2022版?zhèn)鋺?zhàn)老高考一輪復(fù)習(xí)文科數(shù)學(xué)課后限時(shí)集訓(xùn)54 雙曲線 作業(yè)

雙曲線建議用時(shí)：45分鐘一、選擇題1．(2019·北京高考)已知雙曲線eq\f(x2,a2)－y2＝1(a＞0)的離心率是eq\r(5)，則a＝()A.eq\r(6)B．4C．2D.eq\f(1,2)D[由雙曲線方程可得c2＝a2＋1，則e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2＋1,a2)＝1＋eq\f(1,a2)＝5，解得a2＝eq\f(1,4).又a＞0，所以a＝eq\f(1,2)，故選D.]2．(2018·全國卷Ⅱ)雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為eq\r(3)，則其漸近線方程為()A．y＝±eq\r(2)x B．y＝±eq\r(3)xC．y＝±eq\f(\r(2),2)x D．y＝±eq\f(\r(3),2)xA[因?yàn)殡p曲線的離心率為eq\r(3)，所以eq\f(c,a)＝eq\r(3)，即c＝eq\r(3)a.又c2＝a2＋b2，所以(eq\r(3)a)2＝a2＋b2，化簡得2a2＝b2，所以eq\f(b,a)＝eq\r(2).因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x，所以y＝±eq\r(2)x.故選A]3．已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,16)＝1(a＞0)的一條漸近線方程為4x＋3y＝0，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線C的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線C上，且|PF1|＝7，則|PF2|＝()A．1 B．13C．17 D．1或13B[由題意知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,16)＝1(a＞0)的一條漸近線方程為4x＋3y＝0，可得eq\f(4,a)＝eq\f(4,3)，解得a＝3，所以c＝eq\r(a2＋b2)＝5.又由F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，且|PF1|＝7，可得點(diǎn)P在雙曲線的左支上，所以|PF2|－|PF1|＝6，可得|PF2|＝13.故選B.]4．(2018·全國卷Ⅲ)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為eq\r(2)，則點(diǎn)(4,0)到C的漸近線的距離為()A.eq\r(2) B．2C.eq\f(3\r(2),2) D．2eq\r(2)D[法一：由離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(2)，得c＝eq\r(2)a，又b2＝c2－a2，得b＝a，所以雙曲線C的漸近線方程為y＝±x.由點(diǎn)到直線的距離公式，得點(diǎn)(4,0)到C的漸近線的距離為eq\f(4,\r(1＋1))＝2eq\r(2).故選D.法二：離心率e＝eq\r(2)的雙曲線是等軸雙曲線，其漸近線方程是y＝±x，由點(diǎn)到直線的距離公式得點(diǎn)(4,0)到C的漸近線的距離為eq\f(4,\r(1＋1))＝2eq\r(2).故選D.]5．已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A在雙曲線的漸近線上，△OAF是邊長為2的等邊三角形(O為原點(diǎn))，則雙曲線的方程為()A.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1 B.eq\f(x2,12)－eq\f(y2,4)＝1C.eq\f(x2,3)－y2＝1 D．x2－eq\f(y2,3)＝1D[不妨設(shè)點(diǎn)A在第一象限，由題意可知c＝2，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1，eq\r(3))，所以eq\f(b,a)＝eq\r(3)，又c2＝a2＋b2，所以a2＝1，b2＝3，故所求雙曲線的方程為x2－eq\f(y2,3)＝1，故選D.]二、填空題6．(2017·全國卷Ⅲ)雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,9)＝1(a＞0)的一條漸近線方程為y＝eq\f(3,5)x，則a＝.5[∵雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,9)＝1(a>0)，∴雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(3,a)x.又雙曲線的一條漸近線方程為y＝eq\f(3,5)x，∴a＝5.]7．(2019·江蘇高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若雙曲線x2－eq\f(y2,b2)＝1(b＞0)經(jīng)過點(diǎn)(3,4)，則該雙曲線的漸近線方程是．y＝±eq\r(2)x[由雙曲線x2－eq\f(y2,b2)＝1(b＞0)經(jīng)過點(diǎn)(3,4)，得9－eq\f(16,b2)＝1，解得b＝±eq\r(2)，又b＞0，所以b＝eq\r(2)，易知雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，故雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x＝±eq\r(2)x.]8．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦點(diǎn)F(c,0)到一條漸近線的距離為eq\f(\r(3),2)c，則其離心率的值為．2[雙曲線的漸近線方程為bx±ay＝0，焦點(diǎn)F(c,0)到漸近線的距離d＝eq\f(|bc|,\r(b2＋a2))＝b.∴b＝eq\f(\r(3),2)c，∴a＝eq\r(c2－b2)＝eq\f(1,2)c，∴e＝eq\f(c,a)＝2.]三、解答題9．已知橢圓D：eq\f(x2,50)＋eq\f(y2,25)＝1與圓M：x2＋(y－5)2＝9.雙曲線G與橢圓D有相同的焦點(diǎn)，它的兩條漸近線恰好與圓M相切，求雙曲線G的方程．[解]橢圓D的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1(－5,0)，F(xiàn)2(5,0)，因而雙曲線中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，且c＝5.設(shè)雙曲線G的方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，∴漸近線方程為bx±ay＝0且a2＋b2＝25，又圓心M(0,5)到兩條漸近線的距離為r＝3，∴eq\f(|5a|,\r(b2＋a2))＝3，得a＝3，b＝4，∴雙曲線G的方程為eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1.10．已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在坐標(biāo)軸上，離心率為eq\r(2)，且過點(diǎn)P(4，－eq\r(10))．(1)求雙曲線的方程；(2)若點(diǎn)M(3，m)在雙曲線上，求證：eq\o(MF1,\s\up14(→))·eq\o(MF2,\s\up14(→))＝0.[解](1)∵e＝eq\r(2)，∴可設(shè)雙曲線的方程為x2－y2＝λ(λ≠0)．∵雙曲線過點(diǎn)(4，－eq\r(10))，∴16－10＝λ，即λ＝6.∴雙曲線的方程為x2－y2＝6，即eq\f(x2,6)－eq\f(y2,6)＝1.(2)證明：法一：由(1)可知，a＝b＝eq\r(6)，∴c＝2eq\r(3)，∴F1(－2eq\r(3)，0)，F(xiàn)2(2eq\r(3)，0)，∴kMF1＝eq\f(m,3＋2\r(3))，kMF2＝eq\f(m,3－2\r(3))，kMF1·kMF2＝eq\f(m2,9－12)＝－eq\f(m2,3).∵點(diǎn)M(3，m)在雙曲線上，∴9－m2＝6，m2＝3，故kMF1·kMF2＝－1，∴MF1⊥MF2.∴eq\o(MF1,\s\up14(→))·eq\o(MF2,\s\up14(→))＝0.法二：由(1)可知，a＝b＝eq\r(6)，∴c＝2eq\r(3)，∴F1(－2eq\r(3)，0)，F(xiàn)2(2eq\r(3)，0)，eq\o(MF1,\s\up14(→))＝(－2eq\r(3)－3，－m)，eq\o(MF2,\s\up14(→))＝(2eq\r(3)－3，－m)，∴eq\o(MF1,\s\up14(→))·eq\o(MF2,\s\up14(→))＝(3＋2eq\r(3))×(3－2eq\r(3))＋m2＝－3＋m2，∵點(diǎn)M(3，m)在雙曲線上，∴9－m2＝6，即m2－3＝0，∴eq\o(MF1,\s\up14(→))·eq\o(MF2,\s\up14(→))＝0.1．(2019·全國卷Ⅰ)雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線的傾斜角為130°，則C的離心率為()A．2sin40° B．2cos40°C.eq\f(1,sin50°) D.eq\f(1,cos50°)D[由題意可得－eq\f(b,a)＝tan130°，所以e＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\r(1＋tan2130°)＝eq\r(1＋\f(sin2130°,cos2130°))＝eq\f(1,|cos130°|)＝eq\f(1,cos50°).故選D.]2．(2019·全國卷Ⅲ)雙曲線C：eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在C的一條漸近線上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若|PO|＝|PF|，則△PFO的面積為()A.eq\f(3\r(2),4)B.eq\f(3\r(2),2)C．2eq\r(2) D．3eq\r(2)A[不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，根據(jù)題意可知c2＝6，所以|OF|＝eq\r(6).又tan∠POF＝eq\f(b,a)＝eq\f(\r(2),2)，所以等腰三角形POF的高h(yuǎn)＝eq\f(\r(6),2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(3),2)，所以S△PFO＝eq\f(1,2)×eq\r(6)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(2),4).]3．雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的漸近線為正方形OABC的邊OA，OC所在的直線，點(diǎn)B為該雙曲線的焦點(diǎn)．若正方形OABC的邊長為2，則a＝.2[由OA，OC所在直線為漸近線，且OA⊥OC，知兩條漸近線的夾角為90°，從而雙曲線為等軸雙曲線，則其方程為x2－y2＝a2.OB是正方形的對(duì)角線，且點(diǎn)B是雙曲線的焦點(diǎn)，則c＝2eq\r(2)，根據(jù)c2＝2a2可得a＝2.]4．中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓與雙曲線有共同的焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，且|F1F2|＝2eq\r(13)，橢圓的長半軸長與雙曲線實(shí)半軸長之差為4，離心率之比為3∶7.(1)求橢圓和雙曲線的方程；(2)若P為這兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)，求cos∠F1PF2的值．[解](1)由題知c＝eq\r(13)，設(shè)橢圓方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，雙曲線方程為eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝1(m＞0，n＞0)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－m＝4，,7·\f(\r(13),a)＝3·\f(\r(13),m)，))解得a＝7，m＝3.則b＝6，n＝2.故橢圓方程為eq\f(x2,49)＋eq\f(y2,36)＝1，雙曲線方程為eq\f(x2,9)－eq\f(y2,4)＝1.(2)不妨設(shè)F1，F(xiàn)2分別為橢圓與雙曲線的左、右焦點(diǎn)，P是第一象限的交點(diǎn)，則|PF1|＋|PF2|＝14，|PF1|－|PF2|＝6，所以|PF1|＝10，|PF2|＝4.又|F1F2|＝2eq\r(13)，所以cos∠F1PF2＝eq\f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1||PF2|)＝eq\f(102＋42－2\r(13)2,2×10×4)＝eq\f(4,5).1．如圖，雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，直線l過點(diǎn)F1且與雙曲線C的一條漸近線垂直，與兩條漸近線分別交于M，N兩點(diǎn)，若|NF1|＝2|MF1|，則雙曲線C的漸近線方程為()A．y＝±eq\f(\r(3),3)x B．y＝±eq\r(3)xC．y＝±eq\f(\r(2),2)x D．y＝±eq\r(2)xB[∵|NF1|＝2|MF1|，∴M為NF1的中點(diǎn)，又OM⊥F1N，∴∠F1OM＝∠NOM，又∠F1OM＝∠F2ON，∴∠F2ON＝60°，∴雙曲線C的漸近線的斜率k＝±tan60°＝±eq\r(3)，即雙曲線C的漸近線方程為y＝±eq\r(3)x.故選B.]2．雙曲線C的一條漸近線方程是x－2y＝0，且雙曲線C過點(diǎn)(2eq\r(2)，1)．(1)求雙曲線C的方程；(2)設(shè)雙曲線C的左、右頂點(diǎn)分別是A1，A2，P為C上任意一點(diǎn)，直線PA1，PA2分別與直線l：x＝1交于M，N，求|MN|的最小值．[解](1)由漸近線方程可設(shè)雙曲線C的方程為x2－4y2＝k(k≠0)，把(2eq\r(2)，1)代入可得k＝4，所以雙曲線C的方程為eq\f(x2,4)－y2＝1.(2)由題易知，P在右支上時(shí)|MN|取最小值．由(1)可得A1(－2,0)，A2(2,0)，根據(jù)雙曲