幾何與代數(shù)：第8周第2次課(預(yù)習(xí)版)-向量空間

第四章

n維向量第一節(jié)n維向量空間一維空間：{x|x∈R}二維空間：{(x,y)|x,y∈R}三維空間：{(x,y,z)|x,y,z∈R}有沒有四維或更高維的空間？{(x,y,z,t)|x,y,z,t∈R}四維的空間?{(x1,x2,…,xn)|x1,x2,…,xn∈R} n維的空間？根據(jù)90年代提出的M理論（超弦理論的一種），宇宙是十一維的，由震動(dòng)的平面構(gòu)成的。在愛因斯坦那里，宇宙只是高維空間四維的（三維空間和一維時(shí)間），現(xiàn)代物理學(xué)則認(rèn)為還有七維空間我們看不見。4.1.1n維向量(vector)的概念

n維行向量

[a1,a2,…,an]n維列向量a1a2…an第i分量

ai(i=1,…,n)第四章

n維向量§4.1

n維向量空間=[a1,a2,…,an]T

4.1

n維向量空間

實(shí)向量，復(fù)向量，向量相等，零向量，負(fù)向量，Rn4.1.2.n維向量的線性運(yùn)算即為矩陣的線性運(yùn)算,

包括：加法與數(shù)乘.第四章

n維向量§4.1

n維向量空間=a1a2an…=b1b2bn…+=a1+b1a2+b2an+bn

…k=ka1ka2kan…設(shè),,

是n維行(列)向量,k,l是數(shù),則(1)+=+,(2)(+)+=+(+),(3)+=,(

為n維列向量)(4)+()=,(5)1=,(6)k(l)=(kl),(7)(k+l)=k+l,(8)k(+)=k+k.4.1.2.n維向量的線性運(yùn)算即為矩陣的線性運(yùn)算,

包括：加法與數(shù)乘.第四章

n維向量§4.1

n維向量空間一維空間：{x|x∈R}二維空間：{(x,y)|x,y∈R}三維空間：{(x,y,z)|x,y,z∈R}x=x·1(x,y)=x·(1,0)+y·(0,1)(x,y,z)=x·(1,0,0)+y·(0,1,0)+z(0,0,1)(x,y)=m+n

(只要,不共線)(x,y,z)=k1+k2+k3(只要,,不共面)第四章

n維向量§4.1

n維向量空間定義4.1n維向量:1,2,…,s

；數(shù):k1,k2,…,ks.線性組合:k11+k22+…+kss

4.1.3.線性組合和線性表示一線性組合(linearcombination)

、

線性表示(linearrepresentation)=k11+k22+…+kss,若存在一組數(shù)k1,k2,…,ks

使得則稱能由向量組1,2,…,s線性表示.可以全為零第四章

n維向量§4.1

n維向量空間線性表示與共線、共面向量的判定

定理3.1

設(shè)向量,則

向量β與共線可以由線性表示

(即存在唯一的實(shí)數(shù)m使得=m)

定理3.2

若向量,

不共線,則

向量與,共面

可以由,線

性表示(即存在唯一的實(shí)數(shù)對(duì)(m,n),

使得

=m+n)

第四章

n維向量§4.1

n維向量空間例1.n維基本單位向量組e1=100…,e2=010…,en=001….…,問：在高維的情形，如何判定一個(gè)向量可由某組向量進(jìn)行線性表示？第四章

n維向量§4.1

n維向量空間任何一個(gè)n維向量=a1a2an…都能由e1,e2,…,en線性表示.=a1

100…+a2

010…+…+an

001….事實(shí)上,第四章

n維向量§4.1

n維向量空間例2.

A=a11

a12…a1sa21

a22…a2s…

………an1

an2…ans(1,2,…,s)=b1,

b2,…,bn=能由1,2,…,s線性表示存在x1,x2,…,xs

使得，=x11+x22+…+xssx1x2xs….第四章

n維向量§4.1

n維向量空間=(1,2,…,s)T例2.

A=a11

a12…a1sa21

a22…a2s…

………an1

an2…ans(1,2,…,s)=b1,

b2,…,bn=能由1,2,…,s線性表示存在x1,x2,…,xs

使得，=x11+x22+…+xss=x1x2xs…

第四章

n維向量§4.1

n維向量空間a11

a12…a1sa21

a22…a2s…

………an1

an2…ansT例2.

A=a11

a12…a1sa21

a22…a2s…

………an1

an2…ans(1,2,…,s)x=x1x2xs….方程組Ax=

有解,其中

==b1,

b2,…,bn第四章

n維向量§4.1

n維向量空間能由1,2,…,s線性表示T二

向量組之間的關(guān)系A(chǔ):

1,2,…,s

B:

1,2,…,t若B組中的每個(gè)向量都能由A組中的向量線性表示,則稱向量組B能由向量組A線性表示.1.給定兩個(gè)向量組能由線性表示,例如:2030,1001,但2030不能由線性表示.,1001,第四章

n維向量§4.1

n維向量空間簡(jiǎn)記為A

:1,2,…,s,B

:1,2,…,t.若j=c1j1

+c2j2

+…+csjs

,j=1,2,…,t,即=12n12s第四章

n維向量§4.1

n維向量空間簡(jiǎn)記為A

:1,2,…,s,B

:1,2,…,t.若j=c1j1

+c2j2

+…+csjs,j=1,2,…,t,即=BntAnsCst

第四章

n維向量§4.1

n維向量空間簡(jiǎn)記為A

:1,2,…,s,B

:1,2,…,t.若j=c1j1

+c2j2

+…+csjs

,j=1,2,…,t,即=BntAnsCst

=第四章

n維向量§4.1

n維向量空間向量組的線性表示例3

假設(shè)向量1=,2=,1=,2=,3=.1-1202111320t-150問：當(dāng)t取什么值的時(shí)候，1,2,3可以由1,2線性表示？第四章

n維向量§4.1

n維向量空間j=x1j1

+x2j2

+…+xsjs

,j=1,2,…,t

矩陣的乘積BntAnsXst

=2.傳遞性A=(1,2),B=(1,2,3),C=(1,2),1=1+2,2=1+22,3=1+2,1=21+2

2=12+3

=2(1+2)+(1+22)=31+42,=(1+2)(1+22)+(1+2)=1,第四章

n維向量§4.1

n維向量空間A=(1,2),B=(1,2,3),C=(1,2),B=(1,2,3)=(1,2)=AD,111121=A(DF).C=(1,2)=(1,2,3)211101=BF,=(1,2)211101111121=(1,2)3140第四章

n維向量§4.1

n維向量空間B能由A線性表示C能由B線性表示一般地,C能由A線性表示.B=ADC=BFC=(AD)F=A(DF)第四章

n維向量§4.1

n維向量空間若向量組B能和向量組A可以相互線性表示

,

則稱這兩個(gè)向量組等價(jià).A:1,2,…,s

B:1,2,…,t3.給定兩個(gè)向量組顯然,(1)向量組A與其自身等價(jià)(反身性);(2)若A與B等價(jià),則B與A等價(jià)(對(duì)稱性);(3)若A與B等價(jià)且B與C等價(jià),則A與C等價(jià)

(傳遞性).第四章

n維向量§4.1

n維向量空間例4

假設(shè)向量1=,2=,1=,2=,3=.1-1202111320t-150問：當(dāng)t取什么值的時(shí)候，1,2,3可以由1,2線性表示？這時(shí)，這兩個(gè)向量組是否等價(jià)？第四章

n維向量§4.1

n維向量空間n維向量及其線性運(yùn)算向量與向量組的線性表示向量組與向量組的線性表示向量組之間的等價(jià)Ax=

是否有解？AX=B

是否有解？三維空間：{(x,y,z)|x,y,z∈R}二維子空間xyzO還是二維子空間嗎？4.1.4Rn的子空間定義4.2如果Rn的非空子集S滿足下列兩個(gè)條件，則稱S是Rn的子空間或向量空間：,∈S,

成立+∈S;(加法封閉性)∈S,

k∈R,成立k∈S.(數(shù)乘封閉性)也稱S關(guān)于加法和數(shù)乘構(gòu)成Rn的子空間第四章

n維向量§4.1

n維向量空間Rn和{0}分別構(gòu)成Rn的一個(gè)子空間.

——Rn的平凡子空間.例5.檢驗(yàn)下列集合是否構(gòu)成R3的子空間.(1)V1={(x,y,0)|x,y

R};(2)V2={(x,y,z)|x,y,

zR,

x+yz=0};V3={(x,y,z)|x,y,

zR,

x+yz=1};注

Rn的子空間一定包含Rn的零元素第四章

n維向量§4.1

n維向量空間(數(shù)乘封閉性)例6.檢驗(yàn)下列集合是否構(gòu)成Rn的子空間.

(1)ARsn,bRs,b.S1={Rn|A=};

S2={Rn|A=b}.(2)ARsn.

T

={ηRs|存在x∈Rn

使得η=Ax

};記S1為K(A),稱其為Ax=的解空間或矩陣A的核空間(零空間)記T為R(A),稱其為矩陣A的值域(列空間)第四章

n維向量§4.1

n維向量空間第四章n維向量

假設(shè)1,2,…,sRn,{|k1,k2,…,

ksR}skii

i=1——由1,2,…,s生成的向量空間,記為1,2,…,s:生成元(未必線性無關(guān)).定義L(1,2,…,s)或span{1,2,…,s}.

一類特殊的子空間§4.1

n維向量空間注(1)如果A=(1,2,…,s),x=(x1,x2,…,xs)T,則Ax=x11+x22+…+xssL(1,2,…,s)={Ax|x∈Rs}

R(A)={ηRn|存在x∈Rs

使得η=Ax

}={Ax|x

∈Rs};L(1,2,…,s)=R(A)第四章n維向量§4.1

n維向量空間注

(2)Ax=b有解<=>

b∈R(A)=L(1,2,…,s)

(3)

L(1,2,…,s)=L(1,2,…,t)

向量組1,2,…,s與1,2,…,t等價(jià).第四章n維向量§4.1

n維向量空間Rn的子空間關(guān)于線性運(yùn)算封閉給定矩陣A,

有兩個(gè)常用的子空間：

核空間與列空間子空間一定含有零元素作業(yè)習(xí)題四（B）2,3,5

上交時(shí)間：11月13日（周二）另：下周四介紹MATLAB軟件。

第四章

n維向量第二節(jié)向量組的線性相關(guān)性4.2.1線性相關(guān)和線性無關(guān)三維空間：{(x,y,z)T|x,y,z∈R}(x,y,z)T=x·(1,0,0)T+y·(0,1,0)T+z(0,0,1)Te1=(1,0,0)T,e2=(0,1,0)T,e3=(0,0,1)T“最小生成元”§4.2向量組的線性相關(guān)性第四章n維向量(1,0,0)T,(0,1,0)T,(0,0,1)T,例下列向量組是不是R3的“生成元”？是不是“最小生成元”？(1,1,1)T§4.2向量組的線性相關(guān)性第四章n維向量§4.2向量組的線性相關(guān)性定義4.3.向量組1,2,…,s線性相關(guān)存在一組不全為零的數(shù)k1,k2,…,ks,使得k11+k22+…+kss=.第四章n維向量向量組1,2,…,s線性無關(guān)由k11+k22+…+kss

=可推出

k1=k2=…=ks

=0.(1,0,0)T,(0,1,0)T,(0,0,1)T,例判斷下列向量組是不是線性相關(guān)。(1,1,1)T定理4.1.向量組1,2,…,s(s≥2)線性相關(guān)

1,2,…,s至少有一個(gè)可以由其余s1個(gè)向量線性表示.§4.2向量組的線性相關(guān)性第四章n維向量(1,0,0)T,(0,1,0)T,(0,0,1)T,例(1,1,1)T向量組1,2,…,s線性相關(guān)存在一組不全為零的數(shù)k1,k2,…,ks,使得k11+k22+…+kss=存在一組不全為零的數(shù)k1,k2,…,ks,使得

(1,2,…,s)k1k2ks…=

r

(1,2,…,s)<s§4.2向量組的線性相關(guān)性第四章n維向量向量組1,2,…,s線性無關(guān)下列方程組只有零解

(1,2,…,s)k1k2ks…=

r

(1,2,…,s)=s由k11+k22+…+kss

=可推出

k1=k2=…=ks

=0.§4.2向量組的線性相關(guān)性第四章n維向量n維基本單位向量組線性無關(guān)

e1=100…,e2=010…,en=001….…,例.例

據(jù)參數(shù)a討論向量組的線性相關(guān)性1=,2=,3=.30215-1a07§4.2向量組的線性相關(guān)性第四章n維向量對(duì)于特殊情形，很快可以判定線性相關(guān)性.(1)一個(gè)向量(構(gòu)成的向量組)線性相關(guān)<=>=;

(2)兩個(gè)向量,線性相關(guān)<=>,的分量成比例;

如果向量組1,2,…,s的某個(gè)部分組

線性相關(guān)，則整個(gè)向量組線性相關(guān)；特別地，含零向量；或有兩個(gè)向量相同第四章

n維向量§4.2向量組的線性相關(guān)性(4)如果s>n,則任意的n維向量組1,2,…,s

線性相關(guān)；x1x2xs…(1,2,…,s)=(記為Ax=),第四章

n維向量§4.2向量組的線性相關(guān)性(5)如果n維向量1=,2=

,…,s=.a11am1am+1,1an1……a12am2am+1,2an2a1samsam+1,sans…………線性相關(guān),則m維向量1

=

,2=

,…,s=

a11am1…a12am2…a1sams…也線性相關(guān)第四章

n維向量§4.2向量組的線性相關(guān)性(5)如果n維向量1=,2=

,…,s=.a11am1am+1,1an1……a12am2am+1,2an2a1samsam+1,sans…………=>k11+k22+…+kss=0.第四章

n維向量§4.2向量組的線性相關(guān)性(5)如果n維向量1=,2=

,…,s=.a11am1am+1,1an1……a12am2am+1,2an2a1samsam+1,sans…………1

=

,2=

,…,s=

a11am1…a12am2…a1sams…也線性相關(guān)=>k11+k22+…+kss=0.=>k11+k22+…+kss=0.第四章

n維向量§4.2向量組的線性相關(guān)性(5)如果n維向量1=,2=

,…,s=.a11am1am+1,1an1……a12am2am+1,2an2a1samsam+1,sans…………線性相關(guān),則m維向量1

=