2022版?zhèn)鋺?zhàn)老高考一輪復(fù)習(xí)文科數(shù)學(xué)第4節(jié) 直線、平面平行的判定及其性質(zhì) 教案

第四節(jié)直線、平面平行的判定及其性質(zhì)[最新考綱]1.以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識(shí)和理解空間中線面平行的有關(guān)性質(zhì)與判定定理.2.能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些有關(guān)空間圖形的平行關(guān)系的簡(jiǎn)單命題．1．線面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號(hào)語言判定定理平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行(簡(jiǎn)記為“線線平行?線面平行”)∵l∥a，a?α，l?α，∴l(xiāng)∥α性質(zhì)定理一條直線與一個(gè)平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行(簡(jiǎn)記為“線面平行?線線平行”)∵l∥α，l?β，α∩β＝b，∴l(xiāng)∥b2.面面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號(hào)語言判定定理一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行(簡(jiǎn)記為“線面平行?面面平行”)∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，a?α，b?α，∴α∥β性質(zhì)定理如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a∥beq\O([常用結(jié)論])線、面平行的性質(zhì)(1)兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線平行于另一個(gè)平面．(2)夾在兩個(gè)平行平面間的平行線段長(zhǎng)度相等．(3)經(jīng)過平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行．(4)兩條直線被三個(gè)平行平面所截，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例．(5)如果兩個(gè)平面分別和第三個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面互相平行．(6)如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線，那么這兩個(gè)平面平行．(7)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行．(8)垂直于同一平面的兩條直線平行．一、思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)若一條直線和平面內(nèi)一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行． ()(2)平行于同一條直線的兩個(gè)平面平行． ()(3)若一個(gè)平面內(nèi)有無數(shù)條直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行． ()(4)若兩個(gè)平面平行，則一個(gè)平面內(nèi)的直線與另一個(gè)平面平行． ()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√二、教材改編1．下列命題中，正確的是()A．若a，b是兩條直線，且a∥b，那么a平行于經(jīng)過b的任何平面B．若直線a和平面α滿足a∥α，那么a與α內(nèi)的任何直線平行C．若直線a，b和平面α滿足a∥α，b∥α，那么a∥bD．若直線a，b和平面α滿足a∥b，a∥α，b?α，則b∥αD[根據(jù)線面平行的判定與性質(zhì)定理知，選D.]2．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是DD1的中點(diǎn)，則BD1與平面ACE的位置關(guān)系是．平行[如圖所示，連接BD交AC于F，連接EF，則EF是△BDD1的中位線，∴EF∥BD1，又EF?平面ACE，BD1?平面ACE，∴BD1∥平面ACE.]3．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，E為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在CD上，若EF∥平面AB1C，則EF＝.eq\r(2)[根據(jù)題意，因?yàn)镋F∥平面AB1C，所以EF∥AC.又E是AD的中點(diǎn)，所以F是CD的中點(diǎn)．因此在Rt△DEF中，DE＝DF＝1，故EF＝eq\r(2).]4．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，下列結(jié)論正確的是(填序號(hào))．①AD1∥BC1；②平面AB1D1∥平面BDC1；③AD1∥DC1；④AD1∥平面BDC1.①②④[如圖，因?yàn)锳BC1D1，所以四邊形AD1C1B為平行四邊形．故AD1∥BC1，從而①正確；易證BD∥B1D1，AB1∥DC1，又AB1∩B1D1＝B1，BD∩DC1＝D，故平面AB1D1∥平面BDC1，從而②正確；由圖易知AD1與DC1異面，故③錯(cuò)誤；因?yàn)锳D1∥BC1，AD1?平面BDC1，BC1?平面BDC1，所以AD1∥平面BDC1，故④正確．]考點(diǎn)1直線與平面平行的判定與性質(zhì)(多維探究)判定線面平行的四種方法(1)利用線面平行的定義(無公共點(diǎn))；(2)利用線面平行的判定定理(a?α，b?α，a∥b?a∥α)；(3)利用面面平行的性質(zhì)定理(α∥β，a?α?a∥β)；(4)利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，a?α，a?β，a∥α?a∥β)．直線與平面平行的判定如圖，在四棱錐P-ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝eq\f(1,2)AD，E，F(xiàn)，H分別為線段AD，PC，CD的中點(diǎn)，AC與BE交于O點(diǎn)，G是線段OF上一點(diǎn)．(1)求證：AP∥平面BEF；(2)求證：GH∥平面PAD.[證明](1)連接EC，因?yàn)锳D∥BC，BC＝eq\f(1,2)AD，E為AD中點(diǎn)，所以BCAE，所以四邊形ABCE是平行四邊形，所以O(shè)為AC的中點(diǎn)．又因?yàn)镕是PC的中點(diǎn)，所以FO∥AP，因?yàn)镕O?平面BEF，AP?平面BEF，所以AP∥平面BEF.(2)連接FH，OH，因?yàn)镕，H分別是PC，CD的中點(diǎn)，所以FH∥PD，因?yàn)镕H?平面PAD，PD?平面PAD，所以FH∥平面PAD.又因?yàn)镺是BE的中點(diǎn)，H是CD的中點(diǎn)，所以O(shè)H∥AD，因?yàn)镺H?平面PAD，AD?平面PAD.所以O(shè)H∥平面PAD.又FH∩OH＝H，所以平面OHF∥平面PAD.又因?yàn)镚H?平面OHF，所以GH∥平面PAD.證明兩直線平行的方法：中位線定理、線面平行的性質(zhì)、構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式等．若線面平行不易證明，可先證面面平行，再證線面平行．[教師備選例題]如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，點(diǎn)M，N分別為線段A1B，AC1的中點(diǎn)．求證：MN∥平面BB1C1C.[證明]如圖，連接A1C.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)面AA1C1C為平行四邊形．又因?yàn)镹為線段AC1的中點(diǎn)，所以A1C與AC1相交于點(diǎn)N，即A1C經(jīng)過點(diǎn)N，且N為線段A1C的中點(diǎn)．因?yàn)镸為線段A1B的中點(diǎn)，所以MN∥BC.又因?yàn)镸N?平面BB1C1C，BC?平面BB1C1C，所以MN∥平面BB1C1C.線面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用如圖，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E為線段AD上的任意一點(diǎn)(不包括A，D兩點(diǎn))，平面CEC1∩平面BB1D＝FG.證明：FG∥平面AA1B1B.[證明]在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，BB1∥CC1，BB1?平面BB1D，CC1?平面BB1D，所以CC1∥平面BB1D.又CC1?平面CEC1，平面CEC1∩平面BB1D＝FG，所以CC1∥FG.因?yàn)锽B1∥CC1，所以BB1∥FG.而BB1?平面AA1B1B，F(xiàn)G?平面AA1B1B，所以FG∥平面AA1B1B.通過線面平行可得到線線平行，其中一條線應(yīng)是兩平面的交線，要樹立這種應(yīng)用意識(shí)．1.(2017·全國(guó)卷Ⅰ)如圖，在下列四個(gè)正方體中，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，Q為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是()A[B選項(xiàng)中，AB∥MQ，且AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，則AB∥平面MNQ；C選項(xiàng)中，AB∥MQ，且AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，則AB∥平面MNQ；D選項(xiàng)中，AB∥NQ，且AB?平面MNQ，NQ?平面MNQ，則AB∥平面MNQ.故選A.]2．(2019·全國(guó)卷Ⅰ改編)如圖，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點(diǎn)．證明：MN∥平面C1DE.[證明]連接B1C，ME.因?yàn)镸，E分別為BB1，BC的中點(diǎn)，所以ME∥B1C，且ME＝eq\f(1,2)B1C.又因?yàn)镹為A1D的中點(diǎn)，所以ND＝eq\f(1,2)A1D.由題設(shè)知A1B1DC，可得B1CA1D，故MEND，因此四邊形MNDE為平行四邊形，所以MN∥ED.又MN?平面C1DE，所以MN∥平面C1DE.考點(diǎn)2平面與平面平行的判定與性質(zhì)判定平面與平面平行的四種方法(1)面面平行的定義，即證兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn)(不常用)；(2)面面平行的判定定理(主要方法)；(3)利用垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行(客觀題可用)；(4)利用平面平行的傳遞性，兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行(客觀題可用)．注意：謹(jǐn)記空間平行關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化已知空間幾何體ABCDE中，△BCD與△CDE均為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，△ABC為腰長(zhǎng)為3的等腰三角形，平面CDE⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD，M，N分別為DB，DC的中點(diǎn)．(1)求證：平面EMN∥平面ABC；(2)求三棱錐A-ECB的體積．[解](1)證明：取BC中點(diǎn)H，連接AH，∵△ABC為等腰三角形，∴AH⊥BC，又平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，∴AH⊥平面BCD，同理可證EN⊥平面BCD，∴EN∥AH，∵EN?平面ABC，AH?平面ABC，∴EN∥平面ABC，又M，N分別為BD，DC中點(diǎn)，∴MN∥BC，∵M(jìn)N?平面ABC，BC?平面ABC，∴MN∥平面ABC，又MN∩EN＝N，∴平面EMN∥平面ABC.(2)連接DH，取CH中點(diǎn)G，連接NG，則NG∥DH，由(1)知EN∥平面ABC，所以點(diǎn)E到平面ABC的距離與點(diǎn)N到平面ABC的距離相等，又△BCD是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，∴DH⊥BC，又平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，DH?平面BCD，∴DH⊥平面ABC，∴NG⊥平面ABC，∴DH＝eq\r(3)，又N為CD中點(diǎn)，∴NG＝eq\f(\r(3),2)，又AC＝AB＝3，BC＝2，∴S△ABC＝eq\f(1,2)·|BC|·|AH|＝2eq\r(2)，∴VE-ABC＝VN-ABC＝eq\f(1,3)·S△ABC·|NG|＝eq\f(\r(6),3).解答本例第(1)問時(shí)用到了面面垂直的性質(zhì)及垂直于同一平面的兩條直線平行這個(gè)結(jié)論．1.(2019·全國(guó)卷Ⅱ)設(shè)α，β為兩個(gè)平面，則α∥β的充要條件是()A．α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行B．α內(nèi)有兩條相交直線與β平行C．α，β平行于同一條直線D．α，β垂直于同一平