極坐標(biāo)計(jì)算二重積分

關(guān)于極坐標(biāo)計(jì)算二重積分第1頁，共18頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)27分，星期五什么是極坐標(biāo)?在平面內(nèi)取一個定點(diǎn)O，引一條射線OX，這樣就建立了一個極坐標(biāo)系。叫做極點(diǎn)。叫做極軸,對于平面內(nèi)任一點(diǎn)M,記|OM|=r,XOrM（r，）就叫做點(diǎn)M的極坐標(biāo)?！蟈OM=,平面上任一點(diǎn)（r，）第2頁，共18頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)27分，星期五一、極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)系的關(guān)系兩坐標(biāo)系中變量間關(guān)系：第3頁，共18頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)27分，星期五

設(shè)積分區(qū)域

D為平面有界區(qū)域,并且從原點(diǎn)發(fā)出的射線與D的邊界線交點(diǎn)不多于兩個,則區(qū)域D被分割情形見下圖.二重積分中被積函數(shù)求極坐標(biāo)下的積分元素的表示方法。二、二重積分的極坐標(biāo)轉(zhuǎn)化及計(jì)算1、二重積分的極坐標(biāo)轉(zhuǎn)化第4頁，共18頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)27分，星期五圖中分割的其中一小塊的面積為略去高階無窮小

則有rr,故d=rdrd.于是,二重積分第5頁，共18頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)27分，星期五二、極坐標(biāo)系下二重積分化為累次積分的的三種情形1、區(qū)域特征如圖D：第6頁，共18頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)27分，星期五2、區(qū)域特征如圖D：第7頁，共18頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)27分，星期五極坐標(biāo)系下區(qū)域的面積3、區(qū)域特征如圖第8頁，共18頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)27分，星期五例1

將化為在極坐標(biāo)系下的二次積分。1）4）2）3）第9頁，共18頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)27分，星期五1）解：在極坐標(biāo)系中，閉區(qū)域D

可表示為第10頁，共18頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)27分，星期五2）在極坐標(biāo)系中，閉區(qū)域D

可表示為第11頁，共18頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)27分，星期五3）在極坐標(biāo)系中，閉區(qū)域D

可表示為第12頁，共18頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)27分，星期五4）在極坐標(biāo)系中，閉區(qū)域D

可表示為第13頁，共18頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)27分，星期五

例2求D:x2+y2

R2

(R>0).解在極坐標(biāo)下D:0rR,02.

利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分第14頁，共18頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)27分，星期五

例3求D:x2+y2

2ax(a>0).

解積分區(qū)域D如圖,在極坐標(biāo)下D:0r2acos,第15頁，共18頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)27分，星期五

例4求(a>0).

解積分區(qū)域D見圖,采用極坐標(biāo)計(jì)算,原式=y=xx2+y2=2ay第16頁，共18頁，2022年，5月20日，1點(diǎn)27分，星期五

例5求的值.

解考慮區(qū)域D:0x+,0