數(shù)理統(tǒng)計(jì)第九章方差分析

§9﹒1單因子方差分析

Ⅰ概念及例子Ⅱ數(shù)學(xué)模型Ⅲ離差分解ⅣH0的檢驗(yàn)Ⅴij的區(qū)間估計(jì)第一頁(yè)，共五十頁(yè)。一、概念及例子

方差分析是對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的數(shù)據(jù)作分析的一種常用的統(tǒng)計(jì)方法。我們?cè)陲@著性假設(shè)檢驗(yàn)中已討論過(guò)兩總體均值是否相等的檢驗(yàn)，這種問題可稱為單因子（素）二水平的試驗(yàn)。在本小節(jié)中我們要討論單因子（素）多水平的試驗(yàn)，我們將發(fā)現(xiàn)它實(shí)際上是多個(gè)總體的均值是否相等的顯著性檢驗(yàn)。在正態(tài)總體和方差相等的基本假定下，這類假設(shè)檢驗(yàn)問題稱為單因子方差分析或一元方差分析。第二頁(yè)，共五十頁(yè)。例9.1為了比較四種不同的肥料對(duì)小麥產(chǎn)量的影響，取一片土壤肥沃程度和水利灌溉條件差不多的土地，分成16塊。肥料品種記為A1，A2，A3，A4，每種肥料均按比例施在四塊土地上，得畝產(chǎn)量如下：畝產(chǎn)品種田塊A1A2A3A41981607791901296469364270339175068107924669358705883問施肥品種對(duì)小麥畝產(chǎn)有無(wú)顯著性影響？第三頁(yè)，共五十頁(yè)。例9.2某燈泡廠用四種不同的配料方案制成的燈絲生產(chǎn)了四批燈泡，在每一批中任取若干個(gè)作壽命試驗(yàn)，得如下數(shù)據(jù)（單位：小時(shí)）壽命燈泡燈絲12345678甲(A1)

1600161016501680170017201800

乙(A2)

15801640164017001750丙(A3)

14601550160016201640166017401820丁(A4)

151015201530157016001680問燈絲的不同的配料方案對(duì)燈泡壽命有無(wú)顯著影響？第四頁(yè)，共五十頁(yè)。例9.1中的肥料品種和例9.2中的不同配料的燈絲稱為因子或因素，記為A，這里都只有一個(gè)因子。各種肥料或不同配料方案稱為水平。一般地，因子A有r個(gè)水平A1，A2,…,Ar

.第五頁(yè)，共五十頁(yè)。二、數(shù)學(xué)模型

設(shè)有r個(gè)正態(tài)總體Xi，i=1,…,r,Xi~N(i,2)，作假設(shè)H0:1=2=…=r獨(dú)立地從各總體中取出一個(gè)樣本，列成下表：總體樣本樣本均值用以上r個(gè)樣本檢驗(yàn)上述假設(shè)H0是否成立。（水平為）第六頁(yè)，共五十頁(yè)。在應(yīng)用上，上述問題等價(jià)于：因子A有r個(gè)水平A1，A2,…,Ar，設(shè)在每一種水平下試驗(yàn)結(jié)果都服從正態(tài)分布，現(xiàn)在各種水平作若干次試驗(yàn)獲得一些觀測(cè)值，問因素A的各種水平對(duì)試驗(yàn)結(jié)果是否有顯著影響？顯然，檢驗(yàn)可用t–檢驗(yàn)法：所有相鄰兩個(gè)總體的均值是否相等。共做r–1次檢驗(yàn)，通常采用離差分解法去解決這個(gè)問題。太繁瑣！第七頁(yè)，共五十頁(yè)。三、離差分解將每個(gè)樣本看成一個(gè)組，記組內(nèi)平均為總平均組內(nèi)離差平方和組間離差平方和第八頁(yè)，共五十頁(yè)。四、H0的檢驗(yàn)離差平方和令其中令第九頁(yè)，共五十頁(yè)。則令則第十頁(yè)，共五十頁(yè)。第十一頁(yè)，共五十頁(yè)。故但在H0成立時(shí)，從而可見，一般地說(shuō)，有第十二頁(yè)，共五十頁(yè)。且即第十三頁(yè)，共五十頁(yè)。設(shè)若Q=Q1+…+Qk，其中Qi為某些正態(tài)變量的平方和，這些正態(tài)變量分別是X1，…，Xn的線性組合，其自由度為fi，則諸相互獨(dú)立，且為第十四頁(yè)，共五十頁(yè)。方差分析表來(lái)源離差平方和自由度均方離差F值組間(因子A)組內(nèi)(誤差e)總和第十五頁(yè)，共五十頁(yè)。五.ik的區(qū)間估計(jì)

由于故，給定信度1，可得ik的置信區(qū)間其中第十六頁(yè)，共五十頁(yè)。例9.3在例9.2中給定=5%，問燈絲的不同的配料方案對(duì)燈泡壽命有無(wú)顯著影響？

解：已知r=4,n1=7,n2=5,n3=8,n4=6,n=26.計(jì)算的下列方差分析表來(lái)源離差平方和自由度均方離差F值因子A44,374.6314,791.52.17誤差e149,970.8226,816.8總和194,345.425第十七頁(yè)，共五十頁(yè)。查表知故，接受H0.

即認(rèn)為燈絲的不同的配料方案對(duì)燈泡壽命無(wú)顯著影響。第十八頁(yè)，共五十頁(yè)?！?﹒2雙因子(二元)方差分析一、非重復(fù)試驗(yàn)情形Ⅰ提出問題Ⅱ一般模型Ⅲ檢驗(yàn)法的導(dǎo)出二、重復(fù)試驗(yàn)情形Ⅰ提出問題Ⅱ檢驗(yàn)法的導(dǎo)出第十九頁(yè)，共五十頁(yè)。1、提出問題一、非重復(fù)試驗(yàn)雙因子方差分析

氧化鋅B

促進(jìn)劑AB1B2B3B4A1323535.538.5A235.536.53839.5A33637.539.543例9.4在某種橡膠的配方中，考慮了三種不同的促進(jìn)劑，四種不同份量的氧化鋅。各種配方試驗(yàn)一次，測(cè)得300%定強(qiáng)如下表所示：第二十頁(yè)，共五十頁(yè)。此例中有A、B二個(gè)因子，因子A有三個(gè)水平A1，A2，A3；因子B有四個(gè)水平B1，B2，B3，B4，在各種組合水平AiBj上作一次試驗(yàn)獲得一個(gè)觀測(cè)值。問因子A、B分別對(duì)試驗(yàn)結(jié)果有無(wú)顯著性影響

問不同的促進(jìn)劑，不同份量的氧化鋅分別對(duì)定強(qiáng)有無(wú)顯著性影響？第二十一頁(yè)，共五十頁(yè)。2、一般模型設(shè)有A、B二個(gè)因子，A有r個(gè)水平A1，…,Ar；因子B有s個(gè)水平B1，…，Bs，在A、B的每一種組合水平AiBj上作一次試驗(yàn)，得結(jié)果Xij，(i=1,…,r；j=1,…,s),所有Xij都相互獨(dú)立，且假定Xij~N(ij，2)，其中而作假設(shè)第二十二頁(yè)，共五十頁(yè)。

如果H01成立，則ij與i無(wú)關(guān)，這表明因子A對(duì)試驗(yàn)結(jié)果無(wú)顯著影響；同理，如果H02成立，則ij與j無(wú)關(guān)，這表明因子B對(duì)試驗(yàn)結(jié)果無(wú)顯著影響。另外，在式(9.7)中，i稱為因子A在水平Ai的效應(yīng)，它表示水平Ai在總體平均數(shù)上引起的偏差；同理，j稱為因子B在水平Bj的效應(yīng)，它表示水平Bj在總體平均數(shù)上引起的偏差.第二十三頁(yè)，共五十頁(yè)。3、檢驗(yàn)法的導(dǎo)出導(dǎo)出檢驗(yàn)H01與H02的方法與一元方差分析類似，可采用離差分解法。令第二十四頁(yè)，共五十頁(yè)。則總離差第二十五頁(yè)，共五十頁(yè)。記因子A引起的離差為記因子B引起的離差為誤差為第二十六頁(yè)，共五十頁(yè)。則（離差分解為）從直觀上看，SA是由因子A的效應(yīng)和2引起的隨機(jī)波動(dòng);SB是由因子B的效應(yīng)和2引起的隨機(jī)波動(dòng)；Se則是由2引起的隨機(jī)誤差。故可用比較SA與Se的值來(lái)檢驗(yàn)H01是否成立；而用比較SB與Se的值來(lái)檢驗(yàn)H02是否成立。這個(gè)所謂的“值”，當(dāng)然指得是數(shù)學(xué)期望。第二十七頁(yè)，共五十頁(yè)。令其中則有第二十八頁(yè)，共五十頁(yè)。故令記第二十九頁(yè)，共五十頁(yè)。則分別稱為因子A、B引起的均方離差，當(dāng)H01真時(shí)當(dāng)H02真時(shí)稱為均方誤差。當(dāng)H01、H02真時(shí)故第三十頁(yè)，共五十頁(yè)。由于故由的分解定理（柯赫倫）知，當(dāng)H01、H02真時(shí)，第三十一頁(yè)，共五十頁(yè)。且SA、SB、Se相互獨(dú)立。由F分布r.v.的構(gòu)造知第三十二頁(yè)，共五十頁(yè)。非重復(fù)試驗(yàn)雙因子方差分析檢驗(yàn)法1、提出假設(shè)H01：I=0;H02:j

=02、引進(jìn)統(tǒng)計(jì)量4、查表、計(jì)算得統(tǒng)計(jì)量的觀測(cè)值及分位數(shù)的值5、比較大小的結(jié)論。3、由顯著性水平寫出拒絕域形式第三十三頁(yè)，共五十頁(yè)。非重復(fù)試驗(yàn)雙因子方差分析表來(lái)源離差平方和自由度均方離差F值因子A總和因子B誤差e第三十四頁(yè)，共五十頁(yè)。二、重復(fù)試驗(yàn)雙因子方差分析1、一般模型設(shè)有A、B二個(gè)因子，各有r個(gè)水平A1，…,Ar；和s個(gè)水平B1，…，Bs，現(xiàn)在A、B的每一種組合水平AiBj上重復(fù)試驗(yàn)c(c>1)次，得試驗(yàn)值Xijk，(i=1,…,r；j=1,…,s;k=1,…,c),將它們列表如下：第三十五頁(yè)，共五十頁(yè)。

因子B因子AB1B2···BS假定Xijk~N(ij，2)，且所有的Xijk都相互獨(dú)立，則ij可表為第三十六頁(yè)，共五十頁(yè)。從而可得(9.20)式，且可驗(yàn)證(9.21)式中四個(gè)等式成立。其中滿足事實(shí)上，令，則第三十七頁(yè)，共五十頁(yè)。作假設(shè)

i或j稱為因子A或因子B在水平Ai或Bj上的效應(yīng);ij稱為因子A和B在組合水平Ai×Bj上的交互作用，即因子A、B組合起來(lái)在水平Ai

×Bj上的作用，而不是因子A或B單獨(dú)影響試驗(yàn)的結(jié)果。2、檢驗(yàn)法的導(dǎo)出第三十八頁(yè)，共五十頁(yè)。若H01成立，則表明因子A對(duì)試驗(yàn)結(jié)果無(wú)顯著影響；否則，相反。若H02成立，則表明因子B對(duì)試驗(yàn)結(jié)果無(wú)顯著影響；否則，相反。若H03成立，則表明因子A、B對(duì)試驗(yàn)結(jié)果無(wú)顯著的交互作用；否則，相反。

為了導(dǎo)出檢驗(yàn)這三個(gè)假設(shè)的方法，一般也采用離差分解法。第三十九頁(yè)，共五十頁(yè)。令則總離差第四十頁(yè)，共五十頁(yè)。其中事實(shí)上第四十一頁(yè)，共五十頁(yè)。稱SA為因子A引起的離差，稱SB為因子B引起的離差，SI為因子A、B交互作用引起的離差，Se為誤差。可表為其中代入SA、SB、SI和Se可得其期望值：第四十二頁(yè)，共五十頁(yè)。令令第四十三頁(yè)，共五十頁(yè)。一般有則而當(dāng)H0k為真時(shí)(k=1,2,3)，它們均為等式。第四十四頁(yè)，共五十頁(yè)。當(dāng)H0k為真前提下(k=1,2,3)，可用（柯赫倫）分解定理得出SA、SB、SI和Se的分布。事實(shí)上，（8.22）式可改寫為第四十五頁(yè)，共五十頁(yè)。等式兩邊除以2后，即知：左邊右邊各項(xiàng)且它們相互獨(dú)立，故由F分布隨機(jī)變量的構(gòu)造，知第四十六頁(yè)，共五十頁(yè)。第四十七頁(yè)，共五十頁(yè)。從而得到重復(fù)試驗(yàn)雙因子方差分析檢驗(yàn)法1、提出假設(shè)H01：i=0;H02:j=0；H03:ij=02、引進(jìn)統(tǒng)計(jì)量4、查表、計(jì)算得統(tǒng)計(jì)量及各分位點(diǎn)的值5、比較大小的結(jié)論。3、由顯著性水平寫出拒絕域應(yīng)滿足的形式第四十八頁(yè)，共五十頁(yè)。重復(fù)試驗(yàn)雙因子方差分析表來(lái)源離差平方和自由度