非線性有限元課程作業(yè)

《非線性有限元》課程讀書報告姓名： 李奔奔 學(xué)號：1410021 導(dǎo)師： 熊海貝 同濟大學(xué)結(jié)構(gòu)工程與防災(zāi)研究所2015-1-8TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"摘要 1\o"CurrentDocument"混凝土的破壞準(zhǔn)則 1\o"CurrentDocument"單軸受力下的應(yīng)力 -應(yīng)變關(guān)系 1\o"CurrentDocument"雙軸受力下的混凝土強度 2\o"CurrentDocument"三軸受力下的混凝土強度——古典強度理論 2\o"CurrentDocument"最大拉應(yīng)力強度準(zhǔn)則 3Tresca強度準(zhǔn)則 3VonMises 強度理論 3\o"CurrentDocument"莫爾 -庫侖強度理論 3Drucker-Prager強度準(zhǔn)貝U 4\o"CurrentDocument"三軸受力下的混凝土強度準(zhǔn)則——多參數(shù)強度準(zhǔn)則 4\o"CurrentDocument"三參數(shù)破壞準(zhǔn)則 4\o"CurrentDocument"四參數(shù)強度準(zhǔn)則 5\o"CurrentDocument"五參數(shù)模型 5\o"CurrentDocument"混凝土材料的本構(gòu)關(guān)系 6\o"CurrentDocument"非線性彈性本構(gòu)關(guān)系 7\o"CurrentDocument"全量型 7\o"CurrentDocument"增量型 8\o"CurrentDocument"彈塑性本構(gòu)關(guān)系 8\o"CurrentDocument"屈服面與破壞面 8\o"CurrentDocument"強化條件與加卸載準(zhǔn)則 10\o"CurrentDocument"流動法則 11\o"CurrentDocument"彈塑性本構(gòu)模型的一般表達式 11\o"CurrentDocument"鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)有限元模型 11\o"CurrentDocument"分離式模型 12\o"CurrentDocument"組合式模型 12\o"CurrentDocument"整體式模型 12\o"CurrentDocument"裂縫處理方法 12\o"CurrentDocument"開裂混凝土單元的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系矩陣 13\o"CurrentDocument"混凝土開裂釋放應(yīng)力計算 14\o"CurrentDocument"非線性方程的解法 14歐拉（Euler）折線法 15\o"CurrentDocument"修正的歐拉折線法 15\o"CurrentDocument"求解非線性方程組的迭代法 15\o"CurrentDocument"收斂標(biāo)準(zhǔn) 16\o"CurrentDocument"求解方法實例比較 16\o"CurrentDocument"約束混凝土的本構(gòu)模型 17\o"CurrentDocument"屈服準(zhǔn)則 17\o"CurrentDocument"硬化/軟化準(zhǔn)則 18\o"CurrentDocument"流動準(zhǔn)則 19\o"CurrentDocument"參考文獻 22《非線性有限元》讀書報告《非線性有限元》讀書報告在于結(jié)構(gòu)中鋼筋被包在混凝土中，并且相對體積較小。通常構(gòu)成鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)有限元模型主要有三種方式：分離式、組合式和整體式。分離式模型分離式模型把混凝土和鋼筋作為不同的單元來處理，即混凝土和鋼筋各自被劃分為足夠小的單元。平面問題中，混凝土和鋼筋都可劃分為三角形或四邊形單元。因為鋼筋是一種細(xì)長材料，通常忽略其橫向抗剪強度。這樣，鋼筋可作為線性單元來處理。這樣處理單元數(shù)目會大大減小，并且可避免因鋼筋單元劃分太細(xì)而在鋼筋和混凝土的交界處應(yīng)用很多過渡單元。在分離式模型中，鋼筋和混凝土之間可以插入聯(lián)結(jié)單元來模擬鋼筋和混凝土之間的粘結(jié)和滑移。這一點是組合式或整體式有限元模型做不到的。但若鋼筋與混凝土之間的粘結(jié)很好，不會有相對滑移，則可視為剛性聯(lián)結(jié)，可不用聯(lián)結(jié)單元。關(guān)于分離式單元的剛度矩陣，除了聯(lián)結(jié)單元外，與一般的線形單元、平面單元或立體單元并無區(qū)別。有限元單元中的常用單元有桿件線形單元（平面單元） 、平面三角形單元、平面問題矩形單元、平面四節(jié)點等參單元等。在劃分單元時，單元形狀不允許出現(xiàn)凹角，節(jié)點編號應(yīng)取逆時針方向。描述鋼筋與混凝土之間粘結(jié)作用的單元一般有兩種，即雙彈簧連接單元與四邊形滑移單元。雙彈簧連接單元是在垂直于鋼筋和平行于鋼筋表面方向設(shè)置互相垂直的一組彈簧。這組彈簧是設(shè)想的力學(xué)模型，它具有彈性剛度，但并無實際幾何尺寸，可以放置在任何需要連接的地方。這種雙彈簧單元，可以不計算彈簧中的應(yīng)力而直接建立節(jié)點力與節(jié)點位移之間的關(guān)系，因為彈簧剛度通常通過使用伸長單位長度所需要的力來表示。連接單元的剛度矩陣，受鋼筋表面性質(zhì)、直徑和間距，混凝土的品種、強度，構(gòu)件尺寸，單元劃分等許多因素影響，從實驗數(shù)據(jù)出發(fā)根據(jù)不同具體情況而定。四邊形滑移單元是一種寬度為零的四邊形單元，可用于地基與土壤之間，樁與土之間的接觸單元，鋼筋與混凝土之間的粘結(jié)滑移單元。由于單元寬度為零，可以方便置于鋼筋與混凝土之間，而不影響鋼筋與混凝土單元的幾何劃分。在計算時可采用和混凝土單元相同的位移插值函數(shù)，可以建立更為協(xié)調(diào)的關(guān)系。其中的切向與法向材料剛度系數(shù)，可由實驗決定。組合式模型當(dāng)混凝土和鋼筋之間的粘結(jié)很好，可認(rèn)為兩者之間無滑移，采用組合式或整體式模型。組合式模型中常用的有分層組合式。把橫截面分為很多混凝土層和若干鋼筋層，并采用平截面假定。根據(jù)材料的實際應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系和平衡關(guān)系推導(dǎo)出單元的剛度矩陣（包括軸向剛度和彎曲剛度） 。這種組合方式在桿件系統(tǒng)，尤其在鋼筋混凝土板和殼結(jié)構(gòu)中應(yīng)用很廣。另一種組合方式是采用等參數(shù)單元。 因為鋼筋與混凝土之間無滑移的假定， 則兩者處于同一位移場中，各點的位移均可由節(jié)點的位移來確定。與一般均勻連續(xù)體不同之處在于，這種組合單元考慮了鋼筋對單元剛度矩陣的貢獻。整體式模型在整體式有限元模式中，將鋼筋分布于整個單元中，并把單元視為連續(xù)均勻材料。與分離式不同，其剛度矩陣是鋼筋與混凝土的綜合。這與組合式相同。但與組合式不同之處在于先單獨求出鋼筋和混凝土對單元剛度的貢獻，組合后，一次求得綜合的單元剛度矩陣。4裂縫處理方法處理裂縫的方法主要有三種： 1）利用單元邊界模擬裂縫的分離裂縫模型； 2）利用單元內(nèi)部材料本構(gòu)模型模擬裂縫的彌散裂縫模型； 3）通過改造單元形函數(shù)構(gòu)造內(nèi)嵌裂縫的特殊單元模型。

開裂混凝土單元的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系矩陣彌散裂縫模型也稱為分布裂縫模型，將混凝土裂縫“彌散”到整個單元中，將混凝土處理成各向異性材料，利用混凝土的材料本構(gòu)模型來模擬裂縫的影響。這樣，當(dāng)混凝土某一單元的應(yīng)力超過了開裂應(yīng)力，只需將材料本構(gòu)矩陣加以調(diào)整，無需改變單兀形式或者重新劃分單兀網(wǎng)格。開裂前混凝土的本構(gòu)模型為1vvv000De——E0——1v12v1v對稱v1v000.512v0000.512v00000.512v開裂后，混凝土處理為各向異性材料。在裂縫坐標(biāo)系下，應(yīng)力應(yīng)變的增量關(guān)系可寫作其中11其中112233122331112233Dcr122331(1v)2(1v)(1v)000vv1Ec2vEc000——v——vEtEt1Ec2v000EtDcr對稱Ec0021vEc021vEc21v11222,—v—v1vEtEc其中，Et為受拉軟化模量。理論上Et為混凝土受拉軟化曲線的切線剛度。由于軟化段下降很快，過大的負(fù)剛度會影響計算的收斂效率，因此在有限元軟件中采用割線剛度計算受拉軟化應(yīng)力增量，給程序一個小的負(fù)切線剛度共迭代使用。 為剪力傳遞系數(shù)。它反映了混凝土開裂后裂面的骨料咬合作用。當(dāng)不再考慮開裂混凝土裂縫方向泊松比的影響，裂縫對應(yīng)的應(yīng)力應(yīng)變矩陣非對角項為零。這時的裂縫方向的應(yīng)力應(yīng)變矩陣為

00000000000Ec0021vEc021vEt 01EcvEc21v EcDcrEc

21vDcrDcrDcrR其中，D其中，Dcr為局部坐標(biāo)系中的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系;為坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣?；炷灵_裂釋放應(yīng)力計算運用彈性理論，可求出裂縫尖端處附近任一點Kix運用彈性理論，可求出裂縫尖端處附近任一點Kix P(r,cos—2）處的應(yīng)力和位移。..3

sin—sin2 2KiKiycos一2.3sin—sin—2 2xyKIcos-sin-sin^xy2r2 2 2隨著r的增大（即越接近裂縫尖端），所有應(yīng)力分量都增大，并且當(dāng) r趨向于零時，這些應(yīng)力分量均趨向于無限大，裂縫尖端的應(yīng)力場具有奇異性。 Ki可以反映出裂縫尖端附近的應(yīng)力場強度，稱為應(yīng)力強度因子。隨著外加應(yīng)力的增大，應(yīng)力強度因子也增大。當(dāng)應(yīng)力場的強度增加到某一值時，即使外加應(yīng)力不再增加，裂縫也會迅速擴展而導(dǎo)致構(gòu)件斷裂或者結(jié)構(gòu)發(fā)生脆性破壞，把這個極限稱為材料的斷裂韌度。斷裂韌度與試件的厚度、加荷速度、環(huán)境條件等因素有關(guān)。除了應(yīng)力強度因子外，還有能量依據(jù)。裂縫擴展時，外力功一部分轉(zhuǎn)化為彈性變形能，還有一部分轉(zhuǎn)化為塑性變形能和表面能。裂縫擴展單位面積所耗散的能量稱為能量釋放率。能量釋放率與強度因子的平方成比例關(guān)系，隨著荷載的增大而增大，達到臨界值時，裂縫便會失穩(wěn)擴展，導(dǎo)致構(gòu)件的脆性斷裂。5非線性方程的解法在結(jié)構(gòu)分析中，遇到的非線性問題主要有幾何非線性問題、材料非線性問題及邊界非線性問題。用位移有限元法分析結(jié)構(gòu)時，最后歸結(jié)為一組代數(shù)方程組：KP其中，K為總剛度矩陣； 為節(jié)點位移列陣； P為節(jié)點荷載列陣。在線彈性結(jié)構(gòu)中， K是常量，在非線性問題中，K是變量，隨結(jié)構(gòu)的內(nèi)力（應(yīng)力）或位移的變化而變化。但無論如何，總體剛度矩陣可由單元剛度矩陣按標(biāo)準(zhǔn)方法集合而成。TK Ke BDeBdVn n其中，Ke為單元剛度矩陣； B為幾何矩陣，通過它建立節(jié)點位移與單元應(yīng)變之間的關(guān)系。DeDe不再是常數(shù)，而是在線彈性材料中， DDe不再是常數(shù)，而是應(yīng)力狀態(tài)的函數(shù)。為了研究非線性問題的解法，很多數(shù)學(xué)、力學(xué)工作者做了大量工作。其中比較常用的有增量法和迭代法。增量法實際上是微分方程求解過程中常用的方法。求解一階微分方程初值問題的常用方法，如歐拉折線法、龍格-庫塔法等都可應(yīng)用。逐步增量法是把荷載劃分為許多荷載增量，每施加一個荷載增量，計算結(jié)構(gòu)的位移和其他反應(yīng)時，認(rèn)為結(jié)構(gòu)是線性的，即結(jié)構(gòu)的剛度矩陣是常數(shù)。在不同的荷載增量中，剛度矩陣是不同的，它與結(jié)構(gòu)的變形有關(guān)。所以增量法實質(zhì)是用分段線性的折線去代替非線性的曲線。5.1歐拉（Euler）折線法將荷載分為m個增量：mPPi1每一個荷載增量產(chǎn)生一個位移 i,因而在施加n個荷載增量之后，總荷載為nTOC\o"1-5"\h\zPn P1n n1 n歐拉折線法計算第n個位移增量時，其剛度矩陣取為上一級荷載增量結(jié)束時的線性剛度矩陣。因此歐拉折線法的求解過程可歸納為1）施加第n步荷載增量Pn,利用起始點線性剛度矩陣 Kn1求得這一步荷載增量下的位移增量 n；2）由位移增量計算各單元應(yīng)變增量及相應(yīng)的應(yīng)力增量 n,并計算總的位移與應(yīng)力；3）判斷是不是最后一級荷載，如果是，則結(jié)束計算；如果不是，則進行下一步計算；4）根據(jù)總應(yīng)力水平 n,修正材料彈性常數(shù)，求出相應(yīng)的單元剛度和集合總體剛度矩陣 Kn并轉(zhuǎn)到步驟1）,施加下一步荷載增量 Pn1。修正的歐拉折線法歐拉折線法計算簡單，但隨著荷載級數(shù)的增加，其折線偏離曲線的程度就越大，計算精度就降低。為提高計算精度，一種辦法是用每一步荷載增量的始、末剛度的某種加權(quán)平均值替代起始剛度來計算本部荷載增量的位移。求解非線性方程組的迭代法用迭代法解非線性方程組常用三種方法，即割線剛度迭代法、切線剛度迭代法、等剛度迭代法。割線剛度迭代法又稱直接迭代法，是迭代法中比較簡單的一種。在某級荷載 P作用下，用初始剛度矩陣Ko求得位移的第一次近似值 1,然后利用1求得單元的應(yīng)變，進而求得應(yīng)力，根據(jù)應(yīng)力狀態(tài)確定即時的本構(gòu)矩陣，根據(jù)這一本構(gòu)矩陣求得新的割線剛度矩陣 Kl。根據(jù)新的割線剛度矩陣求得位移的第二次近似值，重復(fù)以上步驟，每次可求出進一步的近似值，直到 k1與k充分接近為止。切線剛度迭代法也是一種變剛度的迭代法， 使用變化的切線剛度。這一迭代方法又稱牛頓切線迭代法。該法首先取初始剛度矩陣 Ko,求得位移的第一次近似值。由初始位移可以求得單元應(yīng)變，進而求得單元應(yīng)力。由單元應(yīng)力求出相應(yīng)的節(jié)點荷載 "。用相應(yīng)于1的即時切線模量9,在荷載"作用下求得位移增量2。重復(fù)以上步驟，直到k1與k充分接近為止。變剛度迭代法，其缺點是每一步計算都要重新計算剛度矩陣并建立新的方程組。當(dāng)結(jié)構(gòu)的自由度很多

時，計算工作量很大。有學(xué)者提出修正的 Newton-Raphson方法。因為這一方法在迭代過程中采用不變的剛度，故又稱為等剛度迭代法。由于始終使用同一剛度，就避免了重新計算剛度的麻煩，但迭代次數(shù)顯然增加了，收斂速度也要慢一些。在實際應(yīng)用中，有時兼用變剛度迭代法和等剛度迭代法，即在收斂速度很慢時變化一次剛度，然后保持此剛度進行迭代。這樣可以在變化剛度次數(shù)不多的情況下得到較快的收斂速度。為求得加載全過程的位移曲線和應(yīng)力變化等信息，必須將荷載分為許多級，逐級加上，這就要用增量法。對每一級荷載增量，要運用迭代法才能求得更精確的結(jié)果。所以在實際計算中，常常是增量法和迭代法結(jié)合在一起。在實際應(yīng)用中，每一級荷載增量取 5%的極限荷載或20%左右的開裂荷載即可取得較好的結(jié)果。收斂標(biāo)準(zhǔn)在迭代法中，為終止迭代過程，必須確定一個收斂標(biāo)準(zhǔn)。在實際應(yīng)用中，有兩種量是常用的，一個是用不平衡節(jié)點力，另一個是用位移增量。一個結(jié)構(gòu)，無論是節(jié)點力或節(jié)點位移都有很多量， 類似矢量的模，定義一個向量的模，或者稱為范數(shù)。若 V表示一向量，則此向量的范數(shù)用 IV來表示。若取不平衡節(jié)點力為衡量收斂標(biāo)準(zhǔn)，則滿足下列條件，就認(rèn)為收斂了Pres| 11Pl其中，||Pres||為殘余節(jié)點力向量的范數(shù)；|P|為施加荷載（已化為節(jié)點荷載）向量的范數(shù)； 為預(yù)先指定的一個小數(shù)，稱為收斂允許值。若取節(jié)點位移增量為判斷收斂的標(biāo)準(zhǔn)，則下列條件滿足時即可認(rèn)為收斂K K其中，|k|為某級荷載作用下經(jīng)K次迭代后的總節(jié)點位移向量的范數(shù)， |k|為在同級荷載作用下，第K次迭代時附加位移增量向量的范數(shù)， 為收斂允許值。收斂允許值 的取值，要根據(jù)結(jié)構(gòu)計算要求的精度來確定，一般取 2%~3%即可。求解方法實例比較工10-3。一簡單受拉桿，軸力P=30kN桿長l=50cm,截面積A=2cm工10-3。其中0=0.002,E0=21000kN/cm2試用增量法和迭代法求解位移。用迭代法求解時要求精度1）彈性解lEA50210002lEA50210002300.035714cmTOC\o"1-5"\h\z2）非線性精確解l 2 3 1u dAdxAlE0———AlE0--00 2 60 2l,u一 1由一P得AlE。-——r Pl220l3帶入即42002840 300求解得0.046548cm3）歐拉折線法求解該問題是一維線性問題,并且只有一個位移未知量。用有限元法求解時，剛度矩陣只有一個元素該問題是一維線性問題,EA由應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，可得切線彈性模量EtEtE01一0割線模量為Es — Eo1—20將荷載分為三步施加,10kN,將荷載分為三步施加,10kN,施加第一級荷載時,K1P501 0 1 210002Eo=21000kN/cm2,因而有100.0119cm-0.000238lE1E01— 18501kN/m2012K1 P20.0135cm0.0254cm2—0.000508lE2E01— 15666kN/m2013K2P30.0160cm3 2 30.0414cm與精確解相比，是偏小的。6約束混凝土的本構(gòu)模型約束混凝土的作用特點可以分為三個階段：第一階段是沒有出現(xiàn)裂縫的彈性變形；第二階段是裂縫的產(chǎn)生與發(fā)展；第三個階段是塑性變形。通常模型假設(shè)混凝土在達到其最大承載力之后是按照理想彈塑性材料的特點來作用。在應(yīng)力空間中，其破壞面是固定的。混凝土的本構(gòu)模型應(yīng)該考慮壓力敏感性、路徑相關(guān)性、剛度退化及圓柱作用。非線性有限元模型是以D-P模型為框架的理想彈塑性反應(yīng)， 通過非關(guān)聯(lián)性流動準(zhǔn)則， 與靜水壓力相關(guān)的VonMises屈服準(zhǔn)則來完成。DP塑性模型要想成功地預(yù)測FRP約束混凝土或者其他被動約束混凝土的性能， 必須具有以下三個特征：（1）包含有第三偏應(yīng)力不變量的屈服準(zhǔn)則；（2）取決于側(cè)向約束強度的硬化/軟化準(zhǔn)則；（3）與側(cè)向約束相關(guān)的非關(guān)聯(lián)流動準(zhǔn)則，勢函數(shù)參數(shù)與側(cè)向約束力和約束增長率有關(guān)（ 2010年，Yu和Teng）。屈服準(zhǔn)則2000年，Shahawy認(rèn)為等效應(yīng)力？?達到屈服應(yīng)力？??寸，混凝土即進入塑性狀態(tài)。故屈服條件為？私=?????????????=3???+ 2—6??co????=~="v3（3-??????式中，？??為平均應(yīng)力（靜水壓力），？為偏應(yīng)力。？為材料摩擦角，？為內(nèi)摩擦角，？為粘聚力。屈服方程指屈服面上的各應(yīng)力滿足的關(guān)系式?；炷吝_到屈服面時，核心混凝土進入塑性。F=F（I1,hJ3）=0上式經(jīng)過整理，0m=I1/3,定義0y為粘聚力垢，屈服方程為F=s+01-k=0s=vJDf（K）

f(K)=A[1f(K)=A[1+K--(1-3一3VJ3DK)(玄)]式中，J2D為第二偏應(yīng)力不變量，Ii為第一應(yīng)力不變量，。f(K)為包含了第二、第三偏應(yīng)力不變量的羅德角的間接表達式， 考慮了靜水壓力一定的情況下不同應(yīng)力路徑下混凝土抗剪強度的變化，決定了破壞方程在偏平面的形狀。式中， K代表在第一應(yīng)力不變量相同的情況下，等雙軸壓縮試驗與三軸壓縮試驗的剪切強度比。 在偏平面內(nèi)決定屈服函數(shù)的形狀， 范圍為0.778—1,以此來實現(xiàn)屈服面的凸性。在均勻約束下， 3^(二1)=1,A取1/2(2007年，RamiEid,PatrickPaultre)故f(K)取1,J3/2(2008年,2 vJ2Karabinis,2012年，JiangandWu),f(K)取v3。2sin?摩擦角。與內(nèi)部摩擦角？的關(guān)系2sin?0=- v3(3-sin?)?采用經(jīng)驗常數(shù)。2000年,?采用經(jīng)驗常數(shù)。2000年,Shahawy,MahboubiandAjorloo(2005)試驗觀察到隨著混凝土強度的增長 ?sin?3

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v3sin?Li(2003)提出、Rousakis(2008)采用的表達式為?=36f?=36fc035w45式中，fc0為未約束混凝土的圓柱體強度。Eid(2007)根據(jù)極限狀態(tài)下的試驗結(jié)果得到?=50°90。flu 。?=50°90—>32fc0式中，兀為最大橫向約束力。Yu(2010a侍根據(jù)fccfcc=fc0+kfivJ2+01-K=0求得k-10=- v3(k+2)Mirmiran(2000)求得混凝土的內(nèi)摩擦角與混凝土的強度的關(guān)系為。k-1sin?= k+12012年，JiangandWu得到摩擦角())模型為：(j)=M+K?p??=?????????p，V?■???「?硬化/軟化準(zhǔn)則2008年，Karabinis硬化一軟化參數(shù)K的表達式為

v3 、K=(3^--9)℃懸在靜水壓力為0時的偏應(yīng)力，實際上是粘性剪切強度。為硬化/軟化參數(shù)，等于屈服面與t軸交點的t值(直線截距)，取值決定了后繼屈服面的發(fā)展情況粘聚力。根據(jù) DP準(zhǔn)則和莫爾一庫倫準(zhǔn)則，粘聚力與莫爾一庫倫準(zhǔn)則中的內(nèi)摩擦角 ？及粘聚力c有關(guān)。6ccos?K=-= v3(3-sin?)Mirmiran(2000)提出對于給定的？fc0(1-sin?)c= 2cos?2000年，Shahawy提出粘聚力表達式3-sin?c=(fc0-5V3)6cos?在理想彈塑T假定中，Eid(2007)認(rèn)為粘聚力為常數(shù)。 數(shù)值可從主動約束下的混凝土破壞面得出。 相同側(cè)向約束力下的FRP約束混凝土的強度與素混凝土的峰值應(yīng)力相等。 粘聚力為常數(shù)的DP模型的精度很大程度上受到FRP剛度及對混凝土膨脹的精確預(yù)測上 Yu(2010a)。常數(shù)的情況并沒有考慮軟化模型。2008年，Rousakis認(rèn)為粘聚力是約束水平的函數(shù)。K=f(fc0,El,X)x=In(R((3))/c3滋;描述混凝土的塑性累積損傷的參數(shù)。 R(⑻為在加載過程中，描述混凝土極限塑性模量的函數(shù)。之后認(rèn)為粘聚力并不是一個常數(shù)，而是與塑性變形 ？有關(guān)，也就是硬化/軟化函數(shù)。是塑性應(yīng)變或者約束水平的函數(shù)?？紤]了塑性應(yīng)變的影響，提出的硬化 /軟化準(zhǔn)則為：K=K%)多=/d?=/CpVdpd(-1-ecp= ./軟化準(zhǔn)則確定的塑性方程進行數(shù)值分析,，32+0.5/軟化準(zhǔn)則確定的塑性方程進行數(shù)值分析,式中，d?p為等效塑性應(yīng)變增量。采用只考慮塑性應(yīng)變增量的硬化p與試驗結(jié)果相差很多，考慮側(cè)向約束力后，吻合結(jié)果良好。Yu(2010a提出的硬化/軟化準(zhǔn)則為K=(d,?))V2012年，JiangandWu提出的硬化/軟化準(zhǔn)則考慮了塑性應(yīng)變和約束水平的影響:?,~~ =?+fcEp?P?,~~ =?+fcEp?PPi=1+打？pp2+Pl?p+P2?pa1+a2p+a3VzpP2=bip+b2

p+b36.3流動準(zhǔn)則流動準(zhǔn)則是表示材料達到屈服后，塑性變形增量的方向的假定，即塑性變形增量各分量之間按什么比例變化的一種比例關(guān)系。流動準(zhǔn)則有不相關(guān)聯(lián)的流動準(zhǔn)則及相關(guān)聯(lián)的流動準(zhǔn)則，相關(guān)聯(lián)的流動準(zhǔn)則假定塑性勢函數(shù)與屈服函數(shù)一致。采用非關(guān)聯(lián)流動法則，意味著塑性應(yīng)變張量的方向的極限狀態(tài) (塑性勢函數(shù)面G)

與破壞面F不同。當(dāng)生達到oy時，混凝土發(fā)展塑性應(yīng)變。流動法則采用?QQ是塑性勢函數(shù)，決定了塑性應(yīng)變的方向。在建立流動法則時，用到系數(shù) ？f,當(dāng)？f=?時，為關(guān)聯(lián)性流動法則，Q即為屈服函數(shù)，在混凝土達到屈服面時， 已發(fā)生體積膨脹，此時將會出現(xiàn)塑性應(yīng)變。然而當(dāng)？f<?時，為非關(guān)聯(lián)性流動法則，體積膨脹會小一些。很明顯，當(dāng)？f=0時，不會發(fā)生體積膨脹。2000年，Shahawy在流動準(zhǔn)則中，采用的膨脹角?丫為0,因此忽略了體積膨脹。在塑性應(yīng)變的發(fā)展中，采用非關(guān)聯(lián)塑性流動法則。G=vJD+&fc0,Ei)Ji/6?GFRP在斷裂時的有效應(yīng)變je。qe=(-0.4142Efrp10-7+0.0248)/(0.5k1)

ki=(fcc-fc0)/fl2008年，KarabinisD-P塑性勢函數(shù)G采用的形式為G=v<tDf(K)+f(a)J1f(a)為混凝土的塑性膨脹參數(shù)。 反應(yīng)了塑性應(yīng)變張量的方向， 與素混凝土強度fc0和約束模量El緊密相關(guān)。采用關(guān)聯(lián)流動法則:G=vJ?-31-?G入一?qj在FRP約束圓柱中,02=C3在FRP約束圓柱中,02=C312oi-02-03入(= 2vJ2 31202-03-oi入(= o 2vt2 3=q,帶入求解得_ v3(dp+2dy)_1=-6(dp-df)=6"1電1電-e(<c-2vor)1vcc]4-E[(1-v)q-

E=4730vfcvcc]v=0.18a為膨脹率。利用該關(guān)聯(lián)流動法則的數(shù)值計算結(jié)果顯示，高估了約束混凝土的膨脹。最后提出自己的模型：非關(guān)聯(lián)流動準(zhǔn)則：?013=3(方二,在主動約束中，或二0,在線性約束材料，如FRP中，瀘'=—,而q可以由？以及耳確定出，所以FRP，?￡| ?g| 4 L約束混凝土中流動準(zhǔn)則可簡寫為:013(-,?P)

a流動準(zhǔn)則:G=013(-,?P)

a流動準(zhǔn)則:G=t-tan31+constant?G?可tan1+——dqp=入3tan求解得???????? ??3(????+ ?? ,」???????? ??3(????+ ?? ,」2(????-??????2???? v3―k=—??對于約束適中的混凝土， 割線泊松比vc在fc<0.8fc0時與素混凝土相同為0.2,基本保持恒定，只稍有增長；之后隨混凝土內(nèi)部微裂縫發(fā)展， vc顯著增長直至fc=1.2fc0左右；最后vc趨向于另一穩(wěn)定值。混凝土受(2005陶忠)到的約束越強，該值越小。對于 FRP約束強度非常高的情況， vc整個過程中都保持在0.2左右。對FR(2005陶忠)非常弱時，vcB期發(fā)展規(guī)律與無約束混凝土一致，并不穩(wěn)定，而是持續(xù)增長。FRP的剛度和包裹層數(shù)有關(guān)。在2000年，Shahawy、Mirmiran通過實驗發(fā)現(xiàn)了FRPFRP的剛度和包裹層數(shù)有關(guān)。在階段的斜率與未約束混凝土的初始彈性模量大致相同。第二階段的斜率與兩直線的過渡區(qū)域意味FRP開始有效得約束混凝土的橫向膨脹。體積應(yīng)變的表達式為?v=?V/V=?c+2?r其中，？v為體積應(yīng)變；？c為軸向應(yīng)變；？r為橫向應(yīng)變?；炷恋呐蛎浡时欢x為目標(biāo)泊松比，并從環(huán)向應(yīng)變一軸向應(yīng)變曲線得來。??r(1= ??c膨脹曲線滿足下列分式方程_闈+a?c+b?c2+c?c+d?c2式中，初始膨脹率⑷與初始泊松比v。相同。在膨脹率一軸向應(yīng)變曲線的第一階段對應(yīng)的是混凝土微裂縫的開展以及橫向膨脹的迅速增加。橫向膨脹的峰值對應(yīng)著的是未約束混凝土的極限破壞應(yīng)變。 FRP越厚，則膨脹率的峰值越低，極限膨脹率也越低。同時混凝土強度越高，峰值膨脹率和極限膨脹率越高。Rousakis(2008)提出了塑性膨脹參數(shù)的概念。=-dlp/dVpD求得a=A?In(El)+B。其中，A、B為fc0的二次表達式。式中，Ip為塑性應(yīng)變的第一不變量；IpD為塑性偏應(yīng)變第二不變量。?=/弓FTdeP在應(yīng)力一塑性應(yīng)變曲線中，初始斜率為初始塑性模量 K1,最后的斜率為極限塑性模量 K2oK1、K2是Ec0、fc0的函數(shù)。2008年，Rousakis等研究成果為：在壓敏性材料，比如混凝土中，塑性體積與剪切應(yīng)變的關(guān)系是非常重要的。得到塑性膨脹角 3的表達式為：P一一,P、2_3o+(Mo+入1的)2+灰3u(c)3 1+~1+~3p)2佻=37d3(p)Mo= ~pI「 =157000方二11.61+980?2=5700p+225000的=101.66e-°.06p-37.52EfrptfrpP Dfc式中，出為初始值；M0為初始斜率；p為側(cè)向約束剛度比；fc為未約束混凝土的抗壓強度。參考文獻江見鯨，陸新征，葉列平.2005.混凝土結(jié)構(gòu)有限元分析.北京：清華大學(xué)出版社T.Yu,J.G.Teng,Y.WongandS.Dong.Finiteelementmodelingofconfinedconcrete-I:Drucker-Pragertypeplasticitymodel[J].EngineeringStructures,2010,32(3):665-679.M.Shahawy,A.MirmiranandT.Beitelman.Testsandmodelingofcarbon-wrappedconcretecolumns[J].CompositesPartB-Engineering,2000,31(6-7):471-480.Eid,R.,Paultre,P.Plasticity-basedmodelforcircularconcretecolumnsconfinedwithfiber-compositesheets[J].Engineeringstructures,2007,29,3301-3311.A.I.Karabinis,T.C.RousakisandG.E.Manolitsi.3Dfinite-elementanalysisofsubstandardRCcolumnsstrengthenedbyfiber-reinforcedpolymersheets[J].JournalofCompositesforConstruction,2008,12