專題04 通過向量轉化研究向量問題（解析版）

專題04通過向量轉化研究向量問題一、題型選講題型一運用基底轉化法求參數(shù)的值考查了平面向量基本定理，也就是平面向量分解的唯一性定理，選擇一對基底表示其他向量，然后研究系數(shù)的關系。例1、(2019泰州期末）已知點P為平行四邊形ABCD所在平面上一點，且滿足eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋2eq\o(PD,\s\up6(→))＝0，λeq\o(PA,\s\up6(→))＋μeq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0，則λμ＝________．【答案】－eq\f(3,4)【解析】eq\a\vs4\al(思路分析)由于題中出現(xiàn)了四個向量，因此可以考慮消去eq\o(PC,\s\up6(→))或eq\o(PD,\s\up6(→))，再根據(jù)平面向量基本定理，即可求得λ和μ的值．解法1(轉化法)如圖，因為eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋2eq\o(PD,\s\up6(→))＝0，所以eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋2(eq\o(PC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→)))＝0，即eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋2(eq\o(PC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→)))＝0，即eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋2(eq\o(PC,\s\up6(→))＋eq\o(PA,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→)))＝0，所以，3eq\o(PA,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→))＋2eq\o(PC,\s\up6(→))＝0，即eq\f(3,2)eq\o(PA,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0，所以λ＝eq\f(3,2)，μ＝－eq\f(1,2)，λμ＝－eq\f(3,4).解法2(基底法)因為eq\f(1,2)eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PD,\s\up6(→))＝0，λeq\o(PA,\s\up6(→))＋μeq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0，兩式相減得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ－\f(1,2)))eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(μ－\f(1,2)))eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ－\f(1,2)))eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(μ－\f(1,2)))eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))－eq\o(PA,\s\up6(→))＝0，所以λ－eq\f(1,2)＝1，μ－eq\f(1,2)＝－1，λμ＝eq\f(3,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－eq\f(3,4).解法3(幾何法)取AB中點E，則eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＝2eq\o(PE,\s\up6(→))＝－2eq\o(PD,\s\up6(→))，所以eq\o(PD,\s\up6(→))＝eq\o(EP,\s\up6(→))，即P為DE中點，延長CP交BA延長線于點F，易知：A，E為BF的三等分點，且P為CF中點．由eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(PF,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(PB,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(PC,\s\up6(→))，得eq\f(3,2)eq\o(PA,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0，所以λμ＝－eq\f(3,4).解法1，把eq\o(PD,\s\up6(→))用其他三個向量來表示，根據(jù)平面向量的基本定理得到λ和μ的值；解法2，兩式相減，同時消去了eq\o(PC,\s\up6(→))，eq\o(PD,\s\up6(→))，轉化為以eq\o(PA,\s\up6(→))，eq\o(PB,\s\up6(→))為基向量的方程；解法3，通過構造三角形，根據(jù)向量的線性運算，找到eq\o(PA,\s\up6(→))，eq\o(PB,\s\up6(→))，eq\o(PC,\s\up6(→))這三個向量的關系式，以上三種解法都可以稱為基底法，此外本題可以將平行四邊形特殊化為矩形或正方形，通過坐標法來處理例2、(2017蘇錫常鎮(zhèn)調研（一））在△ABC中，已知AB＝1，AC＝2，∠A＝60°，若點P滿足eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(AC,\s\up6(→))，且eq\o(BP,\s\up6(→))·eq\o(CP,\s\up6(→))＝1，則實數(shù)λ的值為________．【答案】1或－eq\f(1,4)【解析】解法1由題意可得eq\o(AP,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BP,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→)).又eq\o(CP,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋(λ－1)eq\o(AC,\s\up6(→))，所以eq\o(BP,\s\up6(→))·eq\o(CP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＋λ(λ－1)|eq\o(AC,\s\up6(→))|2＝1，即λ＋(λ2－λ)×4＝1，所以有4λ2－3λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－eq\f(1,4).例3、(2016蘇北四市摸底）在△ABC中，AB＝2，AC＝3，角A的平分線與AB邊上的中線交于點O，若eq\o(AO,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))(x，y∈R)，則x＋y的值為________.【答案】eq\f(5,8)【解析】如圖，在△ABC中，AD為∠BAC的平分線，CE為AB邊的中線，且AD∩CE＝O.在△AEO中，由正弦定理得eq\f(AE,sin∠AOE)＝eq\f(EO,sin∠EAO)；在△ACO中，由正弦定理得eq\f(AC,sin∠AOC)＝eq\f(CO,sin∠CAO)，兩式相除得eq\f(AE,AC)＝eq\f(EO,OC)，因為AE＝eq\f(1,2)AB＝1，AC＝3，所以eq\f(EO,OC)＝eq\f(1,3).所以eq\o(CO,\s\up6(→))＝3eq\o(OE,\s\up6(→))，即eq\o(AO,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝3(eq\o(AE,\s\up6(→))－eq\o(AO,\s\up6(→)))，即4eq\o(AO,\s\up6(→))＝3eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，所以4eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，從而eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(3,8)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))，因為eq\o(AO,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，所以x＝eq\f(3,8)，y＝eq\f(1,4)，于是x＋y＝eq\f(5,8).題型二運用基底轉化求線段的長運用運用基底轉化求線段的長，主要就是研究向量的平方，例4、(2018南京、鹽城、連云港二模）如圖，在△ABC中，已知邊BC的四等分點依次為D，E，F(xiàn).若eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝2，eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝5，則AE的長為________．【答案】eq\r(6)【解析】eq\a\vs4\al(思路分析)解決平面向量問題有三種常見方法：基底法、坐標法和幾何法，由于本題求線段AE長，且點B，C，D，E，F(xiàn)共線，故可以用向量eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(ED,\s\up6(→))作為基底．由題意，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2＝\o(AB,\s\up6(→))·\o(AC,\s\up6(→))＝（\o(AE,\s\up6(→))＋2\o(ED,\s\up6(→))）·（\o(AE,\s\up6(→))－2\o(ED,\s\up6(→))）＝\o(AE,\s\up6(→))2－4\o(ED,\s\up6(→))2，,5＝\o(AD,\s\up6(→))·\o(AF,\s\up6(→))＝（\o(AE,\s\up6(→))＋\o(ED,\s\up6(→))）·（\o(AE,\s\up6(→))－\o(ED,\s\up6(→))）＝\o(AE,\s\up6(→))2－\o(ED,\s\up6(→))2，))解得，eq\o(AE,\s\up6(→))2＝6，即|eq\o(AE,\s\up6(→))|＝eq\r(6).例5、(2019常州期末）平面內不共線的三點O，A，B，滿足|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝1，|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝2，點C為線段AB的中點，∠AOB的平分線交線段AB于D，若|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(3),2)，則|eq\o(OD,\s\up6(→))|＝________．【答案】eq\f(2,3)【解析】eq\a\vs4\al(思路分析)注意題目中有中線、角平分線，因此想到利用向量法或建系來處理．解法1(向量法)C為AB的中點，則eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))．又|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(3),2)，|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝1，|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝2，所以eq\o(OC,\s\up6(→))2＝eq\f(1,4)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))2，得eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝－1.由角平分線定理得eq\f(AD,BD)＝eq\f(OA,OB)＝eq\f(1,2)，即eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))，所以eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OD,\s\up6(→))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)\o(OA,\s\up6(→))＋\f(1,3)\o(OB,\s\up6(→))))eq\s\up12(2)＝eq\f(4,9)eq\o(OA,\s\up6(→))2＋eq\f(4,9)eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,9)eq\o(OB,\s\up6(→))2＝eq\f(4,9)，所以|eq\o(OD,\s\up6(→))|＝eq\f(2,3).題型三運用基底轉化法求向量的數(shù)量積基底向量在解決向量問題中的應用．當然，首先必須利用向量運算及簡單的軌跡知識去將問題逐步向基底向量轉化，解題過程需要有較強的目標意識．；(2)基底法：根據(jù)題目條件，選擇合適的目標向量，再將求解的向量向目標向量轉化并求解．(2019蘇北三市期末）在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝60°，P為△ABC所在平面內一點，滿足eq\o(CP,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)eq\o(PB,\s\up6(→))＋2eq\o(PA,\s\up6(→))，則eq\o(CP,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))的值為________．【答案】－1【解析】eq\a\vs4\al(思路分析)平面向量數(shù)量積的求解主要有兩種方式：基底法和坐標法．一般地，基底法運算較為簡潔，但思維較抽象；坐標法較為直觀，但運算復雜．解法(基底法)因為eq\o(CP,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)eq\o(PB,\s\up6(→))＋2eq\o(PA,\s\up6(→))，所以eq\o(AP,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AP,\s\up6(→)))－2eq\o(AP,\s\up6(→))，解得eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,9)eq\o(AC,\s\up6(→))，故eq\o(CP,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝(eq\o(AP,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)\o(AB,\s\up6(→))＋\f(2,9)\o(AC,\s\up6(→))－\o(AC,\s\up6(→))))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))2－eq\f(7,9)eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)－eq\f(7,9)×2×3×cos60°＝－1.例7、(2018無錫期末）在平行四邊形ABCD中，AB＝4，AD＝2，∠A＝eq\f(π,3)，M為DC的中點，N為平面ABCD內一點，若|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(NB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AM,\s\up6(→))－eq\o(AN,\s\up6(→))|，則eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(AN,\s\up6(→))＝________．【答案】6【解析】解法1(基底法)因為eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(NB,\s\up6(→))＝eq\o(AN,\s\up6(→))，eq\o(AM,\s\up6(→))－eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\o(NM,\s\up6(→))，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))－\o(NB,\s\up6(→))))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AM,\s\up6(→))－\o(AN,\s\up6(→))))，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AN,\s\up6(→))))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(NM,\s\up6(→))))，故動點N在線段AM的垂直平分線上，設線段AM的中點為P，則eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AM,\s\up6(→))，由eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(PN,\s\up6(→))，可得eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→))·(eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(PN,\s\up6(→)))＝eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(AP,\s\up6(→))＋0＝eq\f(1,2)eq\o(AM,\s\up6(→))2＝eq\f(1,2)(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DM,\s\up6(→)))2＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(AB,\s\up6(→))))2＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))2＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,8)eq\o(AB,\s\up6(→))2＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))2＋eq\f(1,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))))eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up6(→))))coseq\f(π,3)＋eq\f(1,8)eq\o(AB,\s\up6(→))2＝eq\f(1,2)×4＋eq\f(1,2)×4×2×eq\f(1,2)＋eq\f(1,8)×16＝6.解法2(基底法)因為eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(NB,\s\up6(→))＝eq\o(AN,\s\up6(→))，eq\o(AM,\s\up6(→))－eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\o(NM,\s\up6(→))，|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(NB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AM,\s\up6(→))－eq\o(AN,\s\up6(→))|，所以|eq\o(AN,\s\up6(→))|＝|eq\o(NM,\s\up6(→))|，故動點N在線段AM的垂直平分線上，設線段AM的中點為P，則eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AM,\s\up6(→))，應用eq\o(AN,\s\up6(→))在eq\o(AM,\s\up6(→))方向上的投影，可得eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)AM2，在△ADM中，因為AD＝DM＝2，∠ADM＝120°，由余弦定理得AM2＝AD2＋DM2－2AD·DM·cos120°＝12，故eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)AM2＝6.題型四運用基底轉化法研究向量數(shù)量積的范圍向量的數(shù)量積是高考中的C級要求，對于此類問題的處理方法通常有兩種手段，一是應用基底的方法來進行研究，一般地，用基底的方法進行研究時，過程較為簡潔、明快，但它的難點在于如何將所要研究的向量表示為基底的形式．為方便問題的研究，有時要充分利用圖形的性質來研究問題；例8、(2017蘇北四市一模）已知AB為圓O的直徑，M為圓O的弦CD上一動點，AB＝8，CD＝6，則eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))的取值范圍是________．【答案】[－9,0]【解析】思路分析1注意到圓是中心對稱圖形，因此，利用圓心來將所研究的向量關系進行轉化，進而將問題轉化為研究eq\o(MO,\s\up6(→))的模的問題來進行求解．思路分析2注意到這是與圓有關的問題，而研究與圓有關的問題在坐標系中研究較為方便，因此，通過建立直角坐標系，將問題轉化為向量的坐標來進行求解．解法1因為eq\o(MA,\s\up6(→))＝eq\o(MO,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))＝eq\o(MO,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))，又eq\o(OB,\s\up6(→))＝－eq\o(OA,\s\up6(→))，因此eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))＝eq\o(MO,\s\up6(→))2＋eq\o(MO,\s\up6(→))·(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))＋eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(MO,\s\up6(→))2－eq\o(OA,\s\up6(→))2＝eq\o(MO,\s\up6(→))2－16.因為M是弦CD上的動點，所以MOmax＝4，此時點M在圓上，MOmin＝eq\r(16－9)＝eq\r(7)，此時點M為弦CD的中點，故eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))∈[－9,0]．二、達標訓練1、(2018南京學情調研）.在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝120°，eq\o(BM,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→)).若eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝－eq\f(17,3)，則實數(shù)λ的值為________．【答案】eq\f(1,3)【解析】解法1(基底法)因為eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋λ(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))＋(1－λ)eq\o(AB,\s\up6(→))，所以eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝[λeq\o(AC,\s\up6(→))＋(1－λ)eq\o(AB,\s\up6(→))]·(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝λ|eq\o(AC,\s\up6(→))|2＋(λ－1)|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＋(1－2λ)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝4λ＋9(λ－1)＋(1－2λ)×2×3×cos120°＝19λ－12＝－eq\f(17,3)，解得λ＝eq\f(1,3).2、(2018南通、揚州、淮安、宿遷、泰州、徐州六市二調）在平面四邊形ABCD中，已知AB＝1，BC＝4，CD＝2，DA＝3，則eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))的值為________．【答案】10【解析】eq\a\vs4\al(思路分析1)注意到所求的向量的數(shù)量積為對角線的乘積，而已知條件是四條邊的長度，為此，將所求的向量轉化為邊的形式，即eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))·(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))2，因而問題就轉化為研究相關的向量的數(shù)量積，利用eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝－eq\o(DA,\s\up6(→))平方可得．eq\a\vs4\al(思路分析2)注意到在△ABC中，邊AC上的中線為BO，則有eq\o(BO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))，利用此結論來進行轉化．這一結論的本質是一種對稱性．解法1因為eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝0，則eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝－eq\o(DA,\s\up6(→))，平方得eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(BC,\s\up6(→))2＋eq\o(CD,\s\up6(→))2＋2(eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→)))＝(－eq\o(DA,\s\up6(→)))2＝eq\o(DA,\s\up6(→))2，即eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝－6，則eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))·(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))2＝－6＋16＝10.解法2如圖，取AC中點O，連結BO，DO.所以eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))·(eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→)))＝eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→)))·(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→)))－eq\f(1,2)(eq\o(DC,\s\up6(→))－eq\o(DA,\s\up6(→)))·(eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(BC,\s\up6(→))2－eq\o(BA,\s\up6(→))2－eq\o(DC,\s\up6(→))2＋eq\o(DA,\s\up6(→))2)＝eq\f(1,2)×(16－1－4＋9)＝10.3、(2017南京學情調研）在△ABC中，已知AB＝3，BC＝2，D在邊AB上，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→)).若eq\o(DB,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝3，則邊AC的長是________．【答案】eq\r(10)【解析】解法1因為eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，所以eq\o(DB,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)\o(AB,\s\up6(→))＋\o(BC,\s\up6(→))))＝eq\f(4,9)eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝4－eq\f(2,3)×3×2cos∠ABC＝3，解得cos∠ABC＝eq\f(1,4)，因此AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC＝10，即AC＝eq\r(10).4、(2016南京、鹽城、連云港、徐州二模）在△ABC中，A＝120°，AB＝4.若點D在邊BC上，且eq\o(BD,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))，AD＝eq\f(2\r(7),3)，則AC的長為________．【答案】3【解析】由題意得eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝4bcos120°＝－2b，因為點D在邊BC上，且eq\o(BD,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))，所以eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，從而eq\o(AD,\s\up6(→))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)\o(AB,\s\up6(→))＋\f(2,3)\o(AC,\s\up6(→))))2，又因為AD＝eq\f(2\r(7),3)，所以eq\f(28,9)＝eq\f(16,9)＋eq\f(4b2,9)－eq\f(8b,9)，整理得b2－2b－3＝0，解之得b＝3(b＝－1舍)，即AC的長為3.5、(2017揚州期末）已知△ABC是邊長為3的等邊三角形，點P是以A為圓心的單位圓上一動點，點Q滿足eq\o(AQ,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，則|eq\o(BQ,\s\up6(→))|的最小值是________.【答案】eq\r(7)－eq\f(2,3)【解析】思路分析求|eq\o(BQ,\s\up6(→))|的最小值，就是求線段BQ長的最小值，因為點B為定點，而點Q是隨著點P的運動而運動的，那么就要關注點Q是如何運動的，即要先求出點Q的軌跡方程，通過建系運用相關點法即可求得點Q的軌跡方程，通過點Q的軌跡方程發(fā)現(xiàn)其軌跡是一個圓，接下來問題就轉化為定點與圓上的動點的距離的最小值問題，那就簡單了．一般與動點有關的最值問題，往往運用軌跡思想，首先探求動點的軌跡，在了解其軌跡的基礎上一般可將問題轉化為點與圓的關系或直線與圓的關系或兩圓之間的關系．解法1以A為原點，AB為x軸建立平面直角坐標系，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3,0)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(3\r(3),2)))，設Q(x，y)，P(x′，y′)，由eq\o(AQ,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，得eq\o(AQ,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)x′＋\f(1,2)，\f(2,3)y′＋\f(\r(3),2)))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2,3)x′＋\f(1,2)，,y＝\f(2,3)y′＋\f(\r(3),2)，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)x′＝x－\f(1,2)，,\f(2,3)y′＝y(tǒng)－\f(\r(3),2)，))兩式平方相加得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(\r(3),2)))2＝eq\f(4,9)(x′2＋y′2)，因為點P(x′，y′)在以A為圓心的單位圓上，所以x′2＋y′2＝1，從而有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(\r(3),2)))2＝eq\f(4,9)，所以點Q是以Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))為圓心，R＝eq\f(2,3)的圓上的動點，因此BQmin＝BM－R＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(\r(3),2)))2)－eq\f(2,3)＝eq\r(7)－eq\f(2,3).解法2eq\o(BQ,\s\up6(→))＝eq\o(AQ,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AP,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(AC,\s\up6(→))－\f(3,2)\o(AB,\s\up6(→)))).令eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，則eq\o(BQ,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(eq\o(AP,\s\up6(→))－eq\o(AN,\s\up6(→)))，那么|eq\o(BQ,\s\up6(→))|＝eq\f(2,3)|eq\o(AP,\s\up6(→))－eq\o(AN,\s\up6(→))|，求|eq\o(BQ,\s\up6(→))|的最小值，就轉化為求|eq\o(AP,\s\up6(→))－eq\o(AN,\s\up6(→))|的最小值，根據(jù)不等式的知識有：|eq\o(AP,\s\up6(→))－eq\o(AN,\s\up6(→))|≥eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(|\o(AN,\s\up6(→))|－|\o(AP,\s\up6(→))|))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(|\o(AN,\s\up6(→))|－1))，而|eq\o(AN,\s\up6(→))|2＝eq\o(AN,\s\up6(→))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)\o(AB,\s\up6(→))－\f(1,2)\o(AC,\s\up6(→))))2＝eq\f(9,4)eq\o(AB,\s\up6(→))2－eq\f(3,2)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))2＝eq\f(9,4)×32－eq\f(3,2)×3×3×eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)×32＝eq\f(63,4)，即|eq\o(AN,\s\up6(→))|＝eq\f(3\r(7),2)，所以|eq\o(AP,\s\up6(→))－eq\o(AN,\s\up6(→))|≥eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(7),2)－1))＝eq\f(3\r(7),2)－1，從而|eq\o(BQ,\s\up6(→))|＝eq\f(2,3)|eq\o(AP,\s\up6(→))－eq\o(AN,\s\up6(→))|≥eq\r(7)－eq\f(2,3)，當且僅當eq\o(AN,\s\up6(→))與eq\o(AP,\s\up6(→))同向時，取等號．解法3eq\o(BQ,\s\up6(→))＝eq\o(AQ,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))，設eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))，則eq\o(A