做如下推導(dǎo)：設(shè)于是所以s=-1.判斷上述結(jié)論是否正確，說(shuō)明理由。13第13頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)25分，星期四

例4.判別級(jí)數(shù)的斂散性.解:故原級(jí)數(shù)收斂,其和為14第14頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)25分，星期四二、無(wú)窮級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)性質(zhì)1.若級(jí)數(shù)收斂于S,則各項(xiàng)乘以常數(shù)c所得級(jí)數(shù)也收斂,證:令則這說(shuō)明收斂,其和為cS.

說(shuō)明:級(jí)數(shù)各項(xiàng)乘以非零常數(shù)后其斂散性不變.即其和為cS.15第15頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)25分，星期四性質(zhì)2.

設(shè)有兩個(gè)收斂級(jí)數(shù)則級(jí)數(shù)也收斂,其和為證:令則這說(shuō)明級(jí)數(shù)也收斂,其和為16第16頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)25分，星期四說(shuō)明:(2)若兩級(jí)數(shù)中一個(gè)收斂一個(gè)發(fā)散,則必發(fā)散.但若二級(jí)數(shù)都發(fā)散,不一定發(fā)散.例如,

(1)性質(zhì)2表明收斂級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)相加或減.(用反證法可證)練習(xí)判別級(jí)數(shù)的斂散性。7/217第17頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)25分，星期四性質(zhì)3.在級(jí)數(shù)前面加上或去掉有限項(xiàng),不會(huì)影響級(jí)數(shù)的斂散性.證:將級(jí)數(shù)的前k項(xiàng)去掉,的部分和為數(shù)斂散性相同.當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí),其和的關(guān)系為類(lèi)似可證前面加上有限項(xiàng)的情況.極限狀況相同,故新舊兩級(jí)所得新級(jí)數(shù)18第18頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)25分，星期四性質(zhì)4.收斂級(jí)數(shù)加括弧后所成的級(jí)數(shù)仍收斂于原級(jí)數(shù)的和.證:設(shè)收斂級(jí)數(shù)若按某一規(guī)律加括弧,則新級(jí)數(shù)的部分和序列為原級(jí)數(shù)部分和序列的一個(gè)子序列,推論:若加括弧后的級(jí)數(shù)發(fā)散,則原級(jí)數(shù)必發(fā)散.因此必有用反證法可證例如19第19頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)25分，星期四注意收斂級(jí)數(shù)去括弧后所成的級(jí)數(shù)不一定收斂.

收斂

發(fā)散發(fā)散的級(jí)數(shù)加括號(hào)可能收斂，故不能用加括號(hào)的方法判別原級(jí)數(shù)收斂，但可以用加括號(hào)的方法判別原級(jí)數(shù)發(fā)散。給了一個(gè)級(jí)數(shù)后,要判斷收斂還是發(fā)散，可以按照級(jí)數(shù)的特點(diǎn)加括號(hào),但是想的是希望它是發(fā)散的.若加括號(hào)以后收斂了,那么什么結(jié)論都得不到.20第20頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)25分，星期四例5.判斷級(jí)數(shù)的斂散性:解:考慮加括號(hào)后的級(jí)數(shù)發(fā)散,從而原級(jí)數(shù)發(fā)散.21第21頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)25分，星期四三、級(jí)數(shù)收斂的必要條件

設(shè)收斂級(jí)數(shù)則必有證:

可見(jiàn):若級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)不趨于0,則級(jí)數(shù)必發(fā)散.例如,其一般項(xiàng)為不趨于0,因此這個(gè)級(jí)數(shù)發(fā)散.22第22頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)25分，星期四注意:并非級(jí)數(shù)收斂的充分條件.例如,調(diào)和級(jí)數(shù)雖然但此級(jí)數(shù)發(fā)散.討論1事實(shí)上,假設(shè)調(diào)和級(jí)數(shù)收斂于S,則但矛盾!所以假設(shè)不真.23第23頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)25分，星期四討論2在區(qū)間[n，n+1]上對(duì)函數(shù)lnx使用拉格朗日中值定理，24第24頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)25分，星期四8項(xiàng)4項(xiàng)2項(xiàng)2項(xiàng)項(xiàng)由性質(zhì)4推論,調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散.討論325第25頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)25分，星期四例6.判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性,若收斂求其和:解:(1)令則故從而這說(shuō)明級(jí)數(shù)(1)發(fā)散.26第26頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)25分，星期四因進(jìn)行拆項(xiàng)相消這說(shuō)明原級(jí)數(shù)收斂,其和為(2)27第27頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)25分，星期四這說(shuō)明原級(jí)數(shù)收斂,其和為3.(3)28第28頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)25分，星期四作業(yè)P1921(1),(3)；3(2)；

4(1),(3),(5);29第29頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)25分，星期四思考題30第30頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)25分，星期四思考題解答能．由柯西審斂原理即知．31第31頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)25分，星期四練習(xí)題32第32頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)25分，星期四33第33頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)25分，星期四練習(xí)題答案34第34頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)25分，星期四觀察雪花分形過(guò)程第一次分叉：依次類(lèi)推35第35頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)25分，星期四觀察雪花分形過(guò)程第一次分叉：依次類(lèi)推36第36頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)25分，星期四觀察雪花分形過(guò)程第一次分叉：依次類(lèi)推37第37頁(yè)，共41頁(yè)，2022年，5月20日，21點(diǎn)25分，星期四觀察雪花分形過(guò)程第一次分叉：依次類(lèi)推38