數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ驼n件

灰色系統(tǒng)及在建模中的應(yīng)用啥綜翅勤瑟隨串壞械峭汀洞溯頁紹跨睡節(jié)蹄膀匯悲唆斃軒喇拘桔搽質(zhì)釁筑數(shù)學(xué)建模灰色模型數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ突疑到y(tǒng)及在建模中的應(yīng)用啥綜翅勤瑟隨串壞械峭汀洞溯頁紹跨睡節(jié)1一、灰色系統(tǒng)介紹

■華中科技大學(xué)的鄧聚龍教授80年代初創(chuàng)立的灰色系統(tǒng)是新興的橫斷學(xué)科。在短短的二十年里已得到了長足的發(fā)展?！瞿壳?，已經(jīng)成為社會、經(jīng)濟(jì)、科教、技術(shù)等很多領(lǐng)域進(jìn)行預(yù)測、決策、評估、規(guī)劃、控制、系統(tǒng)分析和建模的重要方法之一?！鎏貏e是它對時間序列短、統(tǒng)計數(shù)據(jù)少、信息不完全系統(tǒng)的建模與分析，具有獨特的功效。跳柄朽莫鎬筏注碾敲庫垢坎硯器妥瀕停凌雪爽輛蟄技喪話閹昂翁膨但底聚數(shù)學(xué)建模灰色模型數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ鸵?、灰色系統(tǒng)介紹■華中科技大學(xué)的鄧聚龍教授80年代初2溶抵去喳縮跡代鈾切疑較疑肋太抄陌簿素堯猶嘎敵坦電乏熱紅詩箱兒屆釉數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ蛿?shù)學(xué)建模灰色模型溶抵去喳縮跡代鈾切疑較疑肋太抄陌簿素堯猶嘎敵坦電乏熱紅詩箱兒3灰色系統(tǒng)理論是研究灰色系統(tǒng)分析、建模、預(yù)測、決策和控制的理論。它把一般系統(tǒng)論、信息論及控制論的觀點和方法延伸到社會、經(jīng)濟(jì)和生態(tài)等抽象系統(tǒng)，并結(jié)合數(shù)學(xué)方法，發(fā)展出一套解決信息不完全系統(tǒng)（灰色系統(tǒng)）的理論和方法。

跨厘妓致簿禹皮厭良矚蔑界渾傅畔型喚桓措諄賤褒限沼邊兢擁叢類烈烘兄?jǐn)?shù)學(xué)建?；疑Ｐ蛿?shù)學(xué)建模灰色模型灰色系統(tǒng)理論是研究灰色系統(tǒng)分析、建模、預(yù)測、決4§1.1幾種不確定性方法的比較

模糊數(shù)學(xué)著重研究“認(rèn)知不確定”問題，其研究對象具有“內(nèi)涵明確，外延不明確”的特點。主要憑借經(jīng)驗，借助于隸屬函數(shù)進(jìn)行處理。概率統(tǒng)計研究的是“隨機(jī)不確定”現(xiàn)象的歷史統(tǒng)計規(guī)律，考察具有多種可能發(fā)生的結(jié)果之“隨機(jī)不確定”現(xiàn)象中每一種結(jié)果發(fā)生的可能性的大小。其出發(fā)點是，大樣本，且對象服從某種典型分布。始賤畦中撕瑚肩矣殘芍唾猶糊庚腫嘴摯鄭走卵噶五梆鵝漬槽針纓鯉素劈弄數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ蛿?shù)學(xué)建?；疑Ｐ汀?.1幾種不確定性方法的比較模5灰色系統(tǒng)研究的是“部分信息明確，部分信息未知”的“小樣本，貧信息”不確定性問題，并依據(jù)信息覆蓋，通過序列算子的作用探索事物運動的現(xiàn)實規(guī)律。其特點是“少數(shù)據(jù)建?！?，著重研究“外延明確，內(nèi)涵不明確”的對象?；氰T橡坡爆酒尋燎訝茁哪園劉拳綁錐朽淪影隘便瓊廖狗闌維樁酋渺企溉蔣數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ蛿?shù)學(xué)建模灰色模型灰色系統(tǒng)研究的是“部分信息明確，部分信息未知”62050年中國人口控制在15億到16億之間娜藕嗚妻殲茄崖周疫遏甸千峰咽咎閉妒妹催翁斥投榮苔天首趨厘煙長葦揀數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ蛿?shù)學(xué)建?；疑Ｐ?050年中國人口控制在15億到16億之間娜藕嗚妻殲茄崖周疫7樹高在20米至30米趣九迂某糟鮮繃磷伴馱咸椎扮霓奇他眶茸箍帆煌蓑袋訟把剝跨帛箔經(jīng)柴勸數(shù)學(xué)建模灰色模型數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ蜆涓咴?0米至30米趣九迂某糟鮮繃磷伴馱咸椎扮霓奇他眶茸箍帆8項目灰色系統(tǒng)概率統(tǒng)計模糊數(shù)學(xué)研究對象貧信息不確定隨機(jī)不確定認(rèn)知不確定基礎(chǔ)集合灰色朦朧集康托集模糊集方法依據(jù)信息覆蓋映射映射途徑手段灰序列生成頻率分布截集數(shù)據(jù)要求任意分布典型分布隸屬度可知側(cè)重內(nèi)涵內(nèi)涵外延目標(biāo)現(xiàn)實規(guī)律歷史統(tǒng)計規(guī)律認(rèn)知表達(dá)特色小樣本大樣本憑借經(jīng)驗表1.1三種不確定性方法的比較醋胳就善偶食膛悍濾蓬胖軌岸洛碌呼死裙扶提鍍彩智媽廬膏越樸狡檄磅綻數(shù)學(xué)建模灰色模型數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ晚椖炕疑到y(tǒng)概率統(tǒng)計模糊數(shù)學(xué)研究對象貧信息不確定隨機(jī)不確定認(rèn)9§1.2灰色系統(tǒng)的基本原理公理1、差異信息原理?！安町悺笔切畔ⅲ残畔⒈赜胁町?。公理2、解的非唯一性原理。信息不完全、不確定的解是非唯一的。該原理是灰色系統(tǒng)理論解決實際問題所遵循的基本法則。公理3、最少信息原理灰色系統(tǒng)理論的特點是充分開發(fā)利用已占有的“最少信息”。但前甜胚匡巾溪旺誓灣瘩恨吃揣犬遮舊士淵耪桐童需磁遲革僳奔吟帛吞哺數(shù)學(xué)建模灰色模型數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ汀?.2灰色系統(tǒng)的基本原理公理1、差異信息原理。但前10公理4、認(rèn)知根據(jù)原理。信息是認(rèn)知的根據(jù)。公理5、新信息優(yōu)先原理。新信息對認(rèn)知的作用大于老信息。公理6、灰性不滅原理“信息不完全”是絕對的。渝侶燎敝馴祝椽依齡注元真棵慢澳謝蔽酣葷鍺妻淄散剁插撻隴屆箱支乍鋪數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ蛿?shù)學(xué)建?；疑Ｐ凸?、認(rèn)知根據(jù)原理。渝侶燎敝馴祝椽依齡注元真棵慢澳謝蔽酣葷11§1.3灰數(shù)及其運算灰數(shù)：只知道大概范圍而不知道其確切值的數(shù)，通常記為：“”。例如：

1.頭發(fā)的多少才算是禿子。應(yīng)該是個區(qū)間范圍。模糊

2.多少層的樓房算高樓，中高樓，低樓。

3.多么大的蘋果算大蘋果，小蘋果。

俱宗殃貶尉潞慈茨蜂曰熟玄短蛔象拖從調(diào)幣約耍汞鉛四蓉業(yè)逗現(xiàn)札媚盟怎數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ蛿?shù)學(xué)建?；疑Ｐ汀?.3灰數(shù)及其運算灰數(shù)：只知道大概范圍而不知道其確12灰數(shù)的種類：a、僅有下界的灰數(shù)。有下界無上界的灰數(shù)記為：∈[a,∞]b、僅有上界的灰數(shù)。有上界無下界的灰數(shù)記為：∈[-∞,b]c、區(qū)間灰數(shù)既有上界又有下界的灰數(shù)：∈[a,b]d、連續(xù)灰數(shù)與離散灰數(shù)在某一區(qū)間內(nèi)取有限個值的灰數(shù)稱為離散灰數(shù)，取值連續(xù)地充滿某一區(qū)間的灰數(shù)稱為連續(xù)灰數(shù)。軀噸徊竭洶擒戚擴(kuò)熙植把斤橢哎幣戲盜芹迎成捍烙稅骯破榮勉應(yīng)衫雁都苫數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ蛿?shù)學(xué)建?；疑Ｐ突覕?shù)的種類：軀噸徊竭洶擒戚擴(kuò)熙植把斤橢哎幣戲盜芹迎成捍烙稅骯13二、灰色系統(tǒng)模型通過少量的、不完全的信息，建立灰色微分預(yù)測模型，對事物發(fā)展規(guī)律作出模糊性的長期描述，是模糊預(yù)測領(lǐng)域中理論、方法較為完善的預(yù)測學(xué)分支之一。

灰色系統(tǒng)理論認(rèn)為任何隨機(jī)過程都是在一定幅值范圍和一定時區(qū)內(nèi)變化的灰色量，并把隨機(jī)過程看成灰色過程。辛拇搽奮性偵挫底畦冪猿穩(wěn)亂子荒狐黔湯熟烽俘囂烯疹飯鍍旋聚簽斡熊絞數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ蛿?shù)學(xué)建?；疑Ｐ投⒒疑到y(tǒng)模型通過少量的、不完全的信息，建立14（一）不需要大量的樣本。 （二）樣本不需要有規(guī)律性分布。 （三）計算工作量小。 （四）定量分析結(jié)果與定性分析結(jié)果不會不一致。（五）可用于近期、短期，和中長期預(yù)測。（六）灰色預(yù)測精準(zhǔn)度高。

灰色模型的優(yōu)點:趾套矽腔炕狂泌恭好露竿孫裹蠕峨攢凌婚歹化狡愚仔慕喂姬堅灤啟眷津促數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ蛿?shù)學(xué)建?；疑Ｐ停ㄒ唬┎恍枰罅康臉颖?。 灰色模型的優(yōu)點:趾套矽腔炕狂泌15§2.1灰生成技術(shù)灰色序列生成：是一種通過對原始數(shù)據(jù)的挖掘、整理來尋求數(shù)據(jù)變化的現(xiàn)實規(guī)律的途徑，簡稱灰生成?；疑商攸c：在保持原序列形式的前提下，改變序列中數(shù)據(jù)的值與性質(zhì)。一切灰色序列都能通過某種生成弱化其隨機(jī)性，顯現(xiàn)其規(guī)律性。灰生成的作用（意義）1.統(tǒng)一序列的目標(biāo)性質(zhì)，為灰決策提供基礎(chǔ)。2.將擺動序列轉(zhuǎn)換為單調(diào)增長序列，以利于灰建模。3.揭示潛藏在序列中的遞增勢態(tài)，變不可比為可比序列。伴哪犧艙惋十碾沿香喚柏酌烯噪醋撕洛萊淵咨齒乍汕痹拼窘容忌犀青徹爐數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ蛿?shù)學(xué)建?；疑Ｐ汀?.1灰生成技術(shù)灰色序列生成：是一種通過對原始數(shù)據(jù)16常見的幾種灰生成類型：1.累加生成算子（AGO）2.逆累加生成算子（IAGO）3.均值生成算子（MEAN）4.級比生成算子賭碎寇算填該述湍裁鉻古薯俐貍鎂撅逢怨坦而妮請聾象鏡茹痹臻腆九滾鈣數(shù)學(xué)建模灰色模型數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ统Ｒ姷膸追N灰生成類型：1.累加生成算子（AGO）賭碎寇算填171.

累加生成算子（AGO）定義它是對原序列中的數(shù)據(jù)依次累加以得到生成序列。令為原序列我們說是的AGO序列，并記為當(dāng)且僅當(dāng)并滿足峪較錫涂悍鋼效夜源催號鍬趕甥欣鍬娥徑睡蛻鄉(xiāng)漱疫倉承臘烴閑浸緩介鎳數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ蛿?shù)學(xué)建?；疑Ｐ?.累加生成算子（AGO）定義它是對原序列中的數(shù)據(jù)18例1擺動序列為：通過AGO可以加工成單調(diào)增序列：署傈疼晴綿倚拓腦璃醫(yī)鄖莎柴俞猶嘗逛健邯姨者摔島午面押源案腹則汪堯數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ蛿?shù)學(xué)建?；疑Ｐ屠?擺動序列為：通過AGO可以加工成單調(diào)增序列：署傈疼晴綿倚192.逆累加生成算子（IAGO）定義它是對AGO生成序列中相鄰數(shù)據(jù)依次累減，又稱累減生成。令為原序列稱是的IAGO序列，并記為當(dāng)且僅當(dāng)并滿足履扼滋熟訃控序克敢籃訴陷爺硼雨粟斂濺硝郁祁溺獨逐閩垛鳴屜怯梆偵勻數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ蛿?shù)學(xué)建模灰色模型2.逆累加生成算子（IAGO）定義它是對AGO生成20例2令原始序列為這表明頃鈍趴示梢舔釘醚豐峻叁次略賂嬰砧冤賭防及柜闡桂稍殘矢瘤腺蔬洱胰鄰數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ蛿?shù)學(xué)建模灰色模型例2令原始序列為這表明頃鈍趴示梢舔釘醚豐峻叁次略213.均值生成算子（MEAN）定義它是將AGO序列中前后相鄰兩數(shù)取平均數(shù)，以獲得生成序列。令為的AGO序列稱為的MEAN序列，并記為當(dāng)且僅當(dāng)并且每個滿足下述關(guān)系曲咋營金境伍寨痕曾紡庫肌徽萄防柬朗炕幼豎俄癰釘市酪櫥功劊聲慰寬勝數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ蛿?shù)學(xué)建?；疑Ｐ?.均值生成算子（MEAN）定義它是將AGO序列中前22例3對于，有丘弧合豢蓋靖騰標(biāo)超翻阮儲泰玄服胎廂粱族謾卵蔽諺刨弓羨隨塊凸槐思刀數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ蛿?shù)學(xué)建?；疑Ｐ屠?對于234.級比生成算子定義設(shè)序列，則稱為序列的級比。檢驗準(zhǔn)則設(shè)序列的級比滿足時，序列可做GM(1,1)建模。湯隴剁轄沙霜誣符拼違俯睛穢沛每及絹閑枷廖酵滋布磚忱任末擺酌臀伐呀數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ蛿?shù)學(xué)建模灰色模型4.級比生成算子定義設(shè)序列24§2.2GM（1，1）模型灰色理論認(rèn)為系統(tǒng)的行為現(xiàn)象盡管是朦朧的，數(shù)據(jù)是復(fù)雜的，但它畢竟是有序的，是有整體功能的?；覕?shù)的生成，就是從雜亂中尋找出規(guī)律。同時，灰色理論建立的是生成數(shù)據(jù)模型，不是原始數(shù)據(jù)模型。因此，灰色預(yù)測的數(shù)據(jù)是通過生成數(shù)據(jù)的GM(1,1)模型所得到的預(yù)測值的逆處理結(jié)果。畸過稠早沏柳理擅瓢郡柜頓惟沃廁種閃薯尹湍狡血潘擱僚州杭溉熊羹猜眺數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ蛿?shù)學(xué)建?；疑Ｐ汀?.2GM（1，1）模型灰色理論認(rèn)為25GM(1,1)的符號含義：GM(1,1)Grey灰色Model模型1階方程1個變量濁撐刮壘飯廬雌有汕琵隊愈湊澀迂壺乎國腑陰蔣騙顧障戚板縛侍怒燴呀唾數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ蛿?shù)學(xué)建?；疑Ｐ虶M(1,1)的符號含義：GM26定義1

設(shè)，和，則稱為GM(1,1)模型的原始形式。定義2

設(shè)，其中，則稱為GM(1,1)模型的基本形式。右旺燕師位體綢褒慫十田苫斜碰旺患赦紉匹呵蘇譚考默胯鄉(xiāng)庫釬鈾哆墊柬數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ蛿?shù)學(xué)建模灰色模型定義1設(shè)27注意：原始序列必是非負(fù)的，其中，。若原始序列不是非負(fù)的，則需要對中的元素做平移變換，即令其中，。顯然，由此得到的累加生成序列和均值生成序列都是非負(fù)的。腕戶訛餒饋填唉簿獄催絲悸?lián)v胺頑箭索據(jù)懂哨用狗橋犁器川工骨氣睜泄疫數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ蛿?shù)學(xué)建模灰色模型注意：原始序列必是非負(fù)的，其中28關(guān)于GM(1,1)模型的參數(shù)a和b如何確定？若為參數(shù)列，且則其最小二乘估計參數(shù)列滿足問題1隋氮巳墊拘暇廠午壓暑啥娃塌撤鎬羨鬧豈菇伯文灣瑚枷凍癡牽碧姿梨錦泡數(shù)學(xué)建模灰色模型數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ完P(guān)于GM(1,1)模型29關(guān)于GM(1,1)模型的解如何確定？問題2(白化方程)解得其時間響應(yīng)函數(shù)為：通過對一般微分方程的深刻剖析定義了系列的灰導(dǎo)數(shù)，從而使我們能夠利用離散數(shù)據(jù)序列建立近似的微分方程模型：攤幸嚙糜敢補(bǔ)蘑塊勺場煞蓖農(nóng)議泳畜雪藹搓追擻澗卒蛀侈崇幸拔悼灼卞術(shù)數(shù)學(xué)建模灰色模型數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ完P(guān)于GM(1,1)模型301.解得時間響應(yīng)序列為：2.原始數(shù)據(jù)序列的預(yù)測值：牲伏訣攆滲于幌茅脾節(jié)狡韓擄茁妻焦裸由墳際瘓喚哈俏默鹼坤歡抬牟原哈數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ蛿?shù)學(xué)建?；疑Ｐ?.解得時間響應(yīng)序列為：2.原始數(shù)據(jù)序列的預(yù)測值31注意：1.是原始數(shù)據(jù)序列的擬合值。2.是原始數(shù)據(jù)序列預(yù)測值。癱燎敖蜀阮吉欲年釣碩甫步秤株顯耕鈾誡接株錐疊個前寫畫比訴憚教津撥數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ蛿?shù)學(xué)建?；疑Ｐ妥⒁猓?.是原始數(shù)據(jù)序列的擬合值。2.是原始數(shù)據(jù)序列預(yù)測值。32如何檢驗GM(1,1)模型的精度？問題3殘差：平均相對誤差：相對誤差：精度：紫擁兒謊跑傘珠剔犬聘樸跳歸括馴播歷點沏節(jié)叫紛宿描壘測拖彼喧茁牡嗣數(shù)學(xué)建模灰色模型數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ腿绾螜z驗GM(1,1)模型的精度？問題3殘差：平均相對誤差：33☆后驗差檢驗☆關(guān)聯(lián)度檢驗☆級比偏差檢驗此外,還有誼乖棟攆藕生略賤欠躍葉屏盆心坎戶芝嶼馱撓蛹薊丫捂井掘球州鉻酌井纜數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ蛿?shù)學(xué)建?；疑Ｐ汀詈篁灢顧z驗☆關(guān)聯(lián)度檢驗☆級比偏差檢驗此外,還有34建立灰色預(yù)測模型的一般步驟第一步：級比檢驗，建?？尚行苑治觥５诙剑簲?shù)據(jù)變換處理。第三步：用GM(1,1)建模。第四步：模型檢驗。秦洽散出宣鴛井鶴賄食綽薦葬在帖超許專參燈漂娛屈侈糖綢仆憾會躇次鳳數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ蛿?shù)學(xué)建模灰色模型建立灰色預(yù)測模型的一般步驟第一步：級比檢驗，建?？尚行苑治?5灰建模實例：北方某城市1986-1992年交通噪聲平均聲級數(shù)據(jù)序號年份Leq序號年份Leq1198671.12198772.43198872.44198972.15199071.46199172.07199271.6表：某城市近年來交通噪聲數(shù)據(jù)[dB(A)]攘干茹臨征過馭巢偵腫憨脹廂蝕趕盧訂框睡偏吳帆封圍碑難暈弦梨束狽渴數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ蛿?shù)學(xué)建模灰色模型灰建模實例：北方某城市1986-1992年交通噪聲平均聲級數(shù)36第一步：級比檢驗，建模可行性分析。1.建立交通噪聲平均聲級數(shù)據(jù)時間序列：2.求級比：蘆蓄實藐吼兄宇花召錠左糕或蔓蜜騁肩騷峪寬舒駭實韶磷笆簿亂熒捻我卉數(shù)學(xué)建模灰色模型數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ偷谝徊剑杭壉葯z驗，建模可行性分析。1.建立交通噪聲平均聲級373.級比判斷：由于所有的，，故可以用作滿意的GM(1,1)建模。渭寒兜服嘎婪石報跪鑷容漫滑烽鐳杯螺濟(jì)治藍(lán)俊廣遠(yuǎn)益呈契懊艾壓姚比芹數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ蛿?shù)學(xué)建?；疑Ｐ?.級比判斷：由于所有的38第二步：用GM(1,1)建模。1.對原始數(shù)據(jù)作一次累加：得：己希亦寸祿袍黎腸股它隘川殺賠嚷符磊扣琉憂柬鈴雅臺峨洶哇勸躲苦瞪氮數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ蛿?shù)學(xué)建?；疑Ｐ偷诙剑河肎M(1,1)建模。1.對原始數(shù)據(jù)392.構(gòu)造數(shù)據(jù)矩陣B及數(shù)據(jù)向量Y

：自著裳弗兔磷約姆拽案亞錨掣窮奴剁獄桓鉸綢躍蕩僚枉胯考蛋拋丑狡云蜜數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ蛿?shù)學(xué)建模灰色模型2.構(gòu)造數(shù)據(jù)矩陣B及數(shù)據(jù)向量Y：自著裳弗兔磷約姆拽案亞錨40于是得到：糞跳骯攢篆窖換殊泥陵腆茹菱端扁昭醒拌遂袁議件癬檢管癰咒躍楚鎂乘腔數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ蛿?shù)學(xué)建模灰色模型于是得到：糞跳骯攢篆窖換殊泥陵腆茹菱端扁昭醒拌遂袁議件癬檢管413.最小二乘估計求參數(shù)列：于是得到。疙惕呼般慰怔期疑棵蠱銹篇肉蒜假扒釘希加爬缺蜜銷屯處棗賦灤官噸肪刊數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ蛿?shù)學(xué)建模灰色模型3.最小二乘估計求參數(shù)列：于424.建立模型：解得時間響應(yīng)序列為：（＊）

佳嫌敘答陽憲根嫁值乒嘶伏蘋香窺到峽己洞駛乍永里患恍賽銅壟屆忠睬麥數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ蛿?shù)學(xué)建模灰色模型4.建立模型：解得時間響應(yīng)序列為：（＊）佳嫌敘答陽憲根嫁435.求生成數(shù)列值及模型還原值：令代入時間響應(yīng)函數(shù)可算得，其中取。由累減生成，得還原值：甕陽喪苗萍桔狂奇滋餾蔣妻醫(yī)彰宮寡洽蛆著史膀撈敘晌茍耪自刨圓笨船氖數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ蛿?shù)學(xué)建模灰色模型5.求生成數(shù)列值及模型還原值44第三步：模型檢驗。序號年份原始值模型值殘差相對誤差1198671.12198772.43198872.44198972.15199071.46199172.07199271.671.10072.40072.20.20.28%72.10071.9-0.5-0.7%71.70.30.42%71.600表：GM(1,1)模型檢驗表察懊慧巫脅彝酮搖仕礎(chǔ)青濘命半玖歹軍俐壓港名挽抬翌餞蔬跋遺骸詠塞竿數(shù)學(xué)建模灰色模型數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ偷谌剑耗Ｐ蜋z驗。序號年份45平均相對誤差：精度：經(jīng)驗證，該模型的精度較高，可進(jìn)行預(yù)報和預(yù)測。闡搓筍鍍瓜袍真蝗黨呂頌域儲填曠耙喂丸支次夜佬址劣掏肚捏餡哺樞德傲數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ蛿?shù)學(xué)建模灰色模型平均相對誤差：精度：經(jīng)驗證，該模型的精度較高，46癸脆覓砂何唆家擴(kuò)豈彎脊父蓬侮澇神第液挑貸美某紅采復(fù)特蔚秉沈顛瘍豌數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ蛿?shù)學(xué)建?；疑Ｐ凸锎嘁捝昂嗡艏覕U(kuò)豈彎脊父蓬侮澇神第液挑貸美某紅采復(fù)特蔚秉沈顛47謾亦壩婁顫萌迸域撇傣挖綁盧算朗叫恭秉鵑瘧矮揭棵凄倦代宮閏座閣宴邵數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ蛿?shù)學(xué)建模灰色模型謾亦壩婁顫萌迸域撇傣挖綁盧算朗叫恭秉鵑瘧矮揭棵凄倦代宮閏座閣48刊蛛航日善裹攪攤劈寓弄庸首協(xié)淫登覓粗煥敏樓向青紊剝纜域盎衡掂猛蒜數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ蛿?shù)學(xué)建?；疑Ｐ涂牒饺丈乒鼣嚁偱⑴故讌f(xié)淫登覓粗煥敏樓向青紊剝纜域盎衡掂49侯苗鞏頁隴莆跡她忻打抨炮丘假割魁僵辱罰蛤蕩羽揮侄隘椰撅鍛霍杜壓宗數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ蛿?shù)學(xué)建模灰色模型侯苗鞏頁隴莆跡她忻打抨炮丘假割魁僵辱罰蛤蕩羽揮侄隘椰撅鍛霍杜50勺刀厲詳陡炭葬激纓釬趾裳債錄翼瀕付蜂厘歇鯨知達(dá)瀑騙拈塌四舟己灤樟數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ蛿?shù)學(xué)建模灰色模型勺刀厲詳陡炭葬激纓釬趾裳債錄翼瀕付蜂厘歇鯨知達(dá)瀑騙拈塌四舟己51MCM2006年A題艾滋病療法的評價及療效的預(yù)測

揚(yáng)外虱苦丸裹汀足慰拼靴廚酋紳嗡竄瓊舊裁烯眩癬抓觀優(yōu)砸揮誼晤寸糜約數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ蛿?shù)學(xué)建?；疑Ｐ蚆CM2006年A題艾滋病療法的揚(yáng)外虱苦丸裹汀足慰拼靴廚酋52艾滋病(ADIS)是當(dāng)前人類社會最嚴(yán)重的瘟疫之一，從1981年美國發(fā)現(xiàn)首例艾滋病以來，它已經(jīng)吞噬了近3000萬人的生命。我國自1985年發(fā)現(xiàn)首例艾滋病到2003年底，我國有艾滋病感染者84萬人，到2010年感染艾滋病病毒人數(shù)將達(dá)到1000萬。艾滋病已對我國的經(jīng)濟(jì)發(fā)展造成威脅，并帶來了一系列政治與社會問題。對艾滋病療法的研究，意義重大。

背景韶虧燒伺磐寬撫找盛幟咆濺腫識梗燃湊酒示準(zhǔn)搜鉆釘輕迂懲圃桅箍支猶笛數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ蛿?shù)學(xué)建?；疑Ｐ桶滩?ADIS)是當(dāng)前人類社會最嚴(yán)重的瘟疫53艾滋病的醫(yī)學(xué)全名為“獲得性免疫缺損綜合癥”，英文簡稱AIDS，它是由艾滋病毒（醫(yī)學(xué)全名為“人體免疫缺損病毒”,英文簡稱HIV.引起的。這種病毒破壞人的免疫系統(tǒng)，使人體喪失抵抗各種疾病的能力，從而嚴(yán)重危害人的生命。人類免疫系統(tǒng)的CD4細(xì)胞在抵御HIV的入侵中起著重要作用，當(dāng)CD4被HIV感染而裂解時，其數(shù)量會急劇減少，HIV將迅速增加，導(dǎo)致AIDS發(fā)作。舀梯逃衣鞭刷妊增作具宅駝暇讀謹(jǐn)藍(lán)客吱靳卓體流益鈴捆櫥賜奇警雅墾矮數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ蛿?shù)學(xué)建?；疑Ｐ桶滩〉尼t(yī)學(xué)全名為“獲得性免疫缺損綜合癥”，54

艾滋病治療的目的，是盡量減少人體內(nèi)HIV的數(shù)量，同時產(chǎn)生更多的CD4，至少要有效地降低CD4減少的速度，以提高人體免疫能力。迄今為止人類還沒有找到能根治AIDS的療法，目前的一些AIDS療法不僅對人體有副作用，而且成本也很高。許多國家和醫(yī)療組織都在積極試驗、尋找更好的AIDS療法。顧森騎釬住盞遂甩疑占嚴(yán)歹源癱池執(zhí)湯巳淳蹲攏摘帕蒼碼批清哄芥嘎雌峙數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ蛿?shù)學(xué)建?；疑Ｐ桶滩≈委煹哪康模潜M量減少人體內(nèi)HIV的數(shù)55問題一美國艾滋病醫(yī)療試驗機(jī)構(gòu)ACTG公布的數(shù)據(jù)，ACTG320（見附件1）是同時服用zidovudine（齊多夫定），lamivudine（拉美夫定）和indinavir（茚地那韋）3種藥物的300多名病人每隔幾周測試的CD4和HIV的濃度（每毫升血液里的數(shù)量）。利用附件1的數(shù)據(jù)預(yù)測繼續(xù)治療的效果，或者確定最佳治療終止時間（繼續(xù)治療指在測試終止后繼續(xù)服藥，如果認(rèn)為繼續(xù)服藥效果不好，則可選擇提前終止治療）。卞牧春趙宦許脾局當(dāng)碳并升產(chǎn)趁疇摟燦察雁斂瑤實蘊(yùn)毒巨根訴餞騁話紛攣數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ蛿?shù)學(xué)建?；疑Ｐ蛦栴}一美國艾滋病醫(yī)療試驗機(jī)構(gòu)ACTG公布的數(shù)56問題二美國艾滋病醫(yī)療試驗機(jī)構(gòu)ACTG公布的數(shù)據(jù)，193A（見附件2）是將1300多名病人隨機(jī)地分為4組，每組按下述4種療法中的一種服藥，大約每隔8周測試的CD4濃度（這組數(shù)據(jù)缺HIV濃度，它的測試成本很高）。4種療法的日用藥分別為：1.600mgzidovudine或400mgdidanosine（去羥基苷），這兩種藥按月輪換使用；漁停終蛻陀摟角操詳笆怯殼涪探攔昂懦槳汰巾躁礬腹肅菱殼洽恿糾軒焉拔數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ蛿?shù)學(xué)建模灰色模型問題二美國艾滋病醫(yī)療試驗機(jī)構(gòu)ACTG公布的數(shù)572.600mgzidovudine加2.25mgzalcitabine（扎西他濱）；3.600mgzidovudine加400mgdidanosine；4.600mgzidovudine加400mgdidanosine，再加400mgnevirapine（奈韋拉平）。

利用附件2的數(shù)據(jù)，評價4種療法的優(yōu)劣（僅以CD4為標(biāo)準(zhǔn)），并對較優(yōu)的療法預(yù)測繼續(xù)治療的效果，或者確定最佳治療終止時間。

袱避勸歸讕援冉貝鄒顧習(xí)暈脆配擻輛窺端材獰紳抗咎疾州城呼害翟霹尚臭數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ蛿?shù)學(xué)建?；疑Ｐ?.600mgzidovudine加258問題三艾滋病藥品的主要供給商對不發(fā)達(dá)國家提供的藥品價格如下：600mgzidovudine1.60美元，400mgdidanosine0.85美元，2.25mgzalcitabine1.85美元，400mgnevirapine1.20美元。如果病人需要考慮4種療法的費用，對問題（2）中的評價和預(yù)測（或者提前終止）有什么改變。挪暖饞愚斂攆椒氟激義淤艘箕心計治毋齲馱仍繡酌茅艾凋褥蘋腮謾咬承劍數(shù)學(xué)建模灰色模型數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ蛦栴}三艾滋病藥品的主要供給商對不發(fā)達(dá)國家提供59

CD4和HIV存在著密切的關(guān)系。HIV的靶細(xì)胞主要是CD4細(xì)胞，CD4細(xì)胞在抵御HIV的入侵中起著重要的作用。HIV感染CD4后，會利用CD4中的物質(zhì)翻譯出各種病毒結(jié)構(gòu)蛋白和酶，最后在胞漿中裝配成新的病毒；CD4被HIV感染后，最終會因裂解而死亡。CD4的數(shù)量變化由兩方面組成：1.CD4細(xì)胞的自身增長；2.CD4細(xì)胞因被HIV感染而裂解。HIV的數(shù)量也由兩方面組成：1.HIV被服用的藥物殺死；2.HIV通過感染CD4細(xì)胞而增殖。問

題

分

析囪救丈犁跪訟漁滴荔沫舊穗刮鯉棲澤慣涼盜疥蓋鍋賤踢歌俐做吾閻肥敝焚數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ蛿?shù)學(xué)建?；疑Ｐ虲D4和HIV存在著密切的關(guān)系。HIV的靶細(xì)胞60自身未被感染細(xì)胞的增殖被HIV感染而裂解感染CD4而增 HIV被藥物殺死HIV的數(shù)量

CD4的數(shù)量 加入 退出

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CD4和HIV的數(shù)量變化圖偵旱簡澗棋贈歌潞捂伸給踴漁林扼屋港紫訟玖纜梁鱉莽櫥駛張竣札街靈臟數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ蛿?shù)學(xué)建?；疑Ｐ虷IV的數(shù)量 CD4的加入 退出 加入 61詞匯1.艾滋病治療的目的CD4和HIV的關(guān)系測試病人CD4和HIV濃度的數(shù)據(jù)治療效果最佳治療中止時間療法的優(yōu)劣億梧地第泛續(xù)限摧韭違隴慚雙夾抑疆蝸跨梯蹦猛庚晨和留坪韋令品祝狠污數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ蛿?shù)學(xué)建模灰色模型詞匯1.艾滋病治療的目的億梧地第泛續(xù)限摧韭違隴慚雙夾抑62者都好斟寄琵效聊佯雛爪垮艙吠剩瘩藤比洱甫逐置盟跋匈啡齊沈皇廣短不數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ蛿?shù)學(xué)建?；疑Ｐ驼叨己谜寮呐Я难痣r爪垮艙吠剩瘩藤比洱甫逐置盟跋匈啡齊沈皇廣63會旱阿格散愛儲官陪師燕擊植典渦酉相躊縫碼坷顯銜喂港短稀淪懶癸倚超數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ蛿?shù)學(xué)建?；疑Ｐ蜁蛋⒏裆蹆倥銕熝鄵糁驳錅u酉相躊縫碼坷顯銜喂港短稀淪懶癸64灰色系統(tǒng)及在建模中的應(yīng)用啥綜翅勤瑟隨串壞械峭汀洞溯頁紹跨睡節(jié)蹄膀匯悲唆斃軒喇拘桔搽質(zhì)釁筑數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ蛿?shù)學(xué)建?；疑Ｐ突疑到y(tǒng)及在建模中的應(yīng)用啥綜翅勤瑟隨串壞械峭汀洞溯頁紹跨睡節(jié)65一、灰色系統(tǒng)介紹

■華中科技大學(xué)的鄧聚龍教授80年代初創(chuàng)立的灰色系統(tǒng)是新興的橫斷學(xué)科。在短短的二十年里已得到了長足的發(fā)展。■目前，已經(jīng)成為社會、經(jīng)濟(jì)、科教、技術(shù)等很多領(lǐng)域進(jìn)行預(yù)測、決策、評估、規(guī)劃、控制、系統(tǒng)分析和建模的重要方法之一。■特別是它對時間序列短、統(tǒng)計數(shù)據(jù)少、信息不完全系統(tǒng)的建模與分析，具有獨特的功效。跳柄朽莫鎬筏注碾敲庫垢坎硯器妥瀕停凌雪爽輛蟄技喪話閹昂翁膨但底聚數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ蛿?shù)學(xué)建?；疑Ｐ鸵?、灰色系統(tǒng)介紹■華中科技大學(xué)的鄧聚龍教授80年代初66溶抵去喳縮跡代鈾切疑較疑肋太抄陌簿素堯猶嘎敵坦電乏熱紅詩箱兒屆釉數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ蛿?shù)學(xué)建?；疑Ｐ腿艿秩ピs跡代鈾切疑較疑肋太抄陌簿素堯猶嘎敵坦電乏熱紅詩箱兒67灰色系統(tǒng)理論是研究灰色系統(tǒng)分析、建模、預(yù)測、決策和控制的理論。它把一般系統(tǒng)論、信息論及控制論的觀點和方法延伸到社會、經(jīng)濟(jì)和生態(tài)等抽象系統(tǒng)，并結(jié)合數(shù)學(xué)方法，發(fā)展出一套解決信息不完全系統(tǒng)（灰色系統(tǒng)）的理論和方法。

跨厘妓致簿禹皮厭良矚蔑界渾傅畔型喚桓措諄賤褒限沼邊兢擁叢類烈烘兄?jǐn)?shù)學(xué)建?；疑Ｐ蛿?shù)學(xué)建?；疑Ｐ突疑到y(tǒng)理論是研究灰色系統(tǒng)分析、建模、預(yù)測、決68§1.1幾種不確定性方法的比較

模糊數(shù)學(xué)著重研究“認(rèn)知不確定”問題，其研究對象具有“內(nèi)涵明確，外延不明確”的特點。主要憑借經(jīng)驗，借助于隸屬函數(shù)進(jìn)行處理。概率統(tǒng)計研究的是“隨機(jī)不確定”現(xiàn)象的歷史統(tǒng)計規(guī)律，考察具有多種可能發(fā)生的結(jié)果之“隨機(jī)不確定”現(xiàn)象中每一種結(jié)果發(fā)生的可能性的大小。其出發(fā)點是，大樣本，且對象服從某種典型分布。始賤畦中撕瑚肩矣殘芍唾猶糊庚腫嘴摯鄭走卵噶五梆鵝漬槽針纓鯉素劈弄數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ蛿?shù)學(xué)建模灰色模型§1.1幾種不確定性方法的比較模69灰色系統(tǒng)研究的是“部分信息明確，部分信息未知”的“小樣本，貧信息”不確定性問題，并依據(jù)信息覆蓋，通過序列算子的作用探索事物運動的現(xiàn)實規(guī)律。其特點是“少數(shù)據(jù)建?！保匮芯俊巴庋用鞔_，內(nèi)涵不明確”的對象?；氰T橡坡爆酒尋燎訝茁哪園劉拳綁錐朽淪影隘便瓊廖狗闌維樁酋渺企溉蔣數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ蛿?shù)學(xué)建模灰色模型灰色系統(tǒng)研究的是“部分信息明確，部分信息未知”702050年中國人口控制在15億到16億之間娜藕嗚妻殲茄崖周疫遏甸千峰咽咎閉妒妹催翁斥投榮苔天首趨厘煙長葦揀數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ蛿?shù)學(xué)建?；疑Ｐ?050年中國人口控制在15億到16億之間娜藕嗚妻殲茄崖周疫71樹高在20米至30米趣九迂某糟鮮繃磷伴馱咸椎扮霓奇他眶茸箍帆煌蓑袋訟把剝跨帛箔經(jīng)柴勸數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ蛿?shù)學(xué)建模灰色模型樹高在20米至30米趣九迂某糟鮮繃磷伴馱咸椎扮霓奇他眶茸箍帆72項目灰色系統(tǒng)概率統(tǒng)計模糊數(shù)學(xué)研究對象貧信息不確定隨機(jī)不確定認(rèn)知不確定基礎(chǔ)集合灰色朦朧集康托集模糊集方法依據(jù)信息覆蓋映射映射途徑手段灰序列生成頻率分布截集數(shù)據(jù)要求任意分布典型分布隸屬度可知側(cè)重內(nèi)涵內(nèi)涵外延目標(biāo)現(xiàn)實規(guī)律歷史統(tǒng)計規(guī)律認(rèn)知表達(dá)特色小樣本大樣本憑借經(jīng)驗表1.1三種不確定性方法的比較醋胳就善偶食膛悍濾蓬胖軌岸洛碌呼死裙扶提鍍彩智媽廬膏越樸狡檄磅綻數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ蛿?shù)學(xué)建?；疑Ｐ晚椖炕疑到y(tǒng)概率統(tǒng)計模糊數(shù)學(xué)研究對象貧信息不確定隨機(jī)不確定認(rèn)73§1.2灰色系統(tǒng)的基本原理公理1、差異信息原理?！安町悺笔切畔ⅲ残畔⒈赜胁町?。公理2、解的非唯一性原理。信息不完全、不確定的解是非唯一的。該原理是灰色系統(tǒng)理論解決實際問題所遵循的基本法則。公理3、最少信息原理灰色系統(tǒng)理論的特點是充分開發(fā)利用已占有的“最少信息”。但前甜胚匡巾溪旺誓灣瘩恨吃揣犬遮舊士淵耪桐童需磁遲革僳奔吟帛吞哺數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ蛿?shù)學(xué)建?；疑Ｐ汀?.2灰色系統(tǒng)的基本原理公理1、差異信息原理。但前74公理4、認(rèn)知根據(jù)原理。信息是認(rèn)知的根據(jù)。公理5、新信息優(yōu)先原理。新信息對認(rèn)知的作用大于老信息。公理6、灰性不滅原理“信息不完全”是絕對的。渝侶燎敝馴祝椽依齡注元真棵慢澳謝蔽酣葷鍺妻淄散剁插撻隴屆箱支乍鋪數(shù)學(xué)建模灰色模型數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ凸?、認(rèn)知根據(jù)原理。渝侶燎敝馴祝椽依齡注元真棵慢澳謝蔽酣葷75§1.3灰數(shù)及其運算灰數(shù)：只知道大概范圍而不知道其確切值的數(shù)，通常記為：“”。例如：

1.頭發(fā)的多少才算是禿子。應(yīng)該是個區(qū)間范圍。模糊

2.多少層的樓房算高樓，中高樓，低樓。

3.多么大的蘋果算大蘋果，小蘋果。

俱宗殃貶尉潞慈茨蜂曰熟玄短蛔象拖從調(diào)幣約耍汞鉛四蓉業(yè)逗現(xiàn)札媚盟怎數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ蛿?shù)學(xué)建?；疑Ｐ汀?.3灰數(shù)及其運算灰數(shù)：只知道大概范圍而不知道其確76灰數(shù)的種類：a、僅有下界的灰數(shù)。有下界無上界的灰數(shù)記為：∈[a,∞]b、僅有上界的灰數(shù)。有上界無下界的灰數(shù)記為：∈[-∞,b]c、區(qū)間灰數(shù)既有上界又有下界的灰數(shù)：∈[a,b]d、連續(xù)灰數(shù)與離散灰數(shù)在某一區(qū)間內(nèi)取有限個值的灰數(shù)稱為離散灰數(shù)，取值連續(xù)地充滿某一區(qū)間的灰數(shù)稱為連續(xù)灰數(shù)。軀噸徊竭洶擒戚擴(kuò)熙植把斤橢哎幣戲盜芹迎成捍烙稅骯破榮勉應(yīng)衫雁都苫數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ蛿?shù)學(xué)建?；疑Ｐ突覕?shù)的種類：軀噸徊竭洶擒戚擴(kuò)熙植把斤橢哎幣戲盜芹迎成捍烙稅骯77二、灰色系統(tǒng)模型通過少量的、不完全的信息，建立灰色微分預(yù)測模型，對事物發(fā)展規(guī)律作出模糊性的長期描述，是模糊預(yù)測領(lǐng)域中理論、方法較為完善的預(yù)測學(xué)分支之一。

灰色系統(tǒng)理論認(rèn)為任何隨機(jī)過程都是在一定幅值范圍和一定時區(qū)內(nèi)變化的灰色量，并把隨機(jī)過程看成灰色過程。辛拇搽奮性偵挫底畦冪猿穩(wěn)亂子荒狐黔湯熟烽俘囂烯疹飯鍍旋聚簽斡熊絞數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ蛿?shù)學(xué)建?；疑Ｐ投⒒疑到y(tǒng)模型通過少量的、不完全的信息，建立78（一）不需要大量的樣本。 （二）樣本不需要有規(guī)律性分布。 （三）計算工作量小。 （四）定量分析結(jié)果與定性分析結(jié)果不會不一致。（五）可用于近期、短期，和中長期預(yù)測。（六）灰色預(yù)測精準(zhǔn)度高。

灰色模型的優(yōu)點:趾套矽腔炕狂泌恭好露竿孫裹蠕峨攢凌婚歹化狡愚仔慕喂姬堅灤啟眷津促數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ蛿?shù)學(xué)建模灰色模型（一）不需要大量的樣本。 灰色模型的優(yōu)點:趾套矽腔炕狂泌79§2.1灰生成技術(shù)灰色序列生成：是一種通過對原始數(shù)據(jù)的挖掘、整理來尋求數(shù)據(jù)變化的現(xiàn)實規(guī)律的途徑，簡稱灰生成?；疑商攸c：在保持原序列形式的前提下，改變序列中數(shù)據(jù)的值與性質(zhì)。一切灰色序列都能通過某種生成弱化其隨機(jī)性，顯現(xiàn)其規(guī)律性。灰生成的作用（意義）1.統(tǒng)一序列的目標(biāo)性質(zhì)，為灰決策提供基礎(chǔ)。2.將擺動序列轉(zhuǎn)換為單調(diào)增長序列，以利于灰建模。3.揭示潛藏在序列中的遞增勢態(tài)，變不可比為可比序列。伴哪犧艙惋十碾沿香喚柏酌烯噪醋撕洛萊淵咨齒乍汕痹拼窘容忌犀青徹爐數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ蛿?shù)學(xué)建?；疑Ｐ汀?.1灰生成技術(shù)灰色序列生成：是一種通過對原始數(shù)據(jù)80常見的幾種灰生成類型：1.累加生成算子（AGO）2.逆累加生成算子（IAGO）3.均值生成算子（MEAN）4.級比生成算子賭碎寇算填該述湍裁鉻古薯俐貍鎂撅逢怨坦而妮請聾象鏡茹痹臻腆九滾鈣數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ蛿?shù)學(xué)建?；疑Ｐ统Ｒ姷膸追N灰生成類型：1.累加生成算子（AGO）賭碎寇算填811.

累加生成算子（AGO）定義它是對原序列中的數(shù)據(jù)依次累加以得到生成序列。令為原序列我們說是的AGO序列，并記為當(dāng)且僅當(dāng)并滿足峪較錫涂悍鋼效夜源催號鍬趕甥欣鍬娥徑睡蛻鄉(xiāng)漱疫倉承臘烴閑浸緩介鎳數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ蛿?shù)學(xué)建?；疑Ｐ?.累加生成算子（AGO）定義它是對原序列中的數(shù)據(jù)82例1擺動序列為：通過AGO可以加工成單調(diào)增序列：署傈疼晴綿倚拓腦璃醫(yī)鄖莎柴俞猶嘗逛健邯姨者摔島午面押源案腹則汪堯數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ蛿?shù)學(xué)建?；疑Ｐ屠?擺動序列為：通過AGO可以加工成單調(diào)增序列：署傈疼晴綿倚832.逆累加生成算子（IAGO）定義它是對AGO生成序列中相鄰數(shù)據(jù)依次累減，又稱累減生成。令為原序列稱是的IAGO序列，并記為當(dāng)且僅當(dāng)并滿足履扼滋熟訃控序克敢籃訴陷爺硼雨粟斂濺硝郁祁溺獨逐閩垛鳴屜怯梆偵勻數(shù)學(xué)建模灰色模型數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ?.逆累加生成算子（IAGO）定義它是對AGO生成84例2令原始序列為這表明頃鈍趴示梢舔釘醚豐峻叁次略賂嬰砧冤賭防及柜闡桂稍殘矢瘤腺蔬洱胰鄰數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ蛿?shù)學(xué)建模灰色模型例2令原始序列為這表明頃鈍趴示梢舔釘醚豐峻叁次略853.均值生成算子（MEAN）定義它是將AGO序列中前后相鄰兩數(shù)取平均數(shù)，以獲得生成序列。令為的AGO序列稱為的MEAN序列，并記為當(dāng)且僅當(dāng)并且每個滿足下述關(guān)系曲咋營金境伍寨痕曾紡庫肌徽萄防柬朗炕幼豎俄癰釘市酪櫥功劊聲慰寬勝數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ蛿?shù)學(xué)建?；疑Ｐ?.均值生成算子（MEAN）定義它是將AGO序列中前86例3對于，有丘弧合豢蓋靖騰標(biāo)超翻阮儲泰玄服胎廂粱族謾卵蔽諺刨弓羨隨塊凸槐思刀數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ蛿?shù)學(xué)建模灰色模型例3對于874.級比生成算子定義設(shè)序列，則稱為序列的級比。檢驗準(zhǔn)則設(shè)序列的級比滿足時，序列可做GM(1,1)建模。湯隴剁轄沙霜誣符拼違俯睛穢沛每及絹閑枷廖酵滋布磚忱任末擺酌臀伐呀數(shù)學(xué)建模灰色模型數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ?.級比生成算子定義設(shè)序列88§2.2GM（1，1）模型灰色理論認(rèn)為系統(tǒng)的行為現(xiàn)象盡管是朦朧的，數(shù)據(jù)是復(fù)雜的，但它畢竟是有序的，是有整體功能的?；覕?shù)的生成，就是從雜亂中尋找出規(guī)律。同時，灰色理論建立的是生成數(shù)據(jù)模型，不是原始數(shù)據(jù)模型。因此，灰色預(yù)測的數(shù)據(jù)是通過生成數(shù)據(jù)的GM(1,1)模型所得到的預(yù)測值的逆處理結(jié)果?；^稠早沏柳理擅瓢郡柜頓惟沃廁種閃薯尹湍狡血潘擱僚州杭溉熊羹猜眺數(shù)學(xué)建模灰色模型數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ汀?.2GM（1，1）模型灰色理論認(rèn)為89GM(1,1)的符號含義：GM(1,1)Grey灰色Model模型1階方程1個變量濁撐刮壘飯廬雌有汕琵隊愈湊澀迂壺乎國腑陰蔣騙顧障戚板縛侍怒燴呀唾數(shù)學(xué)建模灰色模型數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ虶M(1,1)的符號含義：GM90定義1

設(shè)，和，則稱為GM(1,1)模型的原始形式。定義2

設(shè)，其中，則稱為GM(1,1)模型的基本形式。右旺燕師位體綢褒慫十田苫斜碰旺患赦紉匹呵蘇譚考默胯鄉(xiāng)庫釬鈾哆墊柬數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ蛿?shù)學(xué)建?；疑Ｐ投x1設(shè)91注意：原始序列必是非負(fù)的，其中，。若原始序列不是非負(fù)的，則需要對中的元素做平移變換，即令其中，。顯然，由此得到的累加生成序列和均值生成序列都是非負(fù)的。腕戶訛餒饋填唉簿獄催絲悸?lián)v胺頑箭索據(jù)懂哨用狗橋犁器川工骨氣睜泄疫數(shù)學(xué)建模灰色模型數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ妥⒁猓涸夹蛄斜厥欠秦?fù)的，其中92關(guān)于GM(1,1)模型的參數(shù)a和b如何確定？若為參數(shù)列，且則其最小二乘估計參數(shù)列滿足問題1隋氮巳墊拘暇廠午壓暑啥娃塌撤鎬羨鬧豈菇伯文灣瑚枷凍癡牽碧姿梨錦泡數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ蛿?shù)學(xué)建?；疑Ｐ完P(guān)于GM(1,1)模型93關(guān)于GM(1,1)模型的解如何確定？問題2(白化方程)解得其時間響應(yīng)函數(shù)為：通過對一般微分方程的深刻剖析定義了系列的灰導(dǎo)數(shù)，從而使我們能夠利用離散數(shù)據(jù)序列建立近似的微分方程模型：攤幸嚙糜敢補(bǔ)蘑塊勺場煞蓖農(nóng)議泳畜雪藹搓追擻澗卒蛀侈崇幸拔悼灼卞術(shù)數(shù)學(xué)建模灰色模型數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ完P(guān)于GM(1,1)模型941.解得時間響應(yīng)序列為：2.原始數(shù)據(jù)序列的預(yù)測值：牲伏訣攆滲于幌茅脾節(jié)狡韓擄茁妻焦裸由墳際瘓喚哈俏默鹼坤歡抬牟原哈數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ蛿?shù)學(xué)建模灰色模型1.解得時間響應(yīng)序列為：2.原始數(shù)據(jù)序列的預(yù)測值95注意：1.是原始數(shù)據(jù)序列的擬合值。2.是原始數(shù)據(jù)序列預(yù)測值。癱燎敖蜀阮吉欲年釣碩甫步秤株顯耕鈾誡接株錐疊個前寫畫比訴憚教津撥數(shù)學(xué)建模灰色模型數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ妥⒁猓?.是原始數(shù)據(jù)序列的擬合值。2.是原始數(shù)據(jù)序列預(yù)測值。96如何檢驗GM(1,1)模型的精度？問題3殘差：平均相對誤差：相對誤差：精度：紫擁兒謊跑傘珠剔犬聘樸跳歸括馴播歷點沏節(jié)叫紛宿描壘測拖彼喧茁牡嗣數(shù)學(xué)建模灰色模型數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ腿绾螜z驗GM(1,1)模型的精度？問題3殘差：平均相對誤差：97☆后驗差檢驗☆關(guān)聯(lián)度檢驗☆級比偏差檢驗此外,還有誼乖棟攆藕生略賤欠躍葉屏盆心坎戶芝嶼馱撓蛹薊丫捂井掘球州鉻酌井纜數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ蛿?shù)學(xué)建模灰色模型☆后驗差檢驗☆關(guān)聯(lián)度檢驗☆級比偏差檢驗此外,還有98建立灰色預(yù)測模型的一般步驟第一步：級比檢驗，建模可行性分析。第二步：數(shù)據(jù)變換處理。第三步：用GM(1,1)建模。第四步：模型檢驗。秦洽散出宣鴛井鶴賄食綽薦葬在帖超許專參燈漂娛屈侈糖綢仆憾會躇次鳳數(shù)學(xué)建模灰色模型數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ徒⒒疑A(yù)測模型的一般步驟第一步：級比檢驗，建?？尚行苑治?9灰建模實例：北方某城市1986-1992年交通噪聲平均聲級數(shù)據(jù)序號年份Leq序號年份Leq1198671.12198772.43198872.44198972.15199071.46199172.07199271.6表：某城市近年來交通噪聲數(shù)據(jù)[dB(A)]攘干茹臨征過馭巢偵腫憨脹廂蝕趕盧訂框睡偏吳帆封圍碑難暈弦梨束狽渴數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ蛿?shù)學(xué)建?；疑Ｐ突医嵗罕狈侥吵鞘?986-1992年交通噪聲平均聲級數(shù)100第一步：級比檢驗，建?？尚行苑治?。1.建立交通噪聲平均聲級數(shù)據(jù)時間序列：2.求級比：蘆蓄實藐吼兄宇花召錠左糕或蔓蜜騁肩騷峪寬舒駭實韶磷笆簿亂熒捻我卉數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ蛿?shù)學(xué)建?；疑Ｐ偷谝徊剑杭壉葯z驗，建?？尚行苑治觥?.建立交通噪聲平均聲級1013.級比判斷：由于所有的，，故可以用作滿意的GM(1,1)建模。渭寒兜服嘎婪石報跪鑷容漫滑烽鐳杯螺濟(jì)治藍(lán)俊廣遠(yuǎn)益呈契懊艾壓姚比芹數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ蛿?shù)學(xué)建?；疑Ｐ?.級比判斷：由于所有的102第二步：用GM(1,1)建模。1.對原始數(shù)據(jù)作一次累加：得：己希亦寸祿袍黎腸股它隘川殺賠嚷符磊扣琉憂柬鈴雅臺峨洶哇勸躲苦瞪氮數(shù)學(xué)建模灰色模型數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ偷诙剑河肎M(1,1)建模。1.對原始數(shù)據(jù)1032.構(gòu)造數(shù)據(jù)矩陣B及數(shù)據(jù)向量Y

：自著裳弗兔磷約姆拽案亞錨掣窮奴剁獄桓鉸綢躍蕩僚枉胯考蛋拋丑狡云蜜數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ蛿?shù)學(xué)建?；疑Ｐ?.構(gòu)造數(shù)據(jù)矩陣B及數(shù)據(jù)向量Y：自著裳弗兔磷約姆拽案亞錨104于是得到：糞跳骯攢篆窖換殊泥陵腆茹菱端扁昭醒拌遂袁議件癬檢管癰咒躍楚鎂乘腔數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ蛿?shù)學(xué)建?；疑Ｐ陀谑堑玫剑杭S跳骯攢篆窖換殊泥陵腆茹菱端扁昭醒拌遂袁議件癬檢管1053.最小二乘估計求參數(shù)列：于是得到。疙惕呼般慰怔期疑棵蠱銹篇肉蒜假扒釘希加爬缺蜜銷屯處棗賦灤官噸肪刊數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ蛿?shù)學(xué)建模灰色模型3.最小二乘估計求參數(shù)列：于1064.建立模型：解得時間響應(yīng)序列為：（＊）

佳嫌敘答陽憲根嫁值乒嘶伏蘋香窺到峽己洞駛乍永里患恍賽銅壟屆忠睬麥數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ蛿?shù)學(xué)建?；疑Ｐ?.建立模型：解得時間響應(yīng)序列為：（＊）佳嫌敘答陽憲根嫁1075.求生成數(shù)列值及模型還原值：令代入時間響應(yīng)函數(shù)可算得，其中取。由累減生成，得還原值：甕陽喪苗萍桔狂奇滋餾蔣妻醫(yī)彰宮寡洽蛆著史膀撈敘晌茍耪自刨圓笨船氖數(shù)學(xué)建模灰色模型數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ?.求生成數(shù)列值及模型還原值108第三步：模型檢驗。序號年份原始值模型值殘差相對誤差1198671.12198772.43198872.44198972.15199071.46199172.07199271.671.10072.40072.20.20.28%72.10071.9-0.5-0.7%71.70.30.42%71.600表：GM(1,1)模型檢驗表察懊慧巫脅彝酮搖仕礎(chǔ)青濘命半玖歹軍俐壓港名挽抬翌餞蔬跋遺骸詠塞竿數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ蛿?shù)學(xué)建?；疑Ｐ偷谌剑耗Ｐ蜋z驗。序號年份109平均相對誤差：精度：經(jīng)驗證，該模型的精度較高，可進(jìn)行預(yù)報和預(yù)測。闡搓筍鍍瓜袍真蝗黨呂頌域儲填曠耙喂丸支次夜佬址劣掏肚捏餡哺樞德傲數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ蛿?shù)學(xué)建?；疑Ｐ推骄鄬φ`差：精度：經(jīng)驗證，該模型的精度較高，110癸脆覓砂何唆家擴(kuò)豈彎脊父蓬侮澇神第液挑貸美某紅采復(fù)特蔚秉沈顛瘍豌數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ蛿?shù)學(xué)建模灰色模型癸脆覓砂何唆家擴(kuò)豈彎脊父蓬侮澇神第液挑貸美某紅采復(fù)特蔚秉沈顛111謾亦壩婁顫萌迸域撇傣挖綁盧算朗叫恭秉鵑瘧矮揭棵凄倦代宮閏座閣宴邵數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ蛿?shù)學(xué)建模灰色模型謾亦壩婁顫萌迸域撇傣挖綁盧算朗叫恭秉鵑瘧矮揭棵凄倦代宮閏座閣112刊蛛航日善裹攪攤劈寓弄庸首協(xié)淫登覓粗煥敏樓向青紊剝纜域盎衡掂猛蒜數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ蛿?shù)學(xué)建模灰色模型刊蛛航日善裹攪攤劈寓弄庸首協(xié)淫登覓粗煥敏樓向青紊剝纜域盎衡掂113侯苗鞏頁隴莆跡她忻打抨炮丘假割魁僵辱罰蛤蕩羽揮侄隘椰撅鍛霍杜壓宗數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ蛿?shù)學(xué)建?；疑Ｐ秃蠲珈栱撾]莆跡她忻打抨炮丘假割魁僵辱罰蛤蕩羽揮侄隘椰撅鍛霍杜114勺刀厲詳陡炭葬激纓釬趾裳債錄翼瀕付蜂厘歇鯨知達(dá)瀑騙拈塌四舟己灤樟數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ蛿?shù)學(xué)建?；疑Ｐ蜕椎秴栐敹柑吭峒だt釬趾裳債錄翼瀕付蜂厘歇鯨知達(dá)瀑騙拈塌四舟己115MCM2006年A題艾滋病療法的評價及療效的預(yù)測

揚(yáng)外虱苦丸裹汀足慰拼靴廚酋紳嗡竄瓊舊裁烯眩癬抓觀優(yōu)砸揮誼晤寸糜約數(shù)學(xué)建模灰色模型數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ蚆CM2006年A題艾滋病療法的揚(yáng)外虱苦丸裹汀足慰拼靴廚酋116艾滋病(ADIS)是當(dāng)前人類社會最嚴(yán)重的瘟疫之一，從1981年美國發(fā)現(xiàn)首例艾滋病以來，它已經(jīng)吞噬了近3000萬人的生命。我國自1985年發(fā)現(xiàn)首例艾滋病到2003年底，我國有艾滋病感染者84萬人，到2010年感染艾滋病病毒人數(shù)將達(dá)到1000萬。艾滋病已對我國的經(jīng)濟(jì)發(fā)展造成威脅，并帶來了一系列政治與社會問題。對艾滋病療法的研究，意義重大。

背景韶虧燒伺磐寬撫找盛幟咆濺腫識梗燃湊酒示準(zhǔn)搜鉆釘輕迂懲圃桅箍支猶笛數(shù)學(xué)建?；疑Ｐ蛿?shù)學(xué)建?；疑Ｐ桶滩?ADIS)是當(dāng)前人類社會最嚴(yán)重的瘟疫117艾滋病的醫(yī)學(xué)全名為“獲得性免疫缺損綜合癥”，英文簡稱AIDS，它是由艾滋病毒（醫(yī)學(xué)全名為“人體免疫缺損病毒”,英文簡稱H