(新高考)高考數(shù)學(xué)三輪沖刺解答題核心考點(diǎn)練第13講《解析幾何中的定點(diǎn)定值最值問題》（解析版）

第13講解析幾何中的定點(diǎn)定值最值問題高考預(yù)測一：最值問題類型一：弦長或面積問題1．如圖，已知拋物線SKIPIF1<0的焦點(diǎn)在拋物線SKIPIF1<0上，點(diǎn)SKIPIF1<0是拋物線SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)．（Ⅰ）求拋物線SKIPIF1<0的方程及其準(zhǔn)線方程；（Ⅱ）過點(diǎn)SKIPIF1<0作拋物線SKIPIF1<0的兩條切線，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別為兩個(gè)切點(diǎn)，求SKIPIF1<0面積的最小值．【解析】解：（Ⅰ）拋物線SKIPIF1<0的焦點(diǎn)SKIPIF1<0在拋物線SKIPIF1<0上，即有SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，其準(zhǔn)線方程為SKIPIF1<0．（Ⅱ）設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的導(dǎo)數(shù)為SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0，則切線SKIPIF1<0的方程：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，同理切線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0和SKIPIF1<0都過SKIPIF1<0點(diǎn)，所以SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0．聯(lián)立SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．點(diǎn)SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0的面積SKIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0取最小值為2．即SKIPIF1<0面積的最小值為2．2．已知橢圓SKIPIF1<0經(jīng)過點(diǎn)SKIPIF1<0，且離心率為SKIPIF1<0．（1）求橢圓SKIPIF1<0的方程；（2）設(shè)直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0交于兩個(gè)不同的點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0面積的最大值SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)）【解析】解：（1）SKIPIF1<0橢圓SKIPIF1<0經(jīng)過點(diǎn)SKIPIF1<0，且離心率為SKIPIF1<0．SKIPIF1<0SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0橢圓SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0．（2）聯(lián)立SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，△SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面積：SKIPIF1<0．設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0面積取最大值SKIPIF1<0．3．已知橢圓SKIPIF1<0的長軸長是短軸長的SKIPIF1<0倍，且橢圓SKIPIF1<0經(jīng)過點(diǎn)SKIPIF1<0．（1）求橢圓SKIPIF1<0的方程；（2）設(shè)不與坐標(biāo)軸平行的直線SKIPIF1<0交橢圓SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(diǎn)，SKIPIF1<0，記直線SKIPIF1<0在SKIPIF1<0軸上的截距為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最大值．【解析】解：（1）由題意可知：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0代入橢圓方程：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0橢圓SKIPIF1<0的方程：SKIPIF1<0；（2）設(shè)直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0，由△SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)，上式取等號(hào)，此時(shí)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0．4．已知橢圓SKIPIF1<0經(jīng)過點(diǎn)SKIPIF1<0，且一個(gè)焦點(diǎn)為SKIPIF1<0．過點(diǎn)SKIPIF1<0作圓SKIPIF1<0的切線SKIPIF1<0交橢圓SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓SKIPIF1<0的方程；（Ⅱ）將SKIPIF1<0表示為SKIPIF1<0的函數(shù)，并求SKIPIF1<0的最大值．【解析】解：（Ⅰ）由題意，設(shè)橢圓的方程為SKIPIF1<0SKIPIF1<0橢圓SKIPIF1<0經(jīng)過點(diǎn)SKIPIF1<0，且一個(gè)焦點(diǎn)為SKIPIF1<0．SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0橢圓SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0；（Ⅱ）由題意知，SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，切線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，設(shè)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0，代入橢圓方程可得SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的坐標(biāo)分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0相切，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0（當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)取等號(hào)）SKIPIF1<0的最大值為2．5．已知橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，且過點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．橢圓SKIPIF1<0的左、右焦點(diǎn)分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0的直線交橢圓于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(diǎn)，過SKIPIF1<0的直線交橢圓于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(diǎn)，且SKIPIF1<0．（1）求橢圓SKIPIF1<0的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求四邊形SKIPIF1<0面積的最小值．【解析】解：（1）由SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0，將點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0代入橢圓方程SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0．解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0橢圓SKIPIF1<0的標(biāo)準(zhǔn)方程：SKIPIF1<0．（2）（?。┊?dāng)SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0存在且SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，代入橢圓方程SKIPIF1<0，并化簡得SKIPIF1<0．設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0因?yàn)镾KIPIF1<0與SKIPIF1<0相交于點(diǎn)SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0．四邊形SKIPIF1<0的面積SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，上式取等號(hào)．（ⅱ）當(dāng)SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0或斜率不存在時(shí)，四邊形SKIPIF1<0的面積SKIPIF1<0．綜上，四邊形SKIPIF1<0的面積的最小值為SKIPIF1<0．6．設(shè)圓SKIPIF1<0的圓心為SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0過點(diǎn)SKIPIF1<0且與SKIPIF1<0軸不重合，SKIPIF1<0交圓SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(diǎn)，過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的平行線交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0．（Ⅰ）證明SKIPIF1<0為定值，并寫出點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡方程；（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡為曲線SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(diǎn)，過SKIPIF1<0且與SKIPIF1<0垂直的直線與圓SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(diǎn)，求四邊形SKIPIF1<0面積的取值范圍．【解析】解：（Ⅰ）證明：圓SKIPIF1<0即為SKIPIF1<0，可得圓心SKIPIF1<0，半徑SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即為SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的軌跡為以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為焦點(diǎn)的橢圓，且有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡方程為SKIPIF1<0；（Ⅱ）橢圓SKIPIF1<0，設(shè)直線SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則四邊形SKIPIF1<0面積為SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0取得最小值12，又SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即有四邊形SKIPIF1<0面積的取值范圍是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．7．已知橢圓SKIPIF1<0經(jīng)過點(diǎn)SKIPIF1<0，且離心率為SKIPIF1<0．（1）求橢圓SKIPIF1<0的方程；（2）若點(diǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0在橢圓SKIPIF1<0上，且四邊形SKIPIF1<0是矩形，求矩形SKIPIF1<0的面積SKIPIF1<0的最大值【解析】解：（1）由題意可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故橢圓SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0．（2）由題意知直線SKIPIF1<0不垂直于SKIPIF1<0軸時(shí)，可設(shè)直線SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，△SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，SKIPIF1<0設(shè)直線SKIPIF1<0SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸交于點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0矩形SKIPIF1<0面積SKIPIF1<0SKIPIF1<0矩形SKIPIF1<0面積SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0，此時(shí)直線SKIPIF1<0．類型二：涉及坐標(biāo)、向量數(shù)量積等問題8．已知橢圓SKIPIF1<0的左焦點(diǎn)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)．SKIPIF1<0求過點(diǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，并且與橢圓的左準(zhǔn)線SKIPIF1<0相切的圓的方程；SKIPIF1<0設(shè)過點(diǎn)SKIPIF1<0且不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點(diǎn)，線段SKIPIF1<0的垂直平分線與SKIPIF1<0軸交于點(diǎn)SKIPIF1<0，求點(diǎn)SKIPIF1<0橫坐標(biāo)的取值范圍．【解析】解：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0圓過點(diǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0圓心SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上．設(shè)SKIPIF1<0，則圓半徑SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．SKIPIF1<0所求圓的方程為SKIPIF1<0．SKIPIF1<0設(shè)直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0．SKIPIF1<0直線SKIPIF1<0過橢圓的左焦點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0方程有兩個(gè)不等實(shí)根．記SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0的垂直平分線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0點(diǎn)SKIPIF1<0橫坐標(biāo)的取值范圍為SKIPIF1<0．9．已知點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，記動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡為曲線SKIPIF1<0，（1）求動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡SKIPIF1<0的方程；（2）直線SKIPIF1<0與曲線SKIPIF1<0交于不同的兩點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若存在點(diǎn)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0成立，求實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍．【解析】解：（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡是以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為焦點(diǎn)的橢圓，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，曲線SKIPIF1<0的方程是SKIPIF1<0．（2）設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中點(diǎn)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．SKIPIF1<0△SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，韋達(dá)定理代入，化簡得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0△SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0也滿足題意．綜上所述，SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0，SKIPIF1<010．如圖所示，橢圓SKIPIF1<0的左頂點(diǎn)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是橢圓SKIPIF1<0上異于點(diǎn)SKIPIF1<0的任意一點(diǎn)，點(diǎn)SKIPIF1<0與點(diǎn)SKIPIF1<0關(guān)于點(diǎn)SKIPIF1<0對(duì)稱．（Ⅰ）若點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；（Ⅱ）若橢圓SKIPIF1<0上存在點(diǎn)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，求實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍．【解析】解：（Ⅰ）依題意，SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．由于點(diǎn)SKIPIF1<0在橢圓SKIPIF1<0上，即有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；（Ⅱ）設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，①因?yàn)镾KIPIF1<0是線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．②由①，②消去SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，上式等號(hào)成立．所以SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．11．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0．（1）求動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡SKIPIF1<0的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0交軌跡SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(diǎn)，若SKIPIF1<0，求直線SKIPIF1<0的斜率的取值范圍．【解析】解：（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（2分）由已知得SKIPIF1<0，化簡得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡是橢圓SKIPIF1<0（6分）（Ⅱ）設(shè)過SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0（8分）SKIPIF1<0在橢圓內(nèi)，SKIPIF1<0△SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0（10分）SKIPIF1<0SKIPIF1<0（12分）SKIPIF1<0SKIPIF1<0得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（14分）高考預(yù)測二：定值問題12．已知焦距為SKIPIF1<0的橢圓中心在原點(diǎn)SKIPIF1<0，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0為直線SKIPIF1<0與該橢圓在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)，平行SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0交橢圓與SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0．【解析】SKIPIF1<0解：設(shè)橢圓的方程為：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．由題意可得SKIPIF1<0，及SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0橢圓的方程為SKIPIF1<0．SKIPIF1<0證明：聯(lián)立SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．設(shè)直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．聯(lián)立SKIPIF1<0，化為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，其分子SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．13．已知橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，以橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為8．（1）求橢圓SKIPIF1<0的方程；（2）如圖，斜率為SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(diǎn)，點(diǎn)SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0的上方，若SKIPIF1<0，且直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別與SKIPIF1<0軸交于點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求線段SKIPIF1<0的長度．【解析】解：（1）由橢圓的離心率SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，以橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為8，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：SKIPIF1<0；（2）設(shè)直線SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0，△SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是等腰直角三角形，則SKIPIF1<0，線段SKIPIF1<0的長度4．14．已知橢圓SKIPIF1<0的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．點(diǎn)SKIPIF1<0與橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)的連線相互垂直．（Ⅰ）求橢圓SKIPIF1<0的方程；（Ⅱ）已知點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)為SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．過點(diǎn)SKIPIF1<0任作直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(diǎn)，設(shè)直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，試求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足的關(guān)系式．【解析】解：（Ⅰ）依題意，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故橢圓SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0．SKIPIF1<0（4分）（Ⅱ）①當(dāng)直線SKIPIF1<0的斜率不存在時(shí)，由SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0．不妨設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的關(guān)系式為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．SKIPIF1<0（7分）②當(dāng)直線SKIPIF1<0的斜率存在時(shí)，設(shè)直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0．將SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0整理化簡得，SKIPIF1<0．設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0（9分）又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0．SKIPIF1<0（12分）所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的關(guān)系式為SKIPIF1<0．SKIPIF1<0（13分）綜上所述，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的關(guān)系式為SKIPIF1<0．SKIPIF1<0（14分）15．已知橢圓SKIPIF1<0的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，以橢圓短軸為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)SKIPIF1<0．（1）求橢圓SKIPIF1<0的方程；（2）過點(diǎn)SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0，記直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，問：SKIPIF1<0是否為定值？并證明你的結(jié)論．【解析】解：（1）SKIPIF1<0橢圓SKIPIF1<0的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，以橢圓短軸為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0橢圓SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0．（2）SKIPIF1<0是定值．證明如下：設(shè)過SKIPIF1<0的直線：SKIPIF1<0或者SKIPIF1<0①SKIPIF1<0時(shí)，代入橢圓，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．②SKIPIF1<0代入橢圓，SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．高考預(yù)測三：定點(diǎn)問題16．已知橢圓SKIPIF1<0的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，右焦點(diǎn)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是橢圓SKIPIF1<0的左、右頂點(diǎn)，SKIPIF1<0是橢圓SKIPIF1<0上異于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的動(dòng)點(diǎn)，且SKIPIF1<0面積的最大值為SKIPIF1<0．（1）求橢圓SKIPIF1<0的方程；（2）是否存在一定點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，使得當(dāng)過點(diǎn)SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與曲線SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(diǎn)時(shí)，SKIPIF1<0為定值？若存在，求出定點(diǎn)和定值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【解析】解：（1）設(shè)橢圓SKIPIF1<0的標(biāo)準(zhǔn)方程為SKIPIF1<0．SKIPIF1<0面積的最大值為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．聯(lián)立SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0橢圓SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0．（2）假設(shè)存在一定點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，使得當(dāng)過點(diǎn)SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與曲線SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(diǎn)時(shí)，SKIPIF1<0為定值．當(dāng)SKIPIF1<0軸時(shí)，把SKIPIF1<0代入橢圓方程可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．當(dāng)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸不垂直時(shí)，設(shè)直線SKIPIF1<0的參數(shù)方程為SKIPIF1<0為參數(shù)），代入橢圓方程可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．令SKIPIF1