13級基礎班王強-線性回歸

1040204020

30temperature

[deg

C]cans

of

beer

sold601040102020

30temperature

[deg

C]cups

of

coffee

sold30agereaction

timedrug

dosemood2r

l

XY

lXX

lYY(

y

y

)(xi

x

)(

yi

y

)(x

x

)2i

i2.相關(guān)系數(shù)的定義總體相關(guān)系數(shù)

E[(

X

E(

X

))(Y

E(Y

))]

X

Y樣本相關(guān)悉數(shù)-1≤r≤1r=-1-1<r<0r=00<r<1r=1完全負相關(guān)

y=a+bx

(b<0)負相關(guān)零相關(guān)，即不存

性關(guān)系。正相關(guān)完全正相關(guān)

y=a+bx

(b>0)r的絕對值表示線性相關(guān)的強弱.YX=0YX=-.8YX=.8YX=0YX=-1YX=12,

4,

53,

4,

7依次相乘相加

l

XY

lXX

lYY3,

4,

7

573,

7,

4

544,

3,

7

554,

7,

3

517,

3,

4

467,

4,

3

452r

(

y

y

)(xi

x

)(

yi

y

)(x

x

)2i

i相關(guān)的例子：同卵雙胞胎兄弟身高間的相關(guān)系數(shù)為0.95;1988年，

25-34歲男子的收入與受教育程度間的相關(guān)系數(shù)是0.34，55-64歲男子的相關(guān)系數(shù)為0.44.問題：二手車車齡與其價格之間的相關(guān)是正還是負？車重與每公升

所跑公里數(shù)間的相關(guān)是正還是負?兩個因虛間既使沒有因果關(guān)系,也可能會相關(guān);兩個因現(xiàn)出虛間既使有因果關(guān)系,也可能會表獨立性.相關(guān)

因果3.相關(guān)系數(shù)的計算2222

nx

yr

(x

x

)(

y

y

)x

nx

2y

ny

2(xi

x

)(

yi

y

)

xi

yi

i

i

i

ichc*hc*ch*h515.27625231.041031.73171001004.891546.7700.52252180.892058.911784003469.212576.91922.56255913.613082.824849006855.84105312.26678227519655.48例.4.相關(guān)系數(shù)的檢驗H

0

:

0

;

H1

:

0T

r n

2

~

t

(n

2)1

r

2線性回歸方程Galton父輩身高增加一個單位，兒子身高僅增加半個單位左右；父輩身高減少一個單位，兒子身高僅減少半個單位左右；子代的平均高度向中心靠近—回歸效應.1.一元線性模型量量或確定變量Y為因變量，隨X為自變量,隨ε是隨機誤差項回歸函數(shù)：

E(Y

|

X

x)

f

(x)Y

f

(

x)

確定部分隨機部分y

x

y

x

XY

x

EE

((YY

||

XX

xx

))

xxY

~

N

(

x

,

2

)2Y

~

N

(

x

,

2)1x1x2x3xY

~

N

(

x

,

2

)Y

~

N

(

x

,

2

)32.線性回歸方程XY數(shù)據(jù)XY誤差最小一乘法最小二乘法2?nniixxlxyi1i1(

yi

a

bxi

)

0i1i1Q(,

)

(

y

y

)

i(

y

(a

bxi

))2(

yi

a

bxi

)xi

0

b

?b

la?

y

b?xQ

2n

a

Q

2n定，例.

波長薄層掃描儀對紫草含量進得其濃度c與測得積分值h的數(shù)據(jù)如下：ch515.21031.71546.72058.92576.93082.8437.5cclb

lch

1214.5

2.776,a

h

bc

312.2

2.776

105

3.4536

6h?

3.453

2.776c斜率(2.776)－濃度每增加1%，測得積分值(h)

增加2.776;截距(3.453)－當濃度(c)為0時，測得積分值(h)的平均值為3.453;直線的意義－濃度為c時，測得積分值的平均值.h?

3.453

2.776ch?

3.453

2.776chor

h?

2.776c

?510

1520

2530

35c100806040203.回歸方程的顯著性檢驗y

a

bxH0:

b

0;

H1

:

b

0xiYXyiyi

yy?i

yyy?

a

bxyi

y?i思想:

總離差平方和的分解(

yi

y

)

(

yi

y?i

)

(

y?i

y

)(

yi

y)

(

y

y?

)(

y?

y)2

22iiiLyy

=SS總：反映總的離差平方和Q=SS殘：反映X對Y的非線性影響及隨機誤差等因素引起的變異,剩余平方和U=SS回=b2lxx

：反映X對Y的線性影響產(chǎn)生的變異,回歸平方和i(

y

y

)2

(

y

y?

)2i

i

y

)2i(

y?QE(Ulyy

Q

UE(lyy

)

(n

1)

2

2lxx

,

E(U

)

2

2lxx)

2n

2F

~

F

(1,n

2)Q

(n

2)例.ch515.21031.71546.72058.92576.93082.8l2lccn

6,

lcc

437.5,

lhh

3410.67,

lch

1214.5lhh

3410.67

3371.4521214.52437.5

chU

Q

lhh

U

3410.67

3371.452

39.22dfSSMSFSignificance

F回歸分析13371.4523371.452343.838594.97815E-05殘差439.2213339.8053333總計53410.67334.與控制y

ax

b?控制x

yy

x參數(shù)的分布lxxy?

a

bx~

N

(

x,(

1

(x

x

)2

)

2

)n?β的估計值—b22

i

ixiilxyxxlx

nx

2

2b

~

N

(

,)

,

b

y

x

nx2

yilxxα的估計值—aa~

N

(,(

1

x

2

)

2

)ny?0

a

bx0Y的y00點Y均值的x

E(Y

|

x

x0

),

y?0

a

bx0區(qū)間Y均值的2lxx~

N

(0,1)nlxx(

1

(x

x

)2

)

2)

)y?

~

N

(

x,(

1

(x

x

)2ny?

(

x)xxlxxn

l

2y?

ua

bx

t0

2(

1

(x0

x

)

)

Q2n n

2(

1

(x

x

)2

)

2xx(

1

(x

x

)2

)

2n

l

x

y?

u

2lxxlxxnY值的y

~

N

(

x,

2

)y?

~

N

(

x,

(

1

(x

x

)2

)

2

)ny?

y

~

N

(0,

(1

1

(x

x

)2

)

2

)a

bx0

t

2

(1

n1

(x0

x

)

)

Q2lxxn

20

2xxnla

bx

t(1

1

(x0

x

)2

)

Qn

2xxn

l0

2a

bx

t(

1

(x0

x

))

Q2n

2結(jié)論：X的取值盡量分散；樣本容量要大；

Y或Y的均值時要盡量靠近X的均值?？刂评?質(zhì)量標準要求藥品的某項指標y在一定范圍（y1,y2）內(nèi)取值，否則產(chǎn)品視為不合格品。問對Y有重要影響的變量X應控制在一個怎樣的