2021年浙江省寧波市余姚姚中書(shū)院高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試題含解析

2021年浙江省寧波市余姚姚中書(shū)院高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A．

B．

C.

D．參考答案：A由題意，所以，，所以，故選A.

2.．設(shè)x、y滿(mǎn)足

則 A．有最小值2，最大值3 B．有最小值2，無(wú)最大值 C．有最大值3，無(wú)最大值 D．既無(wú)最小值，也無(wú)最大值參考答案：B做出可行域如圖（陰影部分）。由得，做直線，平移直線由圖可知當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（2，0）時(shí)，直線的截距最小，此時(shí)z最小為2，沒(méi)有最大值，選B.3.設(shè)x，y滿(mǎn)足約束條件，則的最大值是（

）A.1 B.4 C.6 D.7參考答案：D【分析】先根據(jù)約束條件畫(huà)出可行域，再利用幾何意義求最值，表示直線在y軸上的截距，只需求出可行域直線在y軸上的截距最大值即可．【詳解】由條件畫(huà)出可行域如圖：表示直線在y軸上的截距，當(dāng)：平移到過(guò)點(diǎn)A時(shí)，最大，又由，解得此時(shí)，.故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，以及利用幾何意義求最值，屬于基礎(chǔ)題．4.已知拋物線關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)。若點(diǎn)到該拋物線焦點(diǎn)的距離為，則（

）A、

B、

C、

D、

參考答案：B設(shè)拋物線方程為，則點(diǎn)焦點(diǎn)，點(diǎn)到該拋物線焦點(diǎn)的距離為，

，解得，所以.5.函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位后所得的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)．則不可能是(

)A．

B．

C．

D．參考答案：D6.已知且,函數(shù)在區(qū)間上既是奇函數(shù)又是增函數(shù),則函數(shù)的圖象是（

）

參考答案：A略7.函數(shù)的圖象如圖1所示，則的圖象可能是（

）

參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】導(dǎo)數(shù).B11【答案解析】D解析：解：由題意可知，函數(shù)在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，所以函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在上的值大于0，在上的值小于0，根據(jù)答案可知D正確.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的增減性可知，導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)，再選出正確選項(xiàng).8.設(shè)全集,集合,,則集合=（

）A、

B、

C、

D、參考答案：B9.已知函數(shù)，使得恒成立，則=（

） A． B． C． D．參考答案：D10.設(shè)復(fù)數(shù)，則（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A，若點(diǎn)M為平面區(qū)域上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是

.參考答案：略12.（4分）（2015?上海模擬）函數(shù)f（x）=cos（﹣2x）﹣2cos2x在區(qū)間[0，]上的取值范圍是．參考答案：[﹣2，1]【考點(diǎn)】：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性．【專(zhuān)題】：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】：利用三角函數(shù)的倍角公式、兩角和差的正余弦公式及三角函數(shù)的單調(diào)性即可得出．解：∵f（x）==，由得，∴，∴，函數(shù)f（x）=cos（﹣2x）﹣2cos2x在區(qū)間[0，]上的取值范圍是[﹣2，1]．故答案為[﹣2，1]．【點(diǎn)評(píng)】：熟練掌握三角函數(shù)的倍角公式、兩角和差的正余弦公式及三角函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．13.正三角形ABC的邊長(zhǎng)為2，將它沿高AD翻折，使點(diǎn)B與點(diǎn)C間的距離為，此時(shí)四面體ABCD外接球表面積為．參考答案：5π【考點(diǎn)】LG：球的體積和表面積．【分析】三棱錐B﹣ACD的三條側(cè)棱BD⊥AD、DC⊥DA，底面是等腰直角三角形，它的外接球就是它擴(kuò)展為三棱柱的外接球，求出正三棱柱的底面中心連線的中點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離，就是球的半徑，然后求球的表面積．【解答】解：根據(jù)題意可知三棱錐B﹣ACD的三條側(cè)棱BD⊥AD、DC⊥DA，底面是等腰直角三角形，它的外接球就是它擴(kuò)展為三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心連線的中點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離，就是球的半徑，三棱柱ABC﹣A1B1C1的中，底面邊長(zhǎng)為1，1，，由題意可得：三棱柱上下底面中點(diǎn)連線的中點(diǎn)，到三棱柱頂點(diǎn)的距離相等，說(shuō)明中心就是外接球的球心，∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球的球心為O，外接球的半徑為r，球心到底面的距離為1，底面中心到底面三角形的頂點(diǎn)的距離為：，∴球的半徑為r==．外接球的表面積為：4πr2=5π．故答案為：5π．14.已知兩圓相交于兩點(diǎn)（1，3）和（m，1），且兩圓的圓心都在直線上，則m+c的值是

．參考答案：3【考點(diǎn)】相交弦所在直線的方程；直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系．【分析】?jī)蓤A的公共弦的方程與兩圓連心線垂直，求出公共弦的方程，然后求出m，利用中點(diǎn)在連心線上，求出c，即可求出結(jié)果．【解答】解：已知兩圓相交于兩點(diǎn)（1，3）和（m，1），且兩圓的圓心都在直線上，所以公共弦方程為：y﹣3=﹣1（x﹣1），所以x+y﹣4=0，因?yàn)椋╩，1）在公共弦上，m=3；中點(diǎn)在連心線上，即（2，2）在連心線上，所以c=0，所以m+c=3；故答案為：3．15.設(shè)正三棱錐P-ABC的高為H，且此棱錐的內(nèi)切球的半徑，則＝_______．參考答案：【分析】取線段中點(diǎn)，設(shè)在底面的射影為，連接。設(shè)出底面邊長(zhǎng)和斜高，計(jì)算出正三棱錐的表面積和體積，利用等積法計(jì)算出此棱錐的內(nèi)切球的半徑，由此得到的值，故可求出和，以及的值?！驹斀狻咳【€段的中點(diǎn)，設(shè)在底面的射影為，連接（圖略），設(shè)則，設(shè)，則正三棱錐的表面積為，又正三棱錐的體積，則，又【點(diǎn)睛】本題主要通過(guò)正三棱錐的結(jié)構(gòu)特征考查學(xué)生的直觀想象能力，以及運(yùn)算能力。16.若對(duì)任意，，（、）有唯一確定的與之對(duì)應(yīng)，稱(chēng)為關(guān)于、的二元函數(shù).現(xiàn)定義滿(mǎn)足下列性質(zhì)的二元函數(shù)為關(guān)于實(shí)數(shù)、的廣義“距離”:（1）非負(fù)性:，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；（2）對(duì)稱(chēng)性:；（3）三角形不等式:對(duì)任意的實(shí)數(shù)z均成立.今給出個(gè)二元函數(shù):①；②；③；④.則能夠成為關(guān)于的、的廣義“距離”的函數(shù)的所有序號(hào)是__________.參考答案：①略17.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知函數(shù).（I）若函數(shù)在處的切線與直線垂直，求實(shí)數(shù)的值；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性.參考答案：函數(shù)定義域，求導(dǎo)得（I）由已知得，得；（II）記（1）當(dāng)即時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；（2）當(dāng)即時(shí)，令，解得.又，故.當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減.綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞增，函數(shù)在單調(diào)遞減.19.(本小題滿(mǎn)分12分)橢圓C：(a＞b＞0)的離心率為，P(m，0)為C的長(zhǎng)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)斜率為的直線l交C于A、B兩點(diǎn).當(dāng)m＝0時(shí)，(1)求C的方程；(2)證明：為定值.參考答案：20.已知函數(shù)f（x）=（ax+b）lnx﹣bx+3在（1，f（1））處的切線方程為y=2．（1）求a，b的值；（2）求函數(shù)f（x）的極值．（3）若g（x）=f（x）+kx在（1，3）是單調(diào)函數(shù)，求k的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】（1）利用切線方程求出b=1，求出導(dǎo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化求解f′（1）=1+a﹣1=0，推出a=0．（2）求出f（x）=lnx﹣x+3的導(dǎo)函數(shù)f′（x）=﹣1，通過(guò)當(dāng)0＜x＜1時(shí)，當(dāng)x＞1時(shí)，導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，判斷函數(shù)的單調(diào)性求出極值．（3）由g（x）=f（x）+kx，則g（x）=lnx+（k﹣1）x+3（x＞0）求出導(dǎo)函數(shù)，利用g（x）在x∈（1，3）上是單調(diào)函數(shù)求出函數(shù)的最值然后推出k的范圍．【解答】解：（1）因?yàn)閒（1）=（a+b）ln1﹣b+3=2，所以b=1；…又f′（x）=+alnx+a﹣b=+alnx+a﹣1，…而函數(shù)f（x）=（ax+b）lnx﹣bx+3在（1，f（1））處的切線方程為y=2，所以f′（1）=1+a﹣1=0，所以a=0；…（2）由（1）得f（x）=lnx﹣x+3，f′（x）=﹣1，…當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＜0；

…所以f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，…所以f（x）有極大值f（1）=2，無(wú)極小值．故f（x）的極大值為f（1）=2，無(wú)極小值；…（3）由g（x）=f（x）+kx，則g（x）=lnx+（k﹣1）x+3（x＞0），，又由g（x）在x∈（1，3）上是單調(diào)函數(shù)…若g（x）為增函數(shù)時(shí)，有g(shù)（x）≥0所以有，，所以…若g（x）為減函數(shù)時(shí)，有g(shù)（x）≤0所以有，，所以k≤0…故綜上…21.已知，其中（）（1）當(dāng)時(shí)，求的定義域。（2）若對(duì)，恒有，求的取值范圍。參考答案：解：（1），的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)椋?）當(dāng)時(shí)，，所以。略22.在銳角△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c，且cos（B+C）=﹣sin2A．（1）求A；（2）設(shè)a=7，b=5，求△ABC的面積．參考答案：【考點(diǎn)】HP：正弦定理；GL：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用．【分析】（1）由已知式子可得sinA，由銳角三角形可得；（2）由正弦定理可得sinB，進(jìn)而可得cosB，再由和差角的三角函數(shù)可得s