《相似》 知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及測(cè)試-學(xué)生版

<相似>知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及測(cè)試知識(shí)框架知識(shí)點(diǎn)、概念總結(jié)1.相似：每組圖形中的兩個(gè)圖形形狀相同，大小不同，具有相同形狀的圖形叫相似圖形。相似圖形強(qiáng)調(diào)圖形形狀相同，與它們的位置、顏色、大小無(wú)關(guān)。相似圖形不僅僅指平面圖形，也包括立體圖形相似的情況。我們可以這樣理解相似形：兩個(gè)圖形相似，其中一個(gè)圖形可以看作是由另一個(gè)圖形放大或縮小得到的．若兩個(gè)圖形形狀與大小都相同，這時(shí)是相似圖形的一種特例——全等形．2.相似三角形：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形?；橄嗨菩蔚娜切谓凶鱿嗨迫切蜗嗨菩蔚淖R(shí)別：對(duì)應(yīng)邊成比例，對(duì)應(yīng)角相等。成比例線段（簡(jiǎn)稱比例線段）：對(duì)于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的長(zhǎng)度的比與另兩條線段的長(zhǎng)度的比相等，即（或a：b=c：d），那么，這四條線段叫做成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段。黃金分割：用一點(diǎn)P將一條線段AB分割成大小兩條線段，若小段與大段的長(zhǎng)度之比等于大段與全長(zhǎng)之比，則可得出這一比值等于0·618…。這種分割稱為黃金分割，分割點(diǎn)P叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)，較長(zhǎng)線段叫做較短線段與全線段的比例中項(xiàng)。3.相似三角形的判定方法:根據(jù)相似圖形的特征來(lái)判斷。（對(duì)應(yīng)邊成比例，對(duì)應(yīng)角相等）

eq\o\ac(○,1).平行于三角形一邊的直線(或兩邊的延長(zhǎng)線)和其他兩邊相交,所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；

eq\o\ac(○,2).如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等,那么這兩個(gè)三角形相似；

eq\o\ac(○,3.)如果兩個(gè)三角形的兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等,并且相應(yīng)的夾角相等,那么這兩個(gè)三角形相似；

eq\o\ac(○,4.)如果兩個(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊的比相等,那么這兩個(gè)三角形相似；4.直角三角形相似判定定理:

eq\o\ac(○,1).斜邊與一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例的兩直角三角形相似。

eq\o\ac(○,2).直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形與原直角三角形相似，并且分成的兩個(gè)直角三角形也相似。5.一定相似的三角形（1）兩個(gè)全等的三角形一定相似。（全等三角形是特殊的相似三角形，相似比為1）（2）兩個(gè)等腰直角三角形一定相似（兩個(gè)等腰三角形，如果其中的任意一個(gè)頂角或底角相等，那么這兩個(gè)等腰三角形相似。）（3）兩個(gè)等邊三角形一定相似。6.三角形相似的判定定理推論推論一：頂角或底角相等的兩個(gè)等腰三角形相似。推論二：腰和底對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)等腰三角形相似。推論三：有一個(gè)銳角相等的兩個(gè)直角三角形相似。推論四：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形都相似。推論五：如果一個(gè)三角形的兩邊和其中一邊上的中線與另一個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)部分成比例，那么這兩個(gè)三角形相似。7.相似的性質(zhì)（1）相似三角形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例。（2）相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比。（3）相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比。（4）相似三角形面積的比等于相似比的平方。（5）相似三角形內(nèi)切圓、外接圓直徑比和周長(zhǎng)比都和相似比相同，內(nèi)切圓、外接圓面積比是相似比的平方（6）若a:c=c:b，即c2=ab,則c叫做a,b的比例中項(xiàng)（7）c/d=a/b等同于ad=bc.9.相似的應(yīng)用：位似（1）位似圖形：如果兩個(gè)多邊形不僅相似，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心，這時(shí)的相似比又稱為位似比．（2）掌握位似圖形概念，需注意：①位似是一種具有位置關(guān)系的相似，所以兩個(gè)圖形是位似圖形，必定是相似圖形，而相似圖形不一定是位似圖形；②兩個(gè)位似圖形的位似中心只有一個(gè)；③兩個(gè)位似圖形可能位于位似中心的兩側(cè)，也可能位于位似中心的一側(cè)；④位似比就是相似比．利用位似圖形的定義可判斷兩個(gè)圖形是否位似．（3）位似圖形首先是相似圖形，所以它具有相似圖形的一切性質(zhì)．位似圖形是一種特殊的相似圖形，它又具有特殊的性質(zhì)，位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離等于位似比（相似比）．（4）兩個(gè)位似圖形的主要特征是：每對(duì)位似對(duì)應(yīng)點(diǎn)與位似中心共線；不經(jīng)過(guò)位似中心的對(duì)應(yīng)線段平行．（5）利用位似，可以將一個(gè)圖形放大或縮小，其步驟見(jiàn)下面例題．作圖時(shí)要注意:①首先確定位似中心，位似中心的位置可隨意選擇；②確定原圖形的關(guān)鍵點(diǎn)，如四邊形有四個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，即它的四個(gè)頂點(diǎn)；③確定位似比，根據(jù)位似比的取值，可以判斷是將一個(gè)圖形放大還是縮?。虎芊弦蟮膱D形不惟一，因?yàn)樗鞯膱D形與所確定的位似中心的位置有關(guān)，并且同一個(gè)位似中心的兩側(cè)各有一個(gè)符合要求的圖形?！断嗨啤窚y(cè)試一、試試你的身手（每小題3分，共30分）1．在比例尺為1∶500000的福建省地圖上，量得省會(huì)福州到漳州的距離約為46厘米，則福州到漳州實(shí)際距離約為千米．2．若線段，，，成比例，其中，，，則．3．已知，則的值為．4．兩個(gè)相似三角形面積比是9∶25，其中一個(gè)三角形的周長(zhǎng)為36cm，則另一個(gè)三角形的周長(zhǎng)是．5．把一個(gè)矩形的各邊都擴(kuò)大4倍，則對(duì)角線擴(kuò)大到倍，其面積擴(kuò)大到倍．6．廚房角柜的臺(tái)面是三角形(如圖1)，如果把各邊中點(diǎn)連線所圍成三角形鋪成黑色大理石，其余部分鋪成白色大理石，則黑色大理石的面積與白色大理石的面積之比為．7．頂角為36°的等腰三角形稱為黃金三角形，如圖2，，，都是黃金三角形，已知，則的長(zhǎng)．8．在同一時(shí)刻，高為1.5m的標(biāo)桿的影長(zhǎng)為2.5m，一古塔在地面上影長(zhǎng)為50m，那么古塔的高為．9．如圖3，中，，，，，則．10．如圖4，在和中，，與的周長(zhǎng)之差為10cm，則的周長(zhǎng)是．二、相信你的選擇(每小題3分，共30分)1．在下列說(shuō)法中，正確的是（）A．兩個(gè)鈍角三角形一定相似B．兩個(gè)等腰三角形一定相似C．兩個(gè)直角三角形一定相似D．兩個(gè)等邊三角形一定相似2．如圖5，在中，，分別是、邊上的點(diǎn)，，，，則（）A．60° B．45° C．30° D．20°3．如果三角形的每條邊都擴(kuò)大為原來(lái)的5倍，那么三角形的每個(gè)角（）A．都擴(kuò)大為原來(lái)的5倍B．都擴(kuò)大為原來(lái)的10倍C．都擴(kuò)大為原來(lái)的25倍D．都與原來(lái)相等4．如圖6，在中，，于，若，，則（）A．2 B．4 C．2 D．35．如圖7，，，分別是線段和線段的中點(diǎn)，那么線段的長(zhǎng)是（）A．6 B．5 C．4.5 D．36．如圖8，點(diǎn)是的邊延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，是的對(duì)角線，則圖中相似三角形共有（）A．2對(duì) B．3對(duì) C．4對(duì) D．5對(duì)7．如圖9，小正方形的邊長(zhǎng)均為1，則下列圖中的三角形(陰影部分)與△ABC相似的是（）8．如圖10，梯形的對(duì)角線交于點(diǎn)，有以下四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④．其中始終正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)9．用作相似圖形的方法，可以將一個(gè)圖形放大或縮小，相似中心位置可選在（）A．原圖形的外部 B．原圖形的內(nèi)部C．原圖形的邊上 D．任意位置10．如圖11是小孔成像原理的示意圖，根據(jù)圖中所標(biāo)注的尺寸，這支蠟燭在暗盒中所成的像的長(zhǎng)是（）A．cm B．cm C．cm D．1cm三、挑戰(zhàn)你的選擇(本大題共60分)1．(8分)我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了相似三角形，也知道:如果兩個(gè)幾何圖形形狀相同而大小不一定相同，我們就把它們叫做相似圖形．比如兩個(gè)正方形，它們的邊長(zhǎng)，對(duì)角線等所有元素都對(duì)應(yīng)成比例，就可以稱它們?yōu)橄嗨茍D形．現(xiàn)給出下列4對(duì)幾何圖形：①兩個(gè)圓；②兩個(gè)菱形；③兩個(gè)長(zhǎng)方形；④兩個(gè)正六邊形．請(qǐng)指出其中哪幾對(duì)是相似圖形，哪幾對(duì)不是相似圖形，并簡(jiǎn)單地說(shuō)明理由．2．（8分）如圖12，梯形中，，，為上一點(diǎn)，且．若，，BE∶EC=1∶2，求AB的長(zhǎng)．3．（8分）如圖13，已知中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，則和有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)你說(shuō)明理由．4．(8分)某中學(xué)平整的操場(chǎng)上有一根旗桿（如圖14），一數(shù)學(xué)興趣小組欲測(cè)量其高度，現(xiàn)有測(cè)量工具（皮尺、標(biāo)桿）可供選用，請(qǐng)你用所學(xué)的知識(shí)，幫助他們?cè)O(shè)計(jì)測(cè)量方案．要求：（1）畫(huà)出你設(shè)計(jì)的測(cè)量平面圖；（2）簡(jiǎn)述測(cè)量方法，并寫(xiě)出測(cè)量的數(shù)據(jù)(長(zhǎng)度用a，b，c…表示)．5．(14分)陽(yáng)光通過(guò)窗戶照到室內(nèi)，在地面上留下2.7米寬的光亮區(qū)，如圖15，已知亮區(qū)一邊到窗下墻腳的距離8.7米，窗口高1.8米，那么窗口底邊離地面的高是多少米？6．(14分)如圖16，在一個(gè)長(zhǎng)40m、寬30m的長(zhǎng)方形小操場(chǎng)上，王剛從A點(diǎn)出發(fā)，沿著A→B→C的路線以3m/s的速度跑向C地．當(dāng)他出發(fā)4s后，張華有東西需要交給他，就從A地出發(fā)沿王剛走的路線追趕，當(dāng)張華跑到距B地m的D處時(shí)，他和王剛在陽(yáng)光下的影子恰好重疊在同一條直線上．此時(shí)，A處一根電線桿在陽(yáng)光下的影子也恰好落在對(duì)角線AC上．（1）求他們的影子重疊時(shí)，兩人相距多少米(DE的長(zhǎng))？（2）求張華追趕王剛的速度是多少(精確到0.1m/s)？1、如圖，某同學(xué)身高AB＝1.60m，他從路燈桿底部的點(diǎn)D直行4m到點(diǎn)B，此時(shí)其影長(zhǎng)PB＝2m,求路燈桿CD的高度。2、已知△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是角平分線，求證：△ABC∽△BCD3、如圖所示，△ABC中AB=AC，D為CB的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，E為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，滿足AB2=DB·CE。ADBCE（1）求證：ADBCE（2）若∠BAC=40°，求∠EAD大小。4、已知：如圖，在△ABC中，∠BAC=900，M是BC的中點(diǎn)，DM⊥BC于點(diǎn)E，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D。求證：（1）MA2=MDME；（2）5、如圖,⊿ABC是等邊三角形,點(diǎn)D,E分別在BC