2011年全國(guó)高考數(shù)學(xué)試題及答案(理科)

2011年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(全國(guó)卷)數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是滿足題目要求的。1.復(fù)數(shù)，為z的共軛復(fù)數(shù)，則(A)-2i(B)-i(C)i(D)2i2.函數(shù)(A)的反函數(shù)為(B)(D)(C)3.下面四個(gè)條件中，使成立的充分而不必要的條件是(A)(B)(C)(D)4.設(shè)為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，公差，則k=(A)8(B)7(C)6(D)55.設(shè)函數(shù)，將的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得的圖像與原圖像重合，則的最小值等于(A)(B)3(C)6(D)96.已知直二面角，點(diǎn)為垂足，為垂足，若，則D到平面ABC的距離等于(A)(B)(C)(D)17.某同學(xué)有同樣的畫冊(cè)2本，同樣的集郵冊(cè)3本，從中取出4本贈(zèng)送給4為朋友，每位朋友1本，則不同的贈(zèng)送方法共有(A)4種(B)10種(C)18種(D)20種8.曲線在點(diǎn)處的切線與直線和圍成的三角形的面積為(A)9.設(shè)(A)(B)(C)(D)1是周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則(B)(C)(D)10.已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，直線與C交于A、B兩點(diǎn)，則(A)(B)(C)(D)11.已知平面截一球面得圓M，過圓心M且與成二面角的平面截該球面得圓N，若該球面的半徑為4.圓M的面積為，則圓N的面積為(A)(B)(C)(D)12.設(shè)向量滿足，則的最大值等于(A)2(B)(C)(D)1二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.請(qǐng)將答案填在答題卡對(duì)應(yīng)題號(hào)的位置上,一題兩空的題,其答案按先后次序填寫.13.的二項(xiàng)展開式中，的系數(shù)與的系數(shù)之差為.14.已知，，則.15.已知分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為，AM為的角平分線，則.16.已知點(diǎn)E、F分別在正方體的棱上，且,,則面AEF與面ABC所成的二面角的正切值等于.三、解答題：本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.（本小題滿分10分）的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為18.（本小題滿分12分）。已知，求C根據(jù)以往統(tǒng)計(jì)資料，某地車主購(gòu)買甲種保險(xiǎn)的概率為0.5，購(gòu)買乙種保險(xiǎn)但不購(gòu)買甲種保險(xiǎn)的概率為0.3，設(shè)各車主購(gòu)買保險(xiǎn)相互獨(dú)立。（Ⅰ）求該地1為車主至少購(gòu)買甲、乙兩種保險(xiǎn)中的1種的概率；（Ⅱ）X表示該地的100為車主中，甲、乙兩種保險(xiǎn)都不購(gòu)買的車主數(shù)，求X的期望。19.（本小題滿分12分）如圖，四棱錐S-ABCD中，,側(cè)面SAB為等邊三角形，AB=BC=2，CD=SD=1.（Ⅰ）證明：;（Ⅱ）求AB與平面SBC所成的角的大小。20.（本小題滿分12分）設(shè)數(shù)列滿足（Ⅰ）求（Ⅱ）設(shè)的通項(xiàng)公式；，記，證明：。21.（本小題滿分12分）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓在y軸正半軸上的焦點(diǎn)，過F且斜率為的直線與C交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P滿足（Ⅰ）證明：點(diǎn)P在C上；（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為Q，證明：A、P、B、Q四點(diǎn)在同一個(gè)圓上。22.（本小題滿分12分）（Ⅰ）設(shè)函數(shù)，證明：當(dāng)時(shí)，（Ⅱ）從編號(hào)1到100的100張卡片中每次隨機(jī)抽取一張，然后放回，用這種方式連續(xù)抽取20次，設(shè)抽到的20個(gè)號(hào)碼互不相同的概率為，證明：參考答案（不一定對(duì)）1.B.2.B3.A4.D5.6.C7.B分兩類：1畫3郵：區(qū)別是誰(shuí)得到畫冊(cè)，有種2畫2郵：分兩步，從4人中選出2人拿畫冊(cè)，其余拿郵冊(cè)，有種8.A9.A10.D11.D12.A13.014.15.16.一、選擇題：本題考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算．每小題5分，滿分60分．1．B2．B3．A4．D5．C6．C7．B8．D9．A10．D11.D12.A二、填空題：本題考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算．每小題5分，滿分20分．13．014．15．616．三、解答題：本大題共6小題，共70分．17.（本小題滿分10分）解：由故，得，由故，，又顯然解得：，故，再由，，于是18.（本小題滿分12分）解：（Ⅰ）設(shè)購(gòu)買乙種保險(xiǎn)的概率為,因?yàn)橘?gòu)買乙種保險(xiǎn)但不購(gòu)買甲種保險(xiǎn)的概率為0.3故，所以該地1為車主至少購(gòu)買甲、乙兩種保險(xiǎn)中的1種的概率為（Ⅱ）由（Ⅰ）易知，甲、乙兩種保險(xiǎn)都不購(gòu)買的概率為所以有X個(gè)車主甲、乙兩種保險(xiǎn)都不購(gòu)買的概率為顯然，X服從二項(xiàng)分布，即所以,X的期望為2019.（本小題滿分12分）（Ⅰ）證明：在直角梯形ABCD中，AB=BC=2，CD=1，，易算得：，又因?yàn)閭?cè)面SAB為等邊三角形，SD=1，AB=2，所以于是所以,,,（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)A到平面SBC的距離為d，因?yàn)?，所?從而,因而可以算得：又因?yàn)椋?，?所以點(diǎn)C到平面SAB的距離為另外，顯然，所以得：設(shè)AB與平面SBC所成的角為，則，即AB與平面SBC所成的角為（顯然是銳角）20.（本小題滿分12分）解：（Ⅰ）由得：是等差數(shù)列，首項(xiàng)為，從而數(shù)列故（Ⅱ）所以21.（本小題滿分12分）（Ⅰ）證明：易知：，故：，則，代入橢圓方程得：，設(shè)，，，因?yàn)樗?，將此坐?biāo)代入橢圓：所以點(diǎn)P在C上。（Ⅱ）由（Ⅰ）：及，得，因?yàn)?，所以于是可以算得：，?/p>