中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)基礎(chǔ)考點第六單元 圓第25課時 與圓有關(guān)的位置關(guān)系

第六單元圓

第25課時與圓有關(guān)的位置關(guān)系（每年第23題必考1道，8分）目錄點對點“過”考點1典例“串”考點23陜西5年真題、副題“明”考法點對點“過”考點【對接教材】北師：九下第三章P89－P96；人教：九上第二十四章P92－P104.與圓有關(guān)的位置關(guān)系切線的性質(zhì)與判定與圓有關(guān)的位置關(guān)系點與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系性質(zhì)判定方法三角形的內(nèi)切圓定義圓心性質(zhì)判定定義切線長定理點與圓的位置關(guān)系考點1點與圓的位置關(guān)系有三種，分別是點在圓外、點在圓上和點在圓內(nèi)．設(shè)⊙O的半徑為r，點到圓心的距離為d，則有：點與圓的位置關(guān)系圖形d與r的大小關(guān)系

點A在圓內(nèi)

d＝OA<r

點B在圓上d＝OB＝r

點C在圓外d＝OC>r

返回思維導(dǎo)圖直線與圓的位置關(guān)系考點2設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，則有：直線與圓的位置關(guān)系d與r的關(guān)系交點的個數(shù)示意圖相離d____r沒有公共點相切d____r有且只有一個公共點相交d____r有兩個公共點＞＝＜返回思維導(dǎo)圖切線的性質(zhì)與判定考點31.定義：直線和圓只有一個公共點，這時我們說這條直線和圓相切，這條直線叫做圓的切線，這個點叫做切點．2.性質(zhì)：圓的切線________于過切點的半徑．3.判定方法：(1)“連半徑，證垂直”：如果已知直線經(jīng)過圓上一點，則連接這點和圓心得到半徑，再證所作半徑與這條直線垂直；(2)“作垂直，證相等”：如果已知條件中不確定直線與圓是否有公共點，則過圓心作直線的垂線段，再證明垂線段的長等于半徑的長．垂直返回思維導(dǎo)圖4.切線長及定理(*選學(xué)內(nèi)容)(1)定義：經(jīng)過圓外一點作圓的切線，這一點與切點之間線段的長度叫做這點到圓的切線長，如圖，線段PA、PB；(2)定理：從圓外一點可以引圓的______條切線，它們的切線長______，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角，如圖，PA、PB分別切⊙O于A、B兩點，則有PA＝PB，∠APO＝______＝

∠APB.兩相等∠BPO返回思維導(dǎo)圖三角形的內(nèi)切圓考點41.定義：與三角形各邊都相切的圓．2.圓心：內(nèi)心(三角形的內(nèi)切圓圓心或三角形____________的交點)．3.性質(zhì)：三角形的內(nèi)心到三角形________的距離相等．【提分要點】直角三角形內(nèi)切圓的半徑：r＝

(a＋b－c)(a，b為直角邊，c為斜邊)．三條角平分線三條邊返回思維導(dǎo)圖1.如圖，AB是⊙O的直徑，點P是弦AC上一動點(不與點A、C重合)，過點P作PE⊥AB，垂足為E，射線EP交過點C的切線于點D.求證：DC＝DP.典例“串”考點第1題圖突破設(shè)問一證明線段的數(shù)量關(guān)系【思維教練】要證DC＝DP，根據(jù)等角對等邊，只需證∠DPC＝∠PCD，已知PE⊥AB，且CD與⊙O相切，則可連接OC.通過兩角互余的性質(zhì)及等角對等邊的性質(zhì)進行等量代換，從而得證．證明：如解圖，連接OC.∵DC是⊙O的切線，OC為半徑，∴∠OCD＝90°，即∠OCA＋∠ACD＝90°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，又∵PE⊥AB，∴∠OAC＋∠APE＝90°，∴∠APE＝∠ACD.又∵∠DPC＝∠APE，∴∠DPC＝∠ACD，∴DC＝DP.第1題解圖2.如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB為⊙O的直徑，PB與⊙O相切于點B，OP⊥BC于點D，交⊙O于點E.求證：PB·AC＝AB·CD.第2題圖【思維教練】注意利用OP⊥BC于點D，得到CD＝BD.已知AB是⊙O的直徑，PB是⊙O的切線，可得到直角，再進行等角代換得到相等角，進而得到四條線段所在的兩個三角形相似，列出比例式即可得到所求關(guān)系式．

證明：∵AB是⊙O的直徑，PB是⊙O的切線，∴∠PBO＝90°，∠C＝90°，∴∠PBC＋∠ABC＝90°，∠A＋∠ABC＝90°，∴∠PBC＝∠A，∴∠PBC＝∠A，又∵OP⊥BC，∴∠BDP＝∠C＝90°，BD＝CD，∴△PBD∽△BAC，∴PB·AC＝AB·CD.【提分要點】運用切線的性質(zhì)進行證明或計算時，常作的輔助線有連接圓心與切點得垂直．1.證明兩線段相等的方法：(1)若所證兩線段相連共線，則可以考慮等腰三角形三線合一或直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半來證明；(2)若所證兩線段相連不共線，則可以考慮將兩條線段放到一個三角形中，利用等腰或等邊三角形等角對等邊來證明；(3)若所證兩線段在不共線但有公共邊的兩個三角形中，則可以考慮利用全等三角形來證明；(4)若所證兩線段平行，則可以考慮利用平行四邊形對邊相等來證明．2.遇到證線段間比例關(guān)系?？紤]證兩三角形相似，列比例關(guān)系式得出相關(guān)結(jié)論．突破設(shè)問二證明角度相等3.如圖，點C是以AB為直徑的⊙O上的一點，AD與過點C的切線垂直，垂足為點D.求證：AC平分∠BAD.第3題圖【思維教練】要證AC平分∠BAD，連接OC，可得到AD∥CO，由平行線的性質(zhì)進行等量代換即可得到∠DAC＝∠CAO.證明：如解圖，連接OC，∵CD切⊙O于C，∴OC⊥CD，又∵AD⊥CD，∴AD∥CO，∴∠DAC＝∠ACO，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠CAO.∴∠DAC＝∠CAO，即AC平分∠BAD.第3題解圖4.如圖，AB是⊙O的直徑，點C是AB延長線上的點，CD與⊙O相切于點D，連接BD、AD.求證：∠BDC＝∠A.第4題圖【思維教練】連接OD，利用切線的性質(zhì)和圓周角定理進行等角代換，進而得到∠BDC＝∠A.證明：如解圖，連接OD.∵CD與⊙O相切于點D，∴OD⊥CD，∴∠2＋∠BDC＝90°，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，即∠1＋∠2＝90°，∴∠1＝∠BDC，∵OA＝OD，∴∠1＝∠A，∴∠BDC＝∠A.第4題解圖【提分要點】證明兩角相等的方法：1.在兩個直角三角形中通過同角或等角的余角相等證明；2.利用半徑相等，轉(zhuǎn)化到等腰三角形中利用等邊對等角證明．3.以上兩種方法常結(jié)合使用．突破設(shè)問三證明線段的位置關(guān)系5.如圖，在△ABC中，以AB為直徑的⊙O分別與BC、AC相交于點D、E，BD＝CD，過點D作⊙O的切線交邊AC于點F.求證：DF⊥AC.第5題圖【思維教練】要證DF⊥AC，即證∠CFD＝90°.連接OD，由切線的性質(zhì)即可得出∠ODF＝90°，再由BD＝CD，OA＝OB可得出OD是△ABC的中位線，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)即可得∠CFD＝∠ODF＝90°.證明：如解圖，連接OD.∵DF是⊙O的切線，∴∠ODF＝90°.∵BD＝CD，OA＝OB，∴OD是△ABC的中位線，∴OD∥AC，∴∠CFD＝∠ODF＝90°，∴DF⊥AC.第5題解圖【提分要點】證明切線垂直于非半徑的線段的方法：易證連切點的半徑垂直于切線，根據(jù)同位角相等，內(nèi)錯角相等或同旁內(nèi)角互補先證得連切點的半徑平行于非半徑的線段，再根據(jù)平行線的性質(zhì)證得切線與非半徑的線段夾角為90°，從而得證．6.如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB為直徑，∠CAB的平分線交⊙O于點D，過點D作⊙O的切線，分別交AC、AB的延長線于點E，F(xiàn).求證：EF∥BC.第6題圖【思維教練】由角平分線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可得AE∥OD，由切線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)可得∠E＝∠ACB＝90°，即可得到EF∥BC.證明：如解圖，連接OD，∵AD平分∠CAB∴∠CAD＝∠DAB，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠CAD＝∠ADO，∴AE∥OD.∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°，∵EF是⊙O的切線，∴OD⊥EF，且AE∥OD，∴AE⊥EF，且∠ACB＝90°，∴∠E＝∠ACB＝90°，∴EF∥BC.第6題解圖【提分要點】證明線段平行的方法：根據(jù)同位角相等、內(nèi)錯角相等或同旁內(nèi)角互補等方法，通過角度間等量代換找到相應(yīng)的角之間的關(guān)系即可證明．突破設(shè)問四求線段長7.如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AC為直徑作⊙O交BC于點D，過點D作⊙O的切線EF，交AB于點E，交AC的延長線于點F.若OA＝3，DF＝4，求CF的長．第7題圖【思維教練】要求CF的長，題中無特殊角，且已知線段與所求線段無直接聯(lián)系，故考慮利用相似三角形求解．結(jié)合EF是⊙O的切線及直徑所對的圓周角是90°，通過等角代換為證相似創(chuàng)造條件．解：如解圖，連接AD、OD，∵EF是⊙O的切線，∴∠ODF＝90°，∴∠FDC＋∠ODC＝90°.∵AC是⊙O的直徑，∴∠OCD＋∠CAD＝90°，∵OC＝OD,∴∠OCD＝∠ODC

，∴∠FDC＝∠FAD，∵∠DFC＝∠AFD,∴△DFC∽△AFD,解得CF＝2(負(fù)值舍去)．第7題解圖8.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC為直徑的⊙O交AB于點D，切線DE交AC于點E.若AD＝8，DE＝5，求BC的長．第8題圖解：如解圖，連接OD、CD,∵DE是⊙O的切線，

∴∠ODE＝90°，∴∠ADE＋∠BDO＝90°，∵∠ACB＝90°，第8題解圖【思維教練】結(jié)合DE是⊙O的切線及直徑所對的圓周角是90°，通過等角代換證得∠ADE＝∠A，故AE＝DE，AC＝2DE＝10，然后將BC放在Rt△ADC和Rt△BDC中，利用勾股定理列方程求解即可．

∴∠A＋∠B＝90°，∵OD＝OB,∴∠B＝∠BDO,∴∠ADE＝∠A，∴AE＝DE.∵∠ACB＝90°，∴EC是⊙O的切線，

∴ED＝EC,∴AE＝EC,∴AC＝2DE＝10,∴在Rt△ADC中，DC＝＝6，設(shè)BD＝x，在Rt△BDC中，BC2＝BD2＋DC2，在Rt△ABC中，BC2＝AB2－AC2,∴BD2＋DC2＝AB2－AC2，設(shè)BD＝x，則x2＋62＝(x＋8)2－102,解得x＝

，

∴BC＝9.如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，且DC＝AD.過點C作⊙O的切線CG，交AB的延長線于點G.若GE＝8，求⊙O的半徑．第9題圖【思維教練】連接AC、OC，根據(jù)垂徑定理可得△ADC為等邊三角形，再根據(jù)圓周角定理求得相關(guān)角的度數(shù)，進而利用銳角三角函數(shù)可求得⊙O的半徑．解：如解圖，連接AC、OC.∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，∴CE＝DE，AD＝AC，∵AD＝DC，∴△ACD為等邊三角形，∴∠DAC＝60°，∴∠DAE＝∠CAE＝30°，∴∠EOC＝2∠EAC＝60°.∵CG為⊙O的切線，∴∠OCG＝90°，∴∠G＝30°.∵GE＝8，∴在Rt△GCE中，CE＝GE·tan30°＝

，∴在Rt△OEC中，OC＝

，即⊙O的半徑為

.第9題解圖【提分要點】陜西中考中，圓的綜合題第2問在涉及求線段長的問題時，因題圖中多含直角三角形，因此?？紤]從以下方面來找突破口：1.勾股定理，2.銳角三角函數(shù)，3.相似三角形．若題目中含有30°，45°，60°特殊角，常考慮用三角函數(shù)求解；若不含，?？紤]用相似三角形求解(陜西多結(jié)合相似三角形來考查)．通常利用相似三角形求解線段長度的一般步驟為：已知一組相等角→尋找一對相等銳角→得到相似三角形→寫出相似比→代入已知量→得出所求線段長．突破設(shè)問五切線的判定第10題圖10.如圖，以△ABC的邊AB為直徑作⊙O，與BC交于點D，點E是弧的中點，連接AE交BC于點F，∠ACB＝2∠BAE.求證：AC是⊙O的切線．【思維教練】連接AD，利用等弧所對圓周角相等及∠ACB＝2∠BAE可得到∠BAD＝∠BCA，再結(jié)合直徑所對圓周角為直角即可得證．證明：如解圖，連接AD.∵E是弧

的中點，∴

＝

，∴∠1＝∠2.∵∠BAD＝2∠1.∠ACB＝2∠1，∴∠ACB＝∠BAD.∵AB為⊙O直徑，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.∴∠DAC＋∠C＝90°.∵∠C＝∠BAD，∴∠DAC＋∠BAD＝90°.∴∠BAC＝90°，即AB⊥AC.又∵AB是⊙O的直徑，∴AC是⊙O的切線．第10題解圖【提分要點】證明切線的方法：1．直線與圓有交點，“連半徑，證垂直”．(1)圖中有90°角時：證垂直的方法如下：①利用等角代換：通過互余的兩個角之間的等量代換得證；②利用平行線性質(zhì)證明垂直：如果有與要證的切線垂直的直線，則證明半徑與這條直線平行即可；③利用三角形全等或相似：通過證明切線和其他兩邊圍成的三角形與含90°的三角形全等或相似得證．(2)圖中無90°角時：利用等腰三角形的性質(zhì)，通過證明半徑為所在等腰三角形底邊的中線或角平分線，再根據(jù)“三線合一”的性質(zhì)得證．2．直線與圓無交點，“作垂線，證相等”．陜西5年真題、副題“明”考法切線性質(zhì)的相關(guān)證明與計算（必考）命題點1第1題圖類型一涉及相似三角形(5年3考)1.(2015陜西23題8分)如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的弦，過點B作⊙O的切線DE，與AC的延長線交于點D，作AE⊥AC交DE于點E.(1)求證：∠BAD＝∠E；(2)若⊙O的半徑為5，AC＝8，求BE的長．(1)證明：∵⊙O與DE相切于點B，AB為⊙O的直徑，∴∠ABE＝90°.(1分)∴∠BAE＋∠E＝90°.又∵∠DAE＝90°，∴∠BAD＋∠BAE＝90°.∴∠BAD＝∠E；(3分)(2)解：如解圖，連接BC.∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵AC＝8，AB＝2×5＝10.∴BC＝＝6.(5分)又∵∠BCA＝∠ABE＝90°，∠BAD＝∠E，∴△ABC∽△EAB.∴∴BE＝(8分)第1題解圖2.(2016陜西副題23題8分)如圖，已知⊙O的半徑為5，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AB＝8.過點B作⊙O的切線BD，過點A作AD⊥BD，垂足為D.(1)求證：∠BAD＋∠C＝90°；(2)求線段AD的長．第2題圖(1)證明：如解圖，連接BO并延長交⊙O于點E，連接AE.∵BD切⊙O于點B，∴BE⊥BD.(1分)又∵AD⊥BD，∴AD∥BE.∴∠BAD＝∠1.(2分)又∵BE是⊙O的直徑，∴∠1＋∠E＝90°.∴∠BAD＋∠E＝90°.(3分)又∵∠E＝∠C，∴∠BAD＋∠C＝90°；(4分)第2題解圖(2)解：由(1)得∠BAD＝∠1，又∵∠D＝∠BAE＝90°，∴△ABD∽△BEA.(6分)第3題圖3.(2019陜西副題23題8分)如圖，⊙O的半徑OA＝6，過點A作⊙O的切線AP，且AP＝8，連接PO并延長，與⊙O交于點B、D，過點B作BC∥OA，并與⊙O交于點C，連接AC、CD.(1)求證：DC∥AP；(2)求AC的長．(1)證明：∵AP是⊙O的切線，∴∠OAP＝90°.(1分)∵BD是⊙O的直徑，∴∠BCD＝90°.(2分)∵OA∥CB，∴∠AOP＝∠DBC，∴∠BDC＝∠APO.∴DC∥AP；(3分)(2)解：∵AO∥BC，OD＝OB，∴如解圖，延長AO交DC于點E，則AE⊥DC，OE＝

BC，CE＝CD.在Rt△AOP中，OP＝＝10.由(1)知，△AOP∽△CBD，第3題解圖4.(2019陜西23題8分)如圖，AC是⊙O的直徑，AB是⊙O的一條弦，AP是⊙O的切線．作BM＝AB，并與AP交于點M，延長MB交AC于點E，交⊙O于點D，連接AD.(1)求證：AB＝BE；(2)若⊙O的半徑R＝5，AB＝6，求AD的長．第4題圖(1)證明：∵AP是⊙O的切線，∴∠EAM＝90°，∴∠BAE＋∠MAB＝90°，∠AEM＋∠AME＝90°.(1分)又∵AB＝BM，∴∠MAB＝∠AMB，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE；(3分)(2)解：如解圖，連接BC.∵AC是⊙O的直徑，∴∠ABC＝∠EAM＝90°，在Rt△ABC中，AC＝10，AB＝6，∴BC＝＝8.(5分)由(1)知，∠BAE＝∠AEB，∴△ABC∽△EAM，∴∠C＝∠AME，又∵∠D＝∠C，∴∠D＝∠AMD.∴AD＝AM＝

.(8分)第4題解圖第5題圖5.(2016陜西23題8分)如圖，已知：AB是⊙O的弦，過點B作BC⊥AB交⊙O于點C，過點C作⊙O的切線交AB的延長線于點D，取AD的中點E，過點E作EF∥BC交DC的延長線于點F，連接AF并延長交BC的延長線于點G.求證：(1)FC＝FG；(2)AB2＝BC·BG.證明：(1)如解圖，∵EF∥BC，AB⊥BG，∴EF⊥AD.又∵E是AD的中點，∴FA＝FD，∴∠FAD＝∠D.(2分)又∵GB⊥AB，∴∠GAB＋∠G＝∠D＋∠1＝90°.∴∠1＝∠G.而∠1＝∠2，∴∠2＝∠G.∴FC＝FG；(4分)第5題解圖(2)解：如解圖，連接AC.∵AB⊥BG，∴AC是⊙O的直徑．(5分)又∵FD是⊙O的切線，切點為C，∴AC⊥DF.∴∠1＋∠4＝90°.(6分)又∵∠3＋∠4＝90°，∴∠1＝∠3.而由(1)可知∠1＝∠G.∴∠3＝∠G.∴Rt△ABC∽Rt△GBA.(7分)∴故AB2＝BC·BG.(8分)類型二涉及銳角三角函數(shù)(2017.23)第6題圖6.(2017陜西23題8分)如圖，已知⊙O的半徑為5，PA是⊙O的一條切線，切點為A，連接PO并延長，交⊙O于點B，過點A作AC⊥PB交⊙O于點C、交PB于點D，連接BC.當(dāng)∠P＝30°時．(1)求弦AC的長；(2)求證：BC∥PA.解：如解圖，連接OA，∵PA是⊙O的切線，切點為A，∴∠PAO＝90°，∵∠P＝30°，∴∠AOD＝60°，(2分)∵AC⊥PB，PB過圓心，∴在Rt△ODA中，AD＝OA·sin60°＝

，∴AC＝2AD＝5；(4分)(2)證明：如解圖，連接AB，∵AC⊥PB，∠P＝30°，∴∠PAC＝60°，∵∠AOP＝60°，∴∠BOA＝120°，(6分)∴∠BCA＝60°＝∠PAC.∴BC∥PA.(8分)第6題解圖切線判定及相關(guān)計算命題點27.(2017陜西副題23題8分)如圖，△ABC為⊙O的內(nèi)接三角形，∠ABC的平分線交⊙O于點D，過點D作DE∥AC交BC的延長線于點E.(1)求證：DE為⊙O的切線；(2)若DE＝

AC，求∠ACB的大?。?題圖(1)證明：如解圖，連接OA、OC、OD，其中OD與AC交于點N.∵DB平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∴∠AOD＝∠DOC.∴OD⊥AC.(3分)又∵DE∥AC，∴OD⊥DE.∵OD為⊙O的半徑，∴DE為⊙O的切線；(5分)第7題解圖(2)解：由(1)知CN＝

AC.當(dāng)DE＝

AC時，DE∥CN，且DE＝CN.(7分)∴四邊形NDEC為平行四邊形．又∵O