數(shù)學(xué)物理方法經(jīng)典課件第十二章-積分變換法-

在復(fù)變函數(shù)理論中，我們?cè)美绽棺儞Q法求解常微分方程．經(jīng)過變換，常微分方程變成了代數(shù)方程，解出代數(shù)方程，再進(jìn)行反演就得到了原來常微分方程的解．第十二章積分變換法求解定解問題1在復(fù)變函數(shù)理論中，我們?cè)美绽棺儞Q法求解第

積分變換法是通過積分變換簡(jiǎn)化定解問題的一種有效的求解方法．對(duì)于多個(gè)自變量的線性偏微分方程，可以通過實(shí)施積分變換來減少方程的自變量個(gè)數(shù)，直至化為常微分方程，這就使問題得到大大簡(jiǎn)化，再進(jìn)行反演，就得到了原來偏微分方程的解．積分變換法在數(shù)學(xué)物理方程（也包括積分方程、差分方程等）中亦具有廣泛的用途．尤其當(dāng)泛定方程及邊界條件均為非齊次時(shí)，用經(jīng)典的分離變量法求解，就顯得有些煩瑣和笨挫，而積分變換法為這類問題提供了一種系統(tǒng)的解決方法，并且顯得具有固定的程序，按照解法程序進(jìn)行易于求解．利用積分變換，有時(shí)還能得到有限形式的解，而這往往是用分離變量法不能得到的．2積分變換法是通過積分變換簡(jiǎn)化定解問題的一種有效的求解特別是對(duì)于無界或半無界的定界問題，用積分變換來求解，最合適不過了．（注明：無界或半無界的定界問題也可以用行波法求解）用積分變換求解定解問題的步驟為：第一：根據(jù)自變量的變化范圍和定解條件確定選擇適當(dāng)?shù)姆e分變換；對(duì)于自變量在

內(nèi)變化的定解問題（如無界域的坐標(biāo)變量）常采用傅氏變換，而自變量在

內(nèi)變化的定解問題（如時(shí)間變量）常采用拉氏變換．

3特別是對(duì)于無界或半無界的定界問題，用積分變換來用積第二：對(duì)方程取積分變換，將一個(gè)含兩個(gè)自變量的偏微分方程化為一個(gè)含參量的常微分方程；第三：對(duì)定解條件取相應(yīng)的變換，導(dǎo)出常微分方程的定解條件；第四：求解常微分方程的解，即為原定解問題的變換；第五：對(duì)所得解取逆變換，最后得原定解問題的解．

4第二：對(duì)方程取積分變換，將一個(gè)含兩個(gè)自變量的１2.１傅里葉變換法解數(shù)學(xué)物理定解問題用分離變量法求解有限空間的定解問題時(shí)，所得到的本征值譜是分立的，所求的解可表為對(duì)分立本征值求和的傅里葉級(jí)數(shù)．對(duì)于無限空間，用分離變量法求解定解問題時(shí)，所得到的本征值譜一般是連續(xù)的，所求的解可表為對(duì)連續(xù)本征值求積分的傅里葉積分．因此，對(duì)于無限空間的定解問題，傅里葉變換是一種很適用的求解方法．本節(jié)將通過幾個(gè)例子說明運(yùn)用傅里葉變換求解無界空間（含一維半無界空間）的定界問題的基本方法，并給出幾個(gè)重要的解的公式．5１2.１傅里葉變換法解數(shù)學(xué)物理定解問題用分離變量法下面的討論我們假設(shè)待求解的函數(shù)

及其一階導(dǎo)數(shù)是有限的.12.1.1弦振動(dòng)問題例1

求解無限長(zhǎng)弦的自由振動(dòng)定解問題（假定：函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)是有限的)

6下面的討論我們假設(shè)待求解的函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)是有限的.12簡(jiǎn)化表示為對(duì)其它函數(shù)也作傅氏變換，即為解

應(yīng)用傅里葉變換，即用遍乘定解問題中的各式，并對(duì)空間變量x積分（這里把時(shí)間變量看成參數(shù)），按照傅里葉變換的定義，我們采用如下的傅氏變換對(duì)：

7簡(jiǎn)化表示為對(duì)其它函數(shù)也作傅氏變換，即為解應(yīng)用傅里葉變換，于是原定解問題變換為下列常微分方程的定解問題上述常微分方程的通解為代入初始條件可以定出8于是原定解問題變換為下列常微分方程的定解問題上述常微分方程的這樣最后，上式乘以

并作逆傅氏變換．應(yīng)用延遲定理和積分定理得到這正是前面學(xué)過的的達(dá)朗貝爾公式.9這樣最后，上式乘以

為了說明傅氏變換法解非齊次方程特別簡(jiǎn)便，我們特舉一強(qiáng)迫弦振動(dòng)問題：求解無限長(zhǎng)弦的強(qiáng)迫振動(dòng)方程的初值問題解根據(jù)與例1相同的方法，作傅氏變換例210為了說明傅氏變換法解非齊次方程特別簡(jiǎn)便，我們特舉我們?nèi)菀椎玫皆ń鈫栴}可變換為下列常微分方程的問題上述問題的解為利用傅氏變換的性質(zhì)有11我們?nèi)菀椎玫皆ń鈫栴}可變換為下列常微分方程的問題上述問題的代入得到即得故得到12代入得到即得故得到1212.1.2熱傳導(dǎo)問題例3

求解無限長(zhǎng)細(xì)桿的熱傳導(dǎo)（無熱源）問題解作傅氏變換

定解問題變換為1312.1.2熱傳導(dǎo)問題解作傅氏變換定解問題變換為13常微分方程的初值問題的解是

再進(jìn)行逆傅里葉變換，交換積分次序14常微分方程的初值問題的解是再進(jìn)行逆傅里葉變換，交換積分次序1引用積分公式且令以便利用積分公式，即得到15引用積分公式且令以便利用積分公式，即得到15例4

求解無限長(zhǎng)細(xì)桿的有源熱傳導(dǎo)方程定解問題解利用對(duì)定解問題作傅氏變換，得到常微分方程的定解問題上述問題的解為16例4求解無限長(zhǎng)細(xì)桿的有源熱傳導(dǎo)方程定解問題解利用對(duì)為了求出上式的逆變換，利用下面傅氏變換的卷積公式，即若則而積分

即為最后得到定解問題的解為17為了求出上式的逆變換，利用下面傅氏變換的卷積公式，即若則12.1.3穩(wěn)定場(chǎng)問題

我們先給出求半平面內(nèi)拉普拉斯方程的第一邊值問題的傅氏變換系統(tǒng)解法（讀者可以與格林函數(shù)解法進(jìn)行比較）例5定解問題

解對(duì)于變量作傅氏變換，有1812.1.3穩(wěn)定場(chǎng)問題我們先給出求半平面內(nèi)拉普拉斯方程定解問題變換為常微分方程

因?yàn)榭扇≌?、?fù)值，所以常微分定解問題的通解為

因?yàn)?，故得到常微分方程的解為設(shè)19定解問題變換為常微分方程因?yàn)榭扇≌?、?fù)值，所以常微分定解根據(jù)傅氏變換定義，

的傅氏逆變換為再利用卷積公式

最后得到原定解問題的解為容易看出與格林函數(shù)解出的結(jié)果具有相同的表示式．20根據(jù)傅氏變換定義，的傅氏逆變換為再利用卷積公式最后得到原例6

如果定解問題為下列第二邊值問題解令

即容易得到

滿足定解問題為21例6如果定解問題為下列第二邊值問題解令即容易則根據(jù)上述穩(wěn)定場(chǎng)第一邊值問題公式故得到22則根據(jù)上述穩(wěn)定場(chǎng)第一邊值問題公式故得到222323本節(jié)介紹另一種變換法：拉普拉斯變換法求解定解問題．12.2.1無界區(qū)域的問題例12.2.1求解無限長(zhǎng)細(xì)桿的熱傳導(dǎo)（無熱源）問題(12.2.1)12.2拉普拉斯變換解數(shù)學(xué)物理定解問題由于要作傅氏變換的函數(shù)必須定義在

上，故當(dāng)我們討論

半無界問題時(shí)，就不能對(duì)變量作傅氏變換了．24本節(jié)介紹另一種變換法：拉普拉斯變換法求解定解問題．12由此原定解問題中的泛定方程變?yōu)閷?duì)方程(12.2.3)實(shí)施傅氏逆變換來進(jìn)行求解.利用傅氏逆變換公式【解】先對(duì)時(shí)間作拉氏變換

25由此原定解問題中的泛定方程變?yōu)閷?duì)方程(12.2.3)實(shí)施傅以及卷積定理得方程(12.2.3)的解為

(12.2.4)(12.2.4)式作拉氏逆變換,并查閱拉氏變換表，得原定解問題(12.2.1)的解為26以及卷積定理得方程(12.2.3)的解為(12.2.4)(

(12.2.6)解首先作變量的拉氏變換原定解問題即為12.2.2半無界區(qū)域的問題例2

求定解問題27(12.2.6)解首先作變量的拉氏變換原定解問題即易得到(12.2.8)式的解為28易得到(12.2.8)式的解為28又故由于及拉氏變換的卷積定理最后,得原定解問題的解為29又故由于及拉氏變換的卷積定理最后,得原定解問題的解為29【解】首先作變量

的拉氏變換原定解問題即為12.2.2半無界區(qū)域的問題例2求定解問題30【解】首先作變量的拉氏變換原定解問題即為12.2.2半無界易得到(12.2.8)式的解為因?yàn)樗杂?/p>

故31易得到(12.2.8)式的解為因?yàn)樗杂掷眉袄献儞Q的卷積定理最后,得原定解問題的解為32利用及拉氏變換的卷積定理最后,得原定解問題的解為32例3求解在無失真條件下電報(bào)方程的定解問題（12.2.16）解令

并考慮到無失真條件則原方程(15.2.16)化為

（15.2.17）33例3求解在無失真條件下電報(bào)方程的定解問題（12.2.16

(12.2.18)上述問題的解為因?yàn)槿魧?duì)時(shí)間作拉氏變換有于是定解問題(15.2.16)化為下列常微分方程的邊值問題:34(12.2.18)上述問題的解為因?yàn)槿魧?duì)時(shí)間作拉氏變換于是最后利用拉氏變換的延遲定律,得定解問題(15.2.16)的解為：或(12.2.47)所以35于是最后利用拉氏變換的延遲定律,得定解問題(15.2.16)

在復(fù)變函數(shù)理論中，我們?cè)美绽棺儞Q法求解常微分方程．經(jīng)過變換，常微分方程變成了代數(shù)方程，解出代數(shù)方程，再進(jìn)行反演就得到了原來常微分方程的解．第十二章積分變換法求解定解問題36在復(fù)變函數(shù)理論中，我們?cè)美绽棺儞Q法求解第

積分變換法是通過積分變換簡(jiǎn)化定解問題的一種有效的求解方法．對(duì)于多個(gè)自變量的線性偏微分方程，可以通過實(shí)施積分變換來減少方程的自變量個(gè)數(shù)，直至化為常微分方程，這就使問題得到大大簡(jiǎn)化，再進(jìn)行反演，就得到了原來偏微分方程的解．積分變換法在數(shù)學(xué)物理方程（也包括積分方程、差分方程等）中亦具有廣泛的用途．尤其當(dāng)泛定方程及邊界條件均為非齊次時(shí)，用經(jīng)典的分離變量法求解，就顯得有些煩瑣和笨挫，而積分變換法為這類問題提供了一種系統(tǒng)的解決方法，并且顯得具有固定的程序，按照解法程序進(jìn)行易于求解．利用積分變換，有時(shí)還能得到有限形式的解，而這往往是用分離變量法不能得到的．37積分變換法是通過積分變換簡(jiǎn)化定解問題的一種有效的求解特別是對(duì)于無界或半無界的定界問題，用積分變換來求解，最合適不過了．（注明：無界或半無界的定界問題也可以用行波法求解）用積分變換求解定解問題的步驟為：第一：根據(jù)自變量的變化范圍和定解條件確定選擇適當(dāng)?shù)姆e分變換；對(duì)于自變量在

內(nèi)變化的定解問題（如無界域的坐標(biāo)變量）常采用傅氏變換，而自變量在

內(nèi)變化的定解問題（如時(shí)間變量）常采用拉氏變換．

38特別是對(duì)于無界或半無界的定界問題，用積分變換來用積第二：對(duì)方程取積分變換，將一個(gè)含兩個(gè)自變量的偏微分方程化為一個(gè)含參量的常微分方程；第三：對(duì)定解條件取相應(yīng)的變換，導(dǎo)出常微分方程的定解條件；第四：求解常微分方程的解，即為原定解問題的變換；第五：對(duì)所得解取逆變換，最后得原定解問題的解．

39第二：對(duì)方程取積分變換，將一個(gè)含兩個(gè)自變量的１2.１傅里葉變換法解數(shù)學(xué)物理定解問題用分離變量法求解有限空間的定解問題時(shí)，所得到的本征值譜是分立的，所求的解可表為對(duì)分立本征值求和的傅里葉級(jí)數(shù)．對(duì)于無限空間，用分離變量法求解定解問題時(shí)，所得到的本征值譜一般是連續(xù)的，所求的解可表為對(duì)連續(xù)本征值求積分的傅里葉積分．因此，對(duì)于無限空間的定解問題，傅里葉變換是一種很適用的求解方法．本節(jié)將通過幾個(gè)例子說明運(yùn)用傅里葉變換求解無界空間（含一維半無界空間）的定界問題的基本方法，并給出幾個(gè)重要的解的公式．40１2.１傅里葉變換法解數(shù)學(xué)物理定解問題用分離變量法下面的討論我們假設(shè)待求解的函數(shù)

及其一階導(dǎo)數(shù)是有限的.12.1.1弦振動(dòng)問題例1

求解無限長(zhǎng)弦的自由振動(dòng)定解問題（假定：函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)是有限的)

41下面的討論我們假設(shè)待求解的函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)是有限的.12簡(jiǎn)化表示為對(duì)其它函數(shù)也作傅氏變換，即為解

應(yīng)用傅里葉變換，即用遍乘定解問題中的各式，并對(duì)空間變量x積分（這里把時(shí)間變量看成參數(shù)），按照傅里葉變換的定義，我們采用如下的傅氏變換對(duì)：

42簡(jiǎn)化表示為對(duì)其它函數(shù)也作傅氏變換，即為解應(yīng)用傅里葉變換，于是原定解問題變換為下列常微分方程的定解問題上述常微分方程的通解為代入初始條件可以定出43于是原定解問題變換為下列常微分方程的定解問題上述常微分方程的這樣最后，上式乘以

并作逆傅氏變換．應(yīng)用延遲定理和積分定理得到這正是前面學(xué)過的的達(dá)朗貝爾公式.44這樣最后，上式乘以

為了說明傅氏變換法解非齊次方程特別簡(jiǎn)便，我們特舉一強(qiáng)迫弦振動(dòng)問題：求解無限長(zhǎng)弦的強(qiáng)迫振動(dòng)方程的初值問題解根據(jù)與例1相同的方法，作傅氏變換例245為了說明傅氏變換法解非齊次方程特別簡(jiǎn)便，我們特舉我們?nèi)菀椎玫皆ń鈫栴}可變換為下列常微分方程的問題上述問題的解為利用傅氏變換的性質(zhì)有46我們?nèi)菀椎玫皆ń鈫栴}可變換為下列常微分方程的問題上述問題的代入得到即得故得到47代入得到即得故得到1212.1.2熱傳導(dǎo)問題例3

求解無限長(zhǎng)細(xì)桿的熱傳導(dǎo)（無熱源）問題解作傅氏變換

定解問題變換為4812.1.2熱傳導(dǎo)問題解作傅氏變換定解問題變換為13常微分方程的初值問題的解是

再進(jìn)行逆傅里葉變換，交換積分次序49常微分方程的初值問題的解是再進(jìn)行逆傅里葉變換，交換積分次序1引用積分公式且令以便利用積分公式，即得到50引用積分公式且令以便利用積分公式，即得到15例4

求解無限長(zhǎng)細(xì)桿的有源熱傳導(dǎo)方程定解問題解利用對(duì)定解問題作傅氏變換，得到常微分方程的定解問題上述問題的解為51例4求解無限長(zhǎng)細(xì)桿的有源熱傳導(dǎo)方程定解問題解利用對(duì)為了求出上式的逆變換，利用下面傅氏變換的卷積公式，即若則而積分

即為最后得到定解問題的解為52為了求出上式的逆變換，利用下面傅氏變換的卷積公式，即若則12.1.3穩(wěn)定場(chǎng)問題

我們先給出求半平面內(nèi)拉普拉斯方程的第一邊值問題的傅氏變換系統(tǒng)解法（讀者可以與格林函數(shù)解法進(jìn)行比較）例5定解問題

解對(duì)于變量作傅氏變換，有5312.1.3穩(wěn)定場(chǎng)問題我們先給出求半平面內(nèi)拉普拉斯方程定解問題變換為常微分方程

因?yàn)榭扇≌?、?fù)值，所以常微分定解問題的通解為

因?yàn)?，故得到常微分方程的解為設(shè)54定解問題變換為常微分方程因?yàn)榭扇≌⒇?fù)值，所以常微分定解根據(jù)傅氏變換定義，

的傅氏逆變換為再利用卷積公式

最后得到原定解問題的解為容易看出與格林函數(shù)解出的結(jié)果具有相同的表示式．55根據(jù)傅氏變換定義，的傅氏逆變換為再利用卷積公式最后得到原例6

如果定解問題為下列第二邊值問題解令

即容易得到

滿足定解問題為56例6如果定解問題為下列第二邊值問題解令即容易則根據(jù)上述穩(wěn)定場(chǎng)第一邊值問題公式故得到57則根據(jù)上述穩(wěn)定場(chǎng)第一邊值問題公式故得到225823本節(jié)介紹另一種變換法：拉普拉斯變換法求解定解問題．12.2.1無界區(qū)域的問題例12.2.1求解無限長(zhǎng)細(xì)桿的熱傳導(dǎo)（無熱源）問題(12.2.1)12.2拉普拉斯變換解數(shù)學(xué)物理定解問題由于要作傅氏變換的函數(shù)必須定義在

上，故當(dāng)我們討論

半無界問題時(shí)，就不能對(duì)變量作傅氏變換了．59本節(jié)介紹另一種變換法：拉普拉斯變換法求解定解問題．12由此原定解問題中的泛定方程變?yōu)閷?duì)方程(12.2.3)實(shí)施傅氏逆變換來進(jìn)行求解.利用傅氏逆變換公式【解】先對(duì)時(shí)間作拉氏變換

60由此原定解問題中的泛定方程變?yōu)閷?duì)方程(12.2.3)實(shí)施傅以及卷積定理得方程(12.2.3)的解為

(12.2.4)(12.2.4)式作拉氏逆變換,并查閱拉氏變換表，得原定解問